湖北省黄石市2021届新高考第一次大联考数学试卷含解析

湖北省黄石市2021届新高考第一次大联考数学试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“

”表示一个阳爻，“

”表示一个阴爻）．若

从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（ ）

A ．

1

3

B ．

12

C ．

23

D ．

34

【答案】B 【解析】 【分析】

基本事件总数为6个，都恰有两个阳爻包含的基本事件个数为3个，由此求出概率. 【详解】

解：由图可知，含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦，

取出两卦的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（巽，乾），（离，兑），（离，乾），（兑，乾）共6个，其中符合条件的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（离，兑）共3个， 所以，所求的概率31

62

P ==. 故选：B. 【点睛】

本题渗透传统文化，考查概率、计数原理等基本知识，考查抽象概括能力和应用意识，属于基础题． 2．已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，5PA =E 为PC

的中点，则异面直线BE 与PD 所成角的余弦值为（ ） A ．13B 13 C ．15 D 15 【答案】B 【解析】

由题意建立空间直角坐标系，表示出各点坐标后，利用

cos ,BE PD BE PD BE PD

⋅=⋅u u u r u u u

r

u u u r u u u r u u u r u u u r 即可得解. 【详解】

Q PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，

∴如图建立空间直角坐标系，由题意：

()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,2,0C ，()

0,0,5P ，()0,2,0D ，

Q E 为PC 的中点，∴51,1,E ⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭

. ∴51,1,BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭

u u u r ，()

0,2,5PD =-u u u r ，

∴1132cos ,1332

BE PD BE PD BE PD

-⋅===-⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，

∴异面直线BE 与PD 所成角的余弦值为cos ,BE PD u u u r u u u r

即为13.

故选：B.

【点睛】

本题考查了空间向量的应用，考查了空间想象能力，属于基础题. 3．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫

≤≤ ⎪⎝

⎭

个单位长度，得到的函数为偶函数，则ϕ的值为（ ） A ．

12

π B ．

6

π C ．

3

π D ．

4

π 【答案】D 【解析】 【分析】

利用三角函数的图象变换求得函数的解析式，再根据三角函数的性质，即可求解，得到答案．

将将函数()sin 2f x x =的图象向左平移ϕ个单位长度， 可得函数()sin[2()]sin(22)g x x x ϕϕ=+=+ 又由函数()g x 为偶函数，所以2,2

k k Z π

ϕπ=+∈，解得,4

2

k k Z π

π

ϕ=

+

∈， 因为02

π

ϕ≤≤，当0k =时，4

π

ϕ=

，故选D ．

【点睛】

本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换，合理应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 4．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，0ϕπ<<）的图象关于点5,012M π⎛⎫

⎪⎝⎭

成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为2,33N π⎛⎫

- ⎪⎝⎭

，则对于下列判断： ①直线2

x π=是函数()f x 图象的一条对称轴；

②点,012π⎛⎫

-

⎪⎝⎭

是函数()f x 的一个对称中心； ③函数1y =与()3512

12y f x x π

π⎛⎫

=-

≤≤

⎪⎝⎭

的图象的所有交点的横坐标之和为7π. 其中正确的判断是（ ） A ．①② B ．①③

C ．②③

D ．①②③

【答案】C 【解析】

分析：根据最低点，判断A=3，根据对称中心与最低点的横坐标求得周期T ，再代入最低点可求得解析式为()3sin 26f x x π⎛⎫

=+

⎪⎝

⎭

，依次判断各选项的正确与否． 详解：因为5,012M π⎛⎫

⎪⎝⎭为对称中心，且最低点为2,33N π⎛⎫

- ⎪⎝⎭

， 所以A=3，且254312T πππ⎛⎫

=⨯-=

⎪⎝⎭

由222T ππ

ωπ

=

== 所以()()3sin 2f x x ϕ=+，将2,33N π⎛⎫

-

⎪⎝⎭

带入得