第14讲柯西中值定理与洛必达法则2009

第14讲 柯西中值定理与洛必达法则
讲授内容
一、柯西中值定理
定理 6.5(柯西（cauchy ）中值定理) 设函数f 和g 满足 (i)在],[b a 上都连续；(ii)在(b a ,)上都可导；(iii))()(x g x f ''和不同时为零；(iv)),()(b g a g ≠ 则存在),,(b a ∈ξ使得
.)
()()()()
()(a g b g a f b f g f --=''ξξ
证：作辅助函数)).()(()
()()()()()()(a g x g a g b g a f b f a f x f x F ----
-=易见)(x F 在],[b a )上满足罗尔定理
条件，故存在),(b a ∈ξ，使得.0)()
()()()()()(='---
'='ξξξg a g b g a f b f f F
因为0)(≠'ξg (否则由上式)(ξf '也为零)，所以得证.
例1 设函数f 在[a,b])0(>a 上连续，在(b a ,)内可导，则存在),(b a ∈ξ，使得 .ln
)()()(a b f a f b f ξξ'=-
证：设x x g ln )(=，显然它在],[b a 上与)(x f 一起满足柯西中值定理条件，于是存在b a ,(∈ξ)，使得
+
→0
lim
x .1
)(ln ln )()(ξ
ξf a
b a f b f '=
--整理便得所要证明的等式．
二、不定式极限
现在我们将以导数为工具研究不定式极限，这个方法通常称为洛必达(L ’Hospital)法则． 1．
0型不定式极限
定理6.6 若函数f 和g 满足：(i)0)(lim )(lim 0
==→→x g x f x x x x ；(ii)在点0x 的某空心邻域)(0x U 内两者都
可导，且0)(≠'x g ；A x g x f x x =''→)
()(lim
(A 可为实数，也可为±∞或)∞，则.)
()(lim
)
()(lim
A x g x f x g x f x x x x =''=→→
证：补充定义0)()(00==x g x f ，使得f 与g 在点0x 处连续．任取x ∈)(0x U ，在区间[x x ,0] (或[0,x x ]上应用柯西中值定理，有
,)
()()
()()()(00ξξg f x g x g x f x f ''=--即
)
()()
()(ξξg f x g x f ''=
(ξ介于).0之间与x x
当令0x x →时,也有,0x →ξ使得.)
()(lim
)
()(lim
)
()(lim
A x g x f g f x g x f x x x x x x =''=''=→→→ξξ
注意 若将定理6.6中0x x → 换成,,,,00∞→±∞→→→-
+x x x x x x 也可得到同样的结论.
例2 求 .tan
cos 1lim
2
x
x x +→π
解：容易检验x x f cos 1)(+=与x x g 2
tan
)(=在点π=0x 的邻域内满足定理6．6的条件(i)和(ii)，又因
2
12
c o s lim
sec
tan 2sin lim
)
()(lim
3
2
=
-=-=''→→→x x
x x x g x f x x x π
π
π
故由洛必达法则求得.2
1)
()(lim
)
()(lim
=
''=→→x g x f x g x f x x π
π
例3 求.)
1ln()21(lim
2
21
x x e
x
x ++-→
解：利用)1ln(2
x +～),0(2
→x x 则得
x
x e x
x e x x e x
x x
x x
x 2)
21(lim
)21(lim
)
1ln()21(lim
2
10
2
2
1
2
2
1
-
→→→+-=+-=++-=12
22
)
21(lim
2
30
==
++-
→x e x
x
求
.1x
e
x -
例4
解：这是
0型不定式极限，可直接运用洛必达法则求解．但若作适当变换，在计算上可方便些．为此，
令x t =
，当+→0x 时有+
→0t ，于是有.11lim 1lim 1lim
-=-=-=-+
+
+
→→→t
t t
t x
x t e
e
t e
e
2．
∞
∞型不定式极限
定理6.7 若函数f 和g 满足：(i) ;)(lim )(lim 0
0∞==++→→x g x f x x x x ii ）在某右邻域)(00
x U +内两者都可导，
且;0)(≠'x g （iii ）A x g x f x x =''+
→)
()
(lim
(A 可为实数，也可为±∞∞,)，则.)
()(lim )
()
(lim
A x g x f x g x f x x x x =''=+
+
→→
注：定理6.7对于00,x x x x →→-。

或∞←±∞→x x ,等情形也有相同的结论．
例5 求.ln lim
x
x x +∞
→ 解：.01lim
)()(ln lim
ln lim
=='
'=+∞
→+∞
→+∞
→x
x x x
x x x x
例6 求.lim
3
x
e x x +∞
→ 解：.6
lim
6lim
3lim
lim
2
3
+∞====+∞
→+∞
→+∞
→+∞
→x
x x
x x x x x e
x
e
x
e
x
e
注：不能对任何比式极限都按洛必达法则求解．首先必须注意它是不是不定式极限，其次是否满足洛必达法则的其他条件．1sin lim
=+∞
→x
x
x x ，虽然是
∞
∞型，但若不顾条件随便使用洛必达法则：
,1
cos 1lim
sin lim
x
x
x
x x x +=+∞
→∞→ 就会因右式的极限不存在而推出原极限不存在的错误结论．
3．其他类型不定式极限
不定式极限还有∞-∞∞∞⋅∞00,0,1,0等类型．它们一般均可化为0
0型或
∞
∞型的极限。

例7 求
ln lim 0
x x x +→
解：这是一个∞⋅0型不定式极限，.0)(lim 11
lim 1ln lim
ln lim 02
=-=-
==++
+
+
→→→→x x
x
x
x
x x x x x x 例8 求.)(cos lim 2
1
x
x x →
解：这是一个“∞
1”型不定式极限．作恒等变形,)(cos cos ln 1
12
2
x
x
x
e
x =
其指数部分的极限x x
x cos ln 1lim
2
→是
0型不定式极限，可先求得
,2
12tan lim
cos ln lim
2
-=-=→→x
x x
x x x 从而得到2
11
2
)
(cos lim -→=e x x
x 。

例9 求x k
x x ln 10
)(sin lim +→+ （k 为常数）。

解：这是一个00型不定式极限，按上例变形的方法，先求
∞
∞型极限：
,s i n c o s lim 1sin cos lim ln 1sin ln lim
k x
x x k x
x
x
k x
x
k x x x =⋅
==+++
+
→→→
然后得到 k
x k
x e x =+→+ln 10
)(sin lim )0(≠k 。

当k =0时上面所得的结果显然成立．
例10 求x
x x x ln 1
)
1(lim 2
++
+∞
→。

解 这是一个0∞型不定式极限．类似地先求其对数的极限(
∞
∞型)：
,1111
lim
ln )
1ln(lim
2
2
=+=+++∞
→+∞
→x
x x
x x x x 于是有.)
1(lim ln 1
2
e x x x
x =++
∞
→
例11 求).ln 11
1(
lim 1
x
x x -
-→
解：这是一个∞-∞型不定式极限，通分后化为
0型的极限，即
.2
1ln 21lim
ln 11lim
ln 11
1
lim ln )1(1
ln lim )ln 111(lim 1
1
111-
=+-=+--=+--=-+-=--→→→→→x
x
x x x x
x
x x
x x x x x
x x x x x x
例12 设{
,)
(0
,0)(≠==x x
x g x x f 且已知0)0()0(='=g g ，3)0(=''g ，试求).0(f '
解：因为
,)
(0
)
0()(2
x
x g x f x f =
--所以由洛必达法则得
.23)0(210
)
0()(lim
212)(lim
)(lim
)0(0
02
=
''=-'-'='=='→→→g x g x g x
x g x
x g f x x x
注：(1)上例解法中，已知条件0)0(=g 用在何处? (2)如果用两次洛必达法则，得到==' )0(f x
x g x 2)(lim 0
'→.2
3)0(2
12
)(lim
=
''=
''=→g x g x 错在何处?
例13 求数列极限n
n n
n
)111(lim 2
+
+
∞
→。