应用流体力学(浙江大学出版社)经典习题集

5.1实船的模型以的速度前进，受到的运动阻力为。

求实船的运动阻力，并求模型与实船克服运动阻力所需要的功率。

解：由重力相似，故弗劳德数相等，即：
由于模型和实物均受到地球重力场的作用，重力加速g均相同，故：
又
则，实船的运动阻力为：
所需功率为：
5.02、贮水箱模型内盛满水，打开水门排完要，若模型是实物的，问排完实物内的贮水需多少时间。

解：由重力相似，故：
由于模型和实物均受到地球重力场的作用，重力加速g均相同，故：
又
5.03、声纳传感器的阻力可由风洞实验结果进行预报。

实物是直径
的球壳，在深水中拖曳速度是。

若模型的直径
，求在空气中模型的速度。

若在风洞试验时模型的阻力为
，试估算实物的阻力。

解：设风洞的截面积足够大（试验证明，当时即可满足），忽略空泡及压缩性影响，则实物与模型由粘性力相似准则，有：
即：
对于水：
对于空气：
因为模型与实物是满足动力相似的，所以由牛顿相似准则，有：
即：
5.04、试用量纲和谐原理（齐次性原则）建立直角三角形量水堰(如图)的流量计算关系式。

假定流量Q与H、g之间的函数关系为一单项指数式。

解：设，各物理量的量纲均用基本量纲[L][T][M]来表示。

根据量纲和谐原理：
即：
代入得：
式中：
5.05、有一长，直径的泄洪隧洞，洞中水流属紊流粗糙区，现需进行模型试验。

要求：
（1）说明按何种相似准则设计模型，并写出其相似准则表达式；
（2）按相似准则导出流速、流量、力比尺的表达式。

解：（1）应按阻力相似准则设计模型。

因为水流在紊流粗糙区，只要模型与原型的相对粗糙度相等，就可采用佛汝德数相似准则设计阻力相似模型。

其表达式为：
（2）
①流速比尺：
②流量比尺：
③力的比尺：
若模型和原型液体一样，，则
5.06、溢流堰模型（见图）长度比尺。

当在模型上测得模型流量，堰前水深，水流推力，求原型溢流堰通过的流量，堰前水深，和实际水流推力。

解：溢流问题主要受重力作用，故应受重力相似准则控制，即：
堰前水深是几何尺寸，故可直接由几何比尺求出。

又因为力的比尺可写为：
且
则：
5.07、汽车高，最大行速为，拟在风洞中测定其阻力。

风洞的最大风速为，问模型的最小高度为多少？若模型中测得阻力为，试求原型汽车所受的阻力。

解：此题需要把握主要两个方面，一是确定哪个是决定性相似准则；二是分清哪些量是模型上的量，哪些量是原型上的量。

对于分析气体阻力问题，可按雷诺相似准则计算。

雷诺准则为：
又因为阻力的比尺可写成：
5-08、流线型潜没物体在不可压缩流体运动中所受阻力与物体速度，线性尺寸，流体密度，动力粘性系数有关，试推导阻力的表达式。

解：本题用雷利法和π定律两种方法分别推导。

①采用雷利量纲分析法，设：
式中，k为实验常数；
a、b、c、d为待定指数；
由量纲齐次性原理：
可解得：
代入原式得：
所以：
或中，为雷诺数。

②用π定律推际此题，先设：
以[v，l，ρ]三个独立变量为基本量，即m＝3，变量数n＝5，则上述5个变量之间的关系式可由两个无量纲π数组成的方程所替代,即：
其中：
根据量纲的齐次性原理，可解出待定指数；将方程写成量纲形式，有：
即：
解得：
代入得：
同理解得：
即：
解得：
代入得：
即：
则得到期同样的结果。

5.9、固体颗粒在液体中等速沉降速度与固体颗粒的直径d、密度
及液体密度、动力粘性系数、重力加速度g有关。

试用π定律建立沉降速度的关系式。

解：设：
选择[ρ，d，g]为基本量，m＝3，变量数n＝6，则可组成三个π项，以代替上述6个变量之间的关系式，其中：
将方程写成量纲形式：
即：
解得：
同理有：
解得：
同理有：
解得：
则沉速公式的基本形式为：
又因与同量纲，又写成：
或：
例3：管中紊流，单位管长沿程水头损失h f/L，取决于下列因素：流速υ,管径D，重力g，粘度μ，管壁粗糙度△和
密度ρ，试用π定理分析确定方程的一般形
式。

解：
取v，D，ρ为基本变量，则π的个数N(π)=n-m=7-3=4，显然h f/L是一个π，因h f和L量纲都是长度。

π1=υx1D y1ρz1μ=[LT-1]x1[L]y1[ML-3]z1[ML-1T-1]
则
L:x1+y1-3z1-1=0 T:-x1-1=0 M:z1+1 =0
由此x1=-1，y1=-1，z1=-1。

类似有：
π2=υx2D y2ρz2△π3=υx3D y3ρz3g
可得：
x2=0，y2=-1，z2=0 x3=-2，y3=1，z3=0
写成π数为：
即
解得：
常用沿程损失公式形式为：
——称沿程阻力系数，具体由实验决定。

例4：液体在水平等直径的管内流动，设两点压强差△p与下列变量有关：管径d,ρ,υ,l,μ,管壁粗糙度△，试求△p 的表达式。

解：F（d,ρ,υ,l,μ,△,△p）=0
基本量d,ρ,υ, n=7, m=3, π数n-m=4个
对π1：
对π2：
同理得：
例5：如图5-1所示，已知文丘里流量计是用以测量有压管路的流量，已知压强降落△p随流量Q，流体密度ρ，液体粘度μ，管壁粗糙度△，流量计长度L以及大小直径D1,D2变化。

试用π定律求出的压强降落△p表示的流量公式。

解：函数式为：
图5-1
选取ρ，Q，D1为基本变量，则存在6-3=3个π数
将π数用量纲表示：
类似地：
并解一个π参数：
即：
例6：用布金汉定理确定圆管流动中边壁切应力的表达式
τ0。

已知τ0与液体的密度ρ，液体的动力沾滞系数μ，圆管直径D，管壁材料的粗糙度△以及管中断面平均流速υ有关。

解拟定函数关系式为f（D，υ，ρ，τ0，μ，△）=0
从各独立影响因素中选取D（几何量），υ（运动量），ρ（动力量）为基本量建立（6-3 ）π项：
对每一π项建立量纲关系式，排列量纲和谐方程求解a i，b i，c i 。

对π1：
同理求得
将各π代入得
整理得
令
则。