单自由度动力学建模
单自由度机械动力学分析方法——动态静力法
２
《
关键词： 单自由度； 动力学； 动态静力法； 连杆机构
２
【 ｂｔ ｃ】 ｉ ｌｄｇｅ ｏ ｒ ｄｍｍ ｃ ｉ ｒ ｉａ ａｓ ｓｄ ｎ ｅ ｐｏ ｕｉ ． ｉ ｔ ｓ ｔ ａ ｓ Ａ ｓ ａｔ Ｓ ｇ ｅ ｅｆ ｅ ｏ ａｈ ｅ ｌ ｙ ｕｅ ａ ｒ ｃ ｇＫｎ ｏ ｔ ｉａｌ ｉ ｒ ｎ ｅ ｒ ｆ ｅ ｎ ｙｓ ｗ ｉ ｒ ｌ ｄ ｎ ｅ － ａｃ ｎ ｙ ｓ《
： 罗阿妮 １ 邓 宗全 刘荣强 ， ２
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’・ 卜
（哈尔滨工业大学 机 电工程学 院 ， 尔滨 １００ ） 哈尔滨工程大 学 机电工程学 院 ， 哈 ５０ １（ 哈尔滨 １００ ） ５０ １
Ｋｉｅ ｏ ｓ ａ ｉ ｎ ｌｓｓ ｏ ｎ ｅ ｒ ｅ ｏ ｒ ｅ ｏ ｍａ ｈｎ ｒ ｙ ａ ｃ ｎ ｔ — ｔ ｔ ａ ａｙ ｉ ｆｏ ｅ ｄ ｇ ｅ ｆ ｅ ｄ ｍ ｃ ｉｅ ｙ ｄ ｎ ｍｉｓ ｃ ｆ
２ 《
础、 分析方法， 以及运用该方法解决典型连杆机构动力学问题。
１ 动态静力法的理论基础
１１ 论 基础 ．理
间的动力学关系 ， 则必须借助典力学即牛顿力学的基础之上。 通过对 运动几何关系可以建立起机构内部各个构件之间的运动位移关系， 加 于机械系统中的单独构件进行受力分析 ， 运用构件加速度与合外 对该位移关系式进行求导即可得到机构内部构件之间运动速度 、
２
【 要】 由 摘 单自 度机械在生产实 经常 践中 遇到， 其动力学 对于 分析方法中的 静力法 动态 进行了系 ２
２ 统的介绍。 给出了 使用该方法进行动力学分析的详细步骤。 通过用该方法来解决典型的反正弦连杆机械 ｉ ５ 系统动力学问题， 进一步阐述了该方法在进行机械动力学分析过程中的运用。 ５
机械振动学_第二章单自由度振动系统
第二章单自由度系统振动§1-1 概述单自由度系统的振动理论是振动理论的理论基础。
(1)尽管实际的机械都是弹性体或多自由度系统，然而要掌握多自由度振动的基本规律，就必须先掌握单自由度系统的振动理论。
此外，(2)许多工程技术上的具体振动系统在一定条件下，也可以简化为单自由度振动系统来研究。
[举例如下：]例如：(1)悬臂锤削镗杆；(2)外圆磨床的砂轮主轴；(3)安装在地上的床身等。
[力学模型的简化方法]若忽略这些零部件中的镗杆、主轴和转轴的质量，只考虑它们的弹性。
忽略那些支承在弹性元件上的镗刀头、砂轮、床身等惯性元件的弹性，只考虑它们的惯性。
把它们看成是只有惯性而无弹性的集中质点。
于是，实际的机械系统近似地简化为单自由度线性振动系统的动力学模型。
在实际的振动系统中必然存在着各种阻尼，故模型中用一个阻尼器来表示。
阻尼器由一个油缸和活塞、油液组成。
汽车轮悬置系统等等。
[以上为工程实际中的振动系统]单自由度振动系统——指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。
所有的单自由度振动系统经过简化，都可以抽象成单振子，即将系统中全部起作用的质量都认为集中到质点上，这个质点的质量m 称为当量质量，所有的弹性都集中到弹簧中，这个弹簧刚度k称为当量弹簧刚度。
以后讨论中，质量就是指当量质量，刚度就是指当量弹簧刚度。
在单自由度振动系统中，质量m、弹簧刚度k、阻尼系数C是振动系统的三个基本要素。
有时在振动系统中还作用有一个持续作用的激振力P。
应用牛顿运动定律，作用于一个质点上所有力的合力等于该质点的质量和该合力方向的加速度的乘积。
（牛顿运动定律）（达伦培尔原理）现取所有与坐标x 方向一致的力、速度和加速度为正，则：kx x C t P xm --= ωsin 0 (牛顿运动定律) （达伦培尔原理：在一个振动体上的所有各力的合力必等于零） （动静法分析：作用在振动体上的外力与设想加在此振动体上的惯性力组成平衡力系）上式经整理得，t P kx x C xm ωsin 0=++ （2.1） 该式就是单自由度线性振动系统的运动微分方程式的普遍式。
结构动力学单自由度
m3
例如： 例如：
m
m1
m2
mk
mN
− m1&&1 x x − m2&&2 − mk &&k x
x − mN &&N
2. 广义坐标法
假定具有分布质量的结构在振动时的位移曲线可用一系列 规定的位移曲线的和来表示： 规定的位移曲线的和来表示：
适用于质量分布比较均 匀，形状规则且边界条 件易于处理的结构。 件易于处理的结构。 例如： 例如：右图简支梁的变 形可以用三角函数的线 性组合来表示。 性组合来表示。
结构的自由振动与受迫振动 结构的自由振动与受迫振动
y
y
t
t
定义
结构受外部干扰后发生振动，而在干扰消失后继续振动， 结构受外部干扰后发生振动，而在干扰消失后继续振动， 这种振动称为结构的自由振动 自由振动。 这种振动称为结构的自由振动。 如果结构在振动过程中不断地受到外部干扰力作用， 如果结构在振动过程中不断地受到外部干扰力作用，这种 振动称为结构的强迫振动 又称受迫振动 强迫振动， 振动称为结构的强迫振动，又称受迫振动 。
结构的动力特性
数学模型
承受动力荷载的结构体系的主要物理特性： 承受动力荷载的结构体系的主要物理特性： 质量、弹性特性、阻尼特性、 质量、弹性特性、阻尼特性、外荷载 在最简单的单自由度体系模型中， 在最简单的单自由度体系模型中，所有特性都假定集结于 一个简单的基本动力体系模型 基本动力体系模型内 一个简单的基本动力体系模型内，每一个特性分别由一个 具有相应物理特性的元件表示： 具有相应物理特性的元件表示：
与结构静力学相比，动力学的复杂性主要表现在： 与结构静力学相比，动力学的复杂性主要表现在： • 动力问题具有随时间而变化的性质； 动力问题具有随时间而变化的性质； • • • • 数学解答不是单一的数值，而是时间的函数； 数学解答不是单一的数值，而是时间的函数； 惯性力是结构内部弹性力所平衡的全部荷载的一个重要部 分！ 引入惯性力后涉及到二阶微分方程的求解； 引入惯性力后涉及到二阶微分方程的求解； 需考虑结构本身的动力特性：刚度分布、质量分布、 需考虑结构本身的动力特性：刚度分布、质量分布、阻尼 特性分布的影响； 特性分布的影响；
单自由度模态分析理论
要点二
非线性模态分析的研 究
目前，大多数模态分析研究都集中在 线性系统上。然而，在许多工程应用 中，非线性因素对结构振动的影响是 不可忽视的。因此，未来可以进一步 研究非线性模态分析方法，以更准确 地描述这些非线性效应。
要点三
智能材料和结构的应 用
随着智能材料和结构的发展，它们在 许多领域的应用越来越广泛。这些材 料和结构具有独特的动态特性，需要 新的模态分析方法来描述。因此，未 来的研究可以探索适用于智能材料和 结构的模态分析方法。
背景
随着工程结构的日益复杂化，模态分析在结构健康监测、振 动控制、地震工程等领域的应用越来越广泛。单自由度模态 分析作为模态分析的基础，为多自由度模态分析提供了理论 支持。
模态分析的定义
模态
模态是结构的固有振动特性，包 括频率、阻尼比和振型。
模态分析
模态分析是通过试验或数值方法 识别结构的模态参数的过程。
模态振型之间具有正交性， 即不同模态的振动不会相 互干扰。
选择性
在实际工程中，可以根据需要 选择特定的模态进行分析，以 简化计算和提高分析效率。
Part
03
单自由度系统的01
激振器激励
STEP 02
自由衰减振动
通过激振器对系统施加激励 ，使其产生振动响应，然后 采集响应信号进行分析。
04
单自由度系统的模态特性分析
模态正交性分析
模态正交性是指在模态空间中，不同的模态之间相互独立， 没有耦合关系。在单自由度系统中，模态正交性表现为各模 态振型函数的正交性，即它们的内积为零。
模态正交性的意义在于，它使得各模态之间互不干扰，各自 独立地响应外部激励，从而使得系统的响应可以通过叠加各 模态的响应得到。
第一章单自由度机械系统动力学建模解析
静力分析（static） 动态静力分析(kinetio-static) 动力分析(dynamic) 弹性动力分析(elastodynamic)
1 静力分析
对低速机械，运动中产生的惯性可以忽略不计，对机 械的运动过程中的各个位置，可以用静力学方法求出 为平衡载荷而需在驱动构件上施加的驱动力或力矩， 以及各运动副中的约束反力，可用此进行原动机功率 的计算、构件和运动副承载能力的计算。
v32
(M1
1
v3
F3 )v3
me
n i 1
mi
vsi v
2
等 J效si质 量vi
2 me
Fe
n i 1
Fi
程,其维数等于机构的自由度数目; 另一类是含运动副约束反力的代数与微分混合型
方程,其维数大于机构的自由度数目。
机构动力学分析的发展与现状
建立复杂机构动力学模型的常用力学方法有: * 牛顿-欧拉(Newton-Euler)法 * 拉格朗日(Lagrange)法 * 虚功原理法 * 凯恩(Kane)法 * 旋量法和R-W法等。
机械系统动力学
绪论
机械系统动力学是应用力学的基本理论解决 机械系统中动力学问题的一门学科，其核心 问题是建立机械系统的运动状态与其内部参 数、外部条件之间的关系，找到解决问题的 途径
三体机械臂
可伸展卫星太阳能电池板
汽车
五轴并联机床
机械动力学研究内容 ：
机械原理由三部分组成：
机械结构学、机构运动学和机械动力学
4 弹性动力分析
随着机械系统向高速轻质化发展，构件的柔度加大，惯 性力急剧加大，构件的弹性变形可能给机械的运动输出 带来误差。机械系统柔度 系统的固有频率 ，机械 运转速度 激振频率 可能会发生共振，破坏运动精度 ，影响疲劳强度，引发噪声。
单自由度齿轮系统非线性动力学特性分析
单 自 由 度 齿 轮 系 统 非 线 性 动力 学 特 性 分 析
苏 程, 黄 志 丹
兰 州 交 通 大 学 机 电 工 程 学 院, 兰 州 730070 摘 要: 建 立 了 综 合 考 虑 齿 侧 间 隙、时 变 啮 合 刚 度、综 合 啮 合 误 差 等 因 素 的 直 齿 轮 副 的 单 自 由 度 非 线 性 动
则无量纲化的动载荷为
Hale Waihona Puke x ˙ 2 = Fm + Fa cos ωn t−
(8)
(1 − ε cos ωn t)f (x1 ) − 2ξx2 ,
选 取 无 量 纲 化 的 参 数 值 为 Fm = 0.05, Fa = 0.1, ε = 0.2, ωn = 1.5, 固 定 其 值 不 变, 并 取 初 始 条 件 x1 = 0, x2 = 0. 改 变 阻 尼 比 ξ 的 值, 分 析 系 统 在 不 同 齿 侧 间 隙 下 的 动力 学 特 性. D = 0.1 时 系 统 无 量 纲 化
p = (1 − ε cos ωn t)f (x1 ).
根 据 牛 顿 第 二 定 律, 可 得 到 图 1 所 示 系 统 运 动 微 分 方 程: ˙2 − e ˙1 − Rb2 θ ¨1 + cg Rb1 (Rb1 θ ˙ (t))+ I1 θ k (t)R f (R θ − R θ − e(t)) = T ,
和 轴 向 弹 性 变 形 以 及 支 承 系 统 的 弹 性 变 形 等 因 素, 采 用 集 中 质 量 法[13] 可 建 立 如 图 1 所 示 的 齿 轮 副 扭 转 振 动分 析 模 型.
¯(t) = 其 中: 无 量 纲 阻 尼 ξ = cg /(2mωn ); 无 量 纲 刚 度 k 2 2 ¯m = Fm /(mbc ω ); 无 量 纲 k (t)/(mωn ); 无 量 纲 载 荷 F n
单自由度系统(自由振动)
第二章 单自由度系统的自由振动本章以阻尼弹簧质量系统为模型,讨论单自由度系统的自由振动。
§2-1 无阻尼系统的自由振动无阻尼单自由度系统的动力学模型如图1.1所示。
设质量为m ，单位是kg 。
弹簧刚度为K ，单位是N ／m ，即弹簧单位变形所需的外力。
弹簧在自由状态位置如图中虚线所示。
当联接质量块后，弹簧受重力W=mg 作用而产生拉伸变形∆：，同时也产生弹簧恢复力K ∆，当其等于重力W 时，则处于静平衡位置，即 W=K ⋅∆若系统受到外界某种初始干扰，使系统静平衡状态遭到破坏．则弹簧力不等于重力，这种不平衡的弹性恢复力，便使系统产生自由振动。
首先建立座标，为简便起见，可选静平衡位置为座标原点，建立铅垂方向的座标x ，从原点算起，向下为正，向上为负，表示振动过程中质量块的位置。
现设质量m 向下运动到x ，此时弹簧恢复力为K(∆+x)，显然大于重力W ，由于力不平衡，质量块在合力作用下，将产生加速度运动，故可按牛顿运动定律(作用于一个质点上所有力的合力，等于该质点的质量和沿合力方向的加速度的乘积)，建立运动方程，取与x 正方向一致的力、加速度、速度为正，可列如下方程 改写为 0=+kx xm (1-1-1 令mkp =2(1-1-2)单自由度无阻尼系统自由振动运动方程为02=+x p x(1-1-3)设方程的特解为 ste x =将上式代入(1-1-3)处特征方程及特征根为ips p s ±==+2,1220则(1-1-3)的通解为ptD pt C e C e C x ipt ipt sin cos 11+=+=- (1-1-4)C 、D 为任意积分常数，由运动的初始条件确定，设t=0时00,x xx x == （1-1-5）()x m x k W F=+∆-=∑量位静平衡位置 一自由度弹簧—质量系统 ∆==k mgW xx)则pt pxpt x x sin cos 00 += （1-1-6）经三角变换，又可表示为)sin(α+=pt A x（1-1-7）其中 001220,x px tg p x x A -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=α （1-1-8） 自由振动的振幅A 和初相位角α与系统的参数和初始条件有关。
单自由度体系自由振动,速度相位与位移相位的关系
单自由度体系（Single Degree of Freedom System, SDOF）是工程动力学中的一个重要概念，它对于描述系统的振动特性有着重要的作用。
在自由振动过程中，速度相位与位移相位之间存在着密切的关系。
本文将从单自由度体系自由振动的基本原理入手，探讨速度相位与位移相位之间的关系，希望通过本文的介绍，读者能够对这一问题有更加清晰的认识。
一、单自由度体系自由振动的基本原理1. 自由振动的基本概念自由振动是指在没有外界干扰的情况下，系统在一定的初位移或初速度作用下，由于其自身的惯性和弹性特性而产生的振动现象。
在工程领域中，自由振动是一种非常常见的振动形式，因此研究自由振动对于工程设计和分析有着重要的意义。
2. 单自由度体系的定义单自由度体系是指系统中只有一个自由度可以自由变化的体系。
在动力学领域中，单自由度体系被广泛应用于描述各种机械、土木和航空航天结构的振动特性。
它是一种简化模型，但对于许多实际工程问题的分析具有较高的适用性。
3. 自由振动的基本方程单自由度体系的自由振动可以通过一阶微分方程来描述。
其基本方程可以表示为：\[m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0\]其中，\(m\)为系统的质量，\(c\)为系统的阻尼系数，\(k\)为系统的刚度，\(x\)为系统的位移函数，\(t\)为时间。
二、速度相位与位移相位的定义1. 速度相位的定义在振动过程中，速度相位是指速度\(v\)相对于位移\(x\)的相位差。
通常用一个角度来表示，它可以用来描述振动的快慢和超前滞后关系。
2. 位移相位的定义位移相位是指位移\(x\)相对于某一固定参考点的相位差。
它也通常用一个角度来表示，可以用来描述振动的相对位置。
三、速度相位与位移相位的关系速度相位与位移相位之间存在着密切的关系。
在自由振动过程中，它们之间满足以下关系：\[tan(\phi_v-\phi_x)=\frac{2\zeta}{1-\omega^2}\]其中，\(\phi_v\)为速度相位，\(\phi_x\)为位移相位，\(\zeta\)为系统的阻尼比，\(\omega\)为系统的固有频率。
单自由度机械系统动力学
•位移和转角叫广义坐标， •速度和角速度叫广义速度。
vk
,
j
; vk v
, j v
称为传动速比。
12
Confucius said: “A gentleman neither worries nor fears.”
v
13
Confucius said: “A gentleman neither worries nor fears.”
for(i=0;i<37;i++)
{
phi1=i*h;
//Euler(double phi1);
Runge_Kutta(phi1);
printf("%3.0f %8.3f\n",phi1*180/pi,omega10);
omega10=omega1;
}
}
66
欧拉法：
void Euler(double phi1) {
❖ 研究方法： 等效力学模型
2
2.2 驱动力和工作阻力
2.2.1 系统受力 主要受力有：驱动力、惯性力、工作阻力、介质阻
力、重力和摩擦阻力等。 ❖驱动力：原动机产生的力，做正功。
驱动力的变化规律为：１）常数；２）是位移的函 数；３）是速度的函数。 ❖工作阻力：工作构件的阻力，做负功。
工作阻力的变化规律为：１）常数；２）是位移的 函数；３）是速度的函数；４）是时间的函数。
#define pi 3.1416
#define h 10*pi/180
30
double l1,l2,ls2,e,J01,J2,m2,m3;
double phi1,Je,dJe,omega1,Vc;
int i;
第1章 单自由度系统的振动
第1章 单自由度系统的振动1.1概述机械振动是工程中常见的物理现象。
悬挂在弹簧上的物体在外界干扰下所作的往复运动就是最简单直观的机械振动。
广泛地说，各种机器设备及其零部件和基础，都可以看成是不同程度的弹性系统。
例如桥梁在车辆通过时引起的振动，汽轮机、发电机由于转子不平衡引起的振动等。
因此，机械振动就是在一定的条件下，振动体在其平衡位置附近所作的往复性的机械运动。
实际中的振动系统是很复杂的。
为了便于分析研究和运用数学工具进行计算，需要在满足工程要求的条件下，把实际的振动系统简化为力学模型。
例如图示1.1-1就是个最简单的单自由度质量(m )—弹簧(k )系统。
如果实际系统很复杂，要求的精度较高，简化的力学模型也就复杂。
振动系统中和参数的动态特性，可以用常系数线性微分方程来描述的，称为线性振动。
但工程实际中也有很多振动系统是不能线性化的，如果勉强线性化，就会使系统的性质改变，所得的系统只能按非线性振动系统处理。
机械振动分析方法很多。
对于简单的振动系统，可以直接求解其微分方程的通解。
由于计算机进行数值计算非常方便，所以振动仿真是一种最直接的方法。
由于振动模型中尤其是多自由度振动很方便用矩阵微分方程来描述，所以MATLAB 语言在振动仿真中体现出十分优越的特性。
本章先介绍机械振动的单自由度、多自由度振动的基础，然后介绍仿真计算的各种计算公式，最后通过MATLAB 语言来实现。
1.2单自由度系统的振动1.2.1 无阻尼自由振动如图1.1-1所示的单自由度振动系统可以用如下微分方程描述：0=+kx xm (1.2.1-1) 令mkn =2ω ，方程的通解为t b t a x n n ωωcos sin += (1.2.1-2)式(1.2.1-2)表示了图示(1.1-1)中质量m 的位置随时间而变化的函数关系，反映了振动的形式与特点，称为振动函数。
式(1.2.1-2)中，a 、b 为积分常数，它决定于振动的初始条件。
机械系统动力学课程简介及大纲
课程内容简介课程中文名称：机械系统动力学课程英文名称：Dynamics of mechanical system开课单位：机电工程学院任课教师及职称(3名以上)：开课学期：学分：总学时：适用专业：机械制造及其自动化课程内容简介（400字以内）：本课程介绍机械系统中常见的动力学问题、机械动力学问题的类型和解决问题的一般过程，讲述刚性机械系统的动力学分析与设计；机构惯性力平衡的原理与方法；含弹性构件的机械系统的动力学；含柔性转子机械的平衡原理与方法；含间隙副机械的动力学；含变质量机械系统动力学以及机械动力学数值仿真数学基础以及相关软件的仿真实例讲解。
通过本课程的学习，使学生能从系统的角度和动力学的观点了解机械产品动态设计的基础知识，掌握当前机械动力学分析的基本方法，学会运用机械多刚体动力学进行复杂机构的动力学分析与综合运用机械弹性动力学和多柔体系统动力学方法对各类典型机构进行弹性动力分析及综合，具备分析和解决工程实际问题的能力。
教材及主要参考书目：1.杨义勇.机械系统动力学.北京: 清华大学出版社，2009.2.陈立平,张云清,任卫群等.机械系统动力学分析及ADAMS应用教程.北京：清华大学出版社，2005.3.徐业宜.高等学校试用教材.北京：机械工业出版社,1991.4.蒋伟.机械动力学分析.北京：中国传媒大学出版社,2005.5.邵忍平. 机械系统动力学.北京：机械工业出版社,20056.唐锡宽,金德闻.机械动力学.北京:高等教育出版社,1983.课程教学大纲课程中文名称：机械系统动力学课程英文名称：Dynamics of mechanical system学分和学时分配：教学目的：本课程着重培养学生对复杂机械系统动力学建模及分析的能力。
通过本课程学习，要求学生掌握当前机械动力学分析的基本方法，学会运用机械多刚体动力学进行复杂机构的动力学分析与综合运用机械弹性动力学和多柔体系统动力学方法对各类典型机构进行弹性动力分析及综合，具备分析和解决工程实际问题的能力。
弹簧-质量-阻尼实验指导书
弹簧-质量-阻尼实验指导书(总15页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--质量-弹簧-阻尼系统实验教学指导书北京理工大学机械与车辆学院实验一：单自由度系统数学建模及仿真 1 实验目的（1）熟悉单自由度质量-弹簧-阻尼系统并进行数学建模； （2）了解MATLAB 软件编程，学习编写系统的仿真代码； （3）进行单自由度系统的仿真动态响应分析。
2 实验原理单自由度质量-弹簧-阻尼系统，如上图所示。
由一个质量为m 的滑块、一个刚度系数为k 的弹簧和一个阻尼系数为c 的阻尼器组成。
系统输入：作用在滑块上的力f (t )。
系统输出：滑块的位移x (t )。
建立力学平衡方程：m x c x kx f •••++=变化为二阶系统标准形式：22f x x x mζωω•••++=其中：ω是固有频率，ζ是阻尼比。
ω=2c m ζω== 欠阻尼(ζ<1)情况下，输入f (t )和非零初始状态的响应：()()sin()))]t t x t t d e ζωττζωττ+∞--=•-=-+-+⎰欠阻尼(ζ<1)情况下，输入f(t)=f0*cos(ω0*t) 和非零初始状态的的响应：02230022222002222222()cos(arctan())2f[(0)]cos()[()(2)]sin(ttx t tx ekeζωζωζωωωωωζωωωωζωω-•-=--++-++)输出振幅和输入振幅的比值：A=3 动力学仿真根据数学模型，使用龙格库塔方法ODE45求解，任意输入下响应结果。
仿真代码见附件4 实验固有频率和阻尼实验（1）将实验台设置为单自由度质量-弹簧-阻尼系统。
（2）关闭电控箱开关。
点击setup菜单，选择Control Algorithm，设置选择Continuous Time Control，Ts=，然后OK。
（3）点击Command菜单，选择Trajectory，选取step,进入set-up,选取Open Loop Step设置(0)counts, dwell time=3000ms,(1)rep, 然后OK。
单自由度刚性动力学
则力矩形式的运动方程为
将
引入积分变换
设
当给定初始值和后，即可进一步求出各值下的角速度。
01
02
03
04
采用计算精度较高的四阶龙格—库塔法，则可得迭代公式为
化为
令
若等效力矩可以表示为两个函数之和，其中一个为角速度的函数，另一个为转角的函数。此时采用能量形式的运动方程式求解比较简单。 设等效驱动力矩和等效阻力矩为
第三节 单自由度机械系统的等效力学模型
等效力学模型
实质：被研究系统的动力学问题转化为一个 等效构件的动力学问题。 内容：将力、力矩、质量等效地转化到同一 构件上。 原理：功能原理 方法：选定坐定轴转动或直线运动的主动构 件。
01
等效力学模型
02
第三节 单自由度机械系统的等效力学模型
03
第三节 单自由度机械系统的等效力学模型
由上式可得：
如果需要求出用时间函数表示的运动规律
把该式代入上式即可确定位置与时间的关系。
时，可由
积分得：
第三节 单自由度机械系统的等效力学模型 等效转动惯量是常数，等效力矩是角速度的函数 时运动方程的求解 在仅含定比传动机构的机械系统中，有两种求解方法：解析法和数值法。当等效力矩的函数式易于积分时用解析法求解；当其函数式过于复杂而不能积分或者等效力矩直接以一系列离散数值给出时，则用数值法。 运动方程的求解方法
由上式可得：
Ie0、ω0分别为初始位置 0时的等效转动惯量和角速度； 、 分别为角位移 时的等效转动惯量和角速度； 为转角 的函数的等效力矩。
是以表达式形式给出且可积分时，可得到
解析解；若不可积分时，只能用数值积分法来求 解。
等效质量与转动惯量
2-1结构动力学(单自由度)解析
2. 有阻尼自由振动
cy ky FP (t ) m y
FP(t)=0
cy ky 0 m y
k c , 2 m m
2
2y y 0 y
2
2. 有阻尼自由振动
2 y 2y y 0
特征方程
y 0 y0 y 0 v0
y (t ) y 0 cost
v0
sin t
（1）方程的解
y(t ) y0 cost v0
sin t
y(t ) A sin t
振幅
（amplitude of vibration）
A
y0
2
0 y v0 2 ＝ y0
m/2
EI EI EI
m
l
2 l3 11 3 EI
l
1 3 2l 3 m 2 3EI
EI ml 3
3. 质点重W，求图示体系的自振频率。
k11 k
EI k
3EI l3
l
m W / g
3EI k 3 l g W
4. 求图示体系的自振频率。
m
EI EI1=∞ EA l
g y st
y st m T 2 2 k g
频率只取决于体系的质量和刚度，而与外界因素 无关，是体系本身固有的属性，所以又称为固有频率
（natural frequency）。
（3）简谐自由振动的特性
y(t ) Asin( t )
(t ) A 2 sin(t ) y 加速度为： 惯性力为： FI (t ) m (t ) mA 2 sin(t ) y
第四章 单自由度机械系统动力学
摩擦力:由运动副表面摩擦产生的有害阻力， 摩擦力 由运动副表面摩擦产生的有害阻力，作负功 ； 由运动副表面摩擦产生的有害阻力 一些效率较低的机构则应计入摩擦力的影响 在动力分析中主要涉及的力是驱动力和生产阻力
常见的生产阻力有： 常见的生产阻力有： 生产阻力为常数：如起重机的起吊重量； 生产阻力为常数：如起重机的起吊重量； 生产阻力随位移而变化： 生产阻力随位移而变化：如往复式压缩机中活塞上 作用的阻力； 作用的阻力； 生产阻力随速度而变化:如鼓风机 离心泵的生产阻力 生产阻力随速度而变化 如鼓风机,离心泵的生产阻力； 如鼓风机 离心泵的生产阻力； 生产阻力随时间而变化：如揉面机的生产阻力。 生产阻力随时间而变化：如揉面机的生产阻力。 驱动力与发动机的机械特性有关，有如下几种情况： 驱动力与发动机的机械特性有关，有如下几种情况： 驱动力是常数：如以重锤作为驱动装置的情况； 驱动力是常数：如以重锤作为驱动装置的情况； 驱动力是位移的函数：如用弹簧作驱动件时， 驱动力是位移的函数：如用弹簧作驱动件时，驱动力 与变形成正比； 驱动力是速度的函数：如一般电动机，机械特性均表 驱动力是速度的函数：如一般电动机， 示为输出力矩随角速度变化的曲线。 示为输出力矩随角速度变化的曲线。
??d2deeeeejjjmjt???引入变换dd???dd??ddddtt????21????d??2deee?mjj??令21????2??eee?mjfj??则d????df?可利用龙格库塔法求解求出各值下的3加平衡机构法用加齿轮机构的方法平衡惯性力时平衡效果好但采用平衡机构将使结构复杂机构尺寸加大这是此方法的缺点
4.2单自由度系统等效力学模型 单自由度系统等效力学模型 对单自由度系统，可以采用等效力学模型来研究， 对单自由度系统，可以采用等效力学模型来研究，将系统 的动力学问题转化为一个等效构件的动力学问题。 的动力学问题转化为一个等效构件的动力学问题。 过程如下： 取做直线运动的构件作为等效构件时，作用于系统 过程如下： 取做直线运动的构件作为等效构件时， 上的全部外力折算到该构件上得到等效力， 上的全部外力折算到该构件上得到等效力，系统的 （1）选取等效构件，通常选主动构件为等效构件； ）选取等效构件，通常选主动构件为等效构件； 全部质量和转动惯量折算到该构件上得到等效质量 （2）计算等效力，根据做功相等的原则进行； ）计算等效力，根据做功相等的原则进行； （3）计算等效质量，根据动能相等的原则，将各个 ）计算等效质量，根据动能相等的原则， 构件向等效构件进行等效； 构件向等效构件进行等效； 取做定轴转到的构件作为等效构件时， 取做定轴转到的构件作为等效构件时，作用于系统 （4）对等效构件列运动方程； ）对等效构件列运动方程； 上的全部外力折算到该构件上得到等效力矩， 上的全部外力折算到该构件上得到等效力矩，系统 5）解方程。 （的全部质量和转动惯量折算到该构件上得到等效转 ）解方程。 动惯量
单自由度机械系统的动力学分析
§3 单自由度机械系统的动力学分析1e 21111111d d 21F qq J q J =+ 一、基于拉格朗日方程的动力学方程☐若 q 1 为位移，则 J 11 称为等效质量 ( m e )，F e1称为等效力 ( F e ) ；☐若 q 1 为角位移，则 J 11 称为等效转动惯量 ( J e )，F e1称为等效力矩 ( M e ) 。
∑∑==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n j j S S j n j jS S S jq J q v m q J q y q x m J j j j j j 12121121212111d d d d d d ωϕ∑∑∑∑====±+=±+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=l j m k k kj j j lj m k kk j jy j jx q M q v F q M q y F q x F F 1111111111e cos ωθω单自由度机械系统的动力学分析“±” 取决于 M k 与的方向是否相同，相同为“＋”， 相反则为“－” 。
k ω1. 等效动力学模型二、基于等效动力学模型的动力学方程单自由度机械系统的动力学分析☐单自由度机械系统仅有一个广义坐标，无论其组成如何复杂，均可将其简化为一个等效构件。
等效构件的角位移(位移)即为系统的广义坐标。
☐等效构件的等效质量(等效转动惯量)所具有的动能，应等于机械系统的总动能；等效构件上的等效力(等效力矩)所产生的功率，应等于机械系统的所有外力与外力矩所产生的总功率。
单自由度机械系统的动力学分析定轴转动构件 直线移动构件求出位移 S 或角位移的变化规律，即可获得系统中各构件的真实运动。
等效转动惯量等效质量等效力等效力矩☐等效量不仅与各运动构件的质量、转动惯量及作用于系统的外力、外力矩有关，而且与各运动构件与等效构件的速比有关，但与机械系统的真实运动无关；☐等效力（等效力矩）只是一个假想的力（力矩），并非作用于系统的所有外力的合力（外力矩的合力矩）；等效质量（等效转动惯量）也只是一个假想的质量（或转动惯量），它并不是系统中各构件的质量（或转动惯量）的总和。
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i
v
1 不知道机构真实运动的情况下，可以求出等效量（Fe、Me、 me、Je） 2 等效量（Fe、Me、me、Je）均为为机构位置的函数。 3 等效量（Fe、Me、me、Je）均为假想的量，不是机构真实的
合力、合力矩、总质量和总转动惯量。
4 如果考虑惯性力和惯性力矩时，等效力和等效力矩与动态静
力法中求出的平衡力和平衡力矩大小相等，方向相反。
故有： J e
J 1
z2 z1
2
J2
m3
2
2
l
2
m4
2l sin
2
2
2
9J1 J 2 m3l 2 m4l 2 sin2 2
则：
Me
M
1
1 2
2
F4
cos180
v4 2
M1
Z2 Z1
F42l sin 22源自3M1F4
L
sin
2
写为：
Qq&
1 2
d dt
(Je
q&2 )
(6a)
把具有等效质量或等效转动惯量，其上 作用有等效力或等效力矩的等效构件称为机 械系统的等效动力学模型。
等效力 Fe 等效质量 me
等效力矩 Me 等效转动惯量 Je
二、等效参数的确定
1、等效质量和等效转动惯量
等效质量和等效转动惯量可以根据
等效原则：等效构件所具有的动能等于 原机械系统的总动能来确定。
机构动力学分析的发展与现状 机构动力学模型主要有两种形式: 一类是不含运动副约束反力的纯微分型动力学方
程,其维数等于机构的自由度数目; 另一类是含运动副约束反力的代数与微分混合型
方程,其维数大于机构的自由度数目。
机构动力学分析的发展与现状
建立复杂机构动力学模型的常用力学方法有: * 牛顿-欧拉(Newton-Euler)法 * 拉格朗日(Lagrange)法 * 虚功原理法 * 凯恩(Kane)法 * 旋量法和R-W法等。
J112
1 2
J
2
22
1 2
m2v22
1 2
me m3v32
)
(M11
F3v3 )
1 2
J1
1
v3
2
J
2
2
v3
2
m2
v2 v3
2
m3
v32
(M
1
1
v3
F3 )v3
me
n i 1
mi
vsi v
2
等 J效si质 量vi
m2e
Fe
n i 1
Fi
vsi v
c等o效s力i FMe i
机械动力学：
1动力学分析——研究机械在力作用下的运 动和机械在运动中产生的力。
2动力学综合（动力学设计）——从力与运 动的相互作用角度对机械进行设计改进，使 之达到运动学和动力学要求。
机械动力学四种分析方法：
静力分析（static） 动态静力分析(kinetio-static) 动力分析(dynamic) 弹性动力分析(elastodynamic)
第一篇 机械刚体动力学
第一章 单自由度机械系统动力学建模方法
1．1 机构系统的功能关系
系统动能：
E
1 2
r i 1
mi
vi2
1 2
t
J j j2
j 1
（1-1）
r
t
系统瞬时功率：P
i 1
Fi
vi
Mj
j 1
j
（1-2）
根据动能原理：在任一时间间隔(t0 t内) ，系统 上外力所做的功等于系统动能增量：
机构动力学分析的发展与现状
牛顿-欧拉(Newton-Euler) 的特点是以矢量描述运动和力，从而具有很 强的几何直观性，但列写各隔离体的动力学方程不可避免地出现理想 约束反力，从而使未知变量的数目明显增多，扩大了求解规模。 Lagrange法是以系统的动能和势能为基础建立动力学方程的, 可以避 免出现不做功铰的理想约束反力，使未知量的数目最少，但随着刚体 数目和自由度的增多，求导数的计算工作量十分庞大。 凯恩(Kane) 方法 特点是利用伪坐标代替广义坐标描述系统的运动，并 将矢量形式的力和力矩包括达朗伯惯性力和惯性力矩直接向偏速度和 偏角速度基矢量方向投影以消除理想约束反力，兼有矢量力学和分析 力学的特点。 罗伯森(Roberson)和维滕堡(Wittenburg) 应用图论的概念来描述多刚 体系统的结构特征，使各种不同结构体系的多体系统能用统一的数学 模型来描述.
(1-6) 或
Qdq
1 2
d
(Je
q&2 )
(6b)
式中 Q——广义力或称为等效力
J—e —广义惯量或称为等效惯量
Q
r i1
Fi
ui q
t
Mj
j 1
j q
(1-7)
Je
r i1
mi
(
ui q
)2
t j 1
J
j
(
j q
)2
(1-8)
式（1-6）可表为：
Q
1 2
d dq
(
J
eq&2 )
t
N t0 Pdt E E0
(1-3)
微分得 P d E
即
(1-4) dt
r i 1
Fi vi
t
M j j
j 1
1 2
d(r dt i1
mi vi2
1 2
t
Jj
j 1
j2)
1．2 系统的等效力学模型
一、等效动力学模型
等效转化的原则：等效构件的等效质量 具有的动能等于原机械系统的总动能；等效 构件上作用的等效力或力矩产生的瞬时功率 等于原机械系统所有外力产生的瞬时功率之 和。
三体机械臂
可伸展卫星太阳能电池板
汽车
五轴并联机床
绪论
机械动力学研究内容 ： 机械原理由三部分组成： 机械结构学、机构运动学和机械动力学 机械结构学：机构组成原理、机构运动的可能
性和确定性。 机构运动学：1运动学分析——不考虑力的作用，
从几何观点研究机构各构件运动参数（位移、 速度、加速度） 2运动学综合——仅从运动学角度设计新机构的 方法。
对于具有n个活动构件的机械系统，构件i 上的质量为mi，相对质心Ci的转动惯量为JCi, 质心Ci的速度为 vC i,构件的角速度为i ， 则系统所具有的动能为：
E
n
i1
1 2
mivC2i
1 2
J Ci i2
当选取角速度为 的回转构件为等效
构件时，等效构件的动能为：
Ee
1 2
Je 2
根据等效原则： Ee E 得等效转动惯量：
Je
n
i1
mi
vCi
2
J
Ci
i
2
v 当选取移动速度为 的滑件为等效构
件时，等效构件的动能为：
E 1m v2
2 e
e
根据等效原则： Ee E 得等效质量：
m e
n
i1
mi
v Ci v
2
J
Ci
i v
2
等效量的计算
1、等效力和等效质量
1
S3
等效力 Fe
等效质量
(1 2
1 2
2
J
eq&ddqq&
q&2
dJe dq
(1212-Je9ddq)t
dq& dq
q&2
dJe dq
Je
dq& dt