专题二 第3讲 平面向量

变式训练 1 在△A BC 中， A、 B、 C 的对边分别是 a、 b、 c，且 AB AC BA BC (1)判断△ABC 的形状；
(2)若AB AC 2, 求边c的值.
解 (1) AB AC BA BC,
| AB | | AC | cos A | BA| | BC | cos B,
第 3 讲 平面向量 感悟高考 明确考向
（2010·天津）如图,在△A BC 中,A D ⊥A B ,BC 3 BD,
| AD | 1, 则AC AD
.
解析 设 BD＝a，则 BC＝ 3a，作 CE⊥BA 交 BA 的 延长线于 E，可知∠DAC＝∠ACE，在 Rt△ABD 中， 1 1 1 sin B＝ ＝ .在 Rt△BEC 中， CE＝BC· sin B＝ 3a·＝ BD a a 3， 3 ∴cos ∠DAC＝cos ∠ACE＝ . AC
(1)根据已知求 f(x)的解析式，再由三角函
数的单调性求 f(x)的单调递增区间； (2)由向量平行的充要条件求 tan x 的值； (3)a⊥b⇒a· b＝0，得到关于 x 的三角等式，进而求出 x 的最小值．
解 (1)f(x)＝2a· b－1＝2( 3sin xcos x＋cos2x)－1 ＝ 3sin 2x＋cos 2x π ＝2sin(2x＋ )． 6 π π π 由 2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋ ，k∈Z， 2 6 2 π π 得 kπ－ ≤x≤kπ＋ ，k∈Z. 3 6 π π ∴f(x)的单调递增区间为[kπ－ ，kπ＋ ]，k∈Z. 3 6 (2)由 a∥b，得 sin xcos x－ 3cos2x＝0， ∵b≠0，∴cos x≠0. ∴tan x－ 3＝0，∴tan x＝ 3.
1．向量的概念 (1)零向量模的大小为 0，方向是任意的，它与任意 非零向量都共线，记为 0. (2)长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量，a 的 a 单位向量为 . |a| (3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)． (4)如果直线 l 的斜率为 k，则 a＝(1，k)是直线 l 的 一个方向向量． (5)向量的投影：|b|cos〈a，b〉叫做向量 b 在向量 a 方向上的投影．
AD AC | AD | | AC | cosDAC
3 ＝AD· AC· ＝ 3. AC
答案 3
考题分析 易错提醒
本题考查平面向量的线性运算、平面向量
(1)不能把AC用AB、 AD线性表示 .
2
的数量积．题目为中档题难度．
(2)忽视 AB AD 0, AD 1.
主干知识梳理
2．向量的运算 (1)向量的加法、 减法、 数乘向量是向量运算的基础， 应熟练掌握其运算规律． (2)平面向量的数量积的结果是实数，而不是向 量．要注意数量积运算与实数运算在运算律方面的 差异，平面向量的数量积不满足结合律与消去 律．a· b 的运算结果不仅与 a，b 的长度有关，而且 也与 a，b 的夹角有关，即 a· b＝|a||b|· cos〈a，b〉 ． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件 若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则 a∥b ⇔a＝λb ⇔x1y2－x2y1＝0； a⊥b ⇔a· b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
∴c· bcos A＝c· acos B， 即 bcos A＝acos B. ∴sin Bcos A＝sin Acos B， ∴sin Acos B－sin Bcos A＝0， 即 sin(A－B)＝0. ∴A＝B，即△ABC 为等腰三角形．
(2)由(1)知 A B, AB的长为 AC在 AB上射影的 2倍. 又 AB AC 2, 即 | AB | | AC | cos A 2, 1 | AC | cos A | AB |, | AB | 2 | AB | 2, 即c的值为 2. 2
题型二 有关向量的平行、垂直问题 例 2 已知向量 a＝(sin x，cos x)，b＝( 3cos x，cos x) 且 b≠0，定义函数 f(x)＝2a· b－1. (1)求函数 f(x)的单调递增区间； (2)若 a∥b，求 tan x 的值； (3)若 a⊥b，求 x 的最小正值． 思维启迪
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题型一 平面向量的数量积及应用 例 1 已知|a|＝4，| b |＝3，(2 a－3 b)· (2 a＋b)＝61. (1)求 a 与 b 的夹角； (2)求| a＋b |；
(3)若AB a , AC b , 求△ABC 的面积.
思维启迪 (1)应用向量数量积的变形公式求解，即 a· b cos〈a，b〉＝ ； |a|| b | (2)应用公式| a＋b |＝ (a＋b)2即可求解； 1 (3)应用公式 S＝2| a || b |sin〈a，b〉求解，关键是求 sin〈a，b〉的值．
向量的数量积公式 → 向量的夹角 → 向量的模
解 (1)由(2a－3 b)· (2 a＋b)＝61， 得 4| a |2－4 a· b－3| b |2＝61， ∵| a |＝4，| b |＝3，代入上式得 a· b=－6， －6 a· b 1 ∴cos θ＝ ＝ ＝－ . 2 |a||b| 4×3 又 0° ≤θ≤180° ，∴θ＝120° . (2)| a＋b|2＝(a＋b)2 ＝| a |2＋2 a· b＋| b |2 ＝42＋2×(－6)＋32＝13， ∴| a＋b |＝ 13.
(3)由(1)知∠BAC＝θ＝120° ，
| AB || a | 4, | AC || b | 3, 1 S ABC | AC || AB | sin BAC 2
1 ＝ ×3×4×sin 120° ＝3 3. 2
探究提高 (1)准确利用两向量的夹角公式 cos〈a，b〉 a· b ＝ 及向量模的公式|a|＝ a· a. | a ||b| (2)在涉及数量积时，向量运算应注意 ①a· a＝0，未必有 a＝0 或 b＝0； ②| a· b|≤| a ||b|.