等差数列与等比数列的综合问题

等差数列与等比数列的综合问题

【知识要点】

（一）等差、等比数列的性质 1.等差数列{a n }的性质 （1）a m =a k +（m －k ）d ，d =

k

m a a k

m --.

（2）若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列{λa n +b }（λ、b 为常数）是公差为λd 的等差数列；若{b n }也是公差为d 的等差数列，则{λ1a n +λ2b n }（λ1、λ2为常数）也是等差数列且公差为λ1d +λ2d .

（3）下标成等差数列且公差为m 的项a k ，a k +m ，a k +2m ，…组成的数列仍为等差数列，公差为md . （4）若m 、n 、l 、k ∈N *，且m +n =k +l ，则a m +a n =a k +a l ，反之不成立.

（5）设A =a 1+a 2+a 3+…+a n ，B =a n +1+a n +2+a n +3+…+a 2n ，C =a 2n +1+a 2n +2+a 2n +3+…+a 3n ，则A 、B 、C 成等差数列.

（6）若数列{a n }的项数为2n （n ∈N *），则S 偶－S 奇=nd ，奇

偶S S =

n

n a a 1+，S 2n =n （a n +a n +1）（a n 、a n +1为中

间两项）；

若数列{a n }的项数为2n －1（n ∈N *

），则S 奇－S 偶=a n ，

奇

偶S S =

n

n 1

-，S 2n －1=（2n －1）a n （a n 为中间项）. 2.等比数列{a n }的性质

（1）a m =a k ·q m －

k .

（2）若数列{a n }是等比数列，则数列{λ1a n }（λ1为常数）是公比为q 的等比数列；若{b n }也是公比为q 2的等比数列，则{λ1a n ·λ2b n }（λ1、λ2为常数）也是等比数列，公比为q ·q 2.

（3）下标成等差数列且公差为m 的项a k ，a k +m ，a k +2m ，…组成的数列仍为等比数列，公比为q m . （4）若m 、n 、l 、k ∈N *，且m +n =k +l ，则a m ·a n =a k ·a l ，反之不成立.

（5）设A =a 1+a 2+a 3+…+a n ，B =a n +1+a n +2+a n +3+…+a 2n ，C =a 2n +1+a 2n +2+a 2n +3+…+a 3n ，则A 、B 、C 成等比数列，设M =a 1·a 2·…·a n ，N =a n +1·a n +2·…·a 2n ，P =a 2n +1·a 2n +2·…·a 3n ，则M 、N 、P 也成等比数列.

（二）对于等差、等比数列注意以下设法：

如三个数成等差数列，可设为a －d ，a ，a +d ；若四个符号相同的数成等差数列，知其和，可设为a －3d ，a －d ，a +d ，a +3d .三个数成等比数列，可设为

q

a

，a ，aq ，若四个符号相同的数成等比数列，知其积，可设为

3

q

a ，q a ，aq ，aq 3

. （三）用函数的观点理解等差数列、等比数列

1.对于等差数列，∵a n =a 1+（n －1）d =dn +（a 1－d ），当d ≠0时，a n 是n 的一次函数，对应的点（n ，a n ）是位于直线上的若干个点.当d ＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d =0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d ＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数.

若等差数列的前n 项和为S n ，则S n =pn 2+qn （p 、q ∈R ）.当p =0时，{a n }为常数列；当p ≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题.

2.对于等比数列：a n =a 1q n －

1.可用指数函数的性质来理解.

当a 1＞0，q ＞1或a 1＜0，0＜q ＜1时，等比数列是递增数列；

当q =1时，是一个常数列.

当q ＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列. ●点击双基

1.等比数列{a n }的公比为q ，则“q ＞1”是“对于任意自然数n ，都有a n +1＞a n ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

2.已知数列{a n }满足a n +2=－a n （n ∈N *），且a 1=1，a 2=2，则该数列前2002项的和为 A.0 B.－3 C.3 D.1

3.若关于x 的方程x 2－x +a =0和x 2－x +b =0（a ≠b ）的四个根可组成首项为4

1

的等差数列，则a +b 的值是

A.

8

3

B.

24

11

C.

24

13

D.

72

31 4.在等差数列{a n }中，当a r =a s （r ≠s ）时，数列{a n }必定是常数列，然而在等比数列{a n }中，对某些正整数r 、s （r ≠s ），当a r =a s 时，非常数列{a n }的一个例子是___________________.

5.等差数列{a n }中，a 1=2，公差不为零，且a 1，a 3，a 11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于___________________. 【典型例题】

例1 已知{a n }是等比数列，a 1=2，a 3=18；{b n }是等差数列，b 1=2，b 1+b 2+b 3+b 4=a 1+a 2+a 3＞20. （1）求数列{b n }的通项公式；（2）求数列{b n }的前n 项和S n 的公式； （3）设P n =b 1+b 4+b 7+…+b 3n －2，Q n =b 10+b 12+b 14+…+b 2n +8， 其中n =1，2，…，试比较P n 与Q n 的大小，并证明你的结论.

例2 已知等差数列{a n }的首项a 1=1，公差d ＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b n }的第二项、第三项、第四项.

（1）求数列{a n }与{b n }的通项公式；

（2）设数列{c n }对任意正整数n 均有11b c +22mb c

+323b m c +…+n

n n b m c 1 =（n +1）a n +1成立，其中m 为不等于零的常数，求数列{c n }的前n 项和S n .