弹性力学第二章

第二章
平面应力问题和平面应变问题
平面应力
§2-1 平面应力问题和平面应变问题
弹性力学空间问题共有应力、应变和 位移15个未知函数，且均为 f ( x, y , z ) ； 弹性力学平面问题共有应力、应变和 位移8个未知函数，且均为 f ( x , y ) 。
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平面应力问题和平面应变问题
平面应力
μ
1− μ
代换即可
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平面应力问题和平面应变问题
定义
§2－2 平衡微分方程
平衡微分方程--表示物体内任一点 的微分体的平衡条件。 平面问题的平衡微分方程可以由空 间问题的平衡微分方程简化得到。
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平面应力问题和平面应变问题
平衡条件
两种平面问题都有 τ zy = τ zx = 0, f z = 0. 平面应力 σ z = 0 。 平面应变 σ z = μ (σ x + σ y ) ，只是
y 因为（ x ，）∈ A；
⑵ 适用的条件--连续性，小变形； ⑶ 应力不能直接求出； ⑷ 对两类平面问题的方程相同。
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平面应力问题和平面应变问题
说明
⑸比较: 理论力学考虑整体 V 的平衡（只决定整 体的运动状态）。 材料力学考虑有限体 ΔV 的平衡（近似）。 弹性力学考虑微分体 dV 的平衡（精确）。
σ max σ x + σ y ⎛σ x −σ y = ± ⎜ ⎜ σ min 2 2 ⎝ σ1 − σ 2 tan α 1 = . ⎞ 2 ⎟ + τ xy , ⎟ ⎠
2
(2-6)
τ xy
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平面应力问题和平面应变问题
最大，最小应力
(4)求最大，最小应力 将x，y放在 σ1 , σ2 方向，列出任一斜面上 应力公式，可以得出（设 σ ≥ σ ）
问题的提出： 已知坐标面上应力 σ x , σ y ,τ xy ， 求斜面上的应力。（注意此面平行于z 轴，即方向余弦 n = 0 ）
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平面应力问题和平面应变问题
问题
斜面应力表示：p = ( p x , p y ), p = ( σ n , τ n ). 由空间问题的结论
⎧ p ⎪ ⎨ p ⎪ ⎩ p
平面应力问题和平面应变问题
平面应力
（2）由于板为等厚度，外力、约束沿z向
σ x , σ y , τ xy 仅为 f ( x, y )。 不变，故应力
所以归纳为平面应力问题： a.应力中只有平面应力 σ x , σ y , τ xy 存在； b.且仅为 f ( x, y ) 。
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平面应力问题和平面应变问题
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平面应力问题和平面应变问题
说明
应力边界条件的说明： ⑴ 它是边界上微分体的静力平衡条件； ⑵ 它是函数方程，要求在边界上每一点s 上均满足，这是精确的条件； ⑶ 式（2-15）只能在边界 s上成立；
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平面应力问题和平面应变问题
说明
⑷ 式（2-15）中， σ x , σ y ,τ xy －－按应力符号规定，
( 7 − 8)
∂u εx = , ∂x
∂v ∂v ∂u ε y = , γ xy = + . ∂y ∂x ∂y
( 2 − 8)
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平面应力问题和平面应变问题
定义
平面问题的物理方程可以由空间问题的物理 方程简化得到。
1 ε x = ( σ x − μ σ y − μ σ z ), E 1 ε y = ( σ y − μ σ z − μ σ x ), E 1 ε z = ( σ z − μ σ x − μ σ y ), E
⑶ 它是在边界上物体保持连续性的条 件，或位移保持连续性的条件。
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平面应力问题和平面应变问题
应力边界条件
应力边界条件－－设在 sσ 上给定了面力分 量 f x ( s ), f y ( s ).
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(lσ x + mτ yx ) s = f x ( s ), ⎫ ⎪ ⎬ （在 sσ 上） （2-15） ( mσ y + lτ xy ) s = f y ( s ), ⎪ ⎭
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平面应力问题和平面应变问题
平面应变
两种平面问题的比较
几何特征 平 面 应 力 平 面 应 变
一个方向的尺寸<< 其它两个方向的尺 寸、有两个平行板 面
受力特征
面力作用在板边、 平行于板面；体力 也平行于板面都沿 厚度不变；约束作 用于板边平行于板 面沿厚度不变
独立量
σ x , σ y ,τ xy ε x , ε y , γ xy
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ∂ τ yx ∂σ x ∂ τ zx + + + fx = 0 ∂x ∂y ∂z ∂σ y ∂ τ zy ∂ τ xy + + + fy = 0 ∂y ∂z ∂x ∂ τ yz ∂ τ xz ∂σ z + + + fz = 0 ∂x ∂y ∂z
（x,y）的函数。由
(σx )x=a = fx , (τ xy ) x=a = f y .
b a x
fx fy
τ xy
σx
σx
fx fy
τ xy
y
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平面应力问题和平面应变问题
若x=-b为负x 面，l = -1, m = 0 , 则式(d)成为
(σx )x=−b =− fx, (τxy )x=−b =− fy.
x y z
= lσ = nσ
x
+ m τ
y z
yx zy
+ nτ + lτ + m τ
zx xy yz
= m σ
+ nτ + lτ
xz
简化得到
⎧ ⎪ p ⎨ ⎪ ⎩ p
x y
= lσ
x
+ m τ
y
yx xy
= m σ
+ lτ
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平面应力问题和平面应变问题
斜面应力
(2)求（ σ n , τ n ） 将 p = ( px , py ) 向法向，切向投影，得
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平面应力问题和平面应变问题
平衡条件
简化即可得到平面问题的平衡微分 方程
⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ∂ τ yx ∂σ x + + fx = 0 ∂x ∂y ∂σ y ∂ τ xy + + fy = 0 ∂y ∂x
( 2 − 1)
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平面应力问题和平面应变问题
说明
对平衡微分方程的说明： ⑴ 代表A中所有点的平衡条件，
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平面应力问题和平面应变问题
说明
V 平衡； 当 dV 均平衡时，保证 ΔV ，
反之则不然。 所以弹力的平衡条件是严格的，并 且是精确的。
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平面应力问题和平面应变问题
说明
平面问题的几何方程，可以由空间问题的 几何方程简化得到：
∂u ∂v ∂w εx = , εy = , εz = ∂z ∂x ∂y ∂w ∂v ∂u ∂w ∂v ∂u + , γ zx = + + γ yz = , γ xy = ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
(2 −13)
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平面应力问题和平面应变问题
平面应力物理方程→平面应变物理方程：
E E → 1− μ
2
,
μ →
1− μ
μ
.
平面应变物理方程→平面应力物理方程：
E (1 + 2 μ ) E→ , 2 (1 + μ )
μ→
1+ μ
μ
.
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平面应力问题和平面应变问题
问题
§2－3 平面问题中一点的应力状态
对称面
oz
x
ox
z
τ zy
y y
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平面应力问题和平面应变问题
平面应变
简化为平面应变问题：
（1）截面、外力、约束沿z 向不变，外力、约束 平行xy面，柱体非常长； 故任何z 面（截面）均为对称面。
w = 0, 只有 u,v ; ⇒ （平面位移问题）
w = 0 → ε z = 0, τ zx , τ zy = 0 → γ zx , γ zy ⎫ ⎬ 只有ε x , ε y , γ xy . = 0,⎭ （平面应变问题） ⇒
(u) s = u(s), (v) s = v(s), （在 su上)。（2-14）
第二章
平面应力问题和平面应变问题
位移边界条件的说明： ⑴ 它是函数方程，要求在 su 上每一点s ， 位移与对应的约束位移相等。
u = v = 0, 则有 ⑵ 若为简单的固定边，
(u ) s =0, (v) s =0, （在 su上）（2-14）
u, v
基本方程
平衡微分方程、 几何方程相同 物理方程不同
一个方向的尺寸>> 面力、体力、约束 其它两个方向的尺 都平行于横截面沿 寸、横截面的形状 长度不变 和尺寸沿长度不变
σ x , σ y ,τ xy ε x , ε y , γ xy
u, v
将平面应力问题物理方 程中的
E→
E 1− μ 2
μ→
γ yz γ zx γ xy
1 ⎫ = τ yz , ⎪ G ⎪ 1 ⎪ = τ zx , ⎬ G ⎪ 1 ⎪ = τ xy . ⎪ G ⎭
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平面应力问题和平面应变问题
定义
对平面应力问题，由于 σ z = 0, τ zy = 0,τ zx = 0 故其物理方程为：
1 ⎧ ( ) = − σ σ ε μ x x y ⎪ E ⎪ 1 ⎪ ⎨ε y = (σy − μσx ) E ⎪ 2(1+ μ) ⎪ ⎪γ xy = E τ xy ⎩
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平面应力问题和平面应变问题
平面应变
（2）由于截面形状、体力、面力及约束沿
z 向均不变，故应力、应变和位移均为
f ( x, y ) 。
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平面应力问题和平面应变问题
平面应变
所以归纳为平面应变问题： a.应变中只有平面应变分量 ε x , ε y , γ xy 存在； b.且仅为 f ( x , y ) 。
2 2 ⎧ l m σ σ σ y + 2 lm τ xy = + x ⎪ n ⎨ 2 σ y − σ x ) + τ xy l − m ⎪ ⎩ τ n = lm (
(
2
)
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平面应力问题和平面应变问题
斜面应力
(3)求主应力 设某一斜面为主面，则只有 σ n = σ , τ n = 0, 由此建立方程，求出:
1 2
max min
σ1 σn = , σ2
max min
σ1 − σ 2 , 发生在与主 τn = ± 2 应力成 45 o 的斜面上 .
说明：以上均应用弹力符号规定导出。
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平面应力问题和平面应变问题
定义
位移边界条件
§2－6 边界条件
边界条件 －－表示在边界上位移与约 束，或应力与面力之间的关系。 位移边界条件 －－设在s u 部分边界 上给定位移分量 u (s) 和 v(s) ,则有
第一种：平面应力问题 条件是：
（1）等厚度的薄板； （2）体力作用于体内，平行于板的中面， 沿板厚不变； （3）面力作用于板边，平行于板的中面， 沿板厚不变； （4）约束作用于板边，平行于板的中面， 沿板厚不变。
第二章
平面应力问题和平面应变问题
平面应力
坐标系如图选择。
第二章
平面应力问题和平面应变问题
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节
平面应力问题和平面应变问题 平衡微分方程 平面问题中一点的应力状态 几何方程 物理方程 边界条件 刚体位移
第二章
平面应力问题和平面应变问题
第七节 第八节 第九节 第十节
圣维南原理及其应用 按位移求解平面问题 按应力求解平面问题 常应力情况下的简化 相容方程 应力函数
(2 −12)
第二章
平面应力问题和平面应变问题
定义
对平面应变问题，由于 τ zy = 0,τ zx = 0 σ z = μ (σ x + σ y ), 且只是x、y的函数 故其物理方程为：
⎧ μ ⎞ 1− μ2 ⎛ ⎜ σx − σy ⎟ ⎪ε x = ⎜ ⎟ − μ 1 E ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ 1− μ2 ⎛ μ ⎞ ⎪ ⎜ σy − σx ⎟ ⎨ε y = ⎟ ⎜ − 1 E μ ⎠ ⎝ ⎪ ⎪ 2(1+ μ) τ xy ⎪γ xy = E ⎪ ⎩
平面应力
简化为平面应力问题： （1）两板面上无面力和约束作用，故 σ z , τ zx , τ zy z=± δ = 0
(
)
2
由于薄板很薄，应力是连续变化的， 又无z向外力，可认为：
(σ , τ
z
zx
, τ zy ) = 0, (在V中)
σ x , σ y ,τ xy 存在。 故只有平面应力
第二章
f x ， f y －－按面力符号规定；
⑸ 位移,应力边界条件均为每个边界两 个，分别表示 x ，y 向的条件； ⑹ 所有边界均应满足，无面力的边界 （自由边） f x = f y = 0, 也必须满足。
第二章
平面应力问题和平面应变问题
坐标面
当边界面为坐标面时， 若x=a为正x 面，l = 1, m = 0, 则式(d)成为
平面应变
第二种：平面应变问题 条件是：
（1）很长的常截面柱体； （2）体力作用于体内，平行于横截面，沿柱体 长度方向不变； （3）面力作用于柱面，平行于横截面，沿柱 体长度方向不变； （4）约束作用于柱面，平行于横截面，沿柱 体长度方向不变。
第二章
平面应力问题和平面应变问题
平面应变
坐标系选择如图：