自动控制理论试题答案(2008)

中南大学考试答案2008-2009 学年上学期 时间110分钟 2008年12月9日自动控制理论 课程88学时5.5学分 考试形式 闭卷 专业年级： 自动化06级 总分100分，占总评成绩70%注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上。

1. 已知结构图如题1图所示，求系统的传递函数)()(s R s C 。

（10分）题 1 图答案：所以： 2441321232121413211)()(H G G G G G G H G G H G G G G G G G s R s C ++++++=2. 一阶系统结构图如题2图所示，要求系统闭环增益2=ΦK ，调节时间4.0≤s t S ， 试确定参数21,K K 的值。

（10分）题 2 图答案：由结构图写出闭环系统传递函数111)(212211211+=+=+=ΦK K sK K K s K sK K s K s令闭环增益212==ΦK K ， 得：5.02=K 令调节时间4.03321≤==K K T t s ，得：151≥K 。

3. 某典型二阶系统的单位阶跃响应如题3图所示。

试确定系统的闭环传递函数。

（10分）（秒）题 3 图答案：依题，系统闭环传递函数形式应为2222.)(nn ns s K s ωξωω++=ΦΦ 由阶跃响应曲线有：21)(lim )()(lim (0==⋅Φ=Φ=∞Φ→→K ss s s R s s h s s ） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===-=--oo o o n p e t 25225.221212ξξπσξωπ联立求解得 ⎩⎨⎧==717.1404.0nωξ所以有 95.239.19.5717.1717.1404.02717.12)(2222++=+⨯⨯+⨯=Φs s s s s4. 单位反馈系统的开环传递函数为：)5.0)(2()52()(2-++-=*s s s s K s G ，试绘制系统根轨迹，确定使系统稳定的*K 值范围。

（10分）答案：根轨迹绘制如下：① 实轴上的根轨迹： []5.0,2- ② 分离点：由211211215.01j d j d d d --++-=++-解得： 41.01-=d 。

③与虚轴交点：0)52()5.0)(2()(2=+++-+=*s s K s s s D把s=j ω代入上方程，令⎪⎩⎪⎨⎧=-==-++-=***0)25.1())(Im(015)1())(Re(2ωωωωK j D K K j D 解得： ⎩⎨⎧==*2.00K ω⎩⎨⎧=±=*75.025.1K ω 根轨迹如图解4所示。

由图解4可知系统稳定的*K 值范围为75.02.0<<*K ；又 *=K K 5， 所以系统稳定的K 值范围为75.31<<K 。

5. 已知系统的动态方程为 []211010a x x uy b x ⎧⎡⎤⎡⎤=+⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎣⎦⎣⎦⎪=⎩，试确定a ，b 值，使系统完全可控、完全可观。

（10分）答案：[][]。

且观的条件是系统完全可控、完全可；系统可观，；系统可控010.02det ,201.01)2(1B det ,,1211B2≠-≠∴≠∴≠=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-≠∴≠--=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==b a b b CA C b ab b CA C V a a a AB a AB S6．设系统的传递函数为()10()(1)(2)y s u s s s s =++，试用状态反馈方法，将闭环极点配置在－2，－1＋j ，－1－j 处，并写出闭环系统的动态方程和传递函数。

（10分）答案：答案不唯一，这里仅给出可控标准型的结果（1） 系统动态方程（3分）[]xy u x x 0010100320100010=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--= （2） 状态反馈矩阵[]kx v u k k k k -==21由闭环极点和闭环系统特征多项式有464)1)(1)(2()2()3()(2301223+++=++-++=+++++=--λλλλλλλλλλj j k k k BK A I比较，[]144=k 。

（3）闭环系统的动态方程：[]xy v x x 0010100464100010=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---= （4）闭环系统的传递函数：46410U(s)Y(s)G(s)23+++==s s s7. 设离散系统如题7图所示，采样周期T =1 s ，()h G s 为零阶保持器，而G s Ks s ()(.)=+021要求：题 7 图（1）当5K =时，分别在ω域和z 域中分析系统的稳定性；（2）确定使系统稳定的K 值范围。

（3）若2K =时，求单位阶跃输入时系统的稳态误差()e ∞。

（15分）答案：（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++++--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡------=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅-=-----------------561)54()1(5154))(1()())(1(5154)(5111)1)(1(5)1()1(1)12.0()1()(55552555555555555221TT TT T T T TT T TT T T T T h eKe z eK e z e e z e K e z z z D e z z e e z e K e z e z K e z e z z z z K s s K Z z z G G当5=K 时09663.03)(2=++=z z z D解根得 )(367.0,633.221系统不稳定-=-=λλ以11-+=w w z 代入并整理得 208.001357.0)(2-+=w w w D)(w D 中有系数小于零，不满足系统稳定的必要条件。

（2）当K 为变量时)006738.01919.0()006738.180135.0()(2++-+=K z K z z D以11-+=w w z 代入并整理得 )60945.00135.2()3838.09865.1(9933.0)(2K w K Kw w D -+-+=由劳斯判据可得系统稳定的K 值范围为：304.30<<K8. 已知非线性系统的结构图如题8图所示，题 8 图图中非线性环节的描述函数为N A A A A ()()=++>62试用描述函数法确定：（1）使该非线性系统稳定、不稳定以及产生周期运动时，线性部分的Ｋ值范围；（2）判断周期运动的稳定性，并计算稳定周期运动的振幅和频率。

（10分）答案：（1）-=-++126N A A A ()()-=--∞=-101311N N (),()dN A dA A ()()=-+<4202N(A)单调降，)(1A N -也为单调降函数。

画出负倒描述函数曲线)(1A N -和G j ()ω曲线如图解7-13所示，可看出，当K 从小到大变化时，系统会由稳定变为自振，最终不稳定。

求使 Im[G j ()]ω=0 的ω值：令 ∠=-︒-=-︒G j arctg ()ωω902180 得 arctg ωω=︒=451,令 G j K()ωωωωω===+12211图解8⎪⎩⎪⎨⎧=→=→==213231231K K K可得出K 值与系统特性之间的关系：（2）由图解7-13可见，当)(1A N -和G j ()ω相交时，系统一定会自振。

由自振条件N A G j A A K A KA ()()()()ωω==++⋅-=-++=-16226221()A K A +=+624解出 )232(1246<<⎪⎩⎪⎨⎧=--=K KK A ω9. 某单位反馈系统校正前、后系统的对数幅频特性如题9图所示（实线为校正前系统的幅频特性、 虚线为校正后系统的幅频特性）（1） 写出校正前、后系统的开环传递函数0()G s 与()G s '的表达式； （2） 求校正前、后系统的相角裕度；（3） 写出校正装置的传递函数()c G s ，并画出其对数幅频特性曲线。

（15分）题 9 图答案：（1）0100()(1)(1)25100G s s =++，100(1)2()(1)(1)(1)0.2100270s G s s s s s +'=+++（2）00()0,()72,c c γωγω'==（3）(1)(1)225()(1)(1)0.2270c s sG s s s ++=++。