(名师导学)2020版高考数学总复习第三章导数及其应用第18讲导数与函数的综合问题练习理(含解析)

第18讲 导数与函数的综合问题

夯实基础 【p 39】

【学习目标】

掌握应用导数求解实际问题的基本题型，提升通过构造函数应用导数解决不等式、方程等问题的能力．

【基础检测】

1．函数f (x )＝－e x

1＋x 2，若存在x 0∈(0，2]使得m －f (x 0)>0成立，则实数m 的取值范

围是( )

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－15e 2，＋∞ B ．(－1，＋∞) C ．(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12e ，＋∞

【解析】若存在x 0∈(0，2]使得m －f (x 0)>0成立， 则在x∈(0，2]内f (x )min

f (x )＝－e x

1＋x 2，f′(x )＝－e x

（1＋x 2

）－e x

·2x （1＋x 2）2＝－e x

（x －1）

2

（1＋x 2）2≤0，

故f (x )在(0，2]上单调递减， f (x )min ＝f (2)＝－15e 2，∴m>－15e 2

.

【答案】A

2．若函数f (x )＝x 2e x

－a 恰有三个零点，则实数a 的取值范围是( )

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫4e 2，＋∞

B.⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，4e 2

C ．(0，4e 2

) D ．(0，＋∞)

【解析】函数y ＝x 2e x －a 的导数为y′＝2xe x ＋x 2e x ＝xe x

(x ＋2)，

令y′＝0，则x ＝0或－2，当－2＜x ＜0上时，y′<0，函数单调递减，当x∈(－∞，－2)或(0，＋∞)时，y′>0，函数在两个区间上单调递增，

∴函数f (x )在x ＝－2处取极大值，在x ＝0处取极小值，函数的极值为：f (0)＝－a ，f (－2)＝4e －2

－a ，

已知函数f (x )＝x 2e x

－a 恰有三个零点，

故－a<0，且4e －2

－a>0，解得实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，4e 2.

【答案】B

3．某品牌小汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数解析式为y ＝181 000x 3

－110x ＋18(0＜x≤120)．若要使该汽车行驶200千米时的油耗最低，

则汽车匀速行驶的速度应为( )

A ．60千米/时

B ．80千米/时

C ．90千米/时

D ．100千米/时

【解析】当速度为x 千米/小时时，时间为200

x

小时，

所以f (x )＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫181 000x 3－110x ＋18·200x ＝1405

x 2＋3 600x －20(0＜x≤120)，

所以f′(x )＝2405x －3 600x 2＝2x 3

－2×90

3

405x 2

(0＜x≤120)， 令f′(x )＝0，∴x ＝90.

当x∈(0，90)时，函数f (x )单调递减，当x∈(90，120)时，函数f (x )单调递增． 所以x ＝90时，函数f (x )取得最小值． 【答案】C

4．已知表面积为100π的球内接一个圆锥，则该圆锥体积的最大值为( )

A.

4 000243π B.4 00081π C.4 00027π D.4 000

9

π 【解析】设球的半径为R ，内接圆锥的底面半径为r ，高为h ，由题意知，4πR 2

＝100π，解得R ＝5，则球心到圆锥底面的距离为25－r 2

(0

，所以该圆锥的体积为V ＝13πr 2(5＋25－r 2)，设t ＝25－r 2(0＜t ＜5)，则V ＝13π(25－t 2

)(5＋t )

＝13π(－t 3－5t 2＋25t ＋125)(0

－10t ＋25)＝－13π(3t －5)(t ＋5)，当0

π.

【答案】B

5．若函数f (x )在R 上可导，且满足f (x )－xf ′(x )>0，则( ) A ．3f (1)f (3) C ．3f (1)＝f (3) D ．f (1)＝f (3) 【解析】由于f (x )>xf ′(x )，则⎣⎢⎡⎦

⎥⎤f （x ）x ′＝xf ′（x ）－f （x ）x 2

<0恒成立，

因此f （x ）x 在R 上是单调递减函数，

∴

f （3）3

<

f （1）

1

，即3f (1)>f (3)．

【答案】B 【知识要点】 1．优化问题

与实际问题相关的利润最大、用料最省、效率最高等问题通常称为优化问题． 2．导数在优化问题中的应用

3．导数与不等式

(1)不等式的证明可以通过构造函数等价转换为探究函数值的大小，然后应用导数讨论函数的单调性，从而实现不等式的证明．

(2)含参数不等式的恒成立问题，通过分离变量，构造函数等价转换为函数最值问题，然后应用导数求函数最值．

4．导数与方程

方程根的存在性问题等价转换为函数极值和单调性问题研究，然后应用导数及数形结合确定方程根的存在性和个数．

典例剖析 【p 39】

考点1 利用导数研究生活中的优化问题

例1如图(1)是一个仿古的首饰盒，其左视图是由一个半径为r 分米的半圆和矩形ABCD 组成，其中AD 长为a 分米，如图(2)．为了美观，要求r≤a≤2r.已知该首饰盒的长为4r 分米，容积为4立方分米(不计厚度)，假设该首饰盒的制作费用只与其表面积有关，下半部分的制作费用为每平方分米2百元，上半部制作费用为每平方分米4百元，设该首饰盒的制作费用为y 百元．

(1)写出y 关于r 的函数解析式；

(2)当r 为何值时，该首饰盒的制作费用最低？

【解析】(1)由题知4＝4r ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12πr 2＋2ar ＝2πr 3＋8ar 2

，

∴a ＝4－2πr 3

8r 2＝2－πr

3

4r

2

.