微积分一练习题及答案

微积分一练习题及答案Newly compiled on November 23, 2020

《微积分（1）》练习题

一． 单项选择题

1．设()0x f '存在，则下列等式成立的有（ ） A ． ()()()0000

lim

x f x x f x x f x '=∆-∆-→∆ B ．()()

()0000lim x f x

x f x x f x '-=∆-∆-→∆

C ．()()()0000

2lim

x f h x f h x f h '=-+→ D ．()()()00002

1

2lim x f h x f h x f h '=-+→

2．下列极限不存在的有（ ）

A ．201

sin lim x

x x → B ．12lim 2+-+∞→x x x x

C ． x

x e

1

lim → D ．()

x

x x

x +-∞

→6

3

2

21

3lim

3．设)(x f 的一个原函数是x e 2-，则=)(x f （ ） A ．x e 22-- B ．x e 2- C ．x e 24- D ． x xe 22--

4．函数⎪⎩⎪

⎨⎧>+=<≤=1,11,110,2)(x x x x x x f 在[)+∞,0上的间断点1=x 为（ ）间断点。

A ．跳跃间断点；

B ．无穷间断点；

C ．可去间断点；

D ．振荡间断点

5． 设函数()x f 在[]b a ,上有定义，在()b a ,内可导，则下列结论成立的有（ ） A ． 当()()0

f x f x ；

C ．

当()()b f a f =时，至少存在一点()b a ,∈ξ，使()0='ξf ；

D ．至少存在一点()b a ,∈ξ，使()()()()a b f a f b f -'=-ξ；

6． 已知()x f 的导数在a x =处连续，若()1lim

-=-'→a

x x f a

x ，则下列结论成立的有（ ） A ．a x =是()x f 的极小值点； B ．a x =是()x f 的极大值点； C ．()()a f a ,是曲线()x f y =的拐点；

D ．a x =不是()x f 的极值点，()()a f a ,也不是曲线()x f y =的拐点； 二． 填空：

1．设⎪⎭⎫ ⎝

⎛

=x f y 1arcsin ，f 可微，则()='x y

2．若32325-+-=x x x y ，则()=6y

3．过原点()1,0作曲线x e y 2=的切线，则切线方程为 4．曲线()2142

-+=

x x y 的水平渐近线方程为 铅垂渐近线方程为

5．设x x f +='1)(ln ，则()='x f ()=x f 三． 计算题：

（1）321lim 221-+-→x x x x （2）3

2lim +∞→⎪⎭

⎫

⎝⎛-x x x x

（3）x

x x x 3sin )1ln(lim 20+→ （4）()[]221ln x y -= 求dy

（5）053=-+x y e

xy

求

=x dx

dy

四． 试确定a ，b ，使函数()()⎩⎨⎧<-≥+++=0,10

,2sin 1x e x a x b x f ax

在0=x 处连续且可导。 五． 试证明不等式：当1>x 时，()

e xe 2

1

e x e x x +<<⋅ 六． 设()()()()a x a

x a f x f x F >--=

,

，其中()x f 在[)+∞,a 上连续，()x f ''在()+∞,a 内存

在且大于零，求证()x F 在()+∞,a 内单调递增。

《微积分》练习题参考答案

七． 单项选择题

1．（ B ）2．（ C ）3．（ A ）4．（ C ） 5．（ B ）6．（ B ） 八． 填空：（每小题3分，共15分） 1． ⎪⎭⎫ ⎝⎛

'--

x f x x 1arcsin 11

2

2． ()06=y 3． 12+=x y 4． 2-=y ， 0=x

5． ()x e x f +='1，()c e x x f x ++=

三,计算题：（1）321lim 221-+-→x x x x （2）3

2lim +∞→⎪⎭⎫

⎝⎛-x x x x

（3）x

x x x 3sin )1ln(lim 20+→ （4）()[]221ln x y -= 求dy

（5）053=-+x y e

xy

求

=x dx

dy

又10-=⇒=y x （

九． 试确定a ，b ，使函数()()⎩

⎨⎧<-≥+++=0,10

,2sin 1x e x a x b x f ax

在0=x 处连续且可导。 （8分）

解：()()[]22sin 1lim 000

++=+++=++→b a a x b f x

()[]

01lim 000

=-=--→ax x e f ， 函数()x f 在0=x 处连续()()0000-=+f f 02=++b a ，

（1）

函数()x f 在0=x 处可导()()00-+'='f f ，故b a = （2） 由（1）（2）知1-==b a