《初二数学动点问题》专题分析
初二动点问题(矩形或等边三角形)
初二动点问题(矩形或等边三角形)本文将讨论初二数学中关于矩形或等边三角形动点问题的相关内容。
我们将介绍基本概念、解决方法以及一些例题的分析和解答。
1. 基本概念1.1 矩形的动点问题矩形的动点问题是指在一个给定的矩形内，存在一个点随着某种规律或条件在矩形内移动。
我们需要确定这个动点的位置、轨迹或其他相关信息。
1.2 等边三角形的动点问题等边三角形的动点问题是指在一个给定的等边三角形内，存在一个点随着某种规律或条件在三角形内移动。
我们需要确定这个动点的位置、轨迹或其他相关信息。
2. 解决方法2.1 矩形动点问题的解决方法常见的解决矩形动点问题的方法有以下几种：- 坐标法：通过引入坐标系，使用坐标表示动点的位置，然后根据给定的条件求解动点的坐标。
- 平面几何法：利用矩形的性质和几何关系，运用几何定理和性质进行分析，求解动点的位置或性质。
- 代数法：通过列方程、联立方程或使用方程进行推导、变换和求解，确定动点的位置。
2.2 等边三角形动点问题的解决方法解决等边三角形动点问题可以采用以下方法：- 几何法：利用等边三角形的性质和几何关系，通过画图、分析角度、长度和比例等关系求解动点的位置或性质。
- 代数法：通过列方程、联立方程或使用方程进行推导、变换和求解，确定动点的位置。
3. 例题分析与解答3.1 矩形动点问题的例题例题1：在一个矩形ABCD中，点P是边AB上的动点，且满足AP=3BP。
求点P的轨迹方程。
解答：设点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（a，0），点P的坐标为（x，0）。
根据题意可列出方程3x = a - x，解得x = a/4。
因此，点P的轨迹方程为x = a/4。
3.2 等边三角形动点问题的例题例题2：在一个等边三角形ABC中，点P是边AB上的动点，且满足AP:PB = 2:1。
求点P的轨迹方程。
解答：设点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（a，0），点P的坐标为（x，0）。
根据题意可列出方程2x = a - x，解得x = a/3。
(完整版)初二动点问题(含答案)
动态问题一、所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键：动中求静.数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想类型：1。
利用图形想到三角形全等，相似及三角函数2.分析题目，了解有几个动点，动点的路程,速度(动点怎么动)3.结合图形和题目,得出已知或能间接求出的数据4。
分情况讨论,把每种可能情况列出来，不要漏5.动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路6。
动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示,就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论二、例题：1、如图1,梯形ABCD中，AD∥ BC，∠B=90°,AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动，如果P，Q分别从A，C同时出发，设移动时间为t秒。
当t= 时,四边形是平行四边形；当t= 时,四边形是等腰梯形.2、如图2,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上,且DM=1，N为对角线AC上任意一点,则DN+MN的最小值为．的长为 ；的长为 ;4、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE；（2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证：DE=AD—BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.5、数学课上，张老师出示了问题:如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BCEFCF于点F，求证：AE=EF．AB的中点M,连接ME,则AM=EC在此基础上，同学们作了进一步的研究：(1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点"改为“点E是边BC上(除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由;（2）小华提出：如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确,请说明理由．ACBAED图1NMA BCDEMN图2ACBEDNM图36、如图， 射线MB上，MB=9，A是射线MB外一点,AB=5且A到射线MB的距离为3,动点P从M沿射线MB方向以1个单位/秒的速度移动，设P的运动时间为t.求（1）△ PAB为等腰三角形的t值；(2)△ PAB为直角三角形的t值；（3） 若AB=5且∠ABM=45 °,其他条件不变，直接写出△ PAB为直角三角形的t值（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向CCA上由C点向A点运动①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时，能（2）若点Q以②中的运动速度从点C来的运动速度从点B边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次哪条边上相遇?A DFC GEB图1A DFC GEB图3A DFC GEB图2。
初二动点问题讲解
初二动点问题主要涉及几何图形中点的运动，通常伴随着线段、角度或其他几何元素的变化。
解决这类问题的一般步骤如下：
理解题意：首先，需要仔细阅读题目，理解动点的运动方式、起始位置和目标位置，以及与此相关的线段、角度或其他几何元素的变化。
画图分析：画出相关的几何图形，标注出已知的量和未知的量。
这样可以帮助我们更直观地理解问题，找到解题思路。
建立关系式：根据题意和图形，利用相关的几何知识（如相似三角形、勾股定理等）建立关系式。
这些关系式通常包含未知数，可以是线段的长度、角度的大小等。
求解关系式：通过解方程或不等式，求出未知数的值或范围。
这一步可能需要一些代数技巧，如代入法、消元法等。
验证答案：最后，需要验证求出的解是否符合题意。
这可以通过再次观察图形或检查计算过程来完成。
以下是一些常见的动点问题类型及解题思路：
点在线段上的运动：这类问题通常涉及线段长度的变化。
可以通过建立线段长度的关系式来解决。
点在圆上的运动：这类问题可能涉及角度或弧长的变化。
可以通过建立角度或弧长的关系式来解决。
两点之间的距离最短问题：这类问题通常可以通过建立两点之间的距离公式，然后利用导数求最值的方法来解决。
点的轨迹问题：这类问题要求找出动点的轨迹。
可以通过分析动点的运动方式和条件，确定其可能的轨迹类型（如直线、圆、抛物线等）。
动态相似或全等问题：这类问题涉及图形的相似或全等性质在动点运动过程中的变化。
可以通过分析图形的相似或全等条件，建立关系式来解决。
请注意，解决动点问题需要灵活运用各种几何和代数知识，同时保持清晰的思路和逻辑。
初二动点问题(正方形或等边三角形)
初二动点问题(正方形或等边三角形)引言动点问题是数学中常见的一类问题，涉及到点在图形上运动的情况。
本文将讨论初二阶段下与正方形或等边三角形相关的动点问题。
正方形动点问题正方形动点问题是指点在正方形上移动的情况。
具体问题可能包括点在正方形边界上运动、点在正方形内部运动等等。
解决这类问题可以利用正方形的性质和几何知识，例如正方形的边长、对角线、对称性等。
通过抽象出相关变量，可以建立数学模型，并用代数或几何方法求解。
等边三角形动点问题等边三角形动点问题是指点在等边三角形上移动的情况。
与正方形类似，这类问题也可以利用等边三角形的性质和几何知识来解决。
比如等边三角形的边长、高度、内角等等。
同样可以通过建立数学模型，运用代数或几何方法来求解。
举例以下是两个具体的例子，展示了如何解决初二阶段下与正方形或等边三角形相关的动点问题。
正方形动点问题的例子问题：一个点在边长为5的正方形上，开始运动，以每秒2个单位的速度沿正方向运动，经过3秒后，点所在位置的坐标是多少？解答：取正方形的一个顶点为原点，建立直角坐标系。
点在3秒内运动的距离为2 * 3 = 6个单位。
由于点以每秒2个单位的速度沿正方向运动，因此在3秒后，点所在位置的横坐标为6，纵坐标为0。
因此，点所在位置的坐标是(6, 0)。
等边三角形动点问题的例子问题：一个点在高为4的等边三角形上，开始运动，以每秒1个单位的速度沿着一条边运动，经过2秒后，点所在位置的坐标是多少？解答：取等边三角形的顶点为原点，建立直角坐标系。
点在2秒内运动的距离为1 * 2 = 2个单位。
由于点以每秒1个单位的速度沿着一条边运动，因此在2秒后，点所在位置的横坐标为1，纵坐标为2√3。
因此，点所在位置的坐标是(1, 2√3)。
结论初二阶段下与正方形或等边三角形相关的动点问题涉及到点在图形上运动的情况。
通过利用图形的性质和几何知识，建立数学模型，并运用代数或几何方法求解，可以解决这些问题。
八年级数学 几何动点问题专题
几何动点问题专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
例题1.梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从点A开始，沿AD边，以1厘米/秒的速度向点D运动；动点Q从点C开始，沿CB边，以3厘米/秒的速度向B点运动。
已知P、Q两点分别从A、C同时出发，，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。
假设运动时间为t秒，问：（1）t为何值时，四边形PQCD是平行四边形？（2）t为何值时，四边形PQCD是直角梯形？（4）t为何值时，四边形PQCD是等腰梯形？练习1. 如右图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A开始沿折线A—B—C —D以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)，t 为何值时，四边形APQD也为矩形？例2：如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC=4，OA⊥BC于O,点E和点F分别在边AB、AC上滑动并保持AE=CF,但点F不与A、C重合，点E不与B、A重合。
（1）判断∆OEF的形状，并加以证明。
（2）判断四边形AEOF的面积是否随点E、F的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值.（3）设AE=x，∆AEF的面积为y，求的y与x的关系式。
八年级数学专题复习：“动点”问题专题解析汇编(,含解析、点评和练习).doc
八年级数学专题复习：“动点”问题专题解析汇编八年级数学下册中的“动点”题型主要集中在《勾股定理》、《平行四边形》和《一次函数》三个章节，常常是这三个章节综合起来的题型比较多.动点问题的题型一直统考和中考的热点题型，但由于动点变化较大，所以也是学生感到比较头疼的一类题型；下面我精选了一部分含动点的典型题进行分析、解答、点评并附有少量追踪练习，希望同学们能从屮悟出一些道理，总结破题的思路，同时感受到这类题型所蕴含的数学魅力.、在动点中求最小值例1.如图，在正方形ABCD中，E为A3上的一点，BE = 2,P是AC上一动点，则PB + PE的最小值是多少?分析：如分析图所示，过B作关于4C的对称点，根据正方形的性质其对称点恰好在D点处, 连结ED交AC于点P,根据轴对称的性质、三角形三边之间的关系以及连接D、E两点之间线段最短，可以知道此时的PB+PK值最小.（这里有个“将军饮马”的故事与同学们分享.）略解：过B作关于AC的对称点，根据正方形的性质其对称点恰好在D点处，连结仞交AC于点连接PW•/ BE = 2, AE = 3BE :. AE = 6 :. AB = 8•根据正方形的性质的性质可知：= = 8, ZDAB = 9(T ・在RtZ\DAE中勾股定理易求ED 二yJAE2 +AD2 = ^62 +82 =10.・・・B和D关于AC对称，根据轴对称的性质可知：P'B = P'D,DAE:.P'B+P'E = P'D+P'E=DE=10.变式：正方形ABCD的边长为4, ZDAC的平分线交DC于点E,若P、0分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是 .分析：本题和刚才的例题相比是两个动点，难度增加了不少.英实我们可以假设P先是定点, 作出D 关于AE的对称点如图根据角平分线的定义、轴对称的性质和全等三角形（即图中的△4DF9ZX4Z/F）可以知道D关于AE 的对称点D恰好落在正方形的对角线AC上；但问题是我们是把P假设为定点，实际上P为动点，那么P应该运动到什么位置上才使D到AD最短距离最短呢？显然根据垂线段最短，我们过D作的垂线段DP即可找到P、0能使DQ + P Q有最小值的位置（见图中P\ 0的位置），此时DP'最小；根据轴对称的性质可知・•・= = 根据正方形的性质可以得出ZDAC=45°，在RtA AP'D1中，ZAD'P' = 90° -45° =45° , A ZDAC = ZAD,P, A P'D'^P'A V A ADF A AD*F ・•・AD'=AD = 4在RtA4P'D r 中容易算出DPjgxQ =^8 = 2^2 .故应填2逅.例2.如图，在直角坐标系xOy中，点M（x,0）可在x轴上移动，且它到点P（5,5）, 0（2, /）两点的距离分别为MP和M0, 若MP + MQ有最小值时：（1）•请作图找岀满足MP + MQ最小值的M点的位置.（保留作图痕迹，不写作法）（2）.求此时点M的坐标.分析：本题的⑴问和例1的道理是一样的.；据轴对称的性质、三角形三边之间的关系以及连接P、0'两点之间线段最短，M点的位置就满足MP + MQ的值最小.木题的⑵问可以利用轴对称的性质求出Q'的坐标，在你利用待定 系数法求出P 、0两点所在直线的解析式，进而求出M 的坐标. 略解：(1).过Q 作关于x 轴的对称点0,连接P0交x 轴于M 点，连接Q'M ,此时MP + MQ 的值最小.⑵.根据轴对称的性质求出0的坐标^(2,-7) 设P0所在的直线的解析式为y= kx + b,因为P(5,5), 0(2,-7)7 、故点M 的坐标为-,0 .丿点评：在一直线上求作一点，使其到直线同一侧的两定点的距离之和最小，往往要通过作其 屮一个点关于此直线的对称点，把两定点转化到直线的两侧，连接对称点和另一定点就可以 找到这个动点的使其有最小值的位置，根据的是“两点之间，线段最短”、“垂线段最最短”. 在动点中求最小值容易和多个知识点串联以来，能较好的考查的数学的基本功和数学素养.追踪练习：1、 正方形ABCD 的面积为64, DE = gcE,P 为AC 上的一动点；求PD+PE 的最小值？2、 菱形ABCD 的对角线分别为12和16, M 、N 分別为BC 、CD 的屮点，P 是对角线BD 上的一动点，贝ij PM+PN 的最小值为 ____所以5k + b = 5 2k + b = -I 贝 ij y = 3x-73、如图，在矩形ABCD 中，AB = 4, AD = 6t E 是AB 边的中点，F 是线段BC 边上的动点，将分析： (1) .由角平分线的的定义和平行线的性质容易推出上1 = Z5,Z3二Z6 ,贝WE = OC.OF = OC ； 等量代换后0E 二OF. (2) . CO 是AECF 的EF 的中线，根据题中的提供的数据，无非△ ECF 是特殊三角形才能求出 CO ；4 EBF 沿EF 所在直线折叠得到4 EB F ,连接皮D,则30的附值是A. 2/10-2B. 6C. 2^73-2 ED. 44、如图，直线y = kx-6经过点A(4,0),直线y = -3x + 3与x 轴交 于B点,口两直线交于点C.(1).求k 的值； (2) .求△ABC 的面积；⑶•若点P 是坐标轴上的一个动点，当PB+PC 的值最小时，求P 点的坐标.• • • •二、在动点中来探究四边形的形状B F例1・如图，△ABC 中，点0是AC 边上的一个动点，过点0作直线MN 〃BC, 设MN 交ZBCA若AECF是直角三角形，一切问题解决了；根据题中交ZBCA的平分线于点E,交ZBCA的外角平分线于点F,可以证得ZECF = 90° .而点0在4C的位置是发生变化的.要证四边形AECF是矩形，已经知道ZECF = 90。
(完整word)《初二数学动点问题》专题分析
初二数学“动点问题”剖析所谓“ 动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点, 它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目 . 解决这种问题的重点是动中求静, 灵巧运用相关数学知识解决问题.重点:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形联合思想转变思想着重对几何图形运动变化能力的观察。
从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，经过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来研究与发现图形性质及图形变化，在解题过程中浸透空间看法和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历研究的过程，以能力立意，观察学生的自主研究能力，促使培育学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中察看图形的变化状况，需要理解图形在不一样地点的状况，才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”研究题的基本思路 , 这也是动向几何数学识题中最核心的数学实质。
课改后数学卷中的数学压轴性题正逐渐转向数形联合、动向几何、着手操作、实验研究等方向发展．这些压轴题题型众多、题意创新，目的是观察学生的剖析问题、解决问题的能力，内容包含空间看法、应意图识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动看法；（2）方程思想；（3）数形联合思想；（4）分类思想；（ 5）转变思想等．一、成立动点问题的函数分析式函数揭露了运动变化过程中量与量之间的变化规律, 是初中数学的重要内容. 动点问题反应的是一种函数思想 , 因为某一个点或某图形的有条件地运动变化, 惹起未知量与已知量间的一种变化关系, 这种变化关系就是动点问题中的函数关系. 那么 , 我们如何成立这种函数分析式呢?1.应用勾股定理成立函数分析式。
2.应用比率式成立函数分析式。
3.应用求图形面积的方法成立函数关系式。
二、动向几何型压轴题动向几何特色 ----问题背景是特别图形，观察问题也是特别图形，因此要掌握好一般与特别的关系；分析过程中，特别要关注图形的特征（特别角、特别图形的性质、图形的特别地点。
初二代数动点问题专题
初二代数动点问题专题引言初中代数动点问题是数学中的一类典型问题。
它涉及到运动物体的位置、速度以及时间等变量之间的关系。
通过解决这类问题，学生可以培养自己的观察、分析和解决问题的能力。
本文将介绍初二代数动点问题的基本概念和解题方法。
代数动点问题基础知识动点的定义在代数动点问题中，我们将运动物体称为动点。
动点可以是任何物体或者人在空间中运动的轨迹。
我们通常用字母来表示动点，例如用 P 表示一个动点。
动点的位置动点的位置是指动点相对于一个标准位置的位置。
我们通常通过坐标来描述动点的位置。
在二维平面上，我们可以用横坐标和纵坐标来表示一个动点的位置。
在三维空间中，我们还需要使用高度或者深度等坐标来表示一个动点的位置。
动点的运动动点的运动可以是直线运动，也可以是曲线运动。
直线运动的动点在平面上只能沿着一条直线移动；而曲线运动的动点可以在平面上沿着弯曲的路径移动。
动点的速度动点的速度是指单位时间内动点移动的距离。
通常用 V 表示动点的速度。
速度可以是常量，也可以是变化的。
解题方法解决代数动点问题的关键是确定动点的位置、速度以及时间等变量之间的关系。
一般来说，我们可以通过以下步骤来解决这类问题：1. 分析问题：仔细阅读问题，理解问题所描述的运动情况。
2. 建立模型：根据问题中所提供的信息，建立动点的位置、速度以及时间等变量之间的数学模型。
3. 解方程：根据建立的数学模型，利用代数方法解方程，求解未知变量。
4. 验证答案：将求得的未知变量的值代入原方程中，验证所得答案是否符合问题的要求。
5. 总结归纳：总结解题方法，并归纳出解决代数动点问题的一般步骤。
例题解析例题1问题描述：小明从家里出发，以每小时 20 公里的速度向东骑自行车，小红从家里出发，以每小时15 公里的速度向西骑自行车。
已知两人离家的时间相差 2 小时，他们相遇在距离小明家 35 公里的地方，请问小明离家多久后会遇到小红？解题步骤：1. 分析问题：小明和小红分别从家出发，彼此相向而行，最终相遇。
初二数学《三角形、四边形》动点问题分析与讲解
初二数学《三角形、四边形》动点问题分析与讲解所谓“动点问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目。
解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题.关键：动中求静.数学思想:分类思想数形结合思想转化思想例题分析与讲解:1. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm,动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts．（1)当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？(2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？（3）当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？分析:(1）四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ．（2）四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE．（3)四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC．所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可．解答：解：（1）∵四边形PQCD平行为四边形∴PD=CQ∴24—t=3t解得：t=6即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形．（2)过D作DE⊥BC于E则四边形ABED为矩形∴BE=AD=24cm∴EC=BC—BE=2cm∵四边形PQCD为等腰梯形∴QC-PD=2CE即3t-（24-t）=4解得：t=7（s）即当t=7（s）时，四边形PQCD为等腰梯形．（3）由题意知：QC-PD=EC时，四边形PQCD为直角梯形即3t-（24-t)=2解得:t=6。
5（s）即当t=6.5（s）时，四边形PQCD为直角梯形．点评：此题主要考查了平行四边形、等腰梯形,直角梯形的判定，难易程度适中．2.如图，△ABC中,点O为AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC，设MN 交∠BCA的外角平分线CF于点F,交∠ACB内角平分线CE于E．(1）试说明EO=FO；（2）当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O,使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．分析:(1）根据CE平分∠ACB,MN∥BC，找到相等的角,即∠OEC=∠ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．(2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．（3）利用已知条件及正方形的性质解答．解答：解：（1)∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE,∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB,∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC，同理，OC=OF，∴OE=OF．（2)当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．如图AO=CO，EO=FO,∴四边形AECF为平行四边形,∵CE平分∠ACB，∴∠ACE= ∠ACB，同理，∠ACF= ∠ACG,∴∠ECF=∠ACE+∠ACF= (∠ACB+∠ACG）= ×180°=90°，∴四边形AECF是矩形．（3）△ABC是直角三角形∵四边形AECF是正方形,∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，∵MN∥BC，∴∠BCA=∠AOM，∴∠BCA=90°，∴△ABC是直角三角形．点评：本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论（1）,再利用结论（1)和矩形的判定证明结论（2），再对（3）进行判断．解答时不仅要注意用到前一问题的结论,更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用．3.如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发,沿线段BC向点C作匀速运动;动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M,交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点,P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．(1)求NC,MC的长（用t的代数式表示）；(2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形;(3)是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由;（4)探究:t为何值时，△PMC为等腰三角形．分析:（1）依据题意易知四边形ABNQ是矩形∴NC=BC—BN=BC-AQ=BC—AD+DQ,BC、AD已知，DQ就是t，即解；∵AB∥QN，∴△CMN∽△CAB,∴CM：CA=CN：CB,（2）CB、CN已知,根据勾股定理可求CA=5，即可表示CM;四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ，列方程4—t=t即解；(3）可先根据QN平分△ABC的周长，得出MN+NC=AM+BN+AB，据此来求出t的值．然后根据得出的t的值，求出△MNC的面积，即可判断出△MNC的面积是否为△ABC面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的t值．（4）由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论：①当MP=MC时,那么PC=2NC，据此可求出t的值．②当CM=CP时，可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值．③当MP=PC时,在直角三角形MNP中，先用t表示出三边的长,然后根据勾股定理即可得出t的值．综上所述可得出符合条件的t的值．解答：解：（1)∵AQ=3-t∴CN=4-（3-t)=1+t在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42∴AC=5在Rt△MNC中,cos∠NCM= = ，CM= ．（2）由于四边形PCDQ构成平行四边形∴PC=QD，即4—t=t解得t=2．（3）如果射线QN将△ABC的周长平分，则有：MN+NC=AM+BN+AB即: (1+t）+1+t= （3+4+5）解得:t= （5分)而MN= NC= （1+t）∴S△MNC= （1+t)2= （1+t）2当t= 时，S△MNC=（1+t）2= ≠ ×4×3∴不存在某一时刻t，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分．（4）①当MP=MC时（如图1）则有：NP=NC即PC=2NC∴4-t=2（1+t）解得：t=②当CM=CP时(如图2）则有：（1+t)=4—t解得：t=③当PM=PC时(如图3）则有:在Rt△MNP中，PM2=MN2+PN2而MN= NC= (1+t）PN=NC-PC=（1+t）-（4—t）=2t-3∴［（1+t）］2+（2t-3）2=（4-t）2解得：t1= ，t2=-1（舍去）∴当t= ,t= ，t= 时，△PMC为等腰三角形点评:此题繁杂，难度中等,考查平行四边形性质及等腰三角形性质．考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法．4.如图,在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C,D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm(x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边,以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形;（3)以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．分析:以PQ,MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N重合且点Q、M不重合，此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm；或者点Q、M重合且点P、N不重合,此时AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC=BC即x+3x=20cm．所以可以根据这两种情况来求解x的值．以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧．当点P在点N的左侧时，AP=MC，BQ=ND；当点P在点N 的右侧时，AN=MC,BQ=PD．所以可以根据这些条件列出方程关系式．如果以P，Q，M,N为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm,BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm，AP=ND即2x=x2，BQ=MC即x=3x，x≠0．这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形．解答：解：（1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边可能构成一个三角形．①当点P与点N重合时，由x2+2x=20,得x1= -1，x2=—-1(舍去）．因为BQ+CM=x+3x=4( -1）＜20，此时点Q与点M不重合．所以x= -1符合题意．②当点Q与点M重合时，由x+3x=20，得x=5．此时DN=x2=25＞20，不符合题意．故点Q与点M不能重合．所以所求x的值为-1．(2）由（1）知，点Q只能在点M的左侧，①当点P在点N的左侧时，由20—（x+3x）=20—（2x+x2)，解得x1=0(舍去），x2=2．当x=2时四边形PQMN是平行四边形．②当点P在点N的右侧时，由20—（x+3x）=（2x+x2)—20，解得x1=-10（舍去)，x2=4．当x=4时四边形NQMP是平行四边形．所以当x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．（3）过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F．由于2x＞x,所以点E一定在点P的左侧．若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形，则点F一定在点N的右侧，且PE=NF，即2x-x=x2—3x．解得x1=0(舍去)，x2=4．由于当x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，所以以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形．点评:本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点．5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm,点M从点A开始，沿边AD向点D运动,速度为1cm/s;点N从点C开始，沿边CB向点B运动，速度为2cm/s、点M、N分别从点A、C出发,当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动,设运动时间为t秒．（1）当t为何值时,四边形MNCD是平行四边形？（2）当t为何值时，四边形MNCD是等腰梯形？分析：(1）根据平行四边形的性质，对边相等，求得t值;（2）根据等腰梯形的性质，下底减去上底等于12，求解即可．解答:解：(1)∵MD∥NC，当MD=NC,即15-t=2t,t=5时，四边形MNCD是平行四边形；（2）作DE⊥BC，垂足为E,则CE=21—15=6,当CN-MD=12时，即2t-（15—t）=12，t=9时，四边形MNCD是等腰梯形点评：考查了等腰梯形和平行四边形的性质，动点问题是中考的重点内容．6.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 从点C出发,在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，P、Q分别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时,点P随之停止运动，设运动时间为t （s）．(1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系；(2）当t为何值时,以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？分析：（1)若过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形，得出PM=DC=12，由QB=16-t,可知：s= PM×QB=96—6t；（2）本题应分三种情况进行讨论，①若PQ=BQ，在Rt△PQM中，由PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，将各数据代入,可将时间t求出;②若BP=BQ,在Rt△PMB中，由PB2=BM2+PM2，BP=BQ,将数据代入，可将时间t求出;③若PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，将数据代入，可将时间t求出．解答：解：（1）过点P作PM⊥BC于M,则四边形PDCM为矩形．∴PM=DC=12，∵QB=16-t,∴s= •QB•PM= （16—t）×12=96—6t(0≤t≤ ）．（2）由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：①若PQ=BQ,在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2得t2+122=（16—t）2，解得;②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=(16-2t)2+122，由PB2=BQ2得（16—2t）2+122=（16-t）2，此方程无解，∴BP≠PQ．③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16-2t)2+122得，t2=16(不合题意，舍去）．综上所述，当或时,以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形．点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题(2)时，应注意分情况进行讨论,防止在解题过程中出现漏解现象．7.直线y=— 34x+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O⇒B⇒A运动．（1)直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t（秒），△OPQ的面积为S,求出S与t之间的函数关系式；（3）当S= 485时,求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．分析:（1)分别令y=0，x=0，即可求出A、B的坐标；（2））因为OA=8，OB=6，利用勾股定理可得AB=10，进而可求出点Q由O 到A的时间是8秒,点P的速度是2，从而可求出，当P在线段OB上运动（或0≤t≤3）时,OQ=t,OP=2t，S=t2,当P在线段BA上运动(或3＜t≤8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16—2t，作PD⊥OA于点D,由相似三角形的性质，得PD=48-6t5，利用S= 12OQ×PD，即可求出答案;（3）令S= 485,求出t的值，进而求出OD、PD，即可求出P的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出M的坐标．解答：解:（1）y=0，x=0，求得A(8，0）B（0，6），（2）∵OA=8,OB=6,∴AB=10．∵点Q由O到A的时间是81=8（秒），∴点P的速度是6+108=2（单位长度/秒）．当P在线段OB上运动(或O≤t≤3）时，OQ=t,OP=2t，S=t2．当P在线段BA上运动（或3＜t≤8)时，OQ=t，AP=6+10—2t=16-2t，如图，做PD⊥OA于点D，由PDBO=APAB,得PD= 48-6t5．∴S= 12OQ•PD=- 35t2+245t．（3)当S= 485时，∵485＞12×3×6∴点P在AB上当S= 485时，- 35t2+245t= 485∴t=4∴PD= 48-6×45= 245，AD=16—2×4=8AD= 82—（245)2= 325∴OD=8- 325= 85∴P( 85，245）M1( 285，245），M2（— 125，245）,M3（125，— 245）点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2)时,应注意分情况进行讨论,防止在解题过程中出现漏解现象．11。
初二几何动点问题专题
初二几何动点问题专题几何动点问题专题动点型问题是指在题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目。
解决这类问题的关键是在动态中寻找静态的规律，需要灵活运用数学知识来解决问题，如分类思想、函数思想、方程思想、数形结合思想和转化思想。
动态几何问题的特点是问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，因此需要把握好一般与特殊的关系。
在分析过程中，特别要关注图形的特性，如特殊角、特殊图形的性质和图形的特殊位置。
近年来，中考热点一直是探究运动中的特殊性，如等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值等。
例如，对于梯形ABCD问题，已知AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从点A开始，沿AD 边，以1厘米/秒的速度向点D运动；动点Q从点C开始，沿CB边，以3厘米/秒的速度向B点运动。
已知P、Q两点分别从A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。
假设运动时间为t秒，问：1）t为何值时，四边形PQCD是平行四边形？2）t为何值时，四边形PQCD是直角梯形？3）在某个时刻，四边形PQCD可能是菱形吗？为什么？4）t为何值时，四边形PQCD是等腰梯形？练1：在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A开始沿折线A—B—C—D以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动。
如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停止运动。
设运动时间为t(s)，t为何值时，四边形APQD也为矩形？例如，对于等腰直角三角形ABC问题，斜边BC=4，OA BC于O，点E和点F分别在边AB、AC上滑动并保持AE=CF，但点F不与A、C重合，点E不与B、A重合。
1）判断△OEF的形状，并加以证明。
2）判断四边形AEOF的面积是否随点E、F的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值。
八年级下册动点难题讲解
八年级下册动点难题讲解八年级下册的动点难题是数学课堂上的一个重要内容，涉及到动点的运动和相对速度等概念。
在本文中，我们将对八年级下册动点难题进行讲解，帮助同学们更好地理解和应用这些知识。
动点是描述物体在空间中运动的抽象概念，它可以代表物体在不同时刻的位置。
在解决动点难题时，我们通常需要根据已知条件求解物体的运动情况或者求出两个物体之间的相对运动。
首先，让我们来看一个简单的例子。
假设有两个动点A和B，以匀速运动，A点每秒向右移动3米，B点每秒向右移动5米。
我们需要求出A点从开始到追上B点所需的时间。
解决这个问题的关键是分析两个动点之间的相对速度。
相对速度是指一个动点相对于另一个动点的速度。
在本例中，A点相对于B点的速度等于A点的速度减去B点的速度，即3 - 5 = -2米/秒。
由于A点的速度小于B点的速度，所以相对速度为负值，表示A点相对于B点的速度是向左的。
乘时间”的公式来计算出所需的时间。
在本例中，我们需要求出相对速度为-2米/秒时，A点追上B点所需的时间。
时间= 距离/ 速度根据上述公式，我们可以得到：时间= -3米/ (-2米/秒) = 1.5秒因此，A点需要1.5秒的时间才能追上B点。
除了求解时间的问题外，动点难题还涉及到相对运动的问题。
例如，有两个动点A和B，它们分别以匀速向右和向左移动，且速度分别为3米/秒和2米/秒。
我们需要求出它们相遇时的距离和时间。
在这个问题中，我们同样要分析两个动点之间的相对速度。
相对速度是指一个动点相对于另一个动点的速度。
在本例中，A点相对于B 点的速度等于A点的速度减去B点的速度，即3 - (-2) = 5米/秒。
由于A点的速度大于B点的速度，所以相对速度为正值，表示A点相对于B点的速度是向右的。
乘时间”的公式来计算出所需的时间。
在本例中，我们需要求出相对速度为5米/秒时，两个点相遇的时间。
假设相遇时的距离为d。
距离= 速度×时间根据上述公式，我们可以得到：d = 5米/秒×时间另外，我们还可以观察到相遇时，A点和B点的距离等于它们移动的总距离之和。
八年级数学动点问题专题通用课件
日常生活中的应用
行车路线规划
在日常生活中，动点问题 可以用于解决行车、骑车 或步行的最短路径问题。
物流配送
在物流领域，动点问题常 用于优化配送路线和时间 ，降低成本和提高效率。
时间安排
在日程安排和时间管理中 ，动点问题可以帮助我们 找到最优的时间分配方案 。
科学实验中的应用
化学反应速率
在化学反应中，动点问题可以用 来描述反应速率和反应机理。
生物种群动态
在生态学中，动点问题可以用来研 究生物种群的动态变化和演化。
天文观测
在天文学中，动点问题可以用于描 述行星、恒星的运动轨迹和观测数 据的处理。
04
动点问题的练习题和解析
基础练习题
总结词：这些题目是解决动点问 题的基础，适合初学者练习。
注意事项
在建立函数模型时，需要准确理解问题的条件和要求，并注意函数的 正确性和可解性。
03
动点问题的实际应用
物理问题中的应用
01
02
03
运动学问题
动点问题在物理运动学中 有着广泛的应用，如速度 、加速度和位移的计算。
力学问题
在力学领域，动点问题可 用于解决力的合成与分解 、牛顿运动定律等问题。
波动问题
题的效率和精确度。
注重培养学生的创新思维和实 践能力，通过解决动点问题培
养数学创新人才。
THANKS
感谢观看
注意事项
在利用几何法解决问题时，需 要准确理解几何图形的性质和 定理，并注意图形的合理性和
美观性。
函数法
总结词
通过建立函数模型，解决动点问题。
详细描述
在动点问题中，常常需要建立函数模型来表示动点的运动规律或变化 趋势，然后通过求解函数来找到动点的位置或相关参数。
初二动点问题（含答案解析）
初⼆动点问题（含答案解析）动态问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在⼀个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的⼀类开放性题⽬.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运⽤有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想数形结合思想转化思想1、如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动，如果P，Q分别从A，C同时出发，设移动时间为t秒。
当t= 时，四边形是平⾏四边形；6当t= 时，四边形是等腰梯形. 82、如图2，正⽅形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM=1，N为对⾓线AC上任意⼀点，则DN+MN的最⼩值为 53、如图，在Rt ABC△中，9060ACB B∠=∠=°，°，2BC=．点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作CE AB∥交直线l于点E，设直线l的旋转⾓为α．（1）①当α=度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为；②当α=度时，四边形EDBC是直⾓梯形，此时AD的长为；（2）当90α=°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．解：（1）①30，1；②60，1.5；（2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形.∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED. ∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平⾏四边形在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2, ∴∠A=300.∴AB=4,AC∴AO=12AC.在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2.∴BD=2. ∴BD=BC. ⼜∵四边形EDBC是平⾏四边形，∴四边形EDBC是菱形4、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.（备⽤图）CBED图1NMA BCDEMACBEDNM图3(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE=AD ＋BE ； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE ；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.解：（1）①∵∠ACD=∠ACB=90° ∴∠CAD+∠ACD=90° ∴∠BCE+∠ACD=90° ∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC ∴△ADC ≌△CEB②∵△ADC ≌△CEB ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE+CD=AD+BE (2) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE ⼜∵AC=BC ∴△ACD ≌△CBE ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE-CD=AD-BE(3) 当MN 旋转到图3的位置时，DE=BE-AD(或AD=BE-DE ，BE=AD+DE 等) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE ，⼜∵AC=BC ，∴△ACD ≌△CBE ，∴AD=CE ，CD=BE ，∴DE=CD-CE=BE-AD.5、数学课上，张⽼师出⽰了问题：如图1，四边形ABCD 是正⽅形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正⽅形外⾓DCG ∠的平⾏线CF 于点F ，求证：AE =EF ．经过思考，⼩明展⽰了⼀种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进⼀步的研究：（1）⼩颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意⼀点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成⽴，你认为⼩颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）⼩华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意⼀点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成⽴．你认为⼩华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．解：（1）正确．证明：在AB 上取⼀点M ，使AM EC =，连接ME ． BM BE ∴=．45BME ∴∠=°，135AME ∴∠=°． CF 是外⾓平分线，45DCF ∴∠=°，135ECF ∴∠=°． AME ECF ∴∠=∠． 90AEB BAE ∠+∠=°，90AEB CEF ∠+∠=°，∴BAE CEF ∠=∠． AME BCF ∴△≌△（ASA ）． AE EF ∴=．（2）正确．证明：在BA 的延长线上取⼀点N ．使AN CE =，连接NE ．BN BE ∴=． 45N PCE ∴∠=∠=°．四边形ABCD 是正⽅形， AD BE ∴∥． DAE BEA ∴∠=∠． NAE CEF ∴∠=∠．ANE ECF ∴△≌△（ASA ）． AE EF ∴=．6、如图, 射线MB 上,MB=9,A 是射线MB 外⼀点,AB=5且A 到射线MB 的距离为3,动点P 从M 沿射线MB ⽅向以1个单位/秒的速度移动，设P 的运动时间为t. 求（1）△ PAB 为等腰三⾓形的t 值；（2）△ PAB 为直⾓三⾓形的t 值；（3）若AB=5且∠ABM=45 °，其他条件不变，直接写出△ PAB 为直⾓三⾓形的t 值AD FC G E B 图1 AD FG B 图3A D FC GE B 图2A D F C GB M A D FC G B N7、在等腰梯形ABCD中,AD‖BC,E为AB的中点,过点E作EF‖BC交CD于点F.AB=4,BC=6, ∠B=60°。
初二数学动点问题-初二数学动点问题分析-初二数学动点问题总结
初二動點問題解題技巧所謂“動點型問題”是指題設圖形中存在一個或多個動點,它們在線段、射線或弧線上運動的一類開放性題目.解決這類問題的關鍵是動中求靜,靈活運用有關數學知識解決問題. 關鍵:動中求靜.數學思想：分類思想函數思想方程思想數形結合思想轉化思想注重對幾何圖形運動變化能力的考查。
從變換的角度和運動變化來研究三角形、四邊形、函數圖像等圖形，通過“對稱、動點的運動”等研究手段和方法，來探索與發現圖形性質及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理。
選擇基本的幾何圖形，讓學生經歷探索的過程，以能力立意，考查學生的自主探究能力，促進培養學生解決問題的能力．圖形在動點的運動過程中觀察圖形的變化情況，需要理解圖形在不同位置的情況，才能做好計算推理的過程。
在變化中找到不變的性質是解決數學“動點”探究題的基本思路,這也是動態幾何數學問題中最核心的數學本質。
GAGGAGAGGAFFFFAFAF二期課改后數學卷中的數學壓軸性題正逐步轉向數形結合、動態幾何、動手操作、實驗探究等方向發展．這些壓軸題題型繁多、題意創新，目的是考察學生的分析問題、解決問題的能力，內容包括空間觀念、應用意識、推理能力等．從數學思想的層面上講：（1）運動觀點；（2）方程思想；（3）數形結合思想；（4）分類思想；（5）轉化思想等．研究歷年來各區的壓軸性試題，就能找到今年中考數學試題的熱點的形成和命題的動向，它有利于我們教師在教學中研究對策，把握方向．只的這樣，才能更好的培養學生解題素養，在素質教育的背景下更明確地體現課程標準的導向．本文擬就壓軸題的題型背景和區分度測量點的存在性和區分度小題處理手法提出自己的觀點．專題一：建立動點問題的函數解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函GAGGAGAGGAFFFFAFAF数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、應用勾股定理建立函數解析式。
初中数学动点典型题分析
初中数学动点典型题分析（解析版）前言所谓“动点问题”是指图形中有一个或多个动点，在线段、射线或者弧线上运动的一类开放性题目，而解决这类题的关键是动中取静，让动点定下来，灵活地运用相关数学知识解决问题．在变化中找到不变的性质是解决数“动点”问题的基本思路．数学压轴题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向，加强了对几何图形运动变化的考核，从变化的角度来研究三角形、四边形、函数图象等，通过“对称”“翻折”“平移”“旋转”等研究手段和方法来探究图形性质及变化．让学生经历探索的过程，培养学生分析问题、解决问题的能力，把运动观目录（修改之中）一、动点问题的函数图象选择二、线段和差中的动点三、三角形中的动点四、四边形中的动点、五、反比例函数中的动点六、一次函数中的动点七、图形面积的最值动点八、与圆有关的动点九、抛物线中三角形的存在性问题十、抛物线中四边形的存在性问题十一、运动的函数图像一、动点问题的函数图象选择动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合、分类讨论思思想解答问题，属于全国中考常考题型，一般以选择题的形式出现.【典型例题 1】难度★★★如图，正方形ABCD 的边长为2cm，动点P，Q 同时从点 A 出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C 的方向，都以1cm/s 的速度运动，到达点C 运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，△APQ 的面积为ycm2，则下列图象中能大致表示y 与x 的函数关系的是（）B．A．D．【思路分析】根据题意，分别求出两个时间段的函数关C．系式是解题的关键．根据题意结合图形，分情况讨论：①0≤x≤2 时，根据S△APQ＝AQ•AP，列出函数关系式，从而得到函数图象；②2≤x≤4 时，根据S△APQ＝S 正方形ABCD﹣S△CP′Q′﹣S△ABQ′﹣S△AP′D 列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．【答案解析】解：①当0≤x≤2 时，∵正方形的边长为2cm，∴y＝S△APQ＝AQ•AP＝x2；②当2≤x≤4 时，y＝S△APQ＝S 正方形ABCD﹣S△CP′Q′﹣S△ABQ′﹣S△AP′D，＝2×2﹣×2×（x﹣2）﹣×2×（x﹣2）＝﹣x2+2x所以，y 与x 之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有 A 选项图象符合．故选：A．【典型例题 2】难度★★★如图，在矩形ABCD 中，AB＝2，BC＝3，动点P 沿折线BCD 从点B 开始运动到点D．设运动的路程为x，△ADP 的面积为y，那么y 与x 之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C． D．【思路分析】由题意当0≤x≤3 时，y＝3，当3＜x＜5 时×3×（5﹣x）＝﹣x+ ．由此即可判断．【答案解析】解：由题意当0≤x≤3 时，y＝3，当3＜x＜5 时×3×（5﹣x）＝﹣．故选：D．【典型例题 3】难度★★★如图，边长都为 4 的正方形ABCD 和正三角形EFG 如图放置，AB 与EF 在一条直线上，点 A 与点 F 重合．现将△EFG 沿AB 方向以每秒 1 个单位的速度匀速运动，当点 F 与 B 重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD 和△EFG 重叠部分的面积S 与运动时间t 的函数图象大致是（）A． C． D．【思路分析】解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和函数图象可以写出各段对应的函数解析式，从而可以判断哪个选项中的图象符合题意，本题得以解决．＝【答案解析】解：当0≤t≤2 时，S＝，即S 与t 是二次函数关系，有最小值（0，0），开口向上，﹣当 2 ＜t ≤ 4 时，S ＝＝，即S 与t 是二次函数关系，开口向下，由上可得，选项 C 符合题意，故选：C。
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本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点�
4.
如图�在梯形 ABCD 中�AD∥BC�∠B=90°�AB=14cm�AD=15cm�BC=21cm�点 M 从点 A 开始�沿边 AD 向点 D 运动�速度为 1cm/s�点 N 从点 C 开始�沿边 CB 向 点 B 运动�速度为 2cm/s、点 M、N 分别从点 A、C 出发�当其中一点到达端点时� 另一点也随之停止运动�设运动时间为 t 秒�
�1�当 x 为何值时�以 PQ�MN 为两边�以矩形的边�AD 或 BC�的一部分为第 三边构成一个三角形� �2�当 x 为何值时�以 P�Q�M�N 为顶点的四边形是平行四边形� �3�以 P�Q�M�N 为顶点的四边形能否为等腰梯形�如果能�求 x 的值�如果 不能�请说明理由�
分析�
以 PQ�MN 为两边�以矩形的边�AD 或 BC�的一部分为第三边构成一个三角形的 必须条件是点 P、N 重合且点 Q、M 不重合�此时 AP+ND=AD 即 2x+x2=20cm�BQ+MC ≠BC 即 x+3x≠20cm�或者点 Q、M 重合且点 P、N 不重合�此时 AP+ND≠AD 即 2x+x2 ≠20cm�BQ+MC=BC 即 x+3x=20cm�所以可以根据这两种情况来求解 x 的值� 以 P�Q�M�N 为顶点的四边形是平行四边形的话�因为由第一问可知点 Q 只能 在点 M 的左侧�当点 P 在点 N 的左侧时�AP=MC�BQ=ND�当点 P 在点 N 的右侧时� AN=MC�BQ=PD�所以可以根据这些条件列出方程关系式� 如果以 P�Q�M�N 为顶点的四边形为等腰梯形�则必须使得 AP+ND≠AD 即 2x+x2 ≠20cm�BQ+MC≠BC 即 x+3x≠20cm�AP=ND 即 2x=x2�BQ=MC 即 x=3x�x≠0�这 些条件不能同时满足�所以不能成为等腰梯形�
初二数学《三角形、四边形》动点问题分析与讲解
初二数学《三角形、四边形》动点问题分析与讲解所谓“动点问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目。
解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题。
关键：动中求静。
数学思想：分类思想数形结合思想转化思想例题分析与讲解：1. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动;动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts．（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形?（2）当t为何值时,四边形PQCD为等腰梯形?（3)当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形?分析：(1）四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ．（2）四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE．（3)四边形PQCD为直角梯形时QC—PD=EC．所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可．解答：解：（1）∵四边形PQCD平行为四边形∴PD=CQ∴24—t=3t解得：t=6即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形．（2）过D作DE⊥BC于E则四边形ABED为矩形∴BE=AD=24cm∴EC=BC—BE=2cm∵四边形PQCD为等腰梯形∴QC-PD=2CE即3t—（24—t)=4解得:t=7（s）即当t=7（s）时，四边形PQCD为等腰梯形．(3）由题意知：QC—PD=EC时，四边形PQCD为直角梯形即3t-(24-t)=2解得：t=6.5（s）即当t=6。
5（s）时，四边形PQCD为直角梯形．点评:此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定,难易程度适中．2.如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC，设MN 交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．(1）试说明EO=FO；（2）当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O,使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．分析：(1）根据CE平分∠ACB,MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF,可得EO=FO．(2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．(3）利用已知条件及正方形的性质解答．解答：解：（1）∵CE平分∠ACB,∴∠ACE=∠BCE，∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB，∴∠OEC=∠OCE,∴OE=OC，同理，OC=OF,∴OE=OF．（2)当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．如图AO=CO,EO=FO，∴四边形AECF为平行四边形，∵CE平分∠ACB,∴∠ACE= ∠ACB,同理，∠ACF= ∠ACG，∴∠ECF=∠ACE+∠ACF= (∠ACB+∠ACG）= ×180°=90°，∴四边形AECF是矩形．(3）△ABC是直角三角形∵四边形AECF是正方形，∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，∵MN∥BC，∴∠BCA=∠AOM，∴∠BCA=90°，∴△ABC是直角三角形．点评:本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边"证明出结论（1），再利用结论（1）和矩形的判定证明结论（2）,再对(3）进行判断．解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用．3.如图，直角梯形ABCD中,AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3,BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发,沿线段DA 向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．（1）求NC，MC的长(用t的代数式表示）；(2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形；（3）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由；（4)探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形．分析：（1)依据题意易知四边形ABNQ是矩形∴NC=BC-BN=BC-AQ=BC—AD+DQ，BC、AD已知，DQ就是t，即解;∵AB∥QN，∴△CMN∽△CAB，∴CM：CA=CN：CB，（2）CB、CN已知,根据勾股定理可求CA=5，即可表示CM;四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ，列方程4-t=t即解；(3）可先根据QN平分△ABC的周长，得出MN+NC=AM+BN+AB，据此来求出t的值．然后根据得出的t的值，求出△MNC的面积，即可判断出△MNC的面积是否为△ABC面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的t值．（4）由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论:①当MP=MC时，那么PC=2NC,据此可求出t的值．②当CM=CP时，可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值．③当MP=PC时，在直角三角形MNP中，先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t的值．综上所述可得出符合条件的t的值．解答:解:（1）∵AQ=3—t∴CN=4—(3—t）=1+t在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42∴AC=5在Rt△MNC中，cos∠NCM= = ,CM= ．（2）由于四边形PCDQ构成平行四边形∴PC=QD，即4—t=t解得t=2．(3）如果射线QN将△ABC的周长平分，则有：MN+NC=AM+BN+AB即: （1+t)+1+t= (3+4+5)解得：t= (5分）而MN= NC= （1+t）∴S△MNC= （1+t）2= （1+t）2当t= 时,S△MNC=(1+t）2= ≠ ×4×3∴不存在某一时刻t,使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分．（4）①当MP=MC时（如图1）则有：NP=NC即PC=2NC∴4-t=2（1+t）解得:t=②当CM=CP时（如图2）则有：（1+t)=4-t解得:t=③当PM=PC时（如图3）则有：在Rt△MNP中，PM2=MN2+PN2而MN= NC= (1+t)PN=NC—PC=（1+t）-（4—t）=2t-3∴[ (1+t)]2+（2t-3）2=（4—t）2解得:t1= ,t2=-1（舍去）∴当t= ，t= ，t= 时，△PMC为等腰三角形点评：此题繁杂,难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质．考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法．4.如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M,N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时,运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm,DN=x2cm．（1）当x为何值时，以PQ,MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形;（2）当x为何值时,以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形;(3）以P,Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能,求x的值；如果不能，请说明理由．分析:以PQ，MN为两边，以矩形的边(AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N重合且点Q、M不重合，此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm,BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm；或者点Q、M重合且点P、N不重合，此时AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm,BQ+MC=BC即x+3x=20cm．所以可以根据这两种情况来求解x的值．以P，Q,M，N为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧．当点P在点N的左侧时,AP=MC,BQ=ND;当点P在点N的右侧时，AN=MC，BQ=PD．所以可以根据这些条件列出方程关系式．如果以P,Q，M,N为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm，AP=ND即2x=x2，BQ=MC即x=3x，x≠0．这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形．解答:解:(1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ,MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形．①当点P与点N重合时，由x2+2x=20，得x1= —1，x2=- —1（舍去）．因为BQ+CM=x+3x=4（—1）＜20，此时点Q与点M不重合．所以x= -1符合题意．②当点Q与点M重合时，由x+3x=20，得x=5．此时DN=x2=25＞20,不符合题意．故点Q与点M不能重合．所以所求x的值为—1．（2）由（1)知，点Q只能在点M的左侧，①当点P在点N的左侧时，由20-（x+3x）=20-(2x+x2）,解得x1=0(舍去），x2=2．当x=2时四边形PQMN是平行四边形．②当点P在点N的右侧时，由20—（x+3x）=（2x+x2)—20，解得x1=-10（舍去），x2=4．当x=4时四边形NQMP是平行四边形．所以当x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．（3）过点Q，M分别作AD的垂线,垂足分别为点E，F．由于2x＞x，所以点E一定在点P的左侧．若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形，则点F一定在点N的右侧，且PE=NF,即2x—x=x2—3x．解得x1=0（舍去）,x2=4．由于当x=4时,以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，所以以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形．点评：本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点．5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°,AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，点M从点A开始，沿边AD向点D运动，速度为1cm/s;点N从点C开始，沿边CB向点B运动，速度为2cm/s、点M、N分别从点A、C出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．(1）当t为何值时，四边形MNCD是平行四边形？(2）当t为何值时，四边形MNCD是等腰梯形？分析：(1)根据平行四边形的性质，对边相等，求得t值；（2)根据等腰梯形的性质,下底减去上底等于12,求解即可．解答：解:（1）∵MD∥NC，当MD=NC，即15—t=2t，t=5时，四边形MNCD是平行四边形；（2）作DE⊥BC，垂足为E，则CE=21-15=6，当CN—MD=12时,即2t—（15—t）=12，t=9时,四边形MNCD是等腰梯形点评:考查了等腰梯形和平行四边形的性质，动点问题是中考的重点内容．6.如图,在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从点D出发,沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动,P、Q分别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，设运动时间为t （s）．（1)设△BPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系；（2)当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形?分析：（1)若过点P作PM⊥BC于M,则四边形PDCM为矩形，得出PM=DC=12,由QB=16-t，可知:s= PM×QB=96—6t；(2）本题应分三种情况进行讨论，①若PQ=BQ，在Rt△PQM中，由PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，将各数据代入,可将时间t求出；②若BP=BQ，在Rt△PMB中，由PB2=BM2+PM2，BP=BQ，将数据代入,可将时间t求出；③若PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，将数据代入，可将时间t求出．解答：解:（1）过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形．∴PM=DC=12,∵QB=16-t，∴s= •QB•PM= （16-t)×12=96-6t（0≤t≤ ）．（2)由图可知,CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况:①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2得t2+122=（16—t）2,解得;②若BP=BQ,在Rt△PMB中，PB2=（16—2t）2+122，由PB2=BQ2得（16—2t）2+122=（16-t)2，此方程无解，∴BP≠PQ．③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16—2t）2+122得，t2=16（不合题意，舍去)．综上所述，当或时,以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形．点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．7.直线y=- 34x+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度,点P 沿路线O⇒B⇒A运动．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t（秒)，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3)当S= 485时,求出点P的坐标,并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．分析：(1）分别令y=0，x=0，即可求出A、B的坐标;(2））因为OA=8，OB=6，利用勾股定理可得AB=10，进而可求出点Q由O到A的时间是8秒，点P的速度是2，从而可求出,当P在线段OB上运动(或0≤t≤3）时,OQ=t，OP=2t,S=t2,当P在线段BA上运动（或3＜t≤8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16—2t,作PD⊥OA于点D，由相似三角形的性质，得PD=48-6t5，利用S= 12OQ×PD，即可求出答案；（3）令S= 485，求出t的值，进而求出OD、PD，即可求出P的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出M的坐标．解答：解：（1)y=0，x=0,求得A（8，0）B(0，6），(2）∵OA=8,OB=6，∴AB=10．∵点Q由O到A的时间是81=8（秒）,∴点P的速度是6+108=2(单位长度/秒）．当P在线段OB上运动（或O≤t≤3）时，OQ=t，OP=2t，S=t2．当P在线段BA上运动(或3＜t≤8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，如图，做PD⊥OA于点D，由PDBO=APAB，得PD= 48—6t5．∴S= 12OQ•PD=- 35t2+245t．（3)当S= 485时，∵485＞12×3×6∴点P在AB上当S= 485时,- 35t2+245t= 485∴t=4∴PD= 48-6×45= 245，AD=16-2×4=8AD= 82—（245)2= 325∴OD=8— 325= 85∴P( 85，245)M1（285，245）,M2（- 125, 245）,M3（125，- 245）点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．11。
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《初二数学动点问题》专题分析初二数学“动点问题”分析所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查。
从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．一、建立动点问题的函数解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?1.应用勾股定理建立函数解析式。
2.应用比例式建立函数解析式。
3.应用求图形面积的方法建立函数关系式。
二、动态几何型压轴题动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
（一）以动态几何为主线的压轴题。
1.点动问题。
2.线动问题。
3.面动问题。
（二）解决动态几何问题的常见方法有:1.特殊探路，一般推证。
2.动手实践，操作确认。
3.建立联系，计算说明。
（三）本大类习题的共性：1．代数、几何的高度综合（数形结合）；着力于数学本质及核心内容的考查;四大数学思想：数学结合、分类讨论、方程、函数．2．以形为载体，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；研究特殊情况下的函数值。
三、双动点问题点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为中考试题的热点，1.以双动点为载体，探求函数图象问题。
2.以双动点为载体，探求结论开放性问题。
3.以双动点为载体，探求存在性问题。
4.以双动点为载体，探求函数最值问题。
双动点问题的动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动。
四：函数中因动点产生的相似三角形问题五：以圆为载体的动点问题动点问题是初中数学的一个难点，中考经常考察，有一类动点问题，题中未说到圆，却与圆有关，只要巧妙地构造圆，以圆为载体，利用圆的有关性质，问题便会迎刃而解；此类问题方法巧妙，耐人寻味。
例1.如图，已知在矩形ABCD中，AD=8，CD=4，点E 从点D出发，沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动，同时点F 从点C 出发，沿射线CD 方向以每秒2个单位长的速度移动，当B ，E ，F 三点共线时，两点同时停止运动．设点E 移动的时间为t （秒）．（1）求当t 为何值时，两点同时停止运动；（2）设四边形BCFE 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）求当t 为何值时，以E ，F ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形；（4）求当t 为何值时，∠BEC =∠BFC ．例2. 正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，（1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；（2）设BM x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；A B C D E F O D A（3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求此时x 的值．例 3.如图，在梯形ABCD 中，354245AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，，∠．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．（1）求BC 的长。
（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．A D CB M N例4.如图，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝3cm ，OB ＝4cm ，以点O 为坐标原点建立坐标系，设P 、Q 分别为AB 、OB边上的动点它们同时分别从点A 、O向B 点匀速运动，速度均为1cm/秒，设P 、Q 移动时间为t （0≤t ≤4）（1）求AB 的长，过点P 做PM ⊥OA 于M ，求出P 点的坐标（用t 表示） （2）求△OPQ 面积S （cm 2），与运动时间t （秒）之间的函数关系式，当t 为何值时，S 有最大值？最大是多少？（3）当t 为何值时，△OPQ 为直角三角形？（4）若点P 运动速度不变，改变Q 的运动速度，使△OPQ 为正三角形，求Q 点运动的速度和此时t 的值.动点问题专项训练1．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，1BC ，动点P 从点B 出y A O M Q PB x发，沿路线B C D →→作匀速运动，那么ABP △的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是（ ）2．如图a ，在直角梯形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD 运动至点D 停止．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图b 所示，则△BCD 的面积是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．63．如图，△ABC 和的△DEF 是等腰直角三角形，∠C=∠F=90°，AB=2.DE=4．点B 与点D 重合，点A,B(D),E 在同一条直线上，将△ABC 沿D E →方向平移，至点A 与点E 重合时停止．设点B,D 之间的距离为x ，△ABC 与△DEF 重叠部分的面积为y ，则准确反映y 与x 之间对应关系的图象是（ ）DC P B A O 31 1 3 S x A ．O 11 3 S x O 3 S x 3 O 1 1 3 S x B ． C ． D ．2 图 2 O 5 x A B C P D 图4．如图，点G 、D 、C 在直线a 上，点E 、F 、A 、B 在直线b 上，若a b Rt GEF ∥，△从如图所示的位置出发，沿直线b 向右匀速运动，直到EG 与BC 重合．运动过程中GEF △与矩形ABCD 重合部分．．．．的面积（S ）随时间（t ）变化的图象大致是（ ）G D C E F A B b a （第st OA s t OBC s t O Ds t O5如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形ABCD的边上有一动点P沿A B C D A→→→→运动一周，则P的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（）6．如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP 的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形ABCD的面积是( )A．10 8．16 C. 20 D．361 23 412ysO 1 23 412ysO s 1 23 412ysO123412yOA B C D7．如图，三个大小相同的正方形拼成六边形ABCDEF ，一动点P 从点A 出发沿着A →B →C →D →E 方向匀速运动，最后到达点E .运动过程中PEF 的面积（s ）随时间（t ）变化的图象大致是（ ）8．如图，点A 、B 、C 、D 为圆O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O-C-D-O 的路线作匀速运动.设运动时间为t 秒, ∠APB 的度数为y 度，则下列图象中表示y 与t 之间函数关系最恰当的是( )stAOstBOsDOstCOt（第7题图） AB CD E.F. P . ·9． 一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E ”图案，如图4所示，设小矩形的长和宽分别为x 、y ，剪去部分的面积为20，若2≤x ≤10，则y 与x 的函数图象是（ ）10．如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿»OA AB BO --的路径运动一周．设OP 为s ，运动时间为t ，则下列图形能大致地刻画s 与t 之间关系的是（ ）11.锐角△ABC 中，BC ＝6,S△ABC=12两动点M 、N 分别在边AB 、AC 上滑动，且MN ∥BC ，以MN 为边向下作正方形MPQN ，设其边长为x ，正方形MPQN 与△ABC 公共部分的面积为y （y ＞0）,当x ＝ ，公共部分面积y 最大，yP AOB s O s OtO s O sABC D最大值＝ ,12.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB 延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．13.如图，已知双曲线k，经过点D（6，1），点C是双yx曲线第三象限上的动点，过C作CA⊥x轴，过D作DB⊥y 轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC．（1）求k的值；（2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；（3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．14、如图，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=6，C 为OB上一点，射线CD⊥OB交AB于点D，OC=2．点P从点A出发以每秒个单位长度的速度沿AB方向运动，点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿CD 方向运动，P、Q两点同时出发，当点P到达到点B时停止运动，点Q也随之停止．过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，得到矩形PEOF．以点Q为直角顶点向下作等腰直角三角形QMN，斜边MN∥OB，且MN=QC．设运动时间为t（单位：秒）．（1）求t=1时FC的长度．（2）求MN=PF时t的值．（3）当△QMN和矩形PEOF有重叠部分时，求重叠（阴影）部分图形面积S与t的函数关系式．（4）直接写出△QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时t的值．15．如图：直线y=﹣x+18分别与x轴、y轴交于A、B 两点；直线y=2x分别与AB交于C点，与过点A且平行于y轴的直线交于D点．点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动，过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），点E的运动时间为t（秒）．（1）当0＜t＜12时，求S与t之间的函数关系式；（2）求（1）中S的最大值；（3）当t＞0时，若点（10，10）落在正方形PQMN的内部，求t的取值范围．。