八年级数学寒假班讲义一次函数的图像

1对3辅导教讲义（7）

学员姓名：学科教师：

年级：八年级辅导科目：

授课日期时间

主题一次函数的图像

教学内容

1．掌握直线的截距的概念，并能根据解析式写出直线的截距；

2．知道两条平行直线表达式之间的关系；

3．能借助一次函数，进一步认识一元一次方程、一元一次不等式的解的情况，并理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系。

（此环节设计时间在30﹣40分钟）

说明：要求学生之间相互交流，通过问题1和问题2归纳总结一次函数的定义。

案例一：

问题1：某弹簧的自然长度为3厘米，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1千克、弹簧长度y增加0.5厘米。

（1）计算所挂物体的质量分别为1千克、2千克、3千克、4千克、5千克时弹簧的长度，并填入下表：x（千克）0 1 2 3 4 5

y（厘米）

（2）你能写出x与y之间的关系式吗？

问题2：某辆汽车油箱中原有汽油100升，汽车每行驶50千米耗油9升

（1）完成下表：

汽车行驶路程x（千米）0 50 100 150 200 300

油箱剩余油量y（升）

（2）你能写出x与y之间的关系吗？

问题3：问题1与2的函数关系式有什么共同特点？你能否再列举一个类似的函数解析式，并给出一次函数的定义。

备注：当b ＝0时，y ＝kx ＋b 即y ＝kx （k 是常数，且k ≠0）．正比例函数是一种特殊的一次函数. 答案： 问题1：（1），3，3.5，4，4.5，5，5.5 （2）y ＝0.5x ＋3 问题2：（1）100，91，82，73，64，46（2）y ＝100﹣0.18x 问题3：形如y ＝kx ＋b （k 、b 是常数，且k ≠0）的函数

案例2：

问题1：按照下列步骤画正比例函数y ＝2x 和一次函数y ＝2x ＋3的图像，并进行比较（1）列表：取自变量x 的一些值，计算出相应的函数值y ；

x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1

0 1 2 3 4 … y ＝2x … … y ＝2x ＋3

…

…

（2）描点：分别以所取x 的值和相应的函数值y 作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的点； （3）连线：用光滑的曲线(包括直线)把描出的的这些点联结起来。

x

y

O

问题2：

（1）观察表格和图像，对于x 的每一个相同值，函数y ＝2x ＋3的对应值比函数y ＝2x 的对应值都大多少？

说明：不论从表中或图像上都可以看出，对于x 的每一个相同值，函数y ＝2x ＋3的对应值比函数y ＝2x 的对应值都大3个单位。因此，函数y ＝2x ＋3的图像是由函数y ＝2x 的图像向上平移3个单位得到的。

（2）我们知道正比例函数是特殊的一次函数，你能通过正比例函数的图像，总结一下一次函数图像是什么形状吗？

问题3：运用问题2的结论，快速准确的画出一次函数y ＝2x ﹣4的图像。

结论：一般地， ，叫做一次函数．

结论：一般来说，一次函数y=kx+b (其中k 、b 是常数，且k≠0)的图像是 一条直线 .

x

y

O

备注：

（1）两点确定一条直线，所以画一次函数的图像时，只要先描出直线上的两点，再过两点画直线就可以了； （2）画直线y ＝kx ＋b 时，通常先描出直线与x 轴、y 轴的交点，如果直线与x 轴、y 轴的交点坐标不是整数，为了画图方便、准确，通常是描出直线上的整数点。

问题4：我们称一条直线与y 轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y 轴上的截距，简称直线的截距；

试写出以下函数的截距：

y ＝2x 的截距为 0 ；y ＝2x ＋3的截距为 3 ；y ＝2x ﹣4的截距为 ﹣4 ； 备注：直线的截距是由x ＝0求得对应的y 值，同时注意截距与距离的区别。

问题5：观察问题1中的y ＝2x 和y ＝2x ＋3两个函数图形的特征：

（此环节设计时间在20﹣30分钟）

例题1：下列函数中：(1)21y x =+，1

(2)1y x

=

+，(3)y x =-，(4)(y kx b k b =+、是常数），是一次函数的有 （填序号）。

答案：(1)，(3) 结论：一般的，直线y=kx+b (其中k 、b 是常数，且k≠0) 的截距为 b 。

结论1：如果k 1=k 2 ，b 1≠b 2，那么直线y=k 1x+b 1与直线y=k 2x+b 2平行 ；（两直线平行，k 值相等）

试一试：

1．如果函数(1)3y m x =-+是一次函数，那么m 的取值范围是_______________． 2、已知直线y kx x =+是一次函数，则k 的取值范围是 ．

3、在函数y =（m +6）x +（m -2）中，当_______时是一次函数；当 时是正比例函数。 答案：1、1m ≠， 2、1k ≠-，3、2,6=≠m m

例题2：已知一次函数y kx b =+的图像平行于直线3y x =-，且经过点（2，﹣3）． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当y ＝6时，求x 的值．

答案： （1）由题意 k ＝﹣3 ∴y ＝﹣3x ＋b ，把点（2，﹣3）代入 ∴﹣3＝﹣3×2＋b ∴b ＝3 ∴y ＝﹣3x ＋3

（2） 当y ＝6时 ﹣3x ＋3＝6 x ＝﹣1

试一试：已知一次函数y ＝kx ＋b 与y 轴的交点为（0，4），并且与直线y ＝2x ＋5平行， （1）求这个一次函数解析式；

（2）将这个一次函数向上平移3个单位，求得到的直线解析式；若将此时的直线再向下平移7个单位，求所得到的直线解析式．

答案：（1）y ＝2x ＋4；（2）y ＝2x ＋7，y ＝2x ；

例题3：已知一次函数图像经过点A （﹣2，﹣2）、B （0，﹣4）． （1）求k 、b 的值；（2）求这个一次函数与两坐标轴所围成的面积． 答案：（1）设y ＝kx ＋b （k ≠0）

把A （﹣2,﹣2）,B （0,﹣4）代入

224k b

b

-=-+⎧⎨

-=⎩ 1

4

k b =-⎧⎨

=-⎩ ∴y ＝﹣x ﹣4

（2）一次函数与x 轴的交点坐标为（﹣4，0） 一次函数与y 轴的交点坐标为（0，﹣4）