2018年电大本科《工程数学》期末试题资料三套附答案

2018年电大本科《工程数学》期末试题资料三套附答案
一、
1．设A 是n m ⨯矩阵，B 是t s ⨯矩阵，且
B C A '有意义，
则C 是( B )矩阵． A ．s n ⨯ B ．n s ⨯ C ．t m ⨯ D ．m t ⨯
2．若X 1、X 2是线性方程组AX =B 的解，而21ηη、是方程组AX
= O 的解，则（ A ）是AX =B 的解．
A ．
213231X X + B ．213231ηη+ C ．21X X - D ．21X X +
3．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=211102113A ，
则A 的对应于特征值2=λ的
一个特征向量α=( C ) ． A ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101 B ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101 C ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011 D ．⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡100
4. 下列事件运算关系正确的是（ A ）．
A ．A
B BA B += B ．A B BA B +=
C ．A B BA B
+= D ．B B -=1
5．若随机变量)1,0(~N X ，则随机变量~
23-=X Y （ D ）． A ．)3,2(-N B ．)3,4(-N C ．)3,4(2-N
D ．)3
,2(2
-N
6．设321,,x x x 是来自正态总体),(2σμN 的样本，则（ C ）
是μ的无偏估计． A ．321525252x x x ++ B ．321x x x ++
C ．321535151x x x ++
D ．321515151x x x ++ 7．对给定的正态总体),(2
σμN 的一个样本),,,(21n x x x ，2σ未知，求μ的置信区间，选用的样本函数服从（ B
）．
A ．χ2
分布 B ．t 分布 C ．指数分布
D ．正态分布
二、填空题（每小题3分，共15分）
1．设三阶矩阵A 的行列式21=A ，则1
-A ． 2．若向量组：⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎡-=2121α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1302α，⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=2003k α，能构成R 3一个基，则数k
3．设A B ,互不相容，且A )>0，则P B A ()= 4．若随机变量X ~ ]2,0[U ，则=)(X D
5．设θ
ˆ是未知参数θ的一个估计，且满足θ
θ=)ˆ(E ，则θ
ˆ称为θ
三、（每小题10分，共60分）
1．已知矩阵方程B AX X +=，其中⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=301111010A ，⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=350211B ，求X ． 解：因为B X A I =-)(，且
⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-101210011110001011100
201010101001011)(I A I ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→110100121010120001110100011110010101
即
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----=--110121120)(1
A I
所以 ⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-=-334231350211110121120)(1B A I X ．
2．设向量组)1,421(1'--=，，α，)4,1684(2'--=，，α，)2,513(3'--=，，α，)1,132(4'-=，，α，求这个向量组的秩以及它的一个极大线性无关组．
解：因为
（
1α
2α 3α 4α）=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣
⎡-------12
4
1151643182234
1
⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→1100
770075002341
⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢
⎣⎡---→00002000110
02341
所以，r (4321,,,αααα) = 3．
它的一个极大线性无关组是 4
31,,ααα（或
432,,ααα）
． 3
．
用
配
方
法将二
次
型
3
2312123
22
2
1
32122435),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=化为标准型，并求出所作的满秩变换． 解
：
3
2312123
22
21
32122435),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=
322
322232122)2(x x x x x x x -++++=
2
3
2322321)()2(x x x x x x +-+++= 令
333223211,
,
2x y x x y x x x y =-=++=
即得
2
32221321),,(y y y x x x f ++=
由（*）式解出321,,x x x ，即得⎪⎩⎪
⎨⎧=+=--=33
3223
21132y
x y y x y y y x
或写成
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321*********y y y x x x
4．罐中有12颗围棋子，其中8颗白子，4颗黑子．若从中任
取3颗，求：（1）取到3颗棋子中至少有一颗黑子的概率；（2）取P （X < a ）=0.9成立的常数a ． (
8413.0)0.1(=Φ，
9.0)28.1(=Φ，9973.0)0.2(=Φ)．
均值得x = 21，求μ的置信度为95%的置信区间．(已知 96.1975.0=u )
设A 是n 阶矩阵，若3
A = 0，则21)(A A I A I
++=--．
证明：因为 ))((2A A I A I ++-
=322A A A A A I ---++ =3A I -= I
所以
21)(A A I A I ++=--
一、 1．设B A ,都是n 阶矩阵)1(>n ，则下列命题正确的是（D ）． A . 若
AC AB =，且
0≠A ，则C B = B .
2222)(B AB A B A ++=+
C . A B B A '-'='-)(
D . 0=AB ，
且
0≠A ，则0=B
2．在下列所指明的各向量组中，（B ）中的向量组是线性无关的．
A . 向量组中含有零向量
B . 任何一个向量都不能被其余的向量线性表出
C . 存在一个向量可以被其余的向量线性表出
D . 向量组的向量个数大于向量的维数
3．设矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=211102113A ，
则A 的对应于特征值2=λ的一个特征向量α=( C ) ．
A ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101
B ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101
C ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011
D ．⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡100
4. 甲、乙二人射击，分别表示甲、乙射中目标，则AB 表示（ A ）的事件． A . 至少有一人没射中 B . 二人都没射中
C . 至少有一人射中
D . 两人都射中 5．设)1,0(~N X
，)(x Φ是X
的分布函数，则下列式子不
成立的是（ C ）．
A .
5.0)0(=Φ
B . 1)()(=Φ+-Φx x
C . )()(a a Φ=-Φ
D .
1)(2)(-Φ=<a a x P
6．设321,,x x x 是来自正态总体
的样本，则（D ）
是μ无偏估计．
A . 321
x x x ++ B . 3215
2
5252x x x ++
C . 321515151x x x ++
D . 3215
35151x x x ++
7．对正态总体),(2
σμN 的假设检验问题中，U 检验解决的
问题是（A ）．
A . 已知方差，检验均值
B . 未知方差，检验均值
C . 已知均值，检验方差
D . 未知均值，检验方差
二、填空题（每小题3分，共15分） 1．设
A 是2阶矩阵，且9=A ，
'-)(31A
2
为53⨯矩阵，且该方程
组有非零解，则)(A r
3．
2
.)(=A P ，则
=+)(B A P
4．若连续型随机变量X
数的是
⎩⎨
⎧≤≤=其它,
010,2)(x x x f ，则)(X E 5．若参数θ的两个无偏估计量1ˆθ和2θ满足)ˆ()(2
1θθD D >，则称2
ˆθ
比1
ˆθ
三、计算题（每小题10分，共60分）
1．设矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=500050002,322121011B A ，问：A
1
-⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-520125151051585000500021461351341B A
2．线性方程组的增广矩阵为
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----1123132111511
32212
322213214242),,(x x x x x x x x x x f ++++=化为标准
(C)
⎩⎨
⎧≤≤=其它,
0π0,sin )(x x x f (D)
⎪⎩⎪⎨⎧
≤≤-=其它,
0π
2
π,cos )(x x x f 7．设总体
满足
，又
，其中
是来自总体
的
个
样品，则等式（B ）成立． (A)n
X E μ
=
)( (B)μ=)(X E (C)2
2
)
(n X D σ=
(D)2)
(σ=X D
1．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-*
0213
2．若λ是A 根．
3．已知
5
.0)(,9.0)(==AB P A P ，则
=-)(B A P
4.0．
4．设连续型随机变量
X
的密度函数是
)
(x f ，则
<<)(b X a P
5
三、计算题（每小题10分，共60分）
1．设矩阵⎥⎥
⎥⎤⎢⎢⎢⎡--=101111001A ，求
1)(-'A A
即
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡='-211110102)(1
A A
2．在线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=++-=+-=++1
532332321
2
1321x x x x x x x x λλ
中λ取何值时，此方程组有解．有解的情况下写出方程组的一般解．
解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 ⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--λλλλ211103330321153230113
21
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→λλλλ22000111021012200011103
21
由此可知当1≠λ时方程组无解，当1=λ时方程组有解．此时方
程组的一般解为
⎩⎨
⎧+-=--=11
32
31x x x x 3
．
用
配
方
法
将
二
次
型
2
3
322231212132162242),,(x x x x x x x x x x x x f +++-+=化为标准型，并求出所作的满秩变换． 解：
2
3
322231212132162242),,(x x x x x x x x x x x x f +++-+=
2323322
23231212322217)96()4424(x x x x x x x x x x x x x x -+++--+++=
2
3
23223217)3()2(x x x x x x -++-+= 令
333223211,3,2x y x x y x x x y =+=-+=
即得
2
3
22213217),,(y y y x x x f -+= 由式解出321,,x x x ，即得
⎪⎩⎪
⎨⎧=-=+-=33
3
22321135y
x y y x y y y x 或写成。