阶段滚动检测(六)

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阶段滚动检测（六）
（第一～九章） （120分钟 160分）
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上) 1.(滚动单独考查)设全集U 是实数集R ，M ＝{x|x 2＞4}，N ＝{x|1＜x ＜3}，则图中阴影部分表示的集合是
___________.
2.(滚动单独考查)若复数a 3i
12i
＋＋(a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为___________.
3.设a 是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x 2＋ax ＋2＝0有两个不相等的实数根的概率为___________.
4．(滚动单独考查)(2012·泰州模拟)已知函数f(x)＝x x 4,x 0x x 4,x 0+<⎧⎨-≥⎩
（）
（），则函数
f(x)的零点个数为___________.
5.(滚动单独考查)定义在R 上的偶函数f(x)在［0，＋∞)上单调递减，且f(12
)＝0，则满足f(log 14
x)＜0的x 的集合为___________.
6.(滚动单独考查)给定性质：(ⅰ)最小正周期为π；
(ⅱ)图象关于直线x ＝3
π对称．则下列四个函数中，同时具有性质(ⅰ)(ⅱ)的是___________.
①y=sin(x 2
6
π＋) ②y ＝sin(2x ＋6π) ③y=sin|x|
④y ＝sin(2x －6
π
)
7.(滚动交汇考查)设0<a<2,0<b<1，则双曲线22
22x y a b
－＝1的离心率
是___________.
8.(滚动单独考查)圆心在电加热管抛物线x 2＝2y(x ＜0)上，并且与抛物线的准线及y 轴相切的圆的方程为___________.
9.(滚动单独考查)平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，满足(AB BC －)·
(AD CD
－)＝0，则三角形ABC 是___________.
10.(滚动单独考查)若x ，y 满足约束条件x y 1x y 12x y 2≥⎧⎪
≥⎨⎪≤⎩
＋，
－－，－，
目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是___________.
11.(滚动单独考查)(2012·连云港模拟)已知函数f(x)＝9x -m ·3x +m+1对x ∈(0，+∞)的图象恒在x 轴上方，则m 的高温烘箱取值范围是___________. 12.(滚动单独考查)已知曲线C ：y ＝lnx －4x 与直线x ＝1交于一点P ，那么曲线C 在点P 处的切线方程是___________.
13.面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量x(千箱)与单位成本
y(元)的资料进行线性回归分析，结果如下：7x 2=,y =71,62
i i 1x =∑=79,6
i i 1
x yi =∑=
1 481,b=2
7
1 48167127796()2
-⨯⨯-⨯≈-1.818 2,a=71-(-1.818 2)×72
≈77.36，则销量每增
加1 000箱，单位成本下降___________元． 14.将全体正整数排成一个三角形数阵：
根据以上排列规律，数阵中第n(n ≥3)行的从左至右的第3个数是___________. 二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(14分)(滚动交汇考查)已知函数
2x-12
,x ∈R ． (1)求函数f(x)的最小值和最小正周期；
(2)已知△ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c=3,f(C)=0，若向量
m =(1,sinA)与n
=(2,sinB)共线，求a 、b 的值．
16.(14分)(滚动单独考查)设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3=7，且a 1+3，3a 2，a 3+4构成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)令b n =lna 3n+1,n=1,2,…，求数列{b n }的前n 项和T n ．
17.(14分)(2012·苏州模拟)某校从高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，其成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示：
(1)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)；
(2)假设在［90，100］段的学生的成绩都不相同，且都在94分以上，现用简单随机抽样方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任取2个数，求这2个数恰好是两个学生的成绩的概率.
18.(16分)(滚动单独考查)如图所示,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD，AB∥CD，CD=2AB=2AD.
(1)求证：BC⊥BE；
(2)在EC上找一点M,使得BM∥平面ADEF,请确定M点的位置,并给出证明.
19.(16分)(滚动单独考查)已知椭圆C的两焦点为F1(-1,0)，F2(1,0)，并且经
).
过点M(1,3
2
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知圆O:x2+y2=1，直线l:mx+ny=1，证明当点P(m,n)在椭圆C上运动时，直
线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长L 的取值范围． 20.(16分)(滚动单独考查)已知函数f(x)=mx 3+2nx 2-12x 的减区间是(-2，2). (1)试求m 、n 的值；
(2)求过点A(1，-11)且与曲线y=f(x)相切的切线方程；
(3)过点A(1，t)是否存在与曲线y=f(x)相切的3条切线，若存在，求实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案解析
1.【解析】阴影部分表示的集合为N ∩U M ð， 由题意M={x|x>2或x<-2}， ≨U M ð={x|-2≤x ≤2}, 又≧N={x|1<x<3}, ≨阴影部分表示的集合即 N ∩U M ð={x|1＜x ≤2}. 答案：{x|1＜x ≤2}
2.【解析】≧
a 3i (a 3i)(12i)6a (32a)i
12i (12i)(12i)5
＋＋－＋＋－＝＝＋＋－是纯虚数， ≨6＋a ＝0，3-2a ≠0,即a ＝－6. 答案：-6
3.【解析】由方程x 2＋ax ＋2＝0有两个不相等的实数根，得Δ＝a 2－8>0，故a
＝3,4,5,6.根据古典概型的概率计算公式有P ＝4263
＝. 答案：23
4.【解析】当x ＜0时，由x(x ＋4)＝0⇒x ＝－4； 当x ≥0时，由x(x －4)＝0⇒x ＝4或x ＝0. 答案：3
5.【解题指南】f(x)是偶函数，则有f(x)=f(|x|)，列不等式求解. 【解析】≧函数f(x)为偶函数，且在［0，＋≦)上单调递减，f(12
)＝0， ≨log 14
x ＞12或log 14
x ＜－12
，
≨0＜x ＜12
或x ＞2. 答案：(0，1
2
)∪(2，＋≦)
6.【解题指南】由题知周期易验证，再根据正弦函数与余弦函数在对称轴处取得最值，验证性质(ⅱ)即可.
【解析】≧T ＝
2πω＝π，≨ω＝2.②、④符合，对于②，2×5366ππ+=π,x=3
π
不是对称轴，对于④，2×3π－62ππ＝，所以x ＝3
π
为对称轴，所以④符合.
答案：④
7.【解析】由
22c a
>5，即22
2a b a ＋>5，≨b>2a ，在直
角坐标系aOb 内作出符合题意的区域如图中阴影部分所示，则阴影
部分的面积为1
111224
⨯⨯＝，图中矩形的面积为2， ≨由几何概型概率公式计算得所求的概率为18
. 答案：18
8.【解析】准线方程为y ＝12－，设P(t ，12
t 2)为圆心且t ＜0， ≨－t ＝12
t 2＋12
⇒t ＝－1. 故圆的方程为(x+1)2+(y-12
)2=1.
答案：(x ＋1)2＋(y －12
)2＝1
9.【解析】由(AB BC - )·(AD CD - )=0得(AB BC - )·(AD DC +
)=0，即
(AB BC - )·AC =0，(AB BC - )·(AB BC + )=0，即22
AB BC - =0， |AB
|=|BC |，故为等腰三角形.
答案：等腰三角形
10.【解析】可行域为△ABC ，如图
当a ＝0时，显然成立．当a ＞0时，直线ax ＋2y －z ＝0的斜率k ＝a 2
－＞k AC ＝－1，即a ＜2.
当a ＜0时，k ＝a 2
－＜k AB ＝2，即a ＞－4.综合得－4＜a ＜2. 答案：－4＜a ＜2
11.【解题指南】令t ＝3x ，转化为关于t 的二次函数的图象恒在t 轴的上方处理.或分离参数m ，利用最值处理恒成立问题.
【解析】方法一：令t=3x ,则问题转化为函数f(t)=t 2-mt+m+1对t ∈(1,+≦)的
图象恒在t 轴的上方，
即Δ=(-m)2
-4(m+1)<0或0m 1
21m 1m 0
∆≥⎧⎪⎪<⎨⎪-++≥⎪⎩， 解得
方法二：令t=3x
，问题转化为m<2t 1t 1+-,t ∈(1,+≦)，即m 比函数y=2t 1
t 1
+-,
t ∈(1,+≦)的最小值还小，
又y=2t 1
t 1
+-=t-1+2t 1-+2≥
22=+
所以
答案：【方法技巧】不等式恒成立的三种解法
(1)转化为求函数的最值.若函数f(x)在区间I 上有最大值和最小值.则不等式f(x)>a 在区间I 上恒成立⇔f(x)min >a.不等式f(x)≥a 在区间I 上恒成立⇔f(x)min ≥a.
不等式f(x)<a 在区间I 上恒成立⇔f(x)max <a.不等式f(x)≤a 在区间I 上恒成立⇔f(x)max ≤a.
(2)分离变量——在同一个等式或不等式中，将主元和辅元分离(常用的运算技巧).
(3)数形结合——凡是能与六种基本函数联系起来的相关问题，都可考虑该法. 12.【解析】由已知得y ′＝1x
－4，
所以当x ＝1时有y ′＝－3， 即过点P 的切线的斜率k ＝－3， 又y ＝ln1－4＝－4，故切点P(1，－4)， 所以点P 处的切线方程为
y ＋4＝－3(x －1)，即3x ＋y ＋1＝0. 答案：3x ＋y ＋1＝0
13.【解析】由分析可得， y ＝－1.818 2x ＋77.36，销量每增加1千箱，则单位
成本下降1.818 2元． 答案：1.818 2
14.【解题指南】解答本题的关键是求出数阵中第n(n ≥3)行的从左至右的第3个数是原正整数构成数列的第几项.
【解析】前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)＝n(n 1)2－个，即2n n
2
－个，因
此第n 行第3个数是全体正整数中第2n n 2－＋3个，即为2n n 6
2
－＋.
答案：2n n 6
2
－＋
15.【解析】2x-12=2
sin2x-12cos2x-1=sin(2x-6π)-1.
≨f(x)的最小值为-2，最小正周期为π. (2)≧f(C)=sin(2C-6
π
)-1=0,
即sin(2C-6π
)=1,
≧0<C<π,-6π<2C-6π<116π,≨2C-6π=2π,≨C=3
π
.
≧m 与n
共线，≨sinB-2sinA=0.
由正弦定理，
a b
sinA sinB
=,得b=2a, ① ≧c=3，由余弦定理，
得9=a 2+b 2-2abcos 3
π, ②
①②联立方程组，得a b ⎧=⎪⎨
=⎪⎩. 16.【解析】(1)设数列{a n }的公比为q(q>1),
由已知，得()()
123132a a a 7
a 3a 43a 2
++=⎧⎪⎨+++=⎪
⎩, 即1231
23a a a 7
a 6a a 7++=⎧⎨
-+=-⎩,
也即()()212
1a 1q q 7a 16q q 7
⎧++=⎪⎨-+=-⎪⎩， 解得1a 1q 2=⎧⎨=⎩或1
a 41q 2
=⎧⎪⎨=⎪⎩ (舍去),
故数列{a n }的通项公式为a n =2n-1. (2)由(1)得a 3n+1=23n , ≨b n =lna 3n+1=ln23n =3nln2, 又b n+1-b n =3ln2,
≨{b n }是以b 1=3ln2为首项，以3ln2为公差的等差数列 ≨T n =b 1+b 2+…+b n =()
1n n b b 2
+ =
()()n 3ln23nln23n n 1ln2
22
++=,
即T n =()3n n 12
+ln2.
17.【解析】(1)依题意，60及以上的分数在第三、四、五、六组，其频率和为(0.020+0.030+0.025+0.005)×10=0.80
所以，这次考试的及格率是80%.
(2)从95，96，97，98，99，100中抽取2个数的基本结果有：(95，96)，(95，97)，(95，98)，(95，99)，(95，100)，(96，97)，(96，98)，(96，99)，(96，100)，(97，98)，(97，99)，(97，100)，(98，99)，(98，100)，(99，100)，共15个.
如果这2个数恰好是两个学生的成绩，则这2个学生在［90，100］段，而［90，100］段的人数是60×(0.005×10)=3人，不妨设这3人的成绩是95，96，97. 则事件A：“2个数恰好是两个学生的成绩”包括的基本结果有：(95，96)，(95，97)，(96，97)，共有3个基本结果.
所以所求的概率为P(A)=31
=.
155
18.【解析】 (1)≧正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，DE⊥AD.
≨DE⊥平面ABCD，≨DE⊥BC，
≧AB=AD，
≨
=，
取CD的中点N，连结BN
则由题意知：四边形ABND为正方形
≨===,≨BD=BC,
≨BD2+BC2=CD2，则△BDC为等腰直角三角形.
则BD⊥BC，则BC⊥平面BDE，则BC⊥BE.
(2)取EC 中点M ，连结BM ，则有BM ∥平面ADEF. 证明如下：连结MN ， 由(1)知BN ∥AD ， 所以BN ∥平面ADEF ，
又因为M 、N 分别为CE 、CD 的中点，
所以MN ∥DE ，则MN ∥平面ADEF ，又MN ∩BN=N ， 则平面BMN ∥平面ADEF ，所以BM ∥平面ADEF.
19.【解题指南】(1)根据椭圆的定义或待定系数法求椭圆的方程；(2)证明直线l 与圆O 恒相交时，求出圆心O 到直线l :mx+ny=1的距离d ，再由点P(m,n)在椭圆C 上运动，证明d<1.求弦长的取值范围时，先将弦长用m,n 表示，再根据点P(m,n)在椭圆C 上，将n 用m 表示，最后根据m 的范围求出弦长的范围.
【解析】(1)方法一：设椭圆C 的标准方程为22
22x y a b
+=1(a>b>0)，由椭圆的定义
知：
=4,c=1,b 2=a 2-c 2=3.
得故椭圆C 的方程为22
x y 43
+=1.
方法二：设椭圆C 的标准方程为22
22x y a b
+=1(a>b>0),
依题意，a 2-b 2=1 ①，
将点M(1,32)代入得22
223()12a b
+=1 ②
由①②解得a 2
=4,b 2
=3，故椭圆C 的方程为22
x y 43
+=1.
(2)因为点P(m,n)在椭圆C 上运动，所以22
m n 43+=1，
则m 2
+n 2
>22
m n 43
+=1,
从而圆心O 到直线l :mx+ny=1的距离
<1=r.所以直线l 与圆O 相交.
直线l 被圆O 所截得的弦长为
L====≧0≤m 2≤4,≨3≤14
m 2+3≤4,
14≤21113m 34
≤+,
≨L 3≤≤20.【解题指南】(1)根据-2和2为方程f ′(x)=0的两根，求出m 、n 的值； (2)分点A 为切点和不为切点两种情况求解；(3)设点P(x 0,f(x 0))是曲线f(x)的切点，用x 0表示出曲线的切线，再由点A(1，t)在切线上寻求含有t 、x 0的方程，将x 0视为变量，t 视为参数，根据该方程有三个实根求t 的范围. 【解析】(1)由题意知：f ′(x)=3mx 2+4nx-12<0的解集为(-2,2). 所以,-2和2为方程3mx 2+4nx-12=0的根，由根与系数的关系知0=4n 3m -,-4=12
3m
-,即m=1,n=0.
(2)≧f(x)=x 3-12x,≨f ′(x)=3x 2-12,
≧f(1)=13-12×1=-11,
当A 为切点时，切线的斜率k=f ′(1)=3-12=-9, ≨切线为y+11=-9(x-1), 即9x+y+2=0;
当A 不为切点时，设切点为P(x 0,f(x 0))，这时切线的斜率是k=f ′(x 0)=32
0x -12，
切线方程为y-f(x 0)=f ′(x 0)(x-x 0)，
即y=3(20x -4)x-230x ,
因为过点A(1，-11)，所以有-11=3(20x -4)-230x ， ≨230x -320
x +1=0，(x 0-1)2(2x 0+1)=0, ≨x 0=1或x 0=12
-，而x 0=1为A 点的横坐标，
即P(147
28
-，)，
≨k=f ′(12-)=3×14-12=45
4
-,
切线方程为y+11=45
4
-(x-1),
即45x+4y-1=0,
所以，过点A(1，-11)的切线为 9x+y+2=0或45x+4y-1=0. (3)存在满足条件的3条切线.
设点P(x 0,f(x 0))是曲线f(x)=x 3-12x 的切点，则在P 点处的切线的方程为y-f(x 0)=f ′(x 0)(x-x 0),
即y=3(2
0x -4)x-230x ,
因为其过点A(1,t)，
所以t=3(20x -4)-230x =-230x +320x -12，
由于有三条切线，所以方程应有3个实根，
设g(x)=2x3-3x2+t+12，只要使曲线有3个零点即可．
设g′(x)=6x2-6x=0，≨x=0或x=1分别为g(x)的极值点，
当x∈(-≦,0)和(1,+≦)时，g′(x)>0,则g(x)在(-≦,0)和(1,+≦)上单调递增，当x∈(0,1)时，g′(x)<0,则g(x)在(0，1)上单调递减，
所以,x=0为极大值点，x=1为极小值点，
所以要使曲线与x轴有3个交点，
当且仅当
()
()
g00
g10
>
⎧⎪
⎨
<
⎪⎩
，即t120
t110
+>
⎧
⎨
+<
⎩
,解得-12<t<-11.。