排队系统仿真(PPT)

f (t ) e t 1

e t /
(t 0)
其中 1 / 为到达时间间隔均值。
实体到达模式－－例子
设系统中的临时实体是顾客，实体到达模式就是顾客到达模 式，设到达时间间隔 Ai 服从均值 A 5 min 的指数分布，即
f ( A) 1
A
eA/ A
5.5 系统的统计性能指标

稳态平均延误时间
d lim
n
D /n
i 1 i
n i
n

实体通过系统的稳态平均滞留时间w
w lim
n
W / n lim ( D
i 1 i n i 1
n
Si ) / n

稳态平均队长Q
Q lim
T 0

T
Q(t )dt / T
WTi STi
例子

设有一单服务台排队系统，共到达实体数为8，即N=8。其到 达时间间隔和服务时间分别如下： 到达时间：0,10,15,35,30,10,5,5 服务时间：22,15,10,5,15,15,10,10 试应用仿真流程进行仿真，求出平均队长及服务台平均空闲 时间。 解：仿真时将实体到达时间间隔和服务时间分别存放于数组 AT(I)及ST(I)中，即 AT(I)=(0,10,15,35,30,10,5,5) ST(I)=(22,15,10,5,15,15,10,10) 仿真结束时， QL(I)=(0,1,1,0,0,1,2,1) IDT(I)=(0,0,0,15,25,0,0,0)
A
5.2 服务机构


描述服务台为顾客服务的时间：可以是确定性的, 也 可能是随机的。 定义的变量
——平均服务时间； μ——平均服务速率； S 0 (t ) ——服务时间大于t的概率。
Ts

例子
设服务员为每个顾客服务的时间为 S i ，它服从指数分布，均值 为 s 4 min ，即 1 S /

基本概念

5.1实体到达模式
用到达时间间隔来描述, 可分为确定性到达及随机性到达。 随机性到达采用概率分布来描述, 最常采用的泊松到达。 平均到达时间间隔 Ta 模型的总时间为T，共到达n个临时实体，则 平均到达速率λ 单位时间内到达的临时实体数。 1 到达时间分布函数 Ta A0 (t ) 到达时间间隔大于t的概率。 A0 (t ) 1 F (t ) 到达时间变化系数 描述了数据围绕平均值的分布程度。定义：到达时间间隔 的标准差 与平均到达间隔时间 的比值 。
( A 0)
令u是取值为[0,1]范围内服从均匀分布的随机变量，即
0 u F ( x) x 1 x0 0 x 1 x 1
反变换法要求用u对F(A) 进行取样，即令 u1 F ( A) 1 e A / ，则 A A ln( 1 u1 ) 。 由于 u1为[0,1]之间均匀分布的随机变量，则 1 u1 也是[0,1]间 均匀分布的随机变量，则 A A ln u1 。
Sa Ta
Sa Ta
Ta T n




平稳泊松过程

平稳泊松过程可描述为：
在(t, t+s) 内到达的实体数k的概率为： e s (s) k P{N (t s) N (t ) k } k! 其中 N (t )表示在 (0, t ) 区间内到达实体的个数, t 0, s 0, k 0, 1, 2, , 为到达速率。 平稳泊松过程到达时间间隔服从指数分布, 其密度函数为：

流程图
仿真输出结果

最大队长 平均队长（包括队长为零时的情况） 非空平均队长（队长为零时除外） 系统中平均实体数 系统中有n个实体的概率 平均等待时间（包括所有实体） 平均等待时间（只包括正在等待的实体） 最大等待时间 系统中每一实体平均花费的时间 服务台总的空闲时间 服务台空期与忙期各占百分比
仿真输出结果




由QL(I)(I=1,2,3, …,M)可以计算平均队长和最大队长； 由IDT(I)(I= 1,2,3, …,N)可以得到等待第i个实体进入服 务台的空闲时间。由此计算平均空闲时间和最大空闲 时间; 第i个实体等待时间 ，由此可以计 WTi CDTi STi CAT 算总等待时间、最大和平均等待时间; i 由 可以计算每一个实体在系统中花费的时间。
f (S ) e
S
S
( S 0)
由反变换法求得
S S ln u 2
5.3 排队规则

表示服务台完成当前的服务后, 从队列中选择下一实 体的原ຫໍສະໝຸດ Baidu, 一般有：

FIFO——先到先服务； LIFO——后到先服务； 随机服务——当服务台有空时，从等待的临时实体中随机 地选取一名进行服务； 按优先级别服务——根据队列中实体的重要程度选择最优 先服务者； n个服务台的情形 在每个服务台前排成一个队，第1,n+1,2n+1, …个实体 排入第一个队，第2,n+2,2n+2, …个实体排入第二个队 等。 所有实体排成一个公共的队，每当有一个服务台空闲 时，队首的临时实体进入服务。 当某个实体到达时，以概率Pi 排入第i个队。
5.4 排队模型的分类

单队多服务台按FIFO规则服务的情形表示为 X/Y/Z 式中，X——相继到达时间间隔的分布； Y——服务时间的分布； Z——服务台数目。 表示相继到达间隔时间和服务时间的各种分布的符号： E k ——k阶爱尔朗分布 M——负指数分布 D——确定性时间间隔 GI——一般相互独立的随机分布 G——一般随机分布 例，M/M/1
排队系统仿真
排队系统的组成

排队系统的三个基本组成部分



到达模式 指临时实体按怎样的规律到达。 服务机构 指同一时刻有多少服务台可以接纳临时实体，它们的服 务要多少时间。 排队规则 服务台完成当前服务后，从队列中选择下一个实体服务 的原则。
到达 离去

排队系统的基本结构
到达模式 排队 服务机构
统计性能－－例子

T 0
Q(t )dt与 Ri
i 1
m
等价的图示
5.6单服务台排队系统仿真

若有一单服务台排队系统，为N个实体服务。实体到达间隔为某 种概率分布的随机变量，以 ATK表示；第K个实体到达时间用 CATK STK 而为第K个实体服务的时间则用 表示，其中K=1,2, …,N，并已 知服务时间也是某种概率分布的随机变量。 设系统初始状态为无排队现象，服务台空闲。所以当t=0，第 一个实体进入时，立即可以得到服务，服务时间为 ST1 。 第二个实体在AT2 时（即CAT2 AT2）到达，这时有两种可能： 若ST1 CAT2 ，则第2个实体需等待，等待时间为WT2，且 WT2 ST1 CAT2 。 若 ST1 CAT2 ，则第1个实体在第2个实体到达前已经离开服务 台，则服务台处于空闲的时间为 IDT2 CAT2 ST。（IDT K为服 1 务台等待为K个实体服务的空闲时间）
5.6单服务台排队系统仿真

若已有(i-1)个实体到达系统，同时又有(j-1)个实体已经离开， 1 j ，目前系统中的队长为(i-j-1)。第i个实体到达时 i N 显然 刻为 NAT ，而第j个实体离开时刻应为 CATi
NDT CDT j CAT j WT j ST j WT 式中， j——第j个实体等待服务的时间长度； ST j ——第j个实体接受服务的时间长度。 判断：是第i个实体先到达还是第j个实体先离开。 若 DIF NAT NDT 0 ，则第j个实体应该先离开，此时队 长必然减少1。 若 DIF 0，则第i个实体先到达，此时队长必然增加1。 上述两种情况下，服务台都没有空闲时间。 若队长原来为0，而DIF 0，则服务台处于空闲状态，直到 第i个实体到达，其等待时间IDTi DIF 。 若DIF 0 ，则队长不变。

系统中稳态平均实体数L
L lim
T 0

T
L(t )dt / T lim
T 0

T
(Q(t ) S (t ))dt / T
L(t)=Q(t)+S(t)
5.5 系统的统计性能

上述四个性能指标存在的条件是服务台的利用率 1, 的定义是： 平均服务时间
平均到达时间间隔

对M/M/1排队系统, 上述四项指标可解析计算得到, 即： d Q/
w L/
2 Q 1 L 1
统计性能－－例子

假设仿真目的是要估计服务n个顾客后的顾客平均队长Q(n)及 平均排队等待时间d(n)： n
d (n) D (n) Di / n
i 1
其中 Di为第i个顾客排队等待时间，Q(t)为t时刻排队等待的顾 客数，T为完成n个顾客服务所耗时间，d(n)、Q(n)表示估计 值，D (n) Q (n表示平均值。为计算方便 、 ) 1 m
Q ( n)
1 T Q(n) Q (n) Q(t )dt T 0
R T
i 1
i
其中 Ri为时间区间 [bi 1 , b上排队人数 q乘以该时间区间长度 i] i (bi bi1，即 qi (bi bi1 )，其中 b是第i个任何一类事件发生的时间。 ) i m为在区间 上发生的事件总数，其中 为仿真初始时 t0 [t 0 , t 0 T ] 间。