质点系动能定理

质点系动能定理的有限形式
在任意路程中，质点系动能的变化，
等于作用在质点系上的所有外力和内力
的功之和。
T2 T1
We
Wi
用主动力和约束反力表达的动能定理
把外力和内力视为主动力和约束反力
dT dWe dWi dWF dWN
当所有约束为理想约束时， 或
dWN 0
T2 T1 WF
dT
解∶动能改变量
P
滚动摩擦不计
T T T0
T0 0
T
1 2
M vc 2
1 2
Jc
2
JC 2
1 2
P r 2 2
g
T
1 2
P g
vc 2
1 4
P g
vc 2
3 4
P g
vc 2
主动力和约束反力的功 设质心运动了 s
ys
法向反力和摩擦力都不作功
r ∑W Ps sin
C
T W
P
滚动摩擦不计
dWF
在任意一段路程中， 具有理想约束的质点
质点系动能的微小变化 系的动能变化，等于
等于作用于该质点系上 作用在质点系上的所
所有主动力的元功之和。有主动力的功之和。
评价 T2 T1 W e W i
都被广泛应用 T2 T1 WF
用于内力功之和
为零的质点系 处理的问题
比较普遍
用于约束反力的功之和 为零的质点系
速度关于时间 的一次导数。
s
r2C
B
r1 M
P
解∶ T0 0
T
1 2
J112
1 2
J 222
1 2
P g
v2
W M2 Ps
质点系的运动 R A
B
学关系为∶
1
v R
2
r1 r2 R
v
s
r2C
r1 M
D
1 2
r2 r1
2
r1 r2
1
P
2
r1 r2 R
s
T W
(1 2
J112
1 2
J 222
∴3 4
P g
vc 2
Ps sin
对
3 4
P g
vc
2
Ps sin
关于时间求导
3 4
P g 2vc
dvc dt
P ds sin
dt
ac
vc
ac
2 3
g sin
为求摩擦力F和法向约束反力N，应用质
心运动定理∶
Mxc
ys
P g
ac
P sin
F
r Myc 0 N P cos
C
F
P
s in
转子对CD轴的转动惯量
为J2
RA
B
r1
求重物从静止
r2
上升距离S时， s
C
D
其速度和加速度。
重物重为P v a 电机转矩M为常数
解法∶
1、应用质点系的动能定理。
2、把卷筒、大齿轮、小齿轮、重物、联轴节
和电机看成质点系。
3、质点系所受的力分为主动力和约束反力。
4、应用有
限形式的 动能定理。
RA
5、加速度是
处理问题方便
1、求解作用于物体 动能定理的表达是数性方程 上的主动力。
2、求解物体所行的 距离。
3、求解物体运动的 速度和加速度。
有时需要用运动 学或动力学方程 联合解决问题。
应用举例
提升机 斜面上的圆柱
打桩机
提升机 大齿轮与卷筒对AB轴的转动
摩擦及钢丝惯量为J1 小齿轮、联轴节和电机
绳质量不计
外力的元功 内力的元功
d(1 2
mivi2 )
dWi e
dWi i
2、把n个方程相加
d
(
1 2
mv2 )
dW
e
dW
i
或 dT dW e dW i
这就是质点系的动能定理。
质点系动能定理的形式
质点系动能定理的微分形式
质点系动能的微小变化，等于作用在
质点系上的所有外力和内力的元功之和。
dT dW e dW i
14-5质点系动能定理
如何得到质点系的动能定理 质点系动能定理的形式 质点系动能定理的评价 应用举例
如何得到质点系的动能定理
方法
1、写出质点系第i个质点的动能定理 2、这种方程有n 个，把其左边加左边，右边
加右边。
具体实施 1、质点系描述∶
有n个质点，
对第i个质点Mi , 速度vi ,质量mi
质点Mi的动能定理
P g
ac
1 3
P sin
P
滚动摩擦不计
N P cos
锤头重为P1，
打桩机 从离桩顶为h处落下
打在重为P2的桩上，
h
使桩钻泥土深度为
求泥土对桩的平均阻力R的大小。 设锤与桩的碰撞为塑性碰撞。
解∶碰撞时
T
1 2
P1 P2 g
u2
1 2
P1 g
v12
0
u2
P1
P1 P2
v12
P1
P1 P2
2gh
碰撞后，外力作的功 W (P1 P2 ) R
T 0 1 P1 P2 u 2 2 g (P1 P2 ) R
T W
1 P1 P2 u 2 1 P1 P2 u2 R
2g
2g
(P1 P2 ) R 把u2 P1 2gh代入上式
P1 P2
R
P1
P2
(P1
P12h P2
Fra Baidu bibliotek
)
P1
P2
(P1
P12h P2
)
R P12h
(P1 P2 )
1 2
P g
v2)
0
(
M 2
M r1 R r2
Ps 1
P)s
v R
2
2
r1 v r2 R r1
r2 R
s
[ J1 J2 ( r1 )2 P ]v2 0
R2 R2 r2
g
所以
v=
2( M r1 P)s
R r2
J1 R2
J2 R2
( r1 r2
)2
P g
[ J1 R2
J2 ( r1 )2 P]v2 0 R2 r2 g
(M R
r1 r2
P)s
1 2
[
J1 R2
J2 R2
(
r1 r2
)2 P ]2va ( M
g
R
r1 r2
P)v
所以
a=
M r1 P
R r2
J1 R2
J2 R2
( r1 r2
)2
P g
斜面上的圆柱从静止开始无滑动的滚下。
求∶(1)质心的加速度 ac
r C
(2)斜面的法向反力N
(3)斜面的摩擦力F