河北省景县中学2015届高三摸底考试数学(理)试题

河北省景县中学2015届高三摸底考试数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{1,2,3}A =，{1,3,9}B =，x A ∈，且x B ∉，则x =A ．1B ．2C ．3D ．92对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．.设n S 是等差数列n a 的前n 项和，若612310S S =，则39S S = A.16 B. 13 C. 14 D.194．函数2cos 2sin y x x =+，R ∈x 的值域是A ．[0,1]B ．1[,1]2C ．[1,2]-D ．[0,2]5．在5(12)(1)x x -+的展开式中，3x 的系数是A ．20B ．20-C ．10D ．10- 6．某几何体的三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2则该几何体的体积为AB C D π 7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， m ＝(3b －c ，cos C )，n ＝(a ，cos A )，m ∥n ，则cos A 的值等于( )A.36 B.34 C.33 D.328．设不等式组4,010x y y x x +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域为D ．若圆C ：222(1)(1)(0)x y r r +++=>不经过区域D 上的点，则r 的取值范围是正视图 侧视图俯视图 （第6题）A． B．C．(0,(25,)+∞ D．(25,)+∞9．若,a b 表示直线，α表示平面，且b α⊂，则“//a b ”是“//a α”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知, 圆222π=+y x 内的曲线sin ,[,]y x x ππ=-∈-与x 轴围成的阴影部分区域记为Ω(如图),随机往圆内投掷一个点A ,则点A 落在区域Ω的概率为A ．33πB ．34π.32πC D ．31π11．已知点P 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>左支上一点，F 1，F 2是双曲线的左、右两个焦点，且PF 1⊥PF 2，PF 2与两条渐近线相交M ，N 两点（如图），点N 恰好平分线段PF 2，则双曲线的离心率是AB ．2 CD12．已知方程sin xk x=在(0,)+∞有两个不同的解,αβ（αβ<），则下面结论正确的是： A ．1tan()41πααα++=- B ．1tan()41πβββ++=- C ． 1tan()41πααα-+=+ D ．1tan()41πβββ-+=+非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．数列{}n a 的通项222(cossin )33n n n a n ππ=-，其前n 项和为n S ，则（第14题）30S 为_____________.14．若某程序框图如图所示，则运行结果为 ．15．甲、乙、丙等五人站成一排,要求甲、乙均不与丙相邻,则不同的排法种数为 ． 16．已知点(3,0)A -和圆O ：229x y +=，AB 是圆O 的直径，M 和N 是AB 的三等分点，P （异于,A B ）是圆O 上的动点，PD AB ⊥于D ，(0)PE ED λλ=>u u r u u u r，直线PA 与BE 交于C ，则当λ= 时，||||CM CN +为定值．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分12分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足sin sin sin sin a c A Bb A C+-=-． （Ⅰ）求角C ； （Ⅱ）求a bc+的取值范围． 18．（本题满分12分）一个袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取3个球，记随机变量X 为取出3球中白球的个数，已知5(3)21P X ==． （Ⅰ）求袋中白球的个数；（Ⅱ）求随机变量X 的分布列及其数学期望． 19．（本题满分12分）如图,在四棱锥P-ABCD 中,AB 丄平面PAD,PD=AD, E 为PB 的中点,向量12D F A B=u u u r u uu r ,点H 在AD 上,且0PH AD ⋅=uuu r uuu r(I)求证 EF//平面PAD.(II)若,AD=2, AB=2, CD=2AB,求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的平面角的余弦值.20．（本题满分12分）如图，已知抛物线21:2C x py =的焦点在抛物线221:12C y x =+上，点P 是抛物线1C 上的动点．（第20题）（Ⅰ）求抛物线1C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）过点P 作抛物线2C 的两条切线，M 、N 分别为两个切点，设点P 到直线MN 的距离为d ，求d 的最小值． 21．（本题满分12分）已知R a ∈，函数()ln (1)f x x a x =--． （Ⅰ）若11a e =-，求函数|()|y f x =的极值点； （Ⅱ）若不等式22(12)()ax a ea xf x e e+-≤-+恒成立，求a 的取值范围．（e 为自然对数的底数）请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.22.（本题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，,,A B C 是圆O 上三个点，AD 是BAC ∠的平分线，交圆O 于D ，过B 做直线BE 交AD 延长线于E ，使BD 平分EBC ∠.（1）求证：BE 是圆O 的切线；（2）若6AE =，4AB =，3BD =，求DE 的长.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为2sin 10ρθ--=. 设圆C 与直线l 交于点A ，B，且(0,P .（1）求AB 中点M 的极坐标； （2）求|PA |＋|PB |的值.24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()12f x m x x =----，R ∈m ，且(1)0f x +≥的解集为[]1,0. （1）求m 的值；（2）若R ,,,,,∈z y x c b a ，且222222,x y z a b c m ++=++= 求证: 1ax by cz ++≤.25、实验班附加已知函数d cx bx x x f +++=2331)(，设曲线)(x f y =在与x 轴交点处的切线为124-=x y ，()f x '为()f x 的导函数，满足)()2(x f x f '=-'．（Ⅰ）设()g x =，0m >，求函数()g x 在[0,]m 上的最大值；（Ⅱ）设()ln ()h x f x '=，若对一切[0,1]x ∈，不等式(1)(22)h x t h x +-<+恒成立，求实数t 的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1．B ；2．B ；3．A ；4．A ；5．D ；6．A ；7．C ；8．C 9．D ；10．B ；11．A ．12．B 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．470；14．5； 15．36； 16．81． 第16题提示：设),(00y x P ，则)11,(00y x E λ+，)3(3:00++=x x y y PA …① )3(311:00--+=x x y y BE λ…② 由①②得)9()9)(1(220202--+=x x y y λ， 将20209x y -=代入，得119922=++λy x ．由1199=+-λ，得到81=λ． 三、解答题 17．解：（Ⅰ）C A B A b c a sin sin sin sin --=+ca ba --=，化简得222c ab b a =-+， …2分所以212cos 222=-+=ab c b a C ，3π=C ．…5分 （Ⅱ）C B A c b a sin sin sin +=+)]32sin([sin 32A A -+=π)6sin(2π+=A ．…9分因为)32,0(π∈A ，)65,6(6πππ∈+A ，所以]1,21()6sin(∈+πA ． 故，cba +的取值范围是]2,1(．…12分18． 解：（Ⅰ）设袋中有白球n 个，则215)3(393===C C X P n ，…2分即215789)2)(1(=⨯⨯--n n n ，解得6=n ． …5分 （Ⅱ）随机变量X 的分布列如下：…9分221532815214318410)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ．…12分19.【答案】(Ⅰ) 取PA 的中点Q,连结EQ 、DQ,则E 是PB 的中点,∴1//,2EQ AB AB 且EQ=12DF AB =又1//,2DF AB AB ∴且DF=∴DF EQ DF EQ =且,//,∴四边形EQDF 为平行四边形, ∴//EF QD ,,EF PAD PAD ⊄⊂又平面且DQ 平面,//EF PAD 平面(2)延长DA,CB 交于点M,连接PM,则PM 为平面PAD 与平面PBC 所成二面角的交线. 因为CD AB CD AB 21,//=,所以点A,B 分别为DM,CM 的中点,所以DM=4, 在PHM RT ∆中:222MH PH PM+=,32=∴PM 222DM PM PD =+∴PD PM ⊥∴,又因为PMD CD 平面⊥,所以PM CP ⊥CPD ∠即为所求的二面角的平面角.所以在PCD RT ∆中:55522cos ===∠PC PD CPD (2) 显然向量AB 为平面PAD 的一个法向量,且)0,2,0(=AB 设平面PBC 的一个法向量为),,(1111z y x n=,(1,2,PB =,)0,2,2(-=,由,01=∙n 得到032111=-+z y x由,01=∙n 得到02211=+-y x ,令11=x ,则3,111==z y所以)3,1,1(1=n ,111cos ,2AB n AB n AB n ===⨯ 所以平面PAD 与平面PBC (12分 )20． 解：（Ⅰ）1C 的焦点为)2,0(p F ，…2分所以102+=p，2=p ．…4分故1C 的方程为y x 42=，其准线方程为1-=y ．…5分（Ⅱ）设),2(2t t P ，)121,(211+x x M ，)121,(222+x x N ， 则PM 的方程：)()121(1121x x x x y -=+-， 所以12122112+-=x tx t ，即02242121=-+-t tx x ． 同理，PN ：121222+-=x x x y ，02242222=-+-t tx x ． …6分MN 的方程：)()121(121)121(121222121x x x x x x x y --+-+=+-， 即))((21)121(12121x x x x x y -+=+-． 由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-0224022422222121t tx x t tx x ，得t x x 421=+，21211221t tx x -=-． …8分所以直线MN 的方程为222t tx y -+=．…10分于是222222241)1(241|24|tt t t t t d ++=+-+-=． 令)1(412≥+=s t s ，则366216921=+≥++=s s d （当3=s 时取等号）． 所以，d 的最小值为3．…12分21．解：（Ⅰ）若11-=e a ，则11ln )(---=e x x xf ，111)('--=e x x f ． 当)1,0(-∈e x 时，0)('>x f ，)(x f 单调递增； 当),1(+∞-∈e x 时，0)('<x f ，)(x f 单调递减．…2分又因为0)1(=f ，0)(=e f ，所以当)1,0(∈x 时，0)(<x f ；当)1,1(-∈e x 时，0)(>x f ；（第20题）当),1(e e x -∈时，0)(>x f ；当),(+∞∈e x 时，0)(<x f ． …3分 故|)(|x f y =的极小值点为1和e ，极大值点为1-e ．…4分（Ⅱ）不等式exea a e ax x f )21()(22-++-≤，整理为0)21(ln 22≤++-+a e xa eax x ．…（*）设a e xa eax x x g ++-+=)21(ln )(22，则e aeax x x g 2121)('2+-+=（0>x ）xe e ex a ax 222)21(2++-=xe e ax e x 2)2)((--=． …6分①当0≤a 时，02<-e ax ，又0>x ，所以，当),0(e x ∈时，0)('>x g ，)(x g 递增； 当),(+∞∈e x 时，0)('<x g ，)(x g 递减． 从而0)()(max ==e g x g ． 故，0)(≤x g 恒成立．…9分②当0>a 时，xe e ax e x x g 2)2)(()('--=)12)((2exe ae x --=． 令2212e a ex e a =-，解得a ex =1，则当1x x >时，2212e a ex e a >-； 再令1)(2=-e ae x ，解得e a e x +=22，则当2x x >时，1)(2>-ea e x ．取),max(210x x x =，则当0x x >时，1)('>x g ．所以，当),(0+∞∈x x 时，00)()(x x x g x g ->-，即)()(00x g x x x g +->． 这与“0)(≤x g 恒成立”矛盾． 综上所述，0≤a ．…12分22. (1)证明：连接BO 并延长交圆O 于G ，连接GCDBC DAC ∠=∠，又AD 平分BAC ∠，BD 平分EBC ∠,EBC BAC ∴∠=∠.又BGC BAC ∠=∠，EBC BGC ∴∠=∠,90GBC BGC ∠+∠=,∴90GBC EBC ∠+∠=,∴OB BE ⊥. (5)分∴BE 是圆O 的切线.（2）由（1）可知△BDE ∽△ABE ，BE BDAE AB=,BE AB BD AE ⋅=⋅∴， 6=AE ，4AB =，3BD =，92BE ∴=. ……8分 由切割线定理得：2BE DE AE =⋅278DE ∴=. ……………10分 23.由2sin 10ρθ--=，得2210x y +--=，即(224x y +=. …………3分将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得212t ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋2⎛+- ⎝＝4，即2680t t -+=， 40∆=>，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以121268t t t t +=⎧⎨=⎩, …………6分12t 2,t 4.==解得（1）1232t t +=，∴32M ⎛ ⎝，∴点M的极坐标为6π⎫⎪⎭. ………………8分 （2）又直线l 过点，故由上式及参数t 的几何意义得PA PB +=12t t +＝126t t +=. .........10分 24.(1)(1)0f x +≥，1x x m ∴+-≤.当m ＜1时，11≥-+x x ，∴不等式m x x ≤-+1的解集为φ，不符题意. 当1≥m 时，①当0＜x 时，得21m x -≥，0＜21x m≤-∴. ②当10≤≤x 时，得m x x ≤-+1，即m ≤1恒成立.③当1＞x 时，得21+≤m x ，21＜1+≤∴m x .综上m x x ≤-+1的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤-2121m x m x.由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-121021m m，1=∴m . (5)分(2) 222x a ax +≥,222y b by +≥,222z c cz +≥,()2222222a b c x y z ax by cz ∴+++++≥++,由(1)知2222221,x y z a b c ++=++=()22ax by cz ∴++≤, 1.ax by cz ∴++≤ …………………………10分25、（Ⅰ）2()2f x x bx c '=++， )()2(x f x f '=-'，∴函数()y f x '=的图像关于直线1x =对称，则1b =-．直线124-=x y 与x 轴的交点为(3,0)，∴(3)0f =，且(3)4f '=，即9930b c d +++=，且964b c ++=，解得1c =，3d =-． 则321()33f x x x x =-+-．故22()21(1)f x x x x '=-+=-，22,1,()1, 1.x x x g x x x x x x ⎧-≥⎪==-=⎨-<⎪⎩其图像如图所示．当214x x -=时，x = （ⅰ）当102m <≤时，()g x 最大值为2m m -；（ⅱ）当12m <≤()g x 最大值为14；（ⅲ）当m >时，()g x 最大值为2m m -． ……………………………8分 （Ⅱ）方法一：2()ln(1)2ln 1h x x x =-=-，则(1)2ln h x t x t +-=-，(22)2ln 21h x x +=+， 当[0,1]x ∈时，2121x x +=+，∴不等式2ln 2ln 21x t x -<+恒成立等价于21x t x -<+且x t ≠恒成立， 由21x t x -<+恒成立，得131x t x --<<+恒成立，当[0,1]x ∈时，31[1,4]x +∈，1[2,1]x --∈--， ∴11t -<<， 又当[0,1]x ∈时，由x t ≠恒成立，得[0,1]t ∉，因此，实数t 的取值范围是10t -<<．……………………………………12分方法二：（数形结合法）作出函数]1,0[,12∈+=x x y 的图像，其图像为线段AB （如图），t x y -=的图像过点A 时，1-=t 或1=t ，∴要使不等式21x t x -<+对[0,1]x ∈恒成立，必须11t -<<，又当函数)1(t x h -+有意义时，x t ≠，∴当[0,1]x ∈时，由x t ≠恒成立，得[0,1]t ∉，因此，实数t 的取值范围是10t -<<． …………………………………12分 方法三：2()ln(1)h x x =-， ()h x 的定义域是{1}x x ≠，∴要使(1)h x t +-恒有意义，必须t x ≠恒成立，[0,1]x ∈，[0,1]t ∴∉，即0t <或1t >． ①由(1)(22)h x t h x +-<+得22()(21)x t x -<+，即223(42)10x t x t +++->对[0,1]x ∈恒成立，令22()3(42)1x x t x t ϕ=+++-，()x ϕ的对称轴为23t x +=-， 则有20,3(0)0t ϕ+⎧-<⎪⎨⎪>⎩或22201,3(42)43(1)0t t t +⎧≤-≤⎪⎨⎪∆=+-⨯⨯-<⎩或21,3(1)0t ϕ+⎧->⎪⎨⎪>⎩解得11t -<<． ②综合①、②，实数t 的取值范围是10t -<<． ………………………………12分。