中考数学培优易错试卷(含解析)之相似附答案

一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t （0＜t＜10）．

（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；

（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？

（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值．

【答案】（1）解：在y＝ax2＋bx＋4中，令x＝0可得y＝4，

∴C（0，4），

∵四边形OABC为矩形，且A（10，0），

∴B（10，4），

把B、D坐标代入抛物线解析式可得，

解得，

∴抛物线解析式为y＝ x2＋ x＋4；

（2）解：由题意可设P（t，4），则E（t， t2＋ t＋4），

∴PB＝10﹣t，PE＝ t2＋ t＋4﹣4＝ t2＋ t，

∵∠BPE＝∠COD＝90°，

当∠PBE＝∠OCD时，

则△PBE∽△OCD，

∴，即BP•OD＝CO•PE，

∴2（10﹣t）＝4（ t2＋ t），解得t＝3或t＝10（不合题意，舍去），

∴当t＝3时，∠PBE＝∠OCD；

当∠PBE＝∠CDO时，

则△PBE∽△ODC，

∴，即BP•OC＝DO•PE，

∴4（10﹣t）＝2（ t2＋ t），解得t＝12或t＝10（均不合题意，舍去）

综上所述∴当t＝3时，∠PBE＝∠OCD

（3）解：当四边形PMQN为正方形时，则∠PMC＝∠PNB＝∠CQB＝90°，PM＝PN，

∴∠CQO＋∠AQB＝90°，

∵∠CQO＋∠OCQ＝90°，

∴∠OCQ＝∠AQB，

∴Rt△COQ∽Rt△QAB，

∴，即OQ•AQ＝CO•AB，

设OQ＝m，则AQ＝10﹣m，

∴m（10﹣m）＝4×4，解得m＝2或m＝8，

①当m＝2时，CQ＝＝，BQ＝＝，

∴sin∠BCQ＝＝，sin∠CBQ＝＝，

∴PM＝PC•sin∠PCQ＝ t，PN＝PB•sin∠CBQ＝（10﹣t），

∴ t ＝（10﹣t），解得t＝，

②当m＝8时，同理可求得t＝，

∴当四边形PMQN为正方形时，t的值为或

【解析】【分析】（1）先求出抛物线与y轴的交点C的坐标，再根据矩形ABCO及点A的坐标为（10，0），求出点B的坐标，然后利用待定系数法，将点B、D的坐标分别代入函数解析式求出二次函数解析式。

（2）设P（t，4），利用抛物线的解析式表示出点E的坐标，可求出PB、PE的长，再分情况讨论：当∠PBE＝∠OCD时，可证△PBE∽△OCD，利用相似三角形的性质，的长BP•OD＝CO•PE，建立关于t的方程，求出符合题意的t的值；当∠PBE＝∠CDO时，可得△PBE∽△ODC，利用相似三角形的性质得出BP•OC＝DO•PE，建立关于t的方程，求出t 的值，综上所述就可得出符合题意的t的值。

（3）当四边形PMQN为正方形时，则∠PMC＝∠PNB＝∠CQB＝90°，PM＝PN，再证明Rt△COQ∽Rt△QAB，利用相似三角形的性质得出OQ•AQ＝CO•AB，设OQ＝m，则AQ＝10

﹣m，建立关于m的方程，求出m的值，再分别根据m的值求出CQ、BQ的长，再利用解直角三角形用含t的代数式分别表示出PM、PN的长，由PM=PN可得出关于t的方程，再解方程，就可求出符合题意的t的值。

2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AH⊥BC于点H，过点C作CD⊥AC，连接AD，点M为AC上一点，且AM=CD，连接BM交AH于点N，交AD于点E．

（1）若AB=3，AD= ，求△BMC的面积；

（2）点E为AD的中点时，求证：AD= BN ．

【答案】（1）解：如图1中，

在△ABM和△CAD中，∵AB=AC，∠BAM=∠ACD=90°，AM=CD，∴△ABM≌△CAD，

∴BM=AD= ，∴AM= =1，∴CM=CA﹣AM=2，∴S△BCM= •CM•BA= ×23=3．

（2）解：如图2中，连接EC、CN，作EQ⊥BC于Q，EP⊥BA于P．

∵AE=ED，∠ACD=90°，∴AE=CE=ED，∴∠EAC=∠ECA，∵△ABM≌△CAD，∴∠ABM=∠CAD，∴∠ABM=∠MCE，∵∠AMB=∠EMC，∴∠CEM=∠BAM=90°，

∴△ABM∽△ECM，∴，∴，∵∠AME=∠BMC，∴△AME∽△BMC，∴∠AEM=∠ACB=45°，∴∠AEC=135°，易知∠PEQ=135°，∴∠PEQ=∠AEC，∴∠AEQ=∠EQC，∵∠P=∠EQC=90°，∴△EPA≌△EQC，∴EP=EQ，∵EP⊥BP，EQ⊥BC

∴BE平分∠ABC，∴∠NBC=∠ABN=22.5°，∵AH垂直平分BC，∴NB=NC，∴∠NCB=∠NBC=22.5°，∴∠ENC=∠NBC+∠NCB=45°，∴△ENC的等腰直角三角形，∴NC=

EC，∴AD=2EC，∴2NC= AD，∴AD= NC，∵BN=NC，∴AD= BN．

【解析】【分析】（1）首先利用SAS判断出△ABM≌△CAD，根据全等三角形对应边相等得出BM=AD= ，根据勾股定理可以算出AM，根据线段的和差得出CM的长，利用

S△BCM= •CM•BA即可得出答案；

（2）连接EC、CN，作EQ⊥BC于Q，EP⊥BA于P．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AE=CE=ED，根据等边对等角得出∠EAC=∠ECA，根据全等三角形对应角相等得出∠ABM=∠CAD，从而得出∠ABM=∠MCE，根据对顶角相等及三角形的内角和得出∠CEM=∠BAM=90°，从而判断出△ABM∽△ECM，由相似三角形对应边成比例得出BM∶CM= AM∶EM,从而得出BM∶AM= CM∶EM，根据两边对应成比例及夹角相等得出△AME∽△BMC，故∠AEM=∠ACB=45°，∠AEC=135°，易知∠PEQ=135°，故∠PEQ=∠AEC，∠AEQ=∠EQC，又∠P=∠EQC=90°，故△EPA≌△EQC，故EP=EQ，根据角平分线的判定得出BE平分∠ABC，故∠NBC=∠ABN=22.5°，根据中垂线定理得出NB=NC，根据等腰三角形的性质得出∠NCB=∠NBC=22.5°，故∠ENC=∠NBC+∠NCB=45°，△ENC的等腰直角三角形，根据等腰直角三角形边之间的关系得出NC= EC，根据AD=2EC，2NC= AD，AD= NC，又BN=NC，故AD= BN．

3．在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，M是AD边的中点，P是AB边上的一个动点（不与A、B重合），PM的延长线交射线CD于Q点，MN⊥PQ交射线BC于N点。

（1）若点N在BC之间时，如图：

①求证：∠NPQ＝∠PQN；

②请问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请举反例说明；

（2）当△PBN与△NCQ的面积相等时，求AP的值.

【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝∠ADQ＝90°，

AB//CD，∴∠APM＝∠DQM，∵M是AD边的中点，∴AM＝DM，

在△APM和△DQM中，，∴△APM≌△DQM（AAS），∴PM＝QM，