高等数学BII复习题(附答案版)

阿贝尔定理：

an x n
n 0
①：如果 x x1 时， an x n 收敛
n 0

则当 x x1 时， an x n 绝对收敛，其中 x1 0
n 0
②：如果 x x2 时， an x n 发散，
n 0
则当 x x2 时， an x n 发散
5、函数 z f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 可微，是函数 z f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 各偏导数存在的 （ A ） A、充分但不必要条件; C、必要但不充分条件； B、充分必要条件； D、既非充分也非必要条件.
解：可微→偏导数存在， 但是偏导数存在，不一定可微 6、函数 u x y y x ，则 A、 y x ln y yx y 1 ； 解：
n 0
复习例题如下
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4
一、单项选择题 1、由两条抛物线 y 2 x 和 y x 2 所围成的图形的面积为（
2 A、 0 ( x x )dx 1 2 B、 0 (x x )dx 1 2 C、 -1 (x x )dx 1
则 原式 L P ( x, y ) dx Q( x , y ) dy (
D
Q P )dxdy (2)dxdy 2 1dxdy x y D D
2 9 18
又圆的半径 R=3，圆面积 D= R 2 =9π，故 1dxdy 9
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5
3、直线 x 3
2
y4 z 与平面 4 x 2 y 2 z 3 的关系是( 7 3
A
)
A、平行，但直线不在平面上； C、垂直相交； 解：
B、直线在平面上； D、相交但不垂直.
(2,7,3) n1 直线方向向量： (4,2,2) n2 平面法向量：
二、二重积分与曲线积分： ① 1dxdy D 的面积
D
② L1ds L 的长度
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2
③格林公式： L P( x, y )dx Q ( x, y )dy (
D
Q P )dxdy 其中 L 为闭曲线且取正 x y
莱布尼茨判别法： (1) n U n 其中 U n >0 如果 U n U n1 幂级数： ①定义： an ( x x0 ) n ，特殊形式，当 x0 0 时， an x n
n 0 n 0
n
lim U n 0 则 (1) n U n 收敛
n 1
D
9、设 L 为左半圆周 x 2 y 2 R 2 ( x 0) , 将曲线积分 L (3 x 2 4 y 2 )ds 化为定积分的正 确结果是(
0
D
) B、 R 3 (3cos2 t 4 sin 2 t )dt ； D、 R3 (3cos 2 t 4sin 2 t )dt .
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3
U n >0
Vn >0 如果 lim
Un 0 则 U n 与 Vn 具有相同的敛散 其中， n V n 1 n 1 n
性。 比值判别法： U n
n 1
U lim n 1 n U n
2 3 2
0
A、 R 3 (3cos 2 t 4 sin 2 t )dt ； C、 0 R (3cos t 4 sin t )dt ；
3 2 2
解：圆的参数方程
x R cos t y R sin t
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A1 x B1 y Cz1 D1 0 A2 x B2 y C2 z D2 0
过该直线的平面束方程：
x x0 y y0 z z0 其中（A,B,C）为方向向量， （ x0, y0 , z0 ）为直 A B C
A1 x B1 y C1 z D1 ( A2 x B2 y C2 z D2 ) 0
C ）. D、
1 f x ( x0 , y0 ) 2
A、 f x ( x0 , y 0 ) ;
lim
B、 f x (2 x 0 , y 0 ) ;
C、2 f x ( x 0 , y 0 ) ;
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) f ( x0 , y0 ) f ( x0 x , y0 ) x 0 x f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) 解： lim x 0 x x 2 f x ( x0 , y0 )
7
(3x
L 3 2 2 3
2
4 y 2 )ds
(3R 2 cos 2 t 4 R 2 sin 2 t ) x 2 y 2 dt
则 2 R 2 (3 cos2 t 4 sin 2 t ) R 2 sin 2 t R 2 cos 2 t dt
2 3
2 R 2 (3 cos 2 t 4 sin 2 t )Rdt
1 : 发散 1 : 收敛 1 : 不确定

例：

(1) n1 ：发散 n n 1

cos
n 1
1 ：发散 n

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n 1
n
1
：发散
(1)
n 1
n
sin
1 ：收敛 n

sin n ：发散
n 1 n 1
1

n 1
(1) n ：绝对收敛 n (n 1)
2
解：积分区域前半部分由 y=1 和 x=2y 围成，后半部分有 1≤y≤3 和 x=3-y 围
成，总的区域面积 如图三角形部分，故其积分为 0 dx x ( x , y )dy
2 2 3 x
8、设 l 取圆周 x 2 y 2 9 的正向，则曲线积分 ( 2 xy 2 y )dx ( x 2 4 x )dy （
则有转换公式，L f ( x, y )ds f [ (t ), (t )] 2 (t ) 2 (t )dt 将曲线积分转换为定积 分。 注意 1、用积分路径的参数方程去代换被积函数的自变量； 2、用 2 (t ) 2 (t )dt 替换 ds 3、 “换元的同时要换限”---将积分路径的两端点所对应的参数值分 别作为右边定积分的积分限（其中较小的作为积分下限） 。 三、无穷级数： 常见函数的收敛性： ① (1)i 1 1 1 ..... ：发散
n 0
A、在 x 4 处级数发散； C、在 x 4 处级数条件收敛； 解：把 x-1 看成一整体， x=5 发散
B、在 x 3 处级数绝对收敛； D、在 x 4 处级数绝对收敛. 可以得出 x-1=4 发散
从而 x 1 4 x 5或x 3 故得 A 正确 12、微分方程
向 ④设函数 f ( x, y) 在分段 光滑曲线 L 上连续 ，曲线 L 的方程 为
x (t ), y (t ),
t ，其中 (t ), (t ) 在 [ , ] 上具有一阶连续的导数，且 2 (t ) 2 (t ) 0 ，
dy 2 y 的通解为( dx
2
C ) C、 y Ce 2 x ； D、 y e x C .
2
A、 y e 2 x C ； 解：
l
C
）

A、 2 ；
B、 9 ；
Q( x , y ) x 2 4 x
Q 2x 4 ， x
C、 18 ；
P( x , y ) 对 y 求偏导数得
D、 36
P 2x 2 y
解： p( x , y ) 2 xy 2 y
Q( x , y ) 对 x 求偏导数得
A ）
2 D、 -1 ( x x )dx 1
2、由相交于点( x1 , y1 )及 ( x 2 , y 2 ) (其中 x1 x 2 )的两曲线 y f ( x ) 0 ， y g ( x) 0 所 围图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体体积 V 是（ B A、 x
x2
2 3
2 R 3 (3 cos 2 t 4 sin 2 t )dt
2
10、闭区域 D 是由简单闭曲线 L(正向)所围，下列积分不等于 D 面积的积分是 （
C ）
A、
1 xdy ydx 2 L

B、 L xdy
C、 L ydx
D、 L ydx A )
11、已知幂级数 a n ( x 1) n 在 x 5 处发散，则下列结论正确的是(
2 2 3 y 1 3 x
C ）
B、 0 dx x ( x , y )dy ;
2
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x
C、 0 dx x ( x , y )dy ;
2
2
3 x
D、 0 dx 32 x ( x , y )dy .
1 2y
u （ x
A ） C、 x y y x ； D、 yx y 1 xy x 1 .
B、 x ln x y ln y ；
u yx y 1 y x ln y x
3 3 y
7、 I 0 dy 0 ( x , y )dx 1 dy 0 ( x , y )dx 交换次序后得（ A、 0 dx y ( x , y )dy ;
i 1

② ..... ：
1 ③ p i 1 i

1 1 1 1 1 2 3 i 1 i
发散
（P>0）
P 1：发散 P 1：发散 P 1：收敛

比较判别法： U n
n 1

V
n 1
n
① U 发散： U V Vn发散 n n n n 1 n 1 ② U 收敛：U V V 收敛 n n n n n 1 n 1
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注： 为重点题型，本复习题答案均为个人的拙见，可能存在 bug，仅供参考。 在原有复习题的基础上，添加了几道可能会考到的基础题，如有错误存在请与 发行人郭强联系，或自行纠正，祝考试愉快，禁止转载！ 重难点知识点汇总如下： 一、平面方程与直线方程 （A,B,C） 为法向量， （ x0, y0 , z0 ） ①平面方程：A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0 其中 为平面上一点。 ②直线方程： 线上一点。 ③性质： ①数量及为零 两个向量垂直 ②向量积为零 两个向量平行 ④平面束方程： 已知直线一般方程
又 n1 n2 2 4 (2) (7) 3 (2) 0 直线上一点（-2，-7,3）带入平面中不成立，故其关系为平行。
lim 4、设 f x ( x 0 , y 0 ) 存在，则 x
0
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 x , y0 ) =（ x
1
）
[ f ( x ) g ( x )]2 dx ；
B、 x [ f 2 ( x) g 2 ( x)]dx
1
x2
C、 x [ f ( x)]2 dx x [ g ( x)]2 dx ；
x2
1
x2
1
x D、 x [ f ( x) g ( x)]dx .
2 1