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常微分期末试题及答案

常微分期末试题及答案

常微分期末试题及答案[正文开始]第一部分:选择题1. 若函数 f(x) = 3x^2 + 2x + c 在区间 [0, 1] 上是增函数,则实数 c 的取值范围是:A) c > 1/4B) c > -1/4C) c < 1/4D) c < -1/4答案:A) c > 1/4解析:当 f(x) 是增函数时,f'(x) > 0。

对于 f(x) = 3x^2 + 2x + c,求导得到 f'(x) = 6x + 2。

显然当 x > -1/3 时,f'(x) > 0,即 c > 1/4。

2. 解微分方程 dy/dx = x^2 + 1 的通解为:A) y = (1/3)x^3 + x + CB) y = (1/3)x^3 + CC) y = (1/3)x^2 + x + CD) y = (1/3)x^2 + C答案:A) y = (1/3)x^3 + x + C解析:对方程 dy/dx = x^2 + 1 进行积分,得到 y = (1/3)x^3 + x + C,其中 C 为积分常数。

3. 设三角函数f(x) = sin(2x + π/3),则 f'(x) = ?A) 2cos(2x + π/3)B) 2cos(2x - π/3)C) 2cos(2x)D) 2cos(2x + π/6)答案:B) 2cos(2x - π/3)解析:根据链式法则,对sin(2x + π/3) 求导,得到 f'(x) = 2cos(2x +π/3) * 2 = 2cos(2x - π/3)。

4. 设 f(x) = e^x,g(x) = ln(x),则 f(g(2)) = ?A) e^2B) e^3C) 2D) ln(2)答案:A) e^2解析:首先求 g(2) = ln(2),然后将结果代入 f(x) = e^x 中计算,得到 f(g(2)) = f(ln(2)) = e^ln(2) = 2。

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常微分方程一、填空题1.微分方程的阶数是____________0(22=+-+x y dxdy dx dy n 答:12.若和在矩形区域内是的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则),(y x M ),(y x N R ),(y x 方程有只与有关的积分因子的充要条件是 0),(),(=+dy y x N dx y x M y _________________________答:)()1(y Mx N y M φ=-∂∂-∂∂3._________________________________________ 称为齐次方程.答:形如的方程(xy g dx dy =4.如果 ___________________________________________ ,则存在),(y x f ),(y x f dx dy =唯一的解,定义于区间 上,连续且满足初始条件 ,其中)(x y ϕ=h x x ≤-0)(00x y ϕ=_______________________ .=h 答:在上连续且关于满足利普希兹条件 R y ),min(mb a h =5.对于任意的 , (为某一矩形区域),若存在常数使 ),(1y x ),(2y x R ∈R )0(>N N ______________________ ,则称在上关于满足利普希兹条件.),(y x f R y 答: 2121),(),(y y N y x f y x f -≤-6.方程定义在矩形区域:上 ,则经过点 的解的22y x dxdy +=R 22,22≤≤-≤≤-y x )0,0(存在区间是 ___________________ 答:4141≤≤-x 7.若是齐次线性方程的个解,为其伏朗斯基行列式,则满足),.....2,1)((n i t x i =n )(t w )(t w 一阶线性方程 ___________________________________答:0)(1'=+w t a w 8.若为齐次线性方程的一个基本解组,为非齐次线性方程的一个),.....2,1)((n i t x i =)(t x 特解,则非齐次线性方程的所有解可表为_____________________答:xx c x ni i i +=∑=19.若为毕卡逼近序列的极限,则有 __________________)(x ϕ{})(x n ϕ≤-)()(x x n ϕϕ答:1)!1(++n n h n ML 10.______________________称为黎卡提方程,若它有一个特解 ,则经过变换 )(x y ___________________ ,可化为伯努利方程.答:形如的方程 )()()(2x r y x q y x p dx dy ++=y z y +=11.一个不可延展解的存在区间一定是区间.答:开12.方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 .1d d +=y x y 答:,(或不含x 轴的上半平面)}0),{(2>∈=y R y x D 13.方程的所有常数解是 .y x x y sin d d 2=答:,2,1,0,±±==k k y π14.函数组在区间I 上线性无关的 条件是它们的)(,),(),(21x x x n ϕϕϕ 朗斯基行列式在区间I 上不恒等于零.答:充分15.二阶线性齐次微分方程的两个解为方程的基本解组充分必要条件)(),(21x y x y 是. 答:线性无关(或:它们的朗斯基行列式不等于零)16.方程的基本解组是.02=+'-''y y y 答:xx x e ,e17.若在上连续,则方程的任一非零解 )(x y ϕ=),(∞+-∞y x xy )(d d ϕ=与轴相交.x 答:不能18.在方程中,如果,在上连续,那么它的0)()(=+'+''y x q y x p y )(x p )(x q ),(∞+-∞任一非零解在平面上 与轴相切.xoy x 答:不能19.若是二阶线性齐次微分方程的基本解组,则它们 共)(),(21x y x y ϕϕ==同零点.答:没有20.方程的常数解是 .21d d y x y -=答:1±=y 21.向量函数组在其定义区间上线性相关的 条件是)(,),(),(21x x x n Y Y Y I 它们的朗斯基行列式,.0)(=x W I x ∈答:必要22.方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 .22d d y x x y +=答: 平面xoy 23.方程所有常数解是 .0d )1(1)d (22=-+-y x y x y x 答:1,1±=±=x y 24.方程的基本解组是.04=+''y y 答:xx 2cos ,2sin 25.一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线. 答:2二、单项选择题1.阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是( A )个.n(A ) (B )-1 (C )+1 (D )+2n n n n 2.如果,都在平面上连续,那么方程的任一解的存在),(y x f y y x f ∂∂),(xoy ),(d d y x f x y =区间( D ).(A )必为 (B )必为),(∞+-∞),0(∞+ (C )必为(D )将因解而定)0,(-∞3.方程满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是( D ).y x xy +=-31d d (A )上半平面 (B )xoy 平面(C )下半平面 (D )除y 轴外的全平面4.一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差( C ).(A )不是其对应齐次微分方程组的解 (B )是非齐次微分方程组的解 (C )是其对应齐次微分方程组的解 (D )是非齐次微分方程组的通解5. 方程过点共有( B )个解.21d d y x y -=)1,2(π (A )一(B )无数 (C )两 (D )三6. 方程( B )奇解.2d d +-=y x xy (A )有三个 (B )无 (C )有一个 (D ) 有两个7.阶线性齐次方程的所有解构成一个( A )线性空间.n (A )维 (B )维 (C )维 (D )维n 1+n 1-n 2+n 8.方程过点( A ).323d d y x y = (A )有无数个解 (B )只有三个解 (C )只有解 (D )只有两个解0=y 9. 连续是保证对满足李普希兹条件的( B )条件.),(y x f y '),(y x f y (A )充分 (B )充分必要 (C )必要 (D )必要非充分10.二阶线性非齐次微分方程的所有解( C ).(A )构成一个2维线性空间 (B )构成一个3维线性空间(C )不能构成一个线性空间 (D )构成一个无限维线性空间11.方程的奇解是( D ).y x y =d d (A ) (B ) (C ) (D )x y =1=y 1-=y 0=y 12.若,是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解,则该方程的)(1x y ϕ=)(2x y ϕ=通解可用这两个解表示为( C ).(A ) (B ))()(21x x ϕϕ-)()(21x x ϕϕ+(C ) (D ))())()((121x x x C ϕϕϕ+-)()(21x x C ϕϕ+13.连续是方程初值解唯一的( D )条件.),(y x f y '),(d d y x f xy =(A )必要 (B )必要非充分 (C )充分必要 (D )充分14. 方程( C )奇解.1d d +=y x y (A )有一个 (B )有两个 (C )无 (D )有无数个15.方程过点(0, 0)有( A ).323d d y x y = (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解三、求下列方程的通解或通积分1.3y x y dx dy +=解: ,则 所以 23y y x y y x dy dx +=+=)(121⎰+⎰⎰=-c dy e y e x dy y dy y cy y x +=23另外 也是方程的解 0=y 2.求方程经过的第三次近似解2y x dxdy +=)0,0(解:0)(0=x ϕ[]2020121)()(x dx x x x x =+=⎰ϕϕ[]52021220121)()(x x dx x x x x +=+=⎰ϕϕ[]81152022316014400120121)()(x x x x dx x x x x +++=+=⎰ϕϕ3.讨论方程 ,的解的存在区间 2y dx dy =1)1(=y 解:dx y dy =2两边积分 c x y+=-1所以 方程的通解为 cx y +-=1故 过的解为 1)1(=y 21--=x y 通过点 的解向左可以延拓到,但向右只能延拓到 2,)1,1(∞-所以解的存在区间为 )2,(-∞4. 求方程的奇解01(22=-+y dxdy 解: 利用判别曲线得p 消去得 即 ⎩⎨⎧==-+020122p y p p 12=y 1±=y 所以方程的通解为 , 所以 是方程的奇解)sin(c x y +=1±=y 5.0)1()1(cos 2=-++dy yx y dx y x 解: =, = , = , 所以方程是恰当方程.y M ∂∂2--y xN ∂∂2--y y M ∂∂x N ∂∂ 得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂+=∂∂211cos yx y y v y x x u )(sin y y x x u ϕ++= 所以)('2y xy yu ϕ+-=∂∂-y y ln )(=ϕ故原方程的解为 c y yx x =++ln sin6. xx x y y y 22'sin cos sin 2-=-+解: 故方程为黎卡提方程.它的一个特解为x x x y y y 22'sin cos sin 2-++-= ,令 , 则方程可化为, x y sin =x z y sin +=2z dx dz -=cx z +=1即 , 故 c x x y +=-1sin c x x y ++=1sin 7.0)37()32(232=-+-dy xy dx y xy 解: 两边同除以得2y 037322=-+-xdy dy y ydx xdx 0732=--yd xy d dx 所以 , 另外 也是方程的解c y xy x =--7320=y 8.21d d x xy x y +=解 当时,分离变量得0≠y x x x y y d 1d 2+=等式两端积分得C x y ln )1ln(21ln 2++= 即通解为 21x C y +=9. xy xy 2e 3d d =+ 解 齐次方程的通解为x C y 3e -= 令非齐次方程的特解为xx C y 3e )(-=代入原方程,确定出 C x C x +=5e 51)( 原方程的通解为+ x C y 3e -=x 2e 5110. 5d d xy y xy +=解 方程两端同乘以,得5-yx y x y y +=--45d d 令 ,则,代入上式,得z y =-4xz x y y d d d d 45=-- x z x z =--d d 41 通解为 41e 4+-=-x C z x 原方程通解为41e 44+-=--x C y x 11.0)d (d 222=-+y y x x xy 解 因为,所以原方程是全微分方程. x N x y M ∂∂==∂∂2 取,原方程的通积分为)0,0(),(00=y xC y y x xy y x =-⎰⎰020d d 2 即C y y x =-323112.y y x y ln d d =解:当,时,分离变量取不定积分,得0≠y 1≠y通积分为C x y y y +=⎰⎰d ln d x C y e ln =13.03)(22=+'+''x y y y解 原方程可化为0)(2='+'x y y 于是 12d d C x xy y =+ 积分得通积分为23123121C x x C y +-=14.xy x y x y +-=2)(1d d 解:令,则,代入原方程,得xu y =x u x u x y d d d d +=21d d u xu x -= 分离变量,取不定积分,得() C x x u uln d 1d 2+=-⎰⎰0≠C 通积分为: Cx xy ln arcsin=15. xy x y x y tan d d +=解 令,则,代入原方程,得u x y =xu x u x y d d d d += , u u x u x u tan d d +=+u x u x tan d d = 当时,分离变量,再积分,得0tan ≠u C x x u u ln d tan d +=⎰⎰ Cx u ln ln sin ln +=即通积分为:Cx x y =sin 16. 1d d +=xy x y 解:齐次方程的通解为Cx y = 令非齐次方程的特解为x x C y )(=代入原方程,确定出 C x x C +=ln )( 原方程的通解为+Cx y =x x ln 17. 0d d )e (2=+-y x x y x y 解 积分因子为21)(x x =μ 原方程的通积分为1012d d (e C y x x y y x x =+-⎰⎰ 即 1e ,e C C C xy x +==+18.0)(2='+''y y y 解:原方程为恰当导数方程,可改写为0)(=''y y 即1C y y =' 分离变量得x C y y d d 1= 积分得通积分21221C x C y +=19.1)ln (='-'y x y 解 令,则原方程的参数形式为p y ='⎪⎩⎪⎨⎧='+=p y p p x ln 1 由基本关系式 ,有y xy '=d dp p pp x y y )d 11(d d 2+-⋅='= p p )d 11(-=积分得 C p p y +-=ln 得原方程参数形式通解为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=C p p y p p x ln ln 120.022=+'+''x y y y 解 原方程可化为0)(2='+'x y y 于是 12d d C x xy y =+ 积分得通积分为 23123121C x x C y +-=21. 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x 解:由于,所以原方程是全微分方程. x N xy y M ∂∂==∂∂2 取,原方程的通积分为)0,0(),(00=y x103023d d )(C y y x xy x y x =++⎰⎰即C y y x x =++42242四、计算题1.求方程的通解.x y y e 21=-''解 对应的齐次方程的特征方程为:12=-λ特征根为:1,121-==λλ故齐次方程的通解为: x x C C y -+=e e 21 因为是单特征根.所以,设非齐次方程的特解为1=αx Ax x y e )(1=代入原方程,有 , 可解出 . x x x x Ax Ax A e 21e e e 2=-+41=A 故原方程的通解为 x xx x C C y e 41e e 21++=-2.求下列方程组的通解. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=y x t y y x t x 43d d 2d d 解 方程组的特征方程为04321=----=-λλλE A 即 0232=+-λλ特征根为 ,11=λ22=λ 对应的解为11=λt b a y x e 1111⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡其中是对应的特征向量的分量,满足11,b a 11=λ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----0014321111b a 可解得.1,111-==b a 同样可算出对应的特征向量分量为 .22=λ3,212-==b a 所以,原方程组的通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t t t C C y x 2221e 32e e e 3.求方程的通解.x y y 5sin 5='-''解:方程的特征根为,01=λ52=λ齐次方程的通解为 x C C y 521e += 因为不是特征根。

(完整版)常微分方程期末考试试卷(6)

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常微分方程期末考试试卷(6)学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______一. 填空题 (共30分,9小题,10个空格,每格3分)。

1.当_______________时,方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程,或称全微分方程。

2、________________称为齐次方程。

3、求dxdy =f(x,y)满足00)(y x =ϕ的解等价于求积分方程____________________的连续解。

4、若函数f(x,y)在区域G 内连续,且关于y 满足利普希兹条件,则方程),(y x f dx dy = 的解 y=),,(00y x x ϕ作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内是__________。

5、若)(),...(),(321t x t x t x 为n 阶齐线性方程的n 个解,则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。

6、方程组x t A x )(/=的_________________称之为x t A x )(/=的一个基本解组。

7、若)(t φ是常系数线性方程组Ax x =/的基解矩阵,则expAt =____________。

8、满足___________________的点(**,y x ),称为方程组的奇点。

9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时,则当其实部________时,零解是稳定的,对应的奇点称为___________。

二、计算题(共6小题,每题10分)。

1、求解方程:dx dy =312+++-y x y x2.解方程: (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=03、讨论方程23=dx dy 31y 在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件,并求通过点(0,0)的一切解4、求解常系数线性方程:t e x x x t cos 32///-=+-5、试求方程组Ax x =/的一个基解矩阵,并计算⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3421,为其中A e At 6、试讨论方程组cy dtdy by ax dtdx =+=, (1)的奇点类型,其中a,b,c 为常数,且ac ≠0。

周口师范学院常微分方程题库期末考试试题r15

周口师范学院常微分方程题库期末考试试题r15

5、求初值问题
⎪⎧ dy ⎨ dx
=
x2

y2,R :
x +1
≤ 1,
y
≤ 1 的解的存在区间,并求第
⎪⎩
y(−1) = 0
二次近似解.
6、求方程 d 2 x − 2 dx − 3x = 3t + 1的通解. dt 2 dt
7
求解方程
x2
d2y dx 2

x
dy dx
+
y
=
0
.
《常微分方程》试卷 第 4 页 共 4 页
C ex + ln 2
D e2x + ln 2
《常微分方程》试卷 第 2 页 共 4 页
5. dy = x + y − 3 通过下列哪个变换可化为齐次方程(
).
dx x − y +1
A ξ = x −1, η = y + 2
B ξ = x −1,η = y − 2
C ξ = x + 1,η = y + 2
3.任意一个有解的微分方程都存在积分因子且它们可以互不相同.
()
4.设 y = ϕ(x) 是方程 dy = f (x, y) 的不可延拓解,则它的存在区间一定是 dx
一个开区间.
()
5.齐次线性微分方程组
r dY
=
r A( x)Y

n
个解在定义区间
I
上线性无关当且
dx
仅当 ∀x ∈ I ,它们的 Wronski 行列式W (x) ≠ 0 .3;e x
的通解.
dx x
2.求方程 dy = x − y + 5 的通解. dx x − y − 2

常微分期末考试试题和答案

常微分期末考试试题和答案

《 常微分方程 》期末考试试卷(1)班级 学号 姓名 成绩.一、填空(每格3分,共30分)1、方程(,)(,)M x y d x N x y d y +=有只与x有关的积分因子的充要条件是 。

2、若12(),(),,()n x t x t x t 为n 阶齐线性方程的n 个解,则它们线性无关的充要条件是 。

3、若()t Φ和()t ψ都是'()x A t x=的基解矩阵,则()t Φ和()t ψ具有的关系是_____________________________。

4、函数),(y x f 称为在矩形域R上关于y 满足利普希兹条件,如果 。

5、当 时,方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 称为恰当方程,或称全微分方程。

6、若()t Φ是x t A x )(='的基解矩阵,则x t A x )(=')(t f =满足η=)(0t x的解 。

7、若()(1,2,,)i x t i n =为n 阶齐线性方程()()1()()0n n n x a t x a t x +++=的n 个线性无关解,则这一齐线性方程的通解可表为 。

8、求dxdy=f(x,y)满足00()y x y =的解等价于求积分方程 的解。

9、如果),(y x f 在R 上 且关于y 满足李普希兹条件,则方程),(y x f dxdy=存在唯一的解)(x y ϕ=,定义于区间h x x ≤-0上,连续且满足初始条件00)(y x =ϕ,其中h = ,),(max ),(y x f M Ry x ∈=。

二、计算题(每题10分,共50分)10、求方程 221dy y dx xy x y +=+ 的解。

11、求方程2dyx y dx=-通过点(1,0)的第二次近似解。

12、求非齐线性方程sin x xt ''+=的特解。

13、求解恰当方程 0)4()3(2=---dy x y dx x y 。

常微分方程期末试题答案

常微分方程期末试题答案
e
10.微分方程 y ln ydx (x ln y) dy 0 是( B )
( A )可分离变量方程
( B)线性方程
( C)全微分方程
( D)贝努利方程
11.方程 x(y2-1)dx+y (x2-1)dy=0 的所有常数解是( C ).
(A) x 1
(B) y 1
( C) y 1, x 1
(
D) y 1, x 1
解:先求解对应的其次方程: y y 2 y 0 ,则有,
2
2 0 , 1 1 , 2 2 ; y C1ex C2e 2x
因为数
i 1 i 不是特征根,故原方程具有形如
y1 ex Acos x B sin x
的特解。
将上式代入原方程,由于
y1 ex A c o sx B s i nx
y1 ex A B cosx B A sin x
故齐次方程的通解为
y C1 C2e3x
因为
5 不是特征根。所以,设非齐次方程的特解为
y1 ( x) Ae5 x
代入原方程,得
25 Ae5 x 15 Ae5 x e5 x

A
1

10
故原方程的通解为
3x 1 5 x
y C1 C2e
e
10
18.求方程 y y 2 y ex (cosx 7sin x) 的通解
y , N x, y x
y 3 ln x
则 M y x, y
N x x, y
1
,于是原方程为全微分方程
x
所以原方程的通解为
xy dx
1x
y y 3dy C
1
即 y ln x 1 y 4 C 4

(完整版)常微分方程期末考试试卷

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常微分方程期末考试试卷学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______一. 填空题 (30分)1.)()(x Q y x P dxdy+= 称为一阶线性方程,它有积分因子 ⎰-dx x P e )( ,其通解为 _________ 。

2.函数),(y x f 称为在矩形域R 上关于y 满足利普希兹条件,如果_______ 。

3. 若)(x ϕ为毕卡逼近序列{})(x n ϕ的极限,则有)()(x x n ϕϕ-≤ ______ 。

4.方程22y x dxdy+=定义在矩形域22,22:≤≤-≤≤-y x R 上,则经过点(0,0)的解的存在区间是 _______ 。

5.函数组t t t e e e 2,,-的伏朗斯基行列式为 _______ 。

6.若),,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组,)(t x -为非齐线性方 程的一个特解,则非齐线性方程的所有解可表为 ________ 。

7.若)(t Φ是x t A x )('=的基解矩阵,则向量函数)(t ϕ= _______是)()('t f x t A x +=的满足初始条件0)(0=t ϕ的解;向量函数)(t ϕ= _____是)()('t f x t A x +=的满足初始条件ηϕ=)(0t 的解。

8.若矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量n v v v ,,,21 ,它们对应的特征值分别为n λλλ ,,21,那么矩阵)(t Φ= ______ 是常系数线性方程组Ax x ='的一个基解矩阵。

9.满足 _______ 的点),(**y x ,称为驻定方程组。

二. 计算题 (60分)10.求方程0)1(24322=-+dy y x dx y x 的通解。

11.求方程0=-+x e dxdydx dy的通解。

12.求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=--=0)1(22y y x dx dy1,11:≤≤+y x R 的解的存在区间,并求第二次近似解,给出在解的存在区间的误差估计。

常微分方程期末考试题

常微分方程期末考试题

常微分方程期末考试题以下是某校 ode 期末考试题一:计算题( 1,2,3,5 各8分,第4题18分,总50分)1) \frac{dy}{dx}=\frac{x+y-3}{x-y+1}2) \frac{dy}{dx}+2xy+xy^4=03) x'=Ax,A=\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&3\end{matrix}\right) 求基解矩阵4) x^2y''+xy'-y=x (该题给出3种解法)5) x''+2x'-3x=e^t+cost二:解答题(每题10分,总50分)6)证明:如已知 Riccati 方程的一个特解,则可用初等解法得到它的通解.7)方程 \frac{dy}{dx}=x^2+y^2 定义在矩形域 \left| x\right|\leq1,\left| y \right|\leq1 试利用存在唯一性定理确定经过 y(0)=0 的解存在区间,并写出 \varphi_n(x) 的迭代序列,求第二次近似解及误差估计。

8)微分方程 \frac{dy}{dx}+ay=f(x)(a>0)\\f(x) 是以 2\pi 为周期的连续函数,试求方程的 2\pi 周期解。

9)设 \phi(x) 是齐次线性微分方程组\frac{dy}{dx}=A(x)y\\ 的一个基解矩阵,并且 n 维向量函数 f(x,y) 在区域 a<x<b,\left| \left| y\right|\right|<+\infty 上连续,试证明:求解初值问题\frac{dy}{dx}=A(x)y+f(x,y),y(x_0)=y_0\\ 等价于求解积分方程 y(x)=\phi (x)\phi^{-1}(x_0)y_0+\int_{x_0}^{x}\phi (x)\phi^{-1}(s)f(s,y(s))ds\\ 其中 x_0\in(a,b)10)证明:方程 y'=\sqrt[5]{\frac{y^4+2}{x^6+2}} 的每条积分曲线有两条水平渐近线。

(完整版)数学系常微分方程期末试卷A及答案

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(A)试卷说明:1、该门考试课程的考试方式:闭卷;2、 考试所用时间:120分钟。

3、 考试班级:数计学院数 11级一、填空题(每小题3分,本题共15分)1.方程x (y 2 1)dx y (x 2 1)dy 0所有常数解是2.方程y 4y 0的基本解组是3 .方程dy x 2 siny 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ___________________________ . 4•线性齐次微分方程组的解组 Y,X ),Y 2(X ), ,Y n (x )为基本解组的 ________________ 条件 是它们的朗斯基行列式 W (x ) 0 .5 .一个不可延展解的存在在区间一定是区间.、单项选择题(每小题3分,本题共15分)6 .方程—x 3 y 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是( ).(A )上半平面 (B ) xoy 平面(C )下半平面(D )除y 轴外的全平面7. 方程dy y 1()奇解.dx(A )有一个 (B )有两个 (C )无 (D )有无数个8. n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是()个. (A ) n(B ) n -1( C ) n +1(D ) n +2系院学计数考试本科考试科目常微分方程人题审师教课任号学一一名姓 班试卷份数年月 日9、微分方程xlnx y y 的通解 ()B 、y c 1x l n x 1 D 、y GX In x 1c 2).(B )构成一个n 1维线性空间 (D )不能构成一个线性空间三、简答题(每小题6分,本题共30分) “解方程dy e x y12•解方程(x 2y )dx xdy 0A 、y c 1xln x c 2 C 、y xlnx10. n 阶线性非齐次微分方程的所有解((A )构成一个线性空间 C )构成一个n 1维线性空间年月日dy y13.解方程1dx x14•解方程e y dx (xe y 2y)dy 0d x dx15•试求 3 2x 0的奇点类型及稳定性dt2dt四、计算题(每小题10分,本题共20分)1 X16.求方程y y _e的通解217.求下列方程组的通解dxdt dy dt2x y五、综合能力与创新能力测试题(每小题10分,本题共20分)18.在方程y p(x)y q(x)y 0中,p(x), q(x)在(,)上连续,求证:若p(x)恒不为零,则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式W(x)是(,)上的严格单调函数.19 .在方程y p(x)y q(x)y 0中,已知p(x),q(x)在(,)上连续.求证:该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切.12-13-2学期期末考试《常微分方程》A 参考答案及评分标准(数学与计算机科学学院)制卷____ 审核 _____________、填空题(每小题3分,本题共15分)1. y 1, x 12. sin 2x, cos2x3. xoy 平面 4 .充分必要5 .开、单项选择题(每小题3分,本题共15分)6. D7. C8. A 9. D 10. D三、简答题(每小题6分,本题共30分)11•解分离变量得e y dy e x dx等式两端积分得通积分e y e x C12.解方程化为业1 2》 dx x令y xu ,贝U u x-du ,代入上式,得dx dxdu x 1 u dx分量变量,积分,通解为u Cx 1原方程通解为y Cx 2 x13.解 对应齐次方程 d ' 的通解为dx xy Cx(2 分)令非齐次方程的特解为y C (x )x(3 分)(3分)(6分)(2分)(4分)(5分)代入原方程,确定出// \ 1 c (X )-X再求初等积分得C (x ) ln x C因此原方程的通解为y Cx + xl nx14 •解: 由于卫 e y —,所以原方程是全微分方程.y x取(X 0, y 。

(完整版)常微分方程试题及答案

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第十二章 常微分方程(A)一、是非题1.任意微分方程都有通解。

( X )2.微分方程的通解中包含了它所有的解。

( X )3.函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。

( O )4.函数x e x y ⋅=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。

( X )5.微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y +=2ln 21(C 为任意常数)。

(O ) 6.y y sin ='是一阶线性微分方程。

( X )7.xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。

( O )8.052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。

( O )9.221xy y x dx dy+++=是可分离变量的微分方程。

( O )二、填空题1.在横线上填上方程的名称①()0ln 3=-⋅-xdy xdx y 是可分离变量微分方程。

②()()022=-++dy y x y dx x xy 是可分离变量微分方程。

③x yy dx dyx ln ⋅=是齐次方程。

④x x y y x sin 2+='是一阶线性微分方程。

⑤02=-'+''y y y 是二阶常系数齐次线性微分方程。

2.x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 3 个独立常数。

3.x e y 2-=''的通解是21241C x C e x ++-。

4.x x y cos 2sin -=''的通解是21cos 2sin 41C x C x x +++-。

5.124322+=+'+'''x y x y x y x 是 3 阶微分方程。

6.微分方程()06='-''⋅y y y 是 2 阶微分方程。

常微分期末考试试题和答案a#

常微分期末考试试题和答案a#

《常微分方程》期终测试试卷<A )<适用班级:班)下属学院_________________班级_________姓名____________成绩______________________。

2、一阶方程0=+Ndy Mdx ,若存在可微函数)0)(,(≠μy x 使_____________ _________________________时,称),(y x μ为这个方程的积分因子。

3、____________________称为黎卡提方程,若它有一个特解)(x y ,则经过变换____________________,可化为伯努利方程。

4、对R y x y x ∈∀),(),,(21,存在常数)0(>N ,使____________________则称),(y x f 在R 上关于y 满足李普希兹条件。

5、若)(x ϕ为毕卡逼近序列)}({x n ϕ的极限,则有≤ϕ-ϕ|)()(|x x n _________。

6、方程22y x dx dy +=定义在矩形域R :22≤≤-x ,22≤≤-y 上,则经过点)0,0(解的存在区间是__________________。

7、若),,3,2,1)((n i t x i =是n 阶齐线性方程01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n 的n 个解,)(t w 为其伏朗基斯行列式,则)(t w 满足一阶线性方程__________________。

8、设0)(1≠t x 是二阶齐线性方程0)()(21=+'+'x t a x t a x 的一个解,则该方程的通解为____________________________________________。

9、若),,3,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组,)(t x 为非齐线性方程的一个特解,则非齐线性方程的通解为_____________________________。

(完整版)常微分方程期末试题答案

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一、填空题(每空2 分,共16分)。

1、方程22d d y x xy +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 . 2. 方程组n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.3.),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy =初值唯一的 充分 条件. 4.方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心 5.方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y += 6.变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 1 7.二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关8.方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e-- 二、选择题(每小题 3 分,共 15分)。

9.一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是( A ). (A )⎰=xx p d )(e μ (B )⎰=x x q d )(e μ (C )⎰=-x x p d )(e μ (D )⎰=-x x q d )(e μ 10.微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是( B )(A )可分离变量方程 (B )线性方程(C )全微分方程 (D )贝努利方程11.方程x (y 2-1)d x+y (x 2-1)d y =0的所有常数解是( C ).(A) 1±=x (B)1±=y(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x12.n 阶线性非齐次微分方程的所有解( D ).(A )构成一个线性空间 (B )构成一个1-n 维线性空间(C )构成一个1+n 维线性空间 (D )不能构成一个线性空间13.方程222+-='x y y ( D )奇解.(A )有一个 (B )有无数个 (C )只有两个 (D )无三、计算题(每小题8分,共48分)。

(完整版)常微分方程练习试卷及答案

(完整版)常微分方程练习试卷及答案

常微分方程练习试卷一、填空题。

1.方程 x 3 d2x 10 是阶(线性、非线性)微分方程 .dt 22. 方程 x dyf (xy ) 经变换 _______ ,能够化为变量分别方程.y dx3.微分方程 d 3 y y 2x 0 知足条件 y(0) 1, y (0)2 的解有个 .dx 34. 设 常 系 数 方程 yy*2 xxx,则此方程的系数ye x 的 一个 特解 y ( x) eexe,, .5. 朗斯基队列式 W (t )0是函数组 x 1(t), x 2 (t),L , x n (t ) 在 a x b 上线性有关的条件 .6. 方程 xydx (2 x 2 3y 2 20) dy 0 的只与 y 有关的积分因子为.7. 已知 X A(t) X 的基解矩阵为 (t ) 的,则 A(t ).8. 方程组 x '2 0.0 x 的基解矩阵为59. 可用变换 将伯努利方程化为线性方程 .10 . 是知足方程 y2 y 5y y 1 和初始条件的独一解 .11. 方程的待定特解可取的形式 :12. 三阶常系数齐线性方程 y 2 y y 0 的特点根是二、计算题1. 求平面上过原点的曲线方程 , 该曲线上任一点处的切线与切点和点 (1,0) 的连线互相垂直 .dy x y 1 2.求解方程.dxx y 3d 2 x dx 2。

3. 求解方程 x2( )dt dt4.用比较系数法解方程 . .5.求方程y y sin x 的通解.6.考证微分方程(cos x sin x xy 2 )dx y(1 x2 )dy0 是适合方程,并求出它的通解.311A X 的一个基解基解矩阵(t) ,求dXA X7.设 A,,试求方程组dX241dt dt 知足初始条件x(0)的解 .8.求方程dy2x13y2经过点 (1,0)的第二次近似解 . dx9.求dy)34xy dy8y20 的通解(dxdx10. 若A 21试求方程组 x Ax 的解(t ),(0)141,并求expAt2三、证明题1.若(t), (t ) 是 X A(t) X 的基解矩阵,求证:存在一个非奇怪的常数矩阵 C ,使得(t)(t )C .2.设 ( x) (x0 , x) 是积分方程y(x)y0x2 y( )]d ,x0 , x [ , ] [x0的皮卡逐渐迫近函数序列 {n (x)} 在 [,] 上一致收敛所得的解,而(x) 是这积分方程在 [ ,] 上的连续解,试用逐渐迫近法证明:在[,] 上( x)( x) .3. 设都是区间上的连续函数 ,且是二阶线性方程的一个基本解组 . 试证明 :(i)和都只好有简单零点(即函数值与导函数值不可以在一点同时为零);(ii)和没有共同的零点;(iii)和没有共同的零点.4. 试证:假如(t ) 是dXAX 知足初始条件(t0 )的解,那么(t) exp A(t t 0 ) dt.答案一 . 填空题。

数学系常微分方程期末试卷A及答案

数学系常微分方程期末试卷A及答案

(A)试卷说明:1、该门考试课程的考试方式:闭卷;2、 考试所用时间:120分钟。

3、 考试班级:数计学院数 11级一、填空题(每小题3分,本题共15分)1.方程x (y 2 1)dx y (x 2 1)dy 0所有常数解是2.方程y 4y 0的基本解组是3 .方程dy x 2 siny 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ___________________________ . 4•线性齐次微分方程组的解组 Y,X ),Y 2(X ), ,Y n (x )为基本解组的 _______________ 条件 是它们的朗斯基行列式 W (x ) 0 .5 .一个不可延展解的存在在区间一定是区间.、单项选择题(每小题3分,本题共15分)6 .方程—x 3 y 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是( ).(A )上半平面 (B ) xoy 平面(C )下半平面(D )除y 轴外的全平面7. 方程dy y 1()奇解.dx(A )有一个(B )有两个(C )无(D )有无数个8. n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是( )个. (A ) n(B ) n -1( C ) n +1(D ) n +2系院学计数考试本科考试科目常微分方程人题审师教课任号学一一名姓班试卷份数年月 日9、微分方程xlnx y y 的通解 ()B 、y c 1x l n x 1 D 、y GX In x 1c 2).(B )构成一个n 1维线性空间 (D )不能构成一个线性空间三、简答题(每小题6分,本题共30分) “解方程dy e x y12•解方程(x 2y )dx xdy 0A 、y c 1xln x c 2 C 、y xlnx10. n 阶线性非齐次微分方程的所有解((A )构成一个线性空间 C )构成一个n 1维线性空间dy y13.解方程1dx x14•解方程e y dx (xe y 2y)dy 0d x dx15•试求 3 2x 0的奇点类型及稳定性dt2dt四、计算题(每小题10分,本题共20分)1 X16.求方程y y _e的通解217.求下列方程组的通解dxdt dy dt2x y五、综合能力与创新能力测试题(每小题10分,本题共20分)18.在方程y p(x)y q(x)y 0中,p(x), q(x)在(,)上连续,求证:若p(x)恒不为零,则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式W(x)是(,)上的严格单调函数.19 .在方程y p(x)y q(x)y 0中,已知p(x),q(x)在(,)上连续.求证:该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切.12-13-2学期期末考试《常微分方程》A 参考答案及评分标准(数学与计算机科学学院)制卷____ 审核 _____________、填空题(每小题3分,本题共15分)1. y 1, x 12. sin 2x, cos2x3. xoy 平面 4 .充分必要5 .开、单项选择题(每小题3分,本题共15分)6. D7. C8. A 9. D 10. D三、简答题(每小题6分,本题共30分)11•解分离变量得e y dy e xdx等式两端积分得通积分e y e x C12.解方程化为业1 2》 dx x令y xu ,贝Uu x-du ,代入上式,得 dx dxdu x 1 u dx 分量变量,积分,通解为u Cx 1原方程通解为y Cx 2 x13.解 对应齐次方程 d ' 的通解为dx xy Cx(2 分)令非齐次方程的特解为y C (x )x(3 分)(3分)(6分)(2分)(4分)(5分)代入原方程,确定出// \ 1 c (X )-X再求初等积分得C (x ) ln x C因此原方程的通解为y Cx + xl nx14 •解: 由于卫 e y —,所以原方程是全微分方程.y x取(X 0, y 。

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常微分方程期末考试试卷
学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______
一. 填空题 (30分)
1.)()(x Q y x P dx
dy
+= 称为一阶线性方程,它有积分因子 ⎰
-dx x P e )( ,其通解为 _________ 。

2.函数),(y x f 称为在矩形域R 上关于y 满足利普希兹条件,如果
_______ 。

3. 若)(x ϕ为毕卡逼近序列{})(x n ϕ的极限,则有)()(x x n ϕϕ-≤ ______ 。

4.方程22y x dx
dy
+=定义在矩形域22,22:≤≤-≤≤-y x R 上,则经过点(0,0)的解的存在区间是 _______ 。

5.函数组t t t e e e 2,,-的伏朗斯基行列式为 _______ 。

6.若),,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组,)(t x -
为非齐线性方 程的一个特解,则非齐线性方程的所有解可表为 ________ 。

7.若)(t Φ是x t A x )('=的基解矩阵,则向量函数)(t ϕ= _______是
)()('t f x t A x +=的满足初始条件0)(0=t ϕ的解;向量函数)(t ϕ= _____
是)()('t f x t A x +=的满足初始条件ηϕ=)(0t 的解。

8.若矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量n v v v ,,,21 ,它们对应的特征值分别为n λλλ ,,21,那么矩阵)(t Φ= ______ 是常系数线性方程组
Ax x ='的一个基解矩阵。

9.满足 _______ 的点),(**y x ,称为驻定方程组。

二. 计算题 (60分)
10.求方程0)1(24322=-+dy y x dx y x 的通解。

11.求方程0=-+x e dx
dy
dx dy
的通解。

12.求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=--=0
)1(2
2y y x dx dy
1,11:≤≤+y x R 的解的存在区间,并求
第二次近似解,给出在解的存在区间的误差估计。

13.求方程t t x x 3sin 9''=+的通解。

14.试求方程组)('t f Ax x +=的解).(t ϕ
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1)(,3421,11)0(t e t f A ϕ 15.试求线性方程组52,1972+-=+-=y x dt
dy
y x dt dx 的奇点,并判断奇点的类型及稳定性。

三.证明题 (10分)
16.如果)(t ϕ是Ax x ='满足初始条件ηϕ=)(0t 的解,那么
[]ηϕ)(ex p )(0t t A t -=
常微分方程期终考试试卷答案
一.填空题 (30分)
1.))(()()(⎰+⎰⎰
=-c dx e x Q e y dx
x P dx
x P
2.),(y x f 在R 上连续,存在0>L ,使2121),(),(y y L y x f y x f -≤-,对于
任意R y x y x ∈),(),,(21
3.
1)!
1(++n n h n ML 4.4
141≤≤-
x 5.t
t
t
t t t
t t
t
e e e e e e e e e 22242---- 6.)()()(1
t x t x c t x i n
i i -
=+=∑
7.ds s f s t t t )()()(10
-ΦΦ⎰ ds s f s t t t t
t )()()()()(0
101⎰--ΦΦ+ΦΦη
8.[]
n t t t v e v e v e n λλλ,,,2121 9.0),(,0),(==y x Y y x X
二.计算题 (60分)
10.解:
y x x
N
y x y M 226,8=∂∂=∂∂ y
M x N y M 21-=-∂∂-∂∂ 积分因子2121)(--=⎰=y e y dy y
μ
两边同乘以)(y μ后方程变为恰当方程:0)1(2432
13
2
2
=-+-
dy y x y dx y x
32
24y x M x
u
==∂∂ 两边积分得:)(3423
3y y x u ϕ+=
21
2
13'21322)(2--==+=∂∂y y x N y y x y
u ϕ
得:2
14)(y y -=ϕ
因此方程的通解为:c y x y =-)3(32
1
11.解:令
p y dx
dy
==' 则0=-+x e p p 得:p e p x +=
那么⎰⎰+==dp e p pdx y p )1(
c e pe p p p +-+=2
2
因此方程的通解为:⎪⎩⎪
⎨⎧+-+=+=c e p p y e p x p
p )1(22
12.解:4),(max ),(==∈y x f M R
y x
b y y a x x =≤-=≤-1,100,4
1
),min(==M b a h 解的存在区间为4
110=≤+=-h x x x 即4
345-≤≤-
x 令0)(00==y x ϕ
3
1
30)(312
1+=
+=⎰-x dx x x x
ϕ 4211
918633)313(0)(47312322+---=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+-+=⎰-x x x x dx x x x x
ϕ

L y y
f
=≤-=∂∂22 误差估计为:24
1
)!1()()(12=+≤-+n n h n ML x x ϕϕ
13.解:i i 3,309212-==⇒=+λλλ
i 3=λ是方程的特征值, 设it e B At t t x 3)()(+=-
得:it e At Bi Ait Bt A x 32")961292(-++-= 则t Bi Ait A =++6122
得:36
1
,121=-=B i A
因此方程的通解为:t t t t t c t c t x 3sin 36
1
3cos 1213sin 3cos )(221+-+=
14.解:0)5)(1(3
4
2
1
)det(=-+=----=
-λλλλλA E
5,121=-=λλ
0)(11=-v A E λ 得 ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=αα1v 取⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=111v
0)(22=-v A E λ 得 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ββ22v 取⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=212v
则基解矩阵⎥⎦

⎢⎣⎡-=Φ-t t
t t
e e
e e t 552)( ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ΦΦ-----t t t t
t t
e e e e
e e t 11212
101
2)0()(551
η


⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+--+=ΦΦ⎰-51211035241203)()()(551
0t t t t t t e e e e ds s f s t
因此方程的通解为:⎰--ΦΦ+ΦΦ=t
t ds s f s t t t 0
)()()()0()()(11ηϕ

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++---+=--512110
3524120
355t
t t t t t e e e e e e
15.解:⎩⎨
⎧==⇒⎩⎨⎧=+-=+-3
1
05201972y x y x y x
(1,3)是奇点
令2
5
,219-=+=y Y x X
Y x dt
dY
y X dt dX 2,72-=-=
023*******≠-
-=--,那么由023072217
22=-+-=
+--λλλλλ 可得:i i 3,321-==λλ 因此(1,3)是稳定中心
三.证明题 (10分)
16.证明:由定理8可知ds s f s t t t t t
t )()()()()()(0101⎰--ΦΦ+ΦΦ=ηϕ
又因为)ex p()(ex p )(,ex p )(01001At At t At t -==Φ=Φ-- 0)(=s f
所以ηϕ)ex p(ex p )(0At At t -⋅= 又因为矩阵)()()()(00At At At At ⋅-=-⋅
所以[]
ηϕ)(ex p )(0t t A t -=
02412--11 章小燕。

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