第02章 质点和质点系动力学 习题题解

2.10 质量为 m 的物体与一劲度系数为 k 的弹簧连接, 物体可以在水平桌面上运动, 摩擦系数为 μ . 当用一个不变的水平力拉物体, 物体从平衡位置开始运动. 求物体到 达最远时, 系统的势能和物体在运动中的最大动能. 解：分析物体水平受力，其中弹性力摩擦力为
f = kx
f μ = μ mg
物体到达最远时，速度为 0。由动能定理得
7
R N r mg
θ
该水平面离碗底的高度 h 为
h = R (1 − sin θ )
联立求解得
h= R−
2.14
g
ω2
m1
l
半径为 r 的圆盘绕其中心轴在水平面内转动. 质量分
别为 m1 和 m2 的小木块与圆盘之间的静摩擦系数均为 μ , 现
m1 放在圆心, 用一根长为 l < r 的绳子将它们连接. 试求： （1） m2 放在距圆心 l 处, 要使物体不发生相对滑动, 圆盘转动的
即
v = v0 e
−
k x m
（4） v0 = 20 m , t = 15s , vt = 10 m 代入（1）中得结果，解得
s
s
k=
m 300
2.5 质量为 m 的质点以初速度 v0 竖直上抛, 设质点在运动中受到的空气阻力与质点的速 率成正比, 比例系数为 k > 0 ．试求： （1）质点运动的速度随时间的变化规律. （2）质 点上升的最大高度. 解： （1）对上升过程，列出牛顿方程，得
N1 − mg cos α = 0 f1 = μ N1
y N1 f1
x
β 角： f 2 − mg sin β = 0
N 2 − mg cos β = 0 f2 = μ N2
联立解得
α
mg
y N2 f2
h
x
a = g sin β − g cos β tgα
又物体从高为 h 的斜面下滑的运动方程为
h 1 = at 2 sin β 2
4 × 105 t =0得 3
t = 3 × 10 −3 s
即子弹在枪管中的运行的时间为 3 × 10 −3 s 。 （2） I =
∫
t
0
Fdt = ∫
3×10−3
0
⎛ 4 ×105 t ⎞ 400 − ⎜ ⎟ dt = 0.6 N ⋅ s 3 ⎠ ⎝
5
（3）由 I = Ft = mΔv 得
m=
I 0.6 = = 2 × 10−3 kg Δv 300
2.9 自由电子在沿 x 轴的振荡电场 E = E0 cos (ωt + ϕ ) i 中运动, 其中 E0 ,
ω , ϕ 为常
数. 设电子电量为 − e , 质量为 m , 初始条件为： t = 0 时, v0 = v0 i , r0 = x0 i . 略去 重力和阻力的作用, 求电子的运动方程. 解：由 F = −eE0 cos (ωt + ϕ ) 得
( ຫໍສະໝຸດ Baidu1 + m2 ) g
k
当剪断 m1 和 m2 间连线， m1 受到 kx1 = ( m1 + m2 ) g 和 m1 g 得作用向上运动。速度达到 最大时，有
x2 =
m1 g k
选 m1 开始向上运动得位置为重力势能得零点，由能量守恒得
1 2 1 2 1 2 kx1 = kx2 + mg ( x1 − x2 ) + m1vmax 2 2 2
第 2 章 质点和质点系动力学
2.1 一斜面的倾角为 α , 质量为 m 的物体正好沿斜面匀速下滑. 当斜面的倾角增大为 β 时, 求物体从高为 h 处由静止下滑到底部所需的时间. 解：设斜面得摩擦系数为 μ 。对 m 分别处于倾角为 α ， β 得斜面上，列出牛顿运动方程为
α 角： f1 − mg sin α = 0
ωmax =
μ ( m1 + m2 ) g
m1l
（3）两小木块都不放在圆心, 但联线过圆心,木块所受摩擦力不变，但离心力为两木块 之差，即
μ ( m1 + m2 ) g = m1ω 2l1 − m2ω 2 ( l − l1 )
ωmax =
m1l1 + m2 ( l − l1 )
μ ( m1 + m2 ) g
− kv 2 = m
两边分离变量
v
dv dt
当 t = 0 时， v = v0
∫
积分得
dv k t = − ∫ dt 2 v0 v m 0
2
⎛ 1 1⎞ k ⎜ − ⎟=− t m ⎝ v0 v ⎠
即
v=
v0 mv0 = k ⎛ ⎞ m + kv0t ⎜ 1 + v0t ⎟ ⎝ m ⎠
（2）由上式两边积分得
Ft = ∑ mv
4
即
F=
∑ mv = 120 × 7.9 ×10
t
60
−3
× 735
≈ 11.6 N
2.7 质点在 x 轴上受 x 方向的变力 F 的作用． F 随时间的变化关系为：在刚开始的 0.1s 又在随后的 0.2s 内保持不变， 再经过 0.1s 从 20N 均匀地减少到 0 . 内均匀由 0 增至 20N， 求： （1）力随时间变化的 F − t 图. （2）这段时间内力的冲量和力的平均值. （3）如 果质点的质量为 3kg, 初始速度为 1m/s, 运动方向与力的方向相同. 当力变为零时, 质 点速度为多少？ 解： （1）由题意得 F 20
最大角速度． （2）将 m1 和 m2 位置互换, 结果如何？（3）两 小木块都不放在圆心, 但联线过圆心, 结果又如何？ 解： （1）由题意得
2 μ ( m1 + m2 ) g = m2ωmax l
m2
习题 2.14 题图
即
ωmax =
μ ( m1 + m2 ) g
m2l
（2） m1 和 m2 位置互换，得
vmax =
m2 g m1k
2.12 汽车以 30km/h 的速度直线运行, 车上所载货物与底板之间的摩擦系数为 0.25 . 当汽车刹车时, 保证货物不发生滑动, 求从刹车开始到汽车静止所走过的最短路程. 解：货物保持不滑动，以速度方向为正，则加速度满足
a = −μ g
由题意有方程
1 s = v0t − μ gt 2 2
解得
β
mg
t=
2h = a sin β
2h cos α g sin β sin ( β − α )
2.2 用力 f 推地面上的一个质量为 m 的木箱,力的方向沿前下方, 且与水平面成 α 角. 木 （1）要推动木箱, f 最小为 箱与地面之间的静摩擦系数为 μ 0 , 动摩擦系数为 μ k . 求： 多少？使木箱作匀速运动, f 为多少？（2）证明当 α 大于某值时, 无论 f 为何值都不 能推动木箱, 并求 α 值. 解： （1）当 f 的水平分力克服最大静摩擦力时，木箱可以运动，即
y=
m m 2 g mg + kv ( v0 − v ) + 2 ln k k mg + kv0 m m 2 g ⎛ mg + kv0 ⎞ = v0 − 2 ln ⎜ ⎟ k k ⎝ mg ⎠
当 v = 0 时，有
ymax
2.6 自动枪以每分钟发射 120 发子弹的速率连续发射. 每发子弹的质量为 7.9 g, 出口速率 为 735 m/s. 求射击时枪托对肩部的平均压力. 解：设肩部所受的平均作用力为 F ，由动量定理得
∫
解得
t
0
Fdt = ∫ mdv = mv − mv0
v0
v
v = v0 +
eE0 eE sin ϕ − 0 sin (ωt + ϕ ) mω mω
两边同乘 dt 积分得
eE0 eE eE0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x = ⎜ x0 − cos ϕ ⎟ + ⎜ v0 + 0 sin ϕ ⎟t + cos(ωt + ϕ ) 2 2 mω mω ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ mω
2
闭发动机后, 求： （1）速率 v 随时间的变化关系. （2）路程 x 随时间的变化关系. （3） 证明速率 v 与路程 x 之间的函数关系为 v = v 0 e 率降为 vt = 10 m/s, 则 k 为多少？ 解：由题意得
− k x m
（4） ． 若 v0 = 20 m/s, 经过 15s 后, 速
2.15 半径为 r 的光滑球面的顶点处, 质点以初速度为零开始下滑. 求质点滑到顶点下 什么位置脱离球面. 解：由重力提供向心力，当球面对质点吴支持力时，质点脱离球面，有
x
（2）当下式成立，则无论 f 多大，都不能推动木箱，即
f cos α < μ0 f sin α
tgα > 1
μ0
，
α > arctg
1
μ0
2
（1）空 2.3 质量为 5000 kg的直升飞机吊起 1500 kg的物体, 以 0.6m/s 的加速度上升, 求： 气作用在螺旋桨上的升力为多少. （2）吊绳中的张力为多少. 解： （1）对飞机物体整体进行受力分析，得
− mg − kv = m
即
dv dt
− dt =
积分得
mdv mg + kv
3
∫ −dt = ∫
0
t
mdv v0 mg + kv
v
即
mg ⎞ − m t mg ⎛ v = ⎜ v0 + ⎟e − k ⎠ k ⎝
对下降过程，列出牛顿方程，得 dv mg − kv = m dt
即
k
dt =
积分得
mdv mg − kv
∫
即
t
0
dt = ∫
v
v0
mdv mg − kv
v=
k − t ⎞ mg ⎛ m e 1 − ⎜ ⎟ k ⎝ ⎠
（2）由（1）中方程得
− mg − kv = m
即
dv dv dy dy =m = mv dt dy dt dt
dy =
积分得
−mvdv m ( mg + kv − mg ) =− dv mg + kv k mg + kv
t
0.1 （2）由上图得
0.3
0.4
1 1 I = × 20 × 0.1 + 20 × 0.2 + × 20 × 0.1 = 6 N ⋅ s 2 2 I 0.5 × 20 × 0.1 + 20 × 0.2 + 0.5 × 20 × 0.1 = 15 N F= = t 0.4
（3）由动量定理得
Ft = mvt − v0
f cos α ≥ μ0 ( mg + f sin α )
f ≥
μ0 mg cos α − μ0 sin α
1
f min =
μ0 mg cos α − μ0 sin α
y
α
f
使木箱做匀速运动，则
f cos α = μk ( mg + f sin α )
f =
μk mg cos α − μ0 sin α
f
F
1 Fx − kx 2 − μ mgx = 0 2
解得
fμ
x=
2 ( F − μ mg ) k
系统的势能为 2 ( F − μ mg ) 1 E p = kx 2 = k 2
2
当加速度为零时，动能最大。由 F − kx − μ mg = 0 得
x0 = F − μ mg k
由动能定理得
6
1 ∫ ( F − kx − μ mg ) dx = 2 mv
0 = v0 − μ gt
解得
2 v0 s= ≈ 14.2m 2μ g
2.13 质量为 m 的小球在一个半径为 r 的半球型碗的光滑内面以角速度 ω 在水平面内 作匀速圆周运动. 求该水平面离碗底的高度. 解：对小球进行受力分析，小球做匀速圆周运动的向心力由 mg 和碗对小球的支撑力提供， 即
mg = mω 2 r = mω 2 R cos θ tgθ
x0 0
2
= Ek max
Ek max
2.11
( F − μ mg ) =
2k
2
劲度系数为 k 的弹簧下端竖直悬挂着两个物体, 质量分别为 m1 和 m2 . 当整个系
统达到平衡后, 突然去掉 m2 . 求 m1 运动的最大速度. 解：未剪断前，弹簧伸长为
kx1 = ( m1 + m2 ) g ，
x1 =
即
vt =
Ft + mv0 6 + 3 × 1 = = 3m s m 3
2.8 子弹脱离枪口的速度为 300m/s, 在枪管内子弹受力为 F = 400 − 4 × 105 t / 3（SI） , 设 子弹到枪口时受力变为零. 求： （1）子弹在枪管中的运行的时间. （2）该力冲量的大 小. （3）子弹的质量. 解： （1）由 F = 400 −
f − ( M + m) g = ( M + m) a
代入数值得到空气作用在螺旋桨上的升力为
f = 6.89 × 104 N
（2）对物体 m 进行受力分析，得
T − mg = ma
解得吊绳中的张力为
T = m ( g + a ) = 1500 × 10.6 = 1.59 ×104 N
2.4 质量为 m 汽车以速率 v0 高速行驶, 受到 f = − kv 的阻力作用, k 为常数. 当汽车关
∫
即
x
0
dx = ∫
mv0 dt 0 m + kv t 0
t
x=
m ⎛ m + kv0t ⎞ ln ⎜ ⎟ k ⎝ m ⎠ mv0 −m v
（3）由（1）中得
kv0t =
代入（2）中的结果，得
mv ⎛ ⎞ m+ 0 −m⎟ m ⎜ m ⎛ v0 ⎞ v x = ln ⎜ ⎟ = ln ⎜ ⎟ k ⎜ m ⎟ k ⎝v⎠ ⎝ ⎠