反弯点法

水平荷载作用下的反弯点法
1.受力特点
风荷载或水平地震对框架结构的作用，一般可简化为作用于框架节点上的水平集
中力，在此荷载的作用下，框架结构上的弯矩特征如图3-2-7所示，变形如图3-2-8所示。

其受力与变形具有如下特点
（1）各杆的弯矩为直线分布，且每个杆均有一个零弯矩点即反弯点；
（2）在固定端处，角位移为零,但上部各层节点均有转角存在,节点的转角随梁柱线刚度比的增大而减小；
（3）如忽略梁的轴向变形，同层内各节点具有相同的侧向位移，同层各柱具有相同的层间位移。

2.解题思路
鉴于框架结构在水平荷载作用下具有上述受力变形特点，如能求出各柱的反弯点位置及反弯点处的剪力，就可以利用静力平衡条件求出各杆件的内力。

因此解题的关键是确定各柱反弯点的位置及反弯点处的剪力。

3.基本假定
由受力特点可知，框架受力后节点会产生转角和侧移，但根据分析，当梁与柱的线刚度之比大于3时，节点转角很小，对内力影响不大，故可忽略即转角 =0（图3-2-9），实际上这等于是把框架梁简化为一刚性梁。

基本假定如下：
（1）在求各柱子的剪力时，假定梁与柱的线刚度比为无穷大，即各节点转角为零；（2）在确定柱的反弯点位置时，假定除底层以外的其余各柱，受力后上下两端转角相同；(图3-2-10)
（3）梁端弯矩可按梁的线刚度进行分配。

4.柱的反弯点高度
——反弯点高度，指反弯点至柱下端的距离。

对于底层以上的各层柱，根据假定（2），各柱的上下端转角相等,则柱的上下端弯矩也应相同,所以反弯点在柱中部。

对于底层柱,当柱脚固定时,柱下端转角为零(图
3-2-11(a))，上端转角为，因此柱上端弯矩比下端弯矩小,其反弯点则偏离柱中点而向
上移,可取在层高处。

各柱反弯点的高度为：
底层柱
其余各柱
5.各柱反弯点处的剪力
设框架结构共有n层，每一层有m 个柱子，框架节点上作用有水平荷载、……，如图3-2-12(a)所示。

（1）第j层所受到的总剪力
将框架沿第j层各柱的反弯点处切开，代以剪力和轴力，如图3-2-12(b)所示，本层总剪力为。

根据内外力平衡条件有
3-2-1
式中——外荷载在第j所产生的总剪力；
——第j层至第n层的水平荷载之和。

（2）第j层第k柱所承受的剪力
由外荷载所产生的第j层剪力由本层m个柱子共同承担，即
3-2-2
式中——第j层第k柱所分担的剪力。

同层中各柱所分担的剪力的大小，与各柱自身抵抗水平位移的能力有关，即与柱子的抗侧移刚度有关，由力学知识可知。

3-2-3 式中i c——柱子的线刚度；
——柱子的抗侧移刚度，它是使柱子上下两端产生相对单位水平位移所施
加的水平力（如图3-2-13所示）。

对第j层第k柱，在作用下，柱
顶产生单位侧移，在剪力作用下，将产生侧移，与的关系可表示为
3-2-4
由基本假定（3）可知，同层各柱
顶位移相同，即
所
3-2-5 以有
将式3-2-5代入式3-2-2中有
由此得3-2-6
将式3-2-6代入式3-2-5得
3-2-7 式中——第j层第k柱的抗侧刚度；
——第j层的m个柱子的抗侧刚度之和；
——第j层及以上各层节点水平荷载之和。

由式3-2-6可知，水平荷载作用下同层各柱的剪力是根据各自的抗侧刚度的大小来进行分配的。

当同层各柱的高度相同
时，有，即此时各柱的剪力可按柱子的线刚度的大小进行分配。

6.柱端弯矩及梁端弯矩的计算
（1）柱端弯矩
根据柱的反弯点位置及反弯点处
的剪力，即可求出柱端弯矩。

对于底层柱，有：
3-2-8
3-2-9 对于上部各层柱，有：
3-2-10 上式中上标t、b分别表示柱的顶端与底端。

（2）梁端弯矩
求出各柱端弯矩后，利用节点弯矩平衡条件即可求得梁端弯矩。

对边柱节点（图3-2-14(a)），有：
3-2-11 式中——边节点梁端弯矩；
、——节点上、下柱端弯矩。

对于中柱节点（图3-2-14(b)），先求出梁端总弯矩：
3-2-12 再根据节点两侧梁线刚度的大小，将总弯矩（）分配到各梁上去，即：
3-2-13
3-2-14
式中：、——分别为节点左、右两侧的梁端弯矩；
、——分别为节点左、右两侧梁的线刚度。

至此可以确定整个框架的弯矩图。

7.梁端剪力及柱子轴力
以各个梁为脱离体，将梁的左、右端弯矩之和除以梁跨长，便得梁端剪力（图3-2-15）。

将每层每跨的梁端剪力求出后，自上而下逐层叠加节点左右的梁端剪力，即可得到柱的轴向力（图3-2-16）。

水平荷载作用下的D值法
D值法又称为修正反弯点法。

它是在反弯点法的基础上，进行了某些改进而形成的。

1.反弯点法的不足
（1）反弯点法假定梁与柱的线刚度比为无穷大，框架柱的抗侧刚度只与各柱的线刚度及柱高h有关，这种假定与实际结构有差异。

当梁柱线刚度比较为接近时，柱的抗侧刚度不仅与柱的线刚度及层高有关，还与节点梁柱线刚度比有关。

（2）在反弯点法中，柱反弯点的高度取为定值，而实际上，柱反弯点的位置是随梁柱线刚度比、该柱所在楼层的位置、与柱相邻的上下层梁的线刚度以及上下层层高等因素的不同而变化的。

D值法是在综合考虑了各种影响因素后，对上述两个参数进行了一定的修正，使得计算结果更接近了框架的实际受力状况。

2.D值法的基本假定
（1）柱AB端节点及与之相邻各杆远端的节点转角均为；柱AB及相邻的柱的
旋转角均为（）。

（2）柱AB及与其上下相邻的柱的线
刚度均为；
（3）与柱AB相交的横梁的线刚度分
别为、、、。

根据基本假定，柱AB及相邻各杆件受力后的变形状态如图3-2-17所示。

可。