对波动方程的一些理解

1如果你从头到尾仔细查看声音的波动方程的推导过程，你会发现，这是一个介质中的密度变化从而导致压强变化（声压）的过程，如果静止介质中的声速是Cs ，那么很容易就可以推导出来，对于一个以速度v 运动的介质，声速是（Cs+v ），也就是说，声速Cs 是相对于介质而言的。

而对于电磁波的速度，麦克斯韦方程组里面只有一个常数C 来描述，这个C 与光源的运动状态是完全没有关系的。那么这个C 究竟是相对于哪一个参考系的速度呢？麦克斯韦当时自己认为他的方程组是基于“绝对静止系”成立的（因为显然麦氏方程不满足伽利略相对性），这个C 因而也就是“绝对速度”。然而麦莫实验并没有找到以太存在的证据，这使得当时经典物理的天空多了一块阴云。

既然不能找到一个绝对静止系，那么就有两个比较明显的结论，要么是麦氏方程从根本上就错了，要么是这个C 本来就是一个常数，对哪一个惯性系都一样。爱因斯坦选择了后者：久经考验的麦氏方程依然成立，它也不是仅仅是建立在一个不存在的绝对静止系之上的，而是对一切惯性系都成立，只要考虑相对论效应一切矛盾就消失了。

2有时间看看，《什么是数学》

3.看书发现有很多波动方程：对波动方程总是有着模糊的概念：

看了以下内容发现各种波之间有相似的联系.

机械振动方程：

一维弹簧振子的振动方程由牛顿第二定律推导得：

方程的通解是：

ψ = C 1 co s ω t + C 2 sin ω t

正弦形式为ψ = A sin (ωt + ϕ )

简谐振动它是各种波的起因和微观模型。振动和波动的关系：振动是质点模型，波动是介质模型；振动是因，波动是果。

机械波动方程

机械波的传播公式：

ψ = A sin[ω (t − x / u ) + ϕ ]

描述波的物理量：波速 u 、波长 λ 、频率 f 、周期T 、圆频率ω 、圆波数k=ω/u ， ψ = A sin[(ω t − kx ) + ϕ ]

与下面的等价

ψ = C 1 co s(ω t − k x ) + C 2 s i n (ω t − k x )

分别对 x 和 t 求二阶偏导数，可得 222

sin[()]222A t kx x u u

ψωωωϕψ∂=--+=-∂ 1.1 222sin[()]2A t kx t

ψωωϕωψ∂=--+=-∂ 1.2

整理得到机械波的波动方程为：

这是一维机械波的波动方程。

推广到空间因此可以得到三维机械波的波动方程：

或者用拉普拉斯算子

222

2

222

x y z

∂∂∂

∇=++

∂∂∂

写成

1.3

最简单的三维球面机械波就是把1.3转换成球坐标形式

光学波动方程

光波（电磁波）的波动方程其实就是介质中的亥姆霍兹方程：

总结：波动方程和它的解都有共同的形式。