B样条曲线矩阵
离散点拟合曲线-Bezier-B样条

b1 y1 y0
b2
1 2
(
y0
2
P1
y1
y2 )
2. 二次B 样条曲线的特点
①起点为P0、P1点的中点,
并与线段P0P1相切;
P0
P2
§3 B样条曲线
②终点为P1、P2点的中点,并与线段P1P2相切; ③除起点、终点外,中间点将曲线拉向自己。
④二次B 样条曲线为“平均通过式”曲线
3. 多点时二次B 样条曲线的应用
pj() pj() 及 pj() pj() 称两曲线段在连接点 pj 处的光滑连接达到C 2连续。
。 显然C 2连续比C 1连续要求更高,曲线的连接更光滑。
另外还有更高的连续标准,但对一般绘图,曲线段的 连接满足C 1或C 2连续,其光滑已足够。
§2 贝塞尔曲线
一、Bezier 曲线
1. 特征多边形
§3 B样条曲线
P1 P0
……
Pn-1 Pn
Ps
边界处理示意图
Pe
Ps 在 P1 、P0 的延长线上,且 Ps0 P01
Pe 在Pn1、Pn 的延长线上,且 Pen Pnn1
y(t
)
b0
b1t
b2t
2
(0 t 1)
其中
a0 x0 a1 2( x1 x0 ) a2 x0 2x1 x2
b0 y0 b1 2( y1 y0 ) b2 y0 2 y1 y2
绘制方法:将参数 t 的区间[0 , 1]划分为 n 等份,依 次取t = 1/n , 2/n , 3/n , … ,利用曲线参数方程计算对应的 各点坐标,并用直线段依次连接各点。
对于这类曲线的绘制,首先要找出一种合理的拟合方 法来设计曲线方程。
基于广义逆矩阵的B样条曲线的节点消去与光顺

摘 要 : 研究 了 B样条曲线 节点 的消去 问题 , 了 B样条 曲线 内部 节 点 精 确 消 去 的 充 要 条 件 。基 于 广 义 简化
逆 矩 阵方 法 , 过 升 阶 和最 小 二 乘 逼 近 等 步 骤 , 出 了节 点 消 去 的 个 新 算 法 , 用 于 光 顺 B样 条 曲 线 。 通 给 并
于 曲线 的光 顺 问 题 。不 过 , 消去 节 点通 常会 改变
原样条 曲线 的形状 , 因此 , 点消去 问题通 常是一 节
个 逼 近 问 题 。
使其具 有局部 性质 , 能描 述复杂 形状 , 并且解 决 了 采用 B z r 4i 样条 所带 来 的拼接 问题 口 。 e ] B样 条 曲线 有 着 一 整套 完 整 的算 法 , 中一 其
L c e等 人 r 采 用 全 局 逼 近 技 术 对 节 点 排 yh 2 ]
序 , 次 消 去 较 小The s fce ta c s a y c nd to o e o i g k ufii n nd ne e s r o ii n f rr m v n not fB・ p i ur e x c l ssm — s o - lne c v s e a ty i i - s pl id.Tbe a e ve t e r mo a e k t fo t e kno e ue e by m e n f ie f n we h ve r mo d h e v bl no s r m h t s q nc a s o
t o y o ne ai e n r e m a r x W ih t r e s o itng a e s q a e p o i he r fge r lz d i ve s ti. t he p oc s flfi nd l a t s u r s a pr x —
三次周期B样条曲线的算法

(2)的矩阵的形式:p0 = pN, pN+1 = p1.
4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 … 1 1 p1 p2 . . . pN-1 pN Q1 Q2 . . . QN-1 QN
=6
1 4 1 1 4
(3)的矩阵的形式:p0 = p1, pN+1 = pN.
6 -6 1 4 1 1 4 1 1 4 1 … 1 4 1 6 -6 p0 p1 p2 . . . pN pN+1 0 Q1 Q2 . . . QN-1 QN 0
P′(u) = 1/6(3u2 2u 1)
-1 3 -3 1 = ½ (u2 u 1) 2 -4 2 0 -1 0 1 0
P′′(u) = (u 1) -1 3 -3 1 1 -2 1 0
p0 p1 p2 p3
三次B样条的性质
• C2连续性 记 Pk(u)为对应于控制点pk, pk+1,pk+2 和pk+3. Pk(1) = (pk + 4pk+1 + pk+2)/6 = Pk+1(0),这是连续性 Pk′(1) = ½ (pk+3 – pk+1) = Pk+1′(0),这是C1连续性 Pk′′(1) = pk+1 -2pk+2 +pk+3 = Pk+1′′(0),这是C2连续性
第七章 B样条曲线

V2k、V3k和V4k四个点, 该四点构成u向的一个特
d1
征多边形,定义一条新 2
的曲线P(u,vk);
d11
v
d14
d13
C1 d22
d23
C2 d32
d21
d31
u
d24 d33 C3 d4
2
d41
d34
d44 d43
C4
v
C1
C2 C3
V1k
V2k V3k
u
C4
V4k
✓当参数vk在[0,1] 之间取不同值时, P(u,vk)沿箭头方向扫描,即得到由 给定特征网格dij(i=1,2,3,4 j=1,2,3,4) 定义的双三次均匀B样条曲面片 P(u,v)。
t [0,1]
1
2
3
4
5
t
四段二次(三阶)均匀B样条基函数
曲线的起点和终点值:
pi
(0)
1 2
(Pi
Pi 1 ),
pi
(1)
1 2
(Pi1
Pi2 )
均匀二次B样条曲线起点和终点处的导数:
pi(0) Pi1 Pi , pi(1) Pi2 Pi1
P1
P2
P0
P3
四个控制点的二次周期性B样条曲线
第七章 B样条曲线曲面
Bezier曲线有许多优越性,但有几点不足: 一、控制多边形的顶点个数决定了Bezier曲线的
阶次; 二、不能作局部修改; 三 、Bezier曲线的拼接比较复杂。
• 1972年,Gordon、Riesenfeld等人发展了 1946年Schoenberg提出的样条方法 , 提出 了B样条方法,在保留Bezier方法的优点, 克服了Bezier方法的弱点。
三种曲线拟合方法的精度分析

三种曲线拟合方法的精度分析L,曲线拟合是皂丝圈宁的曲线光滑方法它根据给定的离散点?建立一个适当的解析式,使所表示的连续曲线反映和逼近已知点构成的特征多边形.地形图上的曲线具有多种类型.例如境界,道路,等高线和水网线等.这些曲线图形多数是多值函数,呈现出大挠度,连续拐弯的图形特征.在传统的测绘工作中,各种曲线是根据实测点位由人工联接勾绘而成.随着测绘自动化及数字化技术的不断发展,野外地面测量仪器中的经纬仪.已被全站仪逐渐取代.而在平板仪上进行的地形图清绘整饰工作,则可在微机上借助交互式图形技术完成.这一进步不仅可增加工作效率,缩短生产周期,减低劳动强度,也提高了图形质量.野外实测数据确定的特征多边形,需在计算机图形编辑中采用一定的曲线线跫对其作曲线拟合.本文对三种曲线拟台线型——圆曲线,二次B样条曲线,三次B样条曲线的理论拟台精度展开讨论.并在实验中得到验证.l三种曲线拟合方法1.1圆曲线平面上三点;(?,y1),B(?.),(南,ya)}其圆弧方程++/)X+Ey+F=0.过上述三点作圆弧(图1).当I丑yl1f?的顶点.二次B样条的一阶导数为:小l.B.且Bo?t?l0?t?1其端点性质如下:P(o)一?(Bo4-且)}P(1)=告(B】+岛);(0)一BI一&}(1)=岛一B}P(专)吉&+}且+吉岛=1{吉[P(o)+P(1)]+蜀};(音)一{(岛一Bo)一P(1),P(0)以上性质说明二次B样条曲线的起点P(0)在B特征多边形第一边的中点处,且其切向量且一&即为第一边的走向;终点P(1)在第二边的中点处,且其切向量B:一B为第二边的走向.而且P(1/Z)正是凸P(O)昌P(1)的中线B,M的中点,在P(1/2)处的切线平行于P(O)P(1)(图2).图2二次B样条拟台特征多边形上海蚨道大学第17告1.3三次B样条曲线三次B样条的分段函数式为..c一霎c一-,d一c+一一,,c一=s,z=.,,z,s 三次B样条曲线的矩阵为:3P()=?.3(f)BL=J一口其一阶导数为:[产1]?百1?(t)一[产t1]?告?一l3—3l3—630,30301410一l3—3l2—42O一10l0昂目岛鼠鼠且岛且0?t?10?t?l三次B样条曲线的端点性质如下:P(0)=音(岛+4且+岛)一{(堡{)+号且}P(1)=吉(且+4B+鼠)={(鱼{)+导局;(0)一百1(岛一Bo);(1):I(B一Bi)以上性质说明:三次B样条曲线起点P(0)落在反目B的中线/3.研上距/3的三分之一处,该点的切向量(0)平行于厶‰矗岛的底边/3.Bz,长度为其一半;终点P(1)处的情况与此相对应(见图3).if一}图3三次B拌条拟合特征多边形2三种拟合曲线的比较2+l圆曲线与二次B样条曲线的比较取平面上三点/3-,马…/3井分两种情况进行比较一一一第3期许恺.三神曲拽拟音方法的情虚分析(1)当瓦=瓦瓦时(见图4),过岛,B,岛作圆曲线岛Q最岛,其与特征多边形有两处偏离值最大,即QR与c,,且QR=UV.而二次B样条曲线RTU与特征多边形有一处偏离值最大,即B?则.0??,,7j,一—,/I//,?L—r/.s图4圈曲线与二趺B样条比较(1)QR=s蜀T={(2r?si譬)式中,为圆弧半径l0为弦届置所对圆心角l2,6为弦BoBz所对圆心角.由此即可知.器=>1(>0)(2)鼠晶?蜀岛时,随着岛蜀与蜀岛的差值加大,QR也加大,而B,T值是一定值(见图5).由此可得出二次B样条曲线拟合优于圆曲线拟合的结论.j,一0/..7.一\,}l一?I1形图等高线上选定点位组成特征多边形.分别用圆曲线,二次B样条曲线,三次B样条曲线对等高线特征多边形进行曲线拟合,测出拟合曲线与特征多边形的偏离值.共50个观测值,对测中误差为0.05rnm,取偏离值的平均值列于附表.附裹兰莫拟台曲线平均偏差比较裹哪由上分析可得出如下结论:1?圆曲线拟合特征多边形时,其偏差值要太于=次B样条曲线的拟合偏差.特征多边形相邻两边的长度相差越大.上述两种曲线拟合偏差之差越大.2一二次B样条曲线的拟合误差是三次B样条曲线拟合误差的四分之三.3一对特征多边形作曲线拟合时,在圆曲线.二次B样条,三次B佯条中使用二次B样条参考文献1盒延赞.计算机图形学.杭州t浙江大学出版杜.1988165,1672许隆文.计算机绘图.北京机槭工业出版杜.1989,334,3383孙家广.扬长贵.计算机图形学.北京清华大学出版杜.1994:288,2g0AnalysisofAccuracyofThreeCurve—FittingMethodsXHKdi(Dept?ofCivilE.ShanghaiTiedaoUniv)..Abst喇{reecurve—fittigmethodsareanalyzedandcornpared.ThequadraticBph”re岛ekcted.heopjmlJmcurvefittingforimp?Vingmapaccuracyoftopo graghicaldrawing?andthey8reverifiedbexperiments.dsltopographicmap,eurve—fittig,fittingaccuraey,BsDlines。
Bezier曲线B样条曲线

是一种特殊情况
Y
0 X
5.1 曲线的参数表 示
• 向量P与时间t有关: P=P(t),就是说P是时 间t的函数。用坐标表示为 :
• 若把参数t 换成一个普通意义的参数u, 则曲线的参数形式为:
• 例如:
是一条空
• 间曲线的参数形式。
• 注: 这是一条以点(0,1,3)为起点,
(3,2,5)为终点的线段
5.2 Bezier、B样条曲线的生成
• 3)三次Bezier曲线 • 当n=3时为三次Bezier曲线,此时P(t)为三
次多项式,有四个控制点,由于三次Bezier 曲线是用3根折线定义的3阶曲线,则有:
用矩阵表示为:
5.2 Bezier、B样条曲线的生成
5.2 Bezier、B样条曲线的生成
且第一点和最后一点在曲线上,第一条和最
后一条折线分别表示出曲线在起点和终点处
的切线方向。 Bezier曲线通常由特征多边形
的n+1个顶点定义一个n次多项式,即给定空
间n+1个点的位置矢量Pi(i=0,1,2,…,
n),则Bezier参数曲线上各点坐标的参数方
程其式中参(插数t的值取值公范式围为)[是 0,1]: ,i是有序集0~n中的一个整数值,表示 顶点顺序号。
但从计算机图形学和计算几何的角度来看, 还
是使用参数表示较好, 因为采用参数方法表示
曲线和曲面, 可以将其形状从特定坐标系的依
附性中解脱出来, 很容易借助计算机得以实现。
• 一个动点的u轨1 迹可以用位置向量P来描述,
如• 注下:图这所里示讨: 论的动点轨u2 迹是
Z
u
在三维空间中所表示的 曲线, 平面轨迹曲线只
是一个Bezier曲线特征多边形顶点的
b线样条

P3
三次B样条曲线段
P0
P”(1) P”(0)
P4
同理,对于终点P(1)处的情形与此相应。如果在B特征多边形上 增加了一个顶点P4,那么P1P2P3P4又可定义一段新的三次B样条曲线。 因为新曲线段起点的有关数据和上一段曲线的终点的有关数据都只和 P1、P2、P3三点有关,所以该二段曲线在连接处的位置矢量,一阶切矢 和二阶切矢都应相等,即: P'1(1) = P'2(0) P''1(1) = P''2(0) 这就证明了,三次B样条曲线可以达到二阶连续。
P ' (0) P ' (1) 1 ( P2 P0 ) 2 1 ( P3 P1 ) 2
P ' ' ( 0 ) P0 2 P1 P2 ) ( P2 P1 ) ( P0 P1 ) P ' ' (1) P1 2 P2 P3 ) ( P3 P2 ) ( P1 P2 )
ti k ti ti k 1 ti 1
tk u t K 1
(权Ni,k(u) i=0,1,2,3,…n+1称为基函数,即调合函数)。
B样条曲线的定义
设Pi (i=0,1,2,3,…n) 为给定空间的n+1个顶点 (即B样条曲线特征多边形的n+1个顶点),则k次(k+1阶)的表
B样条曲线的性质: ●端点及连续性(扩展性): 如果对特征多边形 P0P1P2P3,增加一个顶点P4,则特征多边形 P1P2P3 P4生成的三次B样条曲线与P0P1P2P3生成 的三次B样条曲线在连接点的一阶和二阶导数 都是连续的。
●局部性: 三次B样条曲线只被相邻的4个顶点所 控制,而与其它顶点无关。当移动一个顶点时, 只对其中二段曲线有影响,并不对整段曲线有 影响。
B样条与Bezier曲线转换矩阵的快速计算方法及应用

F T CALCULATI AS ON ETHOD M AND P CATI AP LI ON OR F CONVERS ON ATl I M UX B ETW E EN UNI ORM S LI F B. P NE CURVES AND ZI R BE E CURVES
江西 南 昌 3o o ) 3o o
( 中国地质大学信息工程学院
湖北 武汉 4 0 7 ) 30 4
摘 要
R m n L 等人在 20 o ai . 04年首次明确提 出了任意 阶均匀 B样条和 Bz r曲线之 间相 互转换矩 阵的计算方法 , ei e 但该方 法把
高 阶的转换矩 阵用递 归降阶形式定义 的, 在每次 降阶中存在 大量 的重复计算 , 对这 个 问题提 出了改进 的算法, 给出 了其在均匀 针 并
0 引 言
均匀 B样条曲线 ( nf . l eC  ̄ s 以下简称 B样 条 U ir B s i u e , o m pn 曲线 ) B z r 和 ei 曲线 是计 算机 图形学 ( G) 计 算 机辅 助 设计 e C 、
1 B样条 曲线转换为 B ze eir曲线段
1 1 B样 条 曲线 与 B ze . ei r曲线转 换矩 阵
d ra d B ze uw s u e r c rieo d r e u t n fr l a, p l d t e n ih r Me o v ri n mar h g rtm . Oa lt e n e ir l e .B t h e u v re d c i mu aw sa p i od f e h g e c t s r o o e i o r n e o t x i t ea o h c s i n l i S o f r u d n y c mp t xs e ey od r d c i .I hs a e r p s n i r v d meh d a an t h s r b e o d n a c o u ig e i si v r r e e u t n n t i p p r e p o o e a mp o e to g i s t i p o lm ,a d p o ie a r ・ e n t n r o w n r vd e l a p i t x mpe i r e e u t o nfm B s l . a p l a in e a l n o d rrd c in fru i r ・ pi e c o o o n Ke wo d y rs B S l e B ze u s C n e i n mar De r e rd cin - p i e i rc  ̄e o v r o t x n s i g e e u t o
一种基于矩阵形式的以B样条为母线的旋转曲面

一种基于矩阵形式的以B样条为母线的旋转曲面
刘志平
【期刊名称】《淮海工学院学报(自然科学版)》
【年(卷),期】2012(021)004
【摘要】旋转曲面是一类非常重要的曲面形式,给出了以B样条为母线的旋转曲面的构造方法.首先推导了三次非均匀B样条曲线的矩阵表示形式,再给出绕固定轴旋转的旋转变换矩阵,以此为基础得到旋转曲面的矩阵表示.利用给出的旋转曲面表示方法,可以很容易地使用各种数学应用软件绘制出指定的旋转曲面.最后,给了一个具体实例,并用Matlab绘制出了该旋转曲面.
【总页数】3页(P11-13)
【作者】刘志平
【作者单位】淮海工学院理学院,江苏连云港 222005
【正文语种】中文
【中图分类】O182.2
【相关文献】
1.基于推广B样条的非齐次旋转曲面细分生成 [J], 王莹;方美娥
2.计算曲线天线电流分布的一种新途径:参数形式下的B样条有限元法… [J], 李融林;俞集辉
3.一种基于矩阵LU分解的分段B样条插值法 [J], 谢志鹏;施建文
4.均匀B样条曲线的一种表示形式 [J], 陆晓岚;杭后俊
5.三次均匀B样条插值曲线和曲面的矩阵形式 [J], 符祥;郭宝龙
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08_B样条曲线曲面

1 2 F ( t ) ( 1 t ) 0, 2 2 将 代入 P ( t ) 1 2 F1, 2 ( t ) ( 2t 2t 1) 2 F (t ) 1 t 2 2, 2 2
重要
PF
为了使P(t)能过P(i)点,只要使
Pi ,Pi 1 ,Pi 2 重合
尖点也可通过三重节点的方法得到 Pi ,Pi 1 ,Pi 2 为了使曲线和某一直线L相切,只要取
位于L上及
ti 3
的重数不大于2。
三次B样条曲线的一些特例
节点矢量:分为三种类型:均匀的,准均匀/开放均匀的和 非均匀的;
P ( t ) Pi Fi ,n ( t )
n
t [0,1]
i 0,1,, n
叫做n次B样条曲线段。
i 0
P ( t ) Pi Fi ,n ( t )
i 0
n
t [0,1]
i 0,1,, n
1 n i j j n 其中: Fi ,n ( t ) ( 1 ) C ( t n i j ) n1 n! j 0
B样条(Spline)曲线
在实际应用中,以Bernstein基函数构造的Bezier曲线有 许多优越性,但同时也存在一些缺点,主要有两点不足 之处: (1)其一是Bezier曲线不能作局部修改,即改变某一个 控制点,对整个曲线都有影响; (2)其二是当n较大,控制点较多时,Bezier曲线使用 起来不方便,即对曲线的控制减弱。若使用分段三次 Bezier曲线代替n阶Bezier曲线,则对控制点必须附加某 些条件,拼接比较复杂,也不便于使用。其原因是调和 函数在(0,1)的整个区间内均不为零。
B样条曲线----曲线曲面

B样条曲线的适用范围
对于特征多边形的逼近性
二次B样条曲线优于三次B样条曲线 三次Bezier曲线优于二次Bezier曲线 •
相邻曲线段之间的连续性
二次B样条曲线只达到一阶导数连续 三次B样条曲线则达到二阶导数连续
•
角点的修改对曲线形状的影响
Bezier曲线:修改一个角点将影响整条曲线的形状。
• 贝塞尔曲面表达式如下:
n m
P(u,v)=∑ ∑bi,jBi,n(u)Bj,m(v)
i=0 j=0
0≤u,v≤1
• 贝塞尔曲面中应用最广泛的是双3次贝塞尔曲面, 它由给出的4*4个网格点唯一决定.
赤峰学院计算机系 计算机图形学 08-09第二学期
一般称 Pij为 P(u , v) 的控制顶点,把由 Pi 0 , Pi1 , , Pim (i 0,1, , n) 和 P0 j , P , Pnj( j 0,1, , m) 组成的网格 1j , 称为 P(u , v) 的控制网格,记为{Pij } ,如图9.15所示。
赤峰学院计算机系 计算机图形学 08-09第二学期
在以上表达式中: Fk,n( t )为n次B样条基函数,也称B 样条分段混合函数。其表达式为:
1 nk j j n Fk ,n (t ) (1) Cn1 (t n k j ) n! j 0
n! C 式中: 0≤t ≤ 1 r ! ( n r )! k = 0, 1, 2, …, n
Q1
Q0
P0
Q2
赤峰学院计算机系
计算机图形学
08-09第二学期
• 四角点共线
若要使B样条曲线段之间切接入一段直线,可运用四 角点共线的方法。 Q5 Q1 Q2 P0 P2 P3
基于广义逆矩阵的B样条曲线节点消去算法研究

基于广义逆矩阵的B样条曲线节点消去算法研究黄健民;施法中;宋荆洲【期刊名称】《中国图象图形学报》【年(卷),期】2006(011)003【摘要】为了能运用广义逆矩阵理论来研究B样条曲线的节点消去问题,以解决在B样条曲线曲面拟合过程中产生的冗余节点数据,提出了一种基于广义逆矩阵的B 样条曲线节点消去算法,该算法首先利用广义逆矩阵在处理奇异性问题上的独特作用来获得B样条曲线的节点可以消去的充要条件;然后在此基础上,又提出了消去多个节点的算法,算法对每个可以消去的节点都可计算相应的广义逆矩阵,而且仅进行一次矩阵的相乘即可得到由消去这个节点而产生的新的控制顶点和节点.实验表明,该算法的精度优于或近似于现有的Tiller算法,而时间效率则同于或近似于Tiller的算法.由于通过调整算法中的误差阈值,可以有效地控制消去节点后的曲线与原来曲线的误差,因此算法可以用于工程实践.【总页数】8页(P379-386)【作者】黄健民;施法中;宋荆洲【作者单位】北京航空航天大学机械工程与自动化学院,北京,100083;广西师范大学数学与计算机科学学院,桂林,541004;北京航空航天大学机械工程与自动化学院,北京,100083;北京航空航天大学机械工程与自动化学院,北京,100083【正文语种】中文【中图分类】TP391.7【相关文献】1.基于广义逆矩阵的B样条曲线的节点消去与光顺 [J], 胡海艳;吴振远2.B样条曲线曲面的节点消去算法研究 [J], 黄健民;施法中3.基于广义逆节点消去的B样条曲线的可控逼近 [J], 黄健民;施法中4.基于二进制GA的B样条重构曲线节点优化 [J], 胡良臣;寿华好5.几何连续ECT B样条曲线的节点插入算法研究 [J], 李玉娟;唐月红;蒋春娟因版权原因,仅展示原文概要,查看原文内容请购买。
三次B样条曲线

0
1
PP32
t 0, 1
三次B样条曲线
➢ 性质1:端点位置
P0,3
(0)
1 6
( P0 4 P1 P2 )
1 3
P0
2
P2
2 3
P1 ,
P0,3
(1)
1 6
( P1 4 P2 P3 )
1 3
P1
2
P3
2 3
P2 ,
➢ 性质2:端点切矢及二阶导数
P
0,3(0)
其中,基函数 Gi,n (t) 定义为:
Gi,n (t)
1 n!
ni j 0
(1)
j
Cnj1 (t
n i
j)n
t [0,1], i 0数,字1,图.像..处,n理
B 样条曲线示例
二次B 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
二次B 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
三次B 样条曲线示例
样条基函数:
1 , Bi,1(t) 0 ,
ti t ti1 otherwise
Bi,k (t)
t ti tik 1 ti
Bi,k 1(t)
tik t tik ti1
Bi1,k 1(t)
t
数字图像处理
非均匀 B 样条曲线
➢ 设P1, P2 ,...Pn (n k)为给定空间的n个点,称下列参 数曲线
0)
S
(k
)
(
x i
1
0),
k 0,1,
2
2
(3)满足插值条件 yi S ( xi ), i 0,1,..., n.
数字图像处理
三次B样条曲线

数字图像处理
B 样条曲线示例
三次B 三次 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
三次B 三次 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
四次B 样条曲线示例 四次
数字图像处理
B 样条曲线示例
五次B 五次 样条曲线示例
数字图像处理
2.2 B 样条曲线基函数的性质
B样条函数基函数为:
1 n−i G i ,n (t ) = ( − 1 ) j C nj+ 1 ( t + n − i − j ) n ∑ n! j = 0 t ∈ [ 0 ,1 ], i = 0 ,1 ,..., n
如左图所示,六个 控制顶点控制的三 次B样条曲线由三 段B样条曲线段组 成。其中,每一条 曲线段由四个顶点 控制。
数字图像处理
B 样条曲线的性质
2.几何不变性
由于定义式所表示的B样条曲线是参数形式,因此,和 Bezier曲线一样,B样条曲线的形状和位置与坐标系选 择无关。
3. 连续性
当给定的m+n+1个控制顶点Pi (i=0,1,…,m+n)互不 相重,则所控制的整条B样条曲线具有n-1阶几何连续 (G n-1)。当给定的控制顶点相邻最大重顶点数为h(即h 个控制顶点重合在一起),则整条B样条曲线具有n-h1阶几何连续(G n-h-1)。
数字图像处理
B 样条曲线的性质
4. 对称性
根据B样条曲线的基函数的对称性可推导
Pk , n (1 − t ) = =
∑
n
n
i=0
Pi + k G i , n (1 − t ) Pi + k G n − i , n ( t ) ( t ∈ [ 0 ,1 ])
B样条

1 Bi ,1 ( t ) = 0
ti Bi,2(t) ti+1 Bi,3(t) ti+1 ti+2 Bi+1,2(t) ti+2 Bi+1,3(t) ti+3 ti+4 ti+3 ti+4
t i <= t < t i +1 其他
1
B i( = , 2 t)
t − ti t −t Bi ,1 (t ) + i + 2 Bi +1,1 (t ) t i +1 − t i t i + 2 − t i +1
(ti , ti + k ) 上不为零,
所以曲线 P (t ) 在区间 (ti , ti +1 ) (k − 1 ≤ i ≤ n)
,
Pi 有关。 上的部分只与控制顶点 Pi −k +1 Pi −k + 2 反过来,如果只变动某一个控制顶点 Pi ( 0 ≤ i ≤ n) 曲线上只有局部形状发生变化,其他部分均 不发生变化。
,…,
P1 P4 P7
P2
P6
P′4 P0 P3
P5 P″4
图8-16 B样条曲线的局部支柱性
(2) 仿射不变性 B样条曲线和Bézier曲线一样,也具有仿射不 变性,即曲线 P (t ) 的形状和位置与坐标系的选择 无关。 (3) 分段参数多项式 P (t )在每一区间 [ti , ti +1 ](k-1≤i≤n)上都是次数不高 于k-1次的参数t的多项式曲线,所以 P (t ) 在 [tk −1 , tn +1 ] 上是关于参数t的分段多项式曲线。 (4)连续性 P (t ) 在L重节点 ti(k≤i≤n)处的连续阶不低于 k-1-L。整条曲线 P (t ) 的连续阶不低于 k − 1 − lmax ,其 中 lmax 表示位于区间 [tk −1 , tn+1 ]内节点的最大重数。
三次周期B样条曲线的算法

(2)的矩阵的形式:p0 = pN, pN+1 = p1.
4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 … 1 1 p1 p2 . . . pN-1 pN Q1 Q2 . . . QN-1 QN
=6
1 4 1 1 4
(3)的矩阵的形式:p0 = p1, pN+1 = pN.
6 -6 1 4 1 1 4 1 1 4 1 … 1 4 1 6 -6 p0 p1 p2 . . . pN pN+1 0 Q1 Q2 . . . QN-1 QN 0
=6
P′(u) = 1/6(3u2 2u 1)
-1 3 -3 1 = ½ (u2 u 1) 2 -4 2 0 1 3 -3 1 1 -2 1 0
p0 p1 p2 p3
三次B样条的性质
• C2连续性 记 Pk(u)为对应于控制点pk, pk+1,pk+2 和pk+3. Pk(1) = (pk + 4pk+1 + pk+2)/6 = Pk+1(0),这是连续性 Pk′(1) = ½ (pk+3 – pk+1) = Pk+1′(0),这是C1连续性 Pk′′(1) = pk+1 -2pk+2 +pk+3 = Pk+1′′(0),这是C2连续性
上述假设条件的意义是: 是P(0), 是P(1), p2p0平行于P′(0), p3p1平行于P′(1)。 p2 p1
(p0+p2)/2
p3
p0 p4 2/3p1 + 1/3(p0+p2)/2 =(p0+4p1+p2)/6 = P(0)
假设P(u) = (u3 u2 u 1)MB(p0 p1 p2 p3)T,MB是变换矩阵。 那么,P′(u) = (3u2 2u 1 0)MB(p0 p1 p2 p3)T 把u = 0,1分别代入上式,并利用前面的条件,得到 1 0 -3 0 4 1 0 -3 1 4 3 0 0 1 0 3 0 1 0 3 0 1 0 2 0 1 1 1 p0 p1 p2 p3 1 1 0 0 0 1 0 3 1 0 -3 0 0 1 0 2 4 1 0 -3 0 1 1 1 1 4 3 0 1 1 0 0 0 1 0 3 p0 p1 p2 p3
B-样条曲线

Ni1,2 (t)
t [ti1, ti2 )
ti3 t
ti3 ti1 0
Ni1,2 (t)
t [ti2 , ti3 ) 其它
整理课件
16
续前页:
当t [ti ,ti1)时:
Ni,3 (t )
t ti ti2 ti
Ni,2 (t)
t ti ti2 ti
( t ti ti1 ti
B-样条曲线示例
整理课件
11
1阶B-样条基函数
K=1时的基函数
1 Ni,1(t) 0
t [ti ,ti1) 其它
N i,1 (t )
Ni,1(t)的图形
Ni,1(t)在区 ti,ti1 间 上有定义者 ,的 称支 后撑 者
整理课件
12
K=1时定义的曲线示例
n
P(t) PiNi1(t)
Pi
• K=3时的基函数
Ni,3 (t )
t ti ti2 ti
Ni,2 (t)
ti3 t ti3 ti1
Ni1,2 (t)
t [ti ,ti3)
t ti ti2 ti
Ni,2 (t)
t [ti ,ti1)
t ti ti2 ti
Ni,2 (t)
ti3 t ti3 ti1
其它
Ni,k(t)在区 ti,tik 间 上有定义, 者称 的后 支者 撑
整理课件
20
3阶B-样条基函数图形
N i,3 (t)
Ni,3(t)的图形
整理课件
21
3阶B样条曲线示例
t2
tn1
T=[t0,t1,…,tn+1,tn+2,tn+3]
整理课件
B样条曲线曲面(附代码)

B样条曲线曲⾯(附代码)样条曲线1.1 B样条曲线⽅程B样条⽅法具有表⽰与设计⾃由型曲线曲⾯的强⼤功能,是形状数学描述的主流⽅法之⼀,另外B样条⽅法是⽬前⼯业产品⼏何定义国际标准——有理B样条⽅法 (NURBS)的基础。
B样条⽅法兼备了Bezier⽅法的⼀切优点,包括⼏何不变性,仿射不变性等等,同时克服了Bezier⽅法中由于整体表⽰带来不具有局部性质的缺点(移动⼀个控制顶点将会影响整个曲线)。
B样条曲线⽅程可表⽰为其中,d i(i=0,1...n)为控制顶点(坐标),N i,k(i=0,1...n)为k次规范B样条基函数,最⾼次数是k。
基函数是由⼀个称为节点⽮量的⾮递减参数u的序列U:u0≤u1≤...≤u n+k+1所决定的k次分段多项式。
B样条的基函数通常采⽤Cox-deBoor递推公式:(2)式中i为节点序号,k是基函数的次数,共有n+1个控制顶点。
注意区分节点和控制顶点,节点是在节点⽮量U中取得,控制顶点则是坐标点,决定B样条的控制多边形。
Cox-deBoor递推公式是B样条曲线的定义的核⼼,该公式在程序中的实现可采⽤递归的⽅式:1function Nik_u = BaseFunction(i, k , u, NodeVector)2 % 计算基函数Ni,k(u),NodeVector为节点向量34if k == 0 % 0次B样条5if (u >= NodeVector(i+1)) && (u < NodeVector(i+2))6 Nik_u = 1.0;7else8 Nik_u = 0.0;9 end10else11 Length1 = NodeVector(i+k+1) - NodeVector(i+1);12 Length2 = NodeVector(i+k+2) - NodeVector(i+2); % ⽀撑区间的长度13if Length1 == 0.0 % 规定0/0 = 014 Length1 = 1.0;15 end16if Length2 == 0.017 Length2 = 1.0;18 end19 Nik_u = (u - NodeVector(i+1)) / Length1 * BaseFunction(i, k-1, u, NodeVector) ...20 + (NodeVector(i+k+2) - u) / Length2 * BaseFunction(i+1, k-1, u, NodeVector);21 endCox-deBoor递推公式所给程序可⽤于计算基函数N i,k(u)的值,程序中对不同类型的B样条曲线区别在于节点⽮量 NodeVector 的取值不同。
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五、B样条曲线的矩阵表示
1)二阶B样条曲线
设空间P0 P1, …., P n为n+1个控制点,节点矢量为其中每相邻两个控制点之间可以构造出一段二阶B样条曲线。
其中的第j=i-1段二阶B样条曲线P j(t)的矩阵表示为:
;
其中,。
对于二阶均匀B样条曲线,其矩阵表示与非均匀B样条曲线的相同:。
2)三阶B样条曲线
给定节点矢量为,n+1个控制点为P0,P1, …., P n。
其中每相邻三个点可构造出一段二次的B样条曲线。
其中的第j(=i-2)段三阶B样条曲线P j(u)的矩阵表示为:
;
其中,。
对于三阶均匀B样条曲线,其矩阵表示为。
三阶均匀B样条曲线的端点位置、一阶导数和二阶导数矢量分别为:
P i,3(0)=(P i+P i+1)/2,
P i,3(1)=(P i+1+P i+2)/2;
P'i,3(0)= P i+1-P i,
P'i,3(1)=P i+2-P i+1,
P'i,3(1)=P'i+1,3(0);
P''i,3(t)=P i-2P i+1+P i+2 ,
三阶均匀B样条曲线的首末点通过相应边的中点;首末点的切矢方向与相应边重合;二阶导数矢量等于该曲线的两条边矢量P i+1-P i和P i+2-P i+1所构成的对角线矢量。
三阶均匀B样条曲线段为抛物线,两相邻曲线段之间为一阶连续。
3)四阶B样条曲线
设节点矢量为,控制点为P0P1, …., P n,其中每相邻四个点可构造出一段三次的B样条曲线。
其中的第j(=i-3)段三次B样条曲线P i(u)的矩阵表示为:
;。
其中,
, m3,2 =-m2,2/3- m3,3-(t i+1-t i)2/[(t i+2-t i)(t i+2-t i-1)],m r,j是第r行第j列的元素。
第j(=i-3)段三次均匀B样条曲线P j(t)的矩阵表示:。
三次均匀B样条曲线的端点位置、一阶导数和二阶导矢量分别为:
P i,4(0)=(P i+4P i+1+P i+2)/6,
P i,4(1)=(P i+1+4P i+2+P i+3)/6;
P'i,4(0)=(P i+2-P i)/2,
P'i,4(1)= (P i+3-P i+1)/2,
P'i,3(1)= P'i+1,3(0);
P''i,4(0)= P i-2P i+1+ P i+2,
P'i,4(1)= P i+1-2P i+2+ P i+3。
三次均匀B样条曲线段的起点位于以P j+1P j和P j+1P j+2为邻边的平行四边形的对角线的1/6处;起点
的切矢量与P j P j+2平行,切矢量的长度;曲线段起点的二阶导数矢量等于以
P j+1P j和P j+1P j+2为邻边所构成的平行四边形的对角线矢量。
4)k阶B样条曲线
设节点矢量为,控制点为P0,P1, …., P n,其中每相邻k个控制点可构造出一段k阶B样条曲线。
其中的第j(=i-k+1)段曲线P i-k+1(u)的矩阵表示为:
(6-4-4)
;
;
其中,M k(i)称为k阶B样条基矩阵,它由下列递归公式计算:
(6-4-5)
如果,i=0,1,…,n+k-1,则由(6-4-4)式所定义的曲线P i-k+1(u) (i=k-1, k,…,n)
为均匀B样条曲线,这时,k阶B样条基矩阵M k(i)与i无关,简记为M k:
上式也可以显式地表示为:
其中,。