对数求导法则

六、对数的求导法则

例1．设，其中u，ν是x的函数且均可

导，试求y的导数.

注意：这是一种特殊类型的函数，它既不是幂函数，也

不是指数函数，称为幂指函数.具体地，如

，

等都是幂指函数.求幂指函数的导数时，既不能直接利用幂函数的导数公式计算，也不能直接利用指数函数的导数公式计算。我们可以利用对数求导法求其导数.

解：将函数式两边取自然对数，有

按隐函数求导法，上式两边对x求导数，得

即

从而有

另解：也可以将幂指数y=uν化为复合函数y=eνlnu，用复合函数的求导法则求导数.

记 u=e lnu，则 y=uν=(e lnu)ν=e vlnu

于是有 y′=（uν）′ =(eνlnu)′

＝eνlnu(νlnu)′

读者可以不必死记幂函数的导数公式，只要掌握对数求导法即可.

所谓对数求导法，就是先对所给的函数式两边取自然对数，再按隐函数的求导法则求导数.在某些情况下，利用对数求导法求导数，要比用通常的方法求导数方便一些.下面通过例题来说明这种方法.