吉林大学量子力学1999,1999答案

可知，归一化常数为
c
于是，归一化后的波函数为
8 3
x,0
能量的取值几率为
2 1 1 1 x 2 x 3 x 3 6 6
2 W E1 ; 3
能量取其它值的几率皆为零。
1 W E 2 ; 6
W E 3
1 6
（2）因为哈密顿算符不显含时间，故 t 0 时的波函数为

21I
1 1 ˆ2 ˆ Y ( , ) 1 L ˆ2 H lm 2I 2I Lz Ylm ( , ) 2 I 1 2 1 1 1 1 2 2 2 l ( l 1 ) m Ylm ( , ) 2I 2 2I1 2I1
1 2
En
2
2ma
2 2
n2 ,
n 1,2,3,
n x
2 n sin x a a
（1）首先，将 x,0 归一化。由
1 2 1 2 1 2 2 c 1 4 4 2
吉
林 大
学
1999 年招收硕士研究生入学考试试题（含答案） 考试科目：量子力学
质量为 m 的粒子，在阱宽为
一.
a 的非对称一维无限深势阱中运动，当 t 0
1 4 1 4
时，粒子处于状态
x,0 1 x 2 x 3 x
其中， n x 为粒子的第 n 个本征态。 （1）求 t 0 时能量的取值几率； （2）求 t 0 时的波函数 x, t ； （3）求 t 0 时能量的取值几率。 解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为
x, t
2 1 i i 1 x exp E1t 2 x exp E 2 t 3 6
1 i 3 x exp E3t 6
（3） 由于哈密顿量是守恒量，所以 t 0 时的取值几率与 t 0 时相同。 二. （见习题选讲 5.10）设体系的哈密顿算符为
B B0 j 中，设 t 0 时，粒子处于 s z 的状态，求出 t 0 时的波函数，进而计
ˆ z 的平均值。 ˆx 与 s 算s
解：体系的哈密顿算符为
B0 ˆ ˆy ˆ y ˆy H B B0 s 2
在泡利表象中，哈密顿算符的矩阵形式为
1 1 i 2
0 0 2 1 2
1
显然，展开系数为

C1 0 C 2 0
t 0 时的波函数为
1 2
i Ei t i 1 1 1 i i exp t 1 exp t 2 2 2 1 i 1 1 1 i 1 1 exp t exp t i i 2 2 2 2 1 i i t exp t exp t cos 2 t i i i sin t exp t 2 exp
进而可知能量本征值为
1 1 1 2 2 Elm l (l 1) m 2I 2 2I1 2I1
相应的本征矢为球谐函数 Ylm 三.
, 。
s
2
（
1 自旋为 、固有磁矩为 2

为实常数）的粒子，处于均匀外磁场
ˆ 1 L ˆ2 L ˆ2 1 L ˆ2 H x y z 2I1 2I 2
利用适当的变换求出体系的能量本征值与相应的本征矢。 解：将哈密顿算符改写为


1 ˆ2 1 ˆ2 1 1 ˆ2 Lz L Lz 2I1 2 2I1 2I 2 2I1 ˆ,L ˆ2 , L ˆ 构成力学量完全集，且其共同本征函数系为 Ylm ( , )，于是 H 显然， z ˆ 1 L ˆ2 L ˆ2 L ˆ2 H x y z 2I1
t Ci 0 i exp
2
将 B0
1 2
代入上式，得到
1 cos B0 t 2 t 1 sin B t 0 2
ˆ x 的平均值为 s
1 cos B0 t 1 1 0 1 2 ˆ x t t s cos B t , sin B t 0 0 1 2 2 1 0 sin 2 B t 0 2 1 sin B0 t 1 1 2 sin B t cos B t , sin B t 0 0 0 1 2 2 2 cos 2 B0 t 2
0 i ˆ H i 0
其本征值 E 满足久期方程
E i
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ解之得到
i 0 E
E1 ;
E 2
将 E1 和 E 2 代入本征方程，可以求出相应的本征矢
1
依题意可知，
1 1 i 2 ；
1
2