图的遍历及生成树

• 由广度优先搜索得到的生成树，称为广度优先搜索 生成树。
思考2：若对非连通图进行遍历，得到的是什么？ 得到的将是各连通分量的生成树，即图的生成森林。
生成树
V1 V1
V2 V4 V8 V5 V6
V3
V7
V2
V3
V4 V8
V5 V6
V7
（a）深度优先生成树
（b） 广度优先生成树
例：求下图的深度优先生成树和广度优先生成树。 v1 v2 v5 v3
void DFS(ALGraph G, int v) { ArcNode *p; visited[v] = 1; /*置已访问标记*/ printf("%d ", v); /*输出被访问顶点的编号*/ p = G.vertices[v].firstarc; /*p指向顶点v的第一个邻接点*/ while (p!=NULL) { if (visited[p->adjvex]==0) DFS(G, p->adjvex); /*若p->adjvex顶点未访问,递归访问它*/ p = p->nextarc; /*p指向顶点v的下一个邻接点*/ } }
起点
—照样借用visited [n ]
1 2 3
辅助数组 visited [n]
DFS 结果
0 1 2 3
0 0 0 0
1 0 0 0
1
1 0 0
1 1 1 0
1 1 1 1
v0 → v1 → v2 →v3
注意：在邻接表中，并非每个 链表元素（表结点）都被扫描 到, 因此遍历速度很快。
邻接表的DFS算法
G
H
广度优先 生成森林
F
C
B
M J L
E
K
小结
1.理解并掌握图的深度优先搜索和广度优先搜索两种遍历 算法及其性能分析；以及两种遍历所使用的辅助数据结构
（栈或队列）在遍历过程中所起的作用，能够确定两种遍
历所得到的顶点访问序列以及利用图的两种遍历设计算法 解决简单的应用问题。
2.理解并掌握生成树的概念，能画出给定的图深度优先和
的顶点都被访问到；
（2）若此时图中尚有顶点未被访问，则另选图
中一个未曾被访问的顶点作起始点；
（3）重复上述两步，直至图中所有顶点都被访 问到为止。 与树的先序遍历过程类似
详细过程：
1) 1.1 在访问图中某一起始顶点 v 后，由 v 出发，访问它的 任一邻接顶点 w1； 1.2 再从 w1 出发，访问与 w1邻接但还未被访问过的顶点 w2； 1.3 然后再从 w2 出发，进行类似的访问…… 直至到达所有 的邻接顶点都被访问过的顶点 u 为止。 2) 退回一步，退到前一次刚访问过的顶点，看是否还有其 它未被访问的邻接顶点: 2.1 如果有，则访问此顶点，之后再从此顶点出发，返回 第1)步的操作； 2.2 如果没有，就再退回一步进行搜索。 2.3 重复上述过程，直到连通图中所有顶点都被访问过为 止。
有邻接点
未访问过
分析：
在遍历图时，对图中每个顶点至多调用一次DFS函数， 因为一旦某个顶点被标志成已被访问，就不再从它出发进 行搜索。 因此，遍历图的过程实质上是对每个顶点查找其邻接 点的过程。其耗费的时间则取决于所采用的存储结构。
如果用邻接矩阵来表示图，遍历图中每一个顶点都要从 头扫描该顶点所在行，因此遍历全部顶点所需的时间为 O(n2)。
visited[v] = TRUE; Visit(v);
EnQueue(Q, v); // v入队
while (!QueueEmpty(Q)) { DeQueue(Q, u); // 队头元素出队并置为u for (w=FirstAdjVex(G,u); w>=0; w=NextAdjVex(G,u,w)) if ( ! visited[w]){ //w为u的尚未访问的邻接顶点 visited[w] = TRUE; Visit(w); EnQueue(Q, w); } //if

如果用邻接表来表示图，虽然有 2e 个表结点，但只需扫 描 e 个结点即可完成遍历，加上访问 n个头结点的时间， 因此遍历图的时间复杂度为O(n+e)。

2.广度优先搜索(BFS, Breadth_First Search)
基本思想： 从图中某个顶点V0出发，并在访问此顶点后依次
访问V0的所有未被访问过的邻接点，之后按这些顶
连通图：仅需从图中任一顶点出发，进行深度优 先搜索（或广度优先搜索），便可访问到图中所 有顶点。 非连通图：需从多个顶点出发进行搜索，而每一 次从一个新的起始点出发进行搜索过程中得到的顶 点访问序列恰为其各个连通分量中的顶点集。
基本概念

生成树：某连通分量的极小连通子图，它含有图中
全部顶点，但只有n-1条边 ；
解决方案：附设访问标志数组visited[0..n-1]，它的初 始状态为0，在图的遍历过程中，一旦某一个顶点i 被访问，就立即改 visited [i]为1，防止它被多次访问。
1.深度优先搜索(DFS， Depth_First Search ) 基本思想：（1）从图中某顶点V0出发，访问此顶 点，然后依次从V0的各个未被访问的邻接点出发深 度优先搜索遍历图，直至图中所有和V0有路径相通
v8
BFS非递归算法
void BFSTraverse(Graph G, Status (*Visit)(int v)){
//使用辅助队列Q和访问标志数组visited[v]
for (v=0; v<G.vexnum; ++v) visited[v] = FALSE; InitQueue(Q); // 置空的辅助队列Q for ( v=0; v<G.vexnum; ++v ) if ( !visited[v]) { // v尚未访问
} //while
}//if } // BFSTraverse
分析： 每个顶点至多进一次队列。遍历图的过程实质 上是通过边或弧找邻接点的过程，因此广度优先 搜索遍历图的时间复杂度和深度优先搜索遍历相 同，两者不同之处仅仅在于对顶点访问的顺序不 同。 邻接矩阵：O(n2) 邻接表：O(n+e)
第 7章 图
v4
v8
v6
v7
对非连通图，每个连通分量中的顶点集和遍历时走过的 边一起构成若干棵生成树，这些连通分量的生成树组成非 连通图的生成森林。
例：
一个连通图的生成树可能不唯一，由不同的遍历 次序、从不同顶点出发进行遍历都会得到不同的生 成树。
A
B C F D J E I
G
H
K
深度优先 生成森林
L
M
A D I

生成森林：非连通图的各个连通分量的极小连通子 图（即生成树）构成的集合，含全部顶点，但构成 这些树的边是最少的。
思考1：若对连通图进行遍历，得到的是什么？
遍历过程中历经的边的集合和图G中所有顶点一起 构成连通图G的极小连通子图，即图的生成树。 • 由深度优先搜索得到的生成树，称为深度优先搜索 生成树。
v2
v5 v4 v8 v6
v3
v7
v5, v6, v7, v8
用邻接表实现图的广度优先搜索 v1 v2 v5 v4 v8 v6 v3
0 1 2 3 4 5 6 7
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 2 1 3^ 2 3 5 7^ 7^ 6^ 5^ 4^ 4^ 6^
v7
0 0 1 1 2 2
3
用邻接表实现图的深度优先搜索
v1 v2 v5 v3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 2 1 0 2 3 ^ 3 5 7 ^ 7 ^ 6^ 5 ^ 4 ^ 4 ^
0
1 1 2
6 ^
4
5 6 7 8 9 10
v4
v8
v6
v9
v7 v10
2
3 9 /\ 8 /\
在图的邻接表中如何进行DFS？ 例： 0
7.1 图的定义和术语
7.2 图的存储结构
7.3 图的遍历
7.4 图的连通性问题 7.5 有向无环图及其应用 7.6 最短路径
7.4 图的连通性问题
1）无向图的连通分量和生成树 2）最小生成树
普里姆算法
克鲁斯卡尔算法
1.无向图的连通分量和生成树
无向图的连通性 要想判定一个无向图是否为连通图，或有几个连通 分量，通过对无向图遍历即可得到结果。
}
void DFS (Graph G, int v) { //从第v个顶点出发递归地深度优先遍历图G visited[v]=TRUE ; Visit(v); //访问第v个顶点 //对v的尚未访问的邻接顶点w递归调用DFS for(w=FirstAdjVex(G,v); w>=0; w=NextAdjVex(G,v,w)) if (!visited[w]) DFS(G,w); }
期末考试


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7.3 图的遍历
从图中某一顶点出发访遍图中其余顶点，且使 每一个顶点仅被访问一次。这一过程就叫做图的 遍历。 抽象操作，可以是对结点进行的各种 处理，这里简化为输出结点的数据。
图的遍历操作要解决的关键问题 1、 在图中，如何选取遍历的起始顶点？ 解决方案：从编号小的顶点开始 。 在图中，任何两个顶点之间都可能存在边，顶点是没 有确定的先后次序的，所以，顶点的编号不唯一。 这里指按顶点的存储顺序。

2、 因图中可能存在回路，在访问完某个顶点之后会沿 着某些边又回到了曾经访问过的顶点。那么如何避免顶 点的重复访问？
广度优先生成树或生成森林；
作业


基于邻接矩阵的DFS算法实现 基于邻接矩阵的BFS算法实现
点被访问的先后次序依次访问它们的邻接点，直至
图中所有和V0有路径相通的顶点都被访问到；
若此时图中尚有顶点未被访问，则另选图中一个 未曾被访问的顶点作起始点；
重复上述过程，直至图中所有顶点都被访问பைடு நூலகம்为
止。 与树的层次遍历过程类似
例：从顶点v1出发，BFS下图。 v1
访问序列：
v1, v2, v3, v4,
访问序列：
例：从顶点v1出发，DFS下图。
v1 v2 v5 v4 v8 v6 v7 v3
v1, v2, v4, v8, v5, v3, v6, v7
图的DFS算法一般描述
int visited[MAXVEX]; //访问标志数组
void DFSTraverse(Graph G) { //对图G作深度优先遍历 for( v=0; v<G.vexnum; ++v ) visited[v]=FALSE; //访问标志数组初始化0 for( v=0; v<G.vexnum; ++v ) if( !visited[v] ) DFS(G,v); //对尚未访问的顶点调用DFS
邻接矩阵的DFS算法
DFS1(MGraph G, int v) { //G.arcs[n][n]为邻接矩阵，v为起始顶点(编号） //访问（例如打印）顶点v visit(v); visited[v]=1;
//访问后立即修改辅助数组标志
for( j=0; j<G.vexnum; j++) //从v所在行从头搜索邻接点 if ( G.arcs[v][ j] && ! visited[j] ) DFS1(G, j); } // DFS1 G.arcs[v][j] ＝1 visited [n]=0