基于地磁场的自主导航研究

Ｇｅｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｎａｖｉｇａｔｉｏｎ。Ａｕｔｏｎｏｍｏｕｓ ｎａｖｉｇａｔｉｏｎ，Ｅｘｔｅｎｄｅｄ Ｋａｌｍａｎ Ｆｉｌｔｅｒ（ＥＫＦ）， Ｇｅｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｆｉｅｌｄ ｍｏｄｅｌ
导航定位技术在长期任务、无典型地貌特征环境等 ｌ
引
言
条件下尚存在很多的不足，需要其他方式的补充．例 如潜艇，若仅利用惯导技术，虽然可以自动导航且短
Ｄ（ｍ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．０００１—５７３３．２０１０．１１．０２０
中图分类号Ｐ３１８
收稿日期２０１０－０３—０４，２０１０－１１—０２收修定稿
Ａｕｔｏｎｏｍｏｕｓ ｎａｖｉｇａｔｉｏｎ ｂａｓｅｄ Ｇｅｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｒｅｓｅａｒｃｈ ＷＡＮＧ
１ ２ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ７３６０３
Ｂ＝驾掣ｋ肛觚，，（７）
得到状态方程线性化形式后，扩展卡尔曼滤波的过 程和传统的卡尔曼滤波的过程相同． ４
ＥＫＦ在地磁场自主导航中的应用
４．１地心固联坐标系下卫星轨道动力学方程 ３
ＥＫＦ滤波算法
定轨是一个连续非线性系统．对于非线性系统，
地磁场自主导航系统的状态方程是卫星轨道动 力学方程‘１１￣１引．在这里把地固系中的卫星轨道动力 学方程作为状态方程．
ｓｙｓｔｅｍ，ｔｈｅ
ＥＫＦ
ａｕｔｏｎｏｍｏｕｓ ｎａｖｉｇａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ ｕｓｉｎｇ ｇｅｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｆｉｅｌｄ．Ａｔ ｔｈｅ ｅｎｄ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓ ｗｅｒｅ ｍａｄｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ａｕｔｏｎｏｍｏｕｓ ｎａｖｉｇａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ ｕｓｉｎｇ ｇｅｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｆｉｅｌｄ ｗｉｔｈ Ｍａｔｌａｂ．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ
在理论上很难找到一种严格的递推滤波算法，通常 采用近似的方法来进行处理，其中之一就是非线性 系统的线性化００３．对非线性模型进行”线性化”的近 似，通常采用两种方法：一种围绕标称状态进行线性 化，另一种围绕最优状态估值进行线性化．第二种线 性化的滤波方法即扩展卡尔曼滤波方法（ＥＫＦ：
Ｅｘｔｅｎｄｅｄ Ｋａｌｍａｎ Ｆｉｌｔｅｒ）．
＋Ｖ（志）， （１２）
其中，Ｘ，Ｙ，ｚ，仉，Ｖｙ，７．１：分别表示卫星位置和速度在 地心固联坐标系下的分量，地固坐标系相对地心惯
式中，ｙ（忌）表示测量噪声，Ｂ：、Ｂ，、Ｂ；分别表示地 磁场强度矢量在地心固联坐标系下的分量． 对式（１２）进行线性化可以得到测量矩阵：
性坐标系的角速度为ｎ＝［亿，０，，ｎ。］Ｔ，Ｒ。为地球
为离散的零均值高斯白噪声过程，Ｒ为测量方差矩 阵．并且假设对任意ｔ和ｋ，Ｅ（ｗ（≠），ｖＤ兰０． 对连续系统的扩展卡尔曼滤波而言，首先要对 系统的状态方程进行离散化，然后再围绕ｘ（惫）进 行线性化．经过离散化后，可以将式（１）表示为下述 形式： Ｘ抖ｌ—ｆ（Ｘ女，毗，ｔｔ）＋Ｗｋ，
（４）
式中，吼表示系统噪声，毗为系统输入向量，ｔ。表
ｎｏｔ
ｔｈｅ ｏｂｓｅｒｖａｂｌｅ ｗｅｒｅ ｄｅｒｉｖｅｄ ｉｎ ｄｅｔａｉｌ．Ｔｈｅ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ
ｔｏ
ａｐｐｌｉｃａｂｌｅ
ｔＯ
ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍ ｄｕｅ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ
ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍ；ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍ ｗａｓ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｉｎｔｏ ｔｈｅ
这里设系统的状态方程和观测方程为
Ｘ（￡）＝厂（Ｘ（ｆ），￡）＋Ｗ（￡）， （１） （２）
（３）
磊＝ｈ（墨）＋Ｋ，ｋ＝１，２，…， Ｗ（￡）～Ｎ（Ｏ，Ｑ（￡）），Ｋ～Ｎ（Ｏ，Ｒ＾），
．
Ｘ（Ｏ）～Ｎ（Ｘｏ，Ｐｏ），
式中，ｘ（￡）为系统的状态向量，ｗ（￡）为系统的过程 噪声，假设为零均值高斯白噪声过程，Ｑ（￡）为协方 差矩阵，ｘｏ为初值的数学期望，Ｐｏ为初值的协方差 矩阵，ｘ。、Ｐ０均假设为已知的．Ｕ为测量噪声，假设
示某一时刻．对式（４）进行线性化，得到如下方程： 墨＋１＝ｏ（志＋１，正）Ｘｋ＋Ｗｋ，
（５）
国（忌＋ｌ，惫）＝Ｊ＋ＴＦｔ＋寺磁＋音Ｆ３＋…，（６）
其中，咖（忌，ｋ一１）为状态一步转移矩阵，假定协方 差为Ｑ的高斯白噪声，Ｊ为单位矩阵，Ｔ为滤波周 期，Ｒ表示雅可比矩阵，当滤波周期较小时，Ｅ可 近似看作常阵，其计算公式如下：
参考球赤道半径，ｒ为空间一点的地心距，卢为引力 常数． ４．２状态向量和状态方程 这里选取状态向量为 Ｘ＝［ｚ，Ｙ，ｚ，也，口，，口：］Ｔ， 地心固联坐标系下的分量．
（９）
巩一袅ｋ如纠，一ａ旦ＢＥＣＦ警罢ｋ觚…
（１３）
式中，ｈ表示地磁场强度的大小，Ｂ ＤｃＦ＝（及，Ｂｙ，鼠）， Ｒ＝（ｒ，Ｐ，声）表示卫星位置矢量在地心固联坐标系 下的球坐标，９为地心纬度，ｘ＝戈（ｋ／ｋ一１）为志时 刻卫星在地心固联坐标系中的状态预测值． ４．３．２地磁场矢量为观测量的观测方程 以地磁场矢量作为观测量有助于提高定轨精 度，对应的观测方程为［１ ２’１３］： 矗（彘）＝ＩＳ。，Ｂ，，Ｂ：］Ｔ＋Ｖ（志）， 式中，ｙ（七）＝［Ｖ。，Ｖ，，Ｖ：］Ｔ． 式（１４）线性化就可以测量矩阵：
Ｘｉａｎｇ－Ｌｅｉｌ，ＴＩＡＮ Ｙａｎ—Ｆｅｎ９２
Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ
ｏｆ Ｓｕｒｖｅｙｉｎｇ
ａｎｄ
Ｍａｐｐｉｎｇ，Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ
Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ ４５００５２，Ｃｈｉｎａ
Ｔｒｏｏｐｓ，Ｎａ彬ｉｎｇ
２１００４９，Ｃｈｉｎａ
Ａｂｓｔｒａｃｔ
ｓｔａｔｅ
Ａｕｔｏｎｏｍｏｕｓ ｎａｖｉｇａｔｉｏｎ ｕｓｉｎｇ ｇｅｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｆｉｅｌｄ ｉｓ ｓｔｕｄｉｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｐａｐｅｒ．Ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍ
风一差ｋ如纠，＝器蓑ｋ觚Ｈ“１５）
ｈ（忌）＝
ｌ否２巩’
ｄｖ
ｌ盂２码，
ｌ＆
ｌ面２％，
．｛警＝｛一射，“（等）（７．５事屯５）卜：卜
＋２晓口，，
ｉ警＝｛一舡，山（等）（７．５笋屯５）卜：｝ｙ
一２ｎ：可。，
【警＝一卢笋［，“（譬）（７．５等“５）］，
（８）
￣／燧（（ｒ，０，乒），ｔＩ）＋Ｂｚ（（ｒ，０，乒），ｔｋ）＋磋（（，．，０，手），ｔ。）
（１４）
式中，ｚ，Ｙ，ｚ，让，ｑ，让分别表示卫星位置和速度在
令Ｗ＝［毗，Ｗ，，Ｗ：，Ｗ％，仞。，，Ｗ％］，则卫星在
地心固联坐标系下的状态方程可写为 Ｘ（￡）一ｆ（Ｘ，￡）＋Ｗ（￡）． 联系式（８），ｆ（Ｘ，￡）中各分量为
（１０）
＾＝巩，，２＝％，Ｊｆ３一％，＾＝警＝警， ，ｓ一磐一警，＾＝髻一警．
把状态方程式（１０）进行线性离散化得：
基于地磁场的自主导航研究
王向磊１，田颜锋２
１信息工程大学测绘学院，郑州４５００５２
２
７３６０３部队．南京２１００４９
摘要研究了基于地磁场的自主导航，建立了以卫星轨道动力学方程为基础的系统状态方程，并详细推导了以 地磁场大小和地磁场矢量为观测茸时的观测方程．由于系统的非线性，传统的卡尔曼滤波无能为力，为了解决系统 的非线性问题把常用来解决非线性问题的ＥＫＦ引入到基于地磁场的自主导航系统中．最后用Ｍａｔｌａｂ对基于地磁 场的自主导航系统进行ｒ仿真，仿真结果表明ＥＫＦ有很好的收敛性和稳定性，以地磁场矢量为观测量的导航精度 要远高于以地磁场大小为观测蜃的导航精度． 关键词地磁导航，自主导航，扩展鼍尔曼滤波，地磁场模型
万方数据
１１期
王向磊等：基于地磁场的自主导航研究
如巡航导弹，虽然可以接收无线电导航信号，但战时 容易受到敌方的屏蔽和干扰，导航基站本身也容易 被攻击；此外，跨海、沙漠、森林等飞行，由于地形的 灰度和纹理基本相同。地形匹配导航技术也无法实 现．因此，学者逐渐转向寻找一些自助式、无长期积 累误差、具有较强抗干扰能力的导航定位技术，以完 成全天时、全天候、全地域导航任务．自从１８９８年美 国Ｃｏｒｎｅｌｌ大学的学者们［１３首次提出利用地磁场进 行自主导航的概念以来，地磁导航逐渐成为导航领 域的一个新的研究热点． 通过测量卫星所在位置的地磁场自主确定卫星 轨道的方法，是Ｐａｓｉａｋｉ和Ｂａｒ—ＩｔｚｈａｃｋＥ２￣朝于２０世 纪９０年代初首先提出来的，数据处理过程中影响定 轨精度的重要环节是滤波算法的选择［６］，本文从这 个角度作为切入点，推导了系统的状态方程和观测 方程，把ＥＫＦ引入到系统中有效提高了定轨精度．
第５３卷第１１期
２０１０年１１月
地
ＣＨＩＮＥＳＥ
球
物
理
学
报
Ｖ０１．５３，Ｎｏ．１ｌ Ｎｏｖ．，２０１０
ＪＯＵＲＮＡＩ。ＯＦ
ＧＥＯＰＨＹＳＩＣＳ
王向磊，田颜锋．基于地磁场的自主导航研究．地球物理学报，２０１０，５３（１１）：２７２４～２７３１，ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．０００１—５７３３．
２基于地磁场的自主导航原理
对于低轨卫星，有丰富的地磁场资源可以利用， 同时又要求轨道确定系统重量轻、功耗低、可靠性高 而成本低，同时，地磁场已经有相当好的地磁场模 型Ｌ７］，而它的强度和方向是位置的函数，基于以上的 事实，可以利用卫星轨道上的磁测结果实现卫星自 主定轨． 通过长期对地磁场模型的研究，发现包含在地 磁场中的信息是类似于高度的位置信息，每个给定 的地磁场强度都处在一条椭圆形的等高线上，卫星 的位置随着时间在不断的变化，不会始终处在同一 条等高线上，因此通过对卫星所处空间位置的地磁 场强进行观测。就可以获得卫星的位置信息［ｇ’９］．把 实时地磁场测量数据与地磁场模型计算出的地磁场 数据之差作为观测量，结合卫星动力学方程通过一 定的滤波算法处理，就可以实现卫星自主定轨． 在基于地磁场的自主导航中的观测量可以是地 磁场大小，也可以是地磁场矢量，都是在卫星轨道动 力学方程和地磁场强度观测的基础上，运用一定的 滤波算法得到卫星的位置和速度，它们的不同之处 在于利用地磁场的观测信息及相应的观测方程不 一样．
２０１０．１１．０２０
Ｗａｎｇ Ｘ Ｉ。。Ｔｉａｎ Ｙ Ｆ．Ａｕｔｏｎｏｍｏｕｓ ｎａｖｉｇａｔｉｏｎ ｂａｓｅｄ Ｇｅｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｒｅｓｅａｒｃｈ．Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｊ．Ｇｅｏｐｈｙｓ．（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ），２０１０，５３ （１１）：２７２４～２７３１，Ｄ０ｌ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．０００１－５７３３．２０１０．１１．０２０
ｏｎ
ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｂａｓｅｄ
ｔｈｅ ｄｙｎａｍｉｃ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｓａｔｅｌｌｉｔｅ ｏｒｂｉｔ ｗｅｒｅ ｂｕｉｌｔ，ａｎｄ ｔｈｅ ｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎ
ｖｅｃｔｏｒ ａｓ
ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｇｅｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｆｉｅｌｄ Ｋａｉｍａｎ Ｆｉｌｔｅｒ ｉｓ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｔｈｅ
ｖｅｃｔｏｒ
ＥＫＦ ｈａｓ ｇｏｏｄ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｉｎ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ，ｔｈｅ ｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ Ｇｅｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｈａｓ ｈｉｇｈｅｒ ｎａｖｉｇａｔｉｏｎ ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ ｒｅｌａｔｉｖｅ Ｋｅｙｗｏｒｄｓ
ｔｏ
ｔｈｅ ｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ Ｇｅｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｓｉｚｅ．
万方数据
２７２６
地球物理学报（Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｊ．Ｇｅｏｐｈｙｓ．）
５３卷
假设地球引力是作用在卫星上的惟一力，考虑 到．，。项的影响，可得到地心固联坐标系下卫星的轨 道动力学方程：
４．３观测向量及观测方程 在基于地磁场的卫星自主导航中观测量有两 种：一是采用地磁场强度的模，即地磁场大小；二是 采用地磁场强度的矢量作为观测量．下面给出两种 观测量对应的观测方程． ４．３．１地磁场大小为观测量的观测方程 通过测量可以得到地磁场强度在卫星星体坐标 系中的三个分量，利用国际参考地磁场模型（ＩＧＲＦ） 可以求得地磁场强度在东北天坐标系中的分量．直 接利用地磁场强度的模作为观测量，就可以省去复 杂的坐标转换，计算量也会极大的减少，这对于星上 计算非常有利． 以地磁场大小作为观测量，对应的观测方程 为Ｄｚ，ｌｓ］：
导航定位技术已经渗透于各种军事和民用领 域，并显示出越来越重要的作用．然而目前常使用的
时精度较高，但存在积累误差，而在深水又难以借助 其他现有技术，潜艇不得不定期浮出水面来修正；再
பைடு நூலகம்
基金项目
国家自然科学基金项目（４０７７４０３１）资助．
作者简介王向磊，男，１９８３年出生，博士研究生，主要研究方向为地磁导航、重力导航及组合导航．Ｅ—ｍａｉｌ：ｃｈｘｙｗｘｌ＠１６３．ｃｏｒｎ