随机变量及其分布
1随机变量及其分布
例 掷币问题 一枚硬币掷一次，可能的结果有两个：“出正面”， “出反面”与数值无关。 但如果令A：出正面，对应数值1 Α ：出反面，对应数值0 就可引入变量 Χ ：一次试验中出现的次数。 于是， 0 Α 出现 Χ= Α 出现 1
这样，就有如下的等价关系：
“Α出现” （Χ＝0 ⇔ ） “Α出现” （Χ＝1 ⇔ ）
于是X的概率分布为
则有
P{X=1}=P{出现正面}= 1 , 2 P{X=0}=P{出现反面}= 1 . 2
两点分布：只有两个可能取值的随机变量所服从的分布， 称为两点分布 0—1分布：只取0和1两个值的随机变量所服从的分布，称 为0—1分布. 其概率分布函数为：
P(ξ = k ) = p k (1 − p)1− k , k = 0,1
随机变量常用 Χ ， Υ ， Ζ 或 ξηζ 来表示。
2 分类
P39
1) 仅可取有限个或可列个数值的随机变量，称为 离散型r.v. 2) 可取得某一区间内的任何数值（此时不可列） 的 称为连续型 的r.v.称为连续型r.v. 例如 降雨量 测量的误差 3) 既非离散型又非连续型的r.v. 有的书称为奇异型r.v.
定义2.5(密度函数) 一个随机变量X称为连续型随机变量, 如果存在一个非负 可积函数f(x), 使得
F ( x) = P{X ≤ x}= ∫ f11)
并称f(x)为X的概率密度函数, 简称为密度函数.
密度函数的性质 密度函数具有下列性质: (1)f(x)≥0, x∈(−∞, +∞);
i ) 存在对应关系，即对 ∃ 唯一的数值 ii ) Χ 定义在样本空间 Χ 的取值也有随机性 ∀w ∈ Ω, Χ （ w ）与之对应。 Ω 上。
iii )由实验结果的随机性知
随机变量及其分布
记
p(xi)P{Xxi}, i1, 2,
(21)
则称{p(xi) i1 2 }为X的概率分布 有时也将p(xi)记为pi 用
下列表格形式来表示 并称之为X 的概率分布表
4
概率分布的性质
任何一个离散型随机变量的概率分布{p(xi)}必然满足下 列性质
1 p(xi)0 i1 2
(22)
((22))ii pp((xxi)i)11
事件的概率与密度函数的关系
(1)连续型随机变量X落于区间(a b]上的概率为
b
P{a X b} F(b) F(a)a f (x)dx
(2)连续型随机变量X落于点x上的概率为
P{Xx}0
(212)
(213)
19
例28 设X是在[a b]上等可能投点的位置 其分布函数为
0, F (x) bx1,aa ,
x
x
F(x) 0 F() lim F(x)1
若函数Fx)满足上述三
x
条性质 则它一定是某个随
(3)右连续性 F(x0)F(x) 机变量X的分布函数
10
三、分布函数
定义24(分布函数) 设X是一随机变量 则称函数
F(x)P{Xx} x( )
(29)
为随机变量X的分布函数 记作X ~F(x)
分布函数的性质 随机变量的分布函数必然满足下列性质
0 x1, x1.
14
四、离散型随机变量的分布函数
离散型随机变量的分布函数F(x)的共同特征是 F(x)是一 个阶梯形的函数 它在X的可能取值点处发生跳跃跳跃高度 等于相应点处的概率 而在两个相邻跳跃点之间分布函数值 保持不变
反过来 如果一个随机变量X的分布函数F(x)是阶梯型函 数 则X一定是一个离散型随机变量 其概率分布可由分布函 数F(x)惟一确定 F(x)的跳跃点全体构成X的所有可能取值 每 一跳跃点处的跳跃高度则是X在相应点处的概率
概率论与数理统计课件：随机变量及其分布
随机变量及其分布
首页 返回 退出
§2.2 离散型随机变量及其分布律
定义 设离散型随机变量 X 所有可能取的值为xk , k = 1, 2,
X 取各个可能值的概率,即事件{ X xk } 的概率，为
P{ X xk } pk , k 1, 2, .
称此为离散型随机变量 X 的分布律.
随机变量及其分布
首页 返回 退出
定义2.1 设随机试验E, 其样本空间S, 若对样本
空间每一个样本点e, 都有唯一一个实数X(e)与之对
应，那么就把这个定义域为S的单值实值函数X=X(e),
称为随机变量。
随机变量通常用大写字母X,Y,Z 或希腊字母 ξ,η等表示.
而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.
量方面，如，投掷一枚均匀骰子，我们观察出现的点
数。
记X=“出现的点数”
则X的可能取1, 2, …, 6中任一个数，可见X是变量；
又X取那个值不能事先确定，故此X的取值又带有随机
性.
有了随机变量，有关事件的表示也方便了，如
{X=2}, {X≤2}, ……
随机变量及其分布
首页 返回 退出
这样的例子还有很多. 又如，研究手机的使用寿命
或写成
随机变量及其分布
5
P( X k )
6
k 1
1
, k 1, 2,
6
首页 返回 退出
常见离散型随机变量
（一）“0-1”分布
设随机变量 X 只可能取 0 和1 两个值，它的分布律
为
k
P X k p（
1 p)1k k 0,1
(0 p 1)
随机变量及其分布
• 则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数，简称 概率密度或者密度函数.
• 下面给出概率密度函数f(x)的性质: • (1)f(x)≥0 • (2)由分布函数的性质易得
下一页 返回
• 二、离散型随机变量的分布函数
• 设离散型随机变量X的分布律为:
上一页 下一页 返回
2. 3随机变量的分布函数
• 其中 • 则随机变量X的分布函数仿照例1可得
• 如图2一1所示，F(x)为阶梯函数，分段区间为半闭半开区间，并且右 连续
上一页 返回
2. 4连续型随机变量及其概率密度
• 一、连续型随机变量及其概率分布
上一页 返回
2. 2离散型随机变量及其分布律
• 一、离散型随机变量
• 在某些试验中(例如 2. 1中的例1，例2，例3)，随机变量的取值是有 • 限个或者无穷可列个.这一类随机变量通常称为离散型随机变量，下
面我们给出离散型随机变量的精确定义: • 定义1若随机变量X的所有可能取值为x1，x2，…，xn…，并且其 • 对应的概率分别为p1, p2,…，p n，…，即
• 注:实值单值函数指的是每一个。仅存在唯一一个实数X (ω)与之对应， 其中X (ω)是一个关干样本点的函数，值域为实数集.
• 随机变量可以根据它的取值分为离散型随机变量与非离散型随机变量， • 其中非离散型随机变量又可以进一步分为连续型随机变量与混合型随
机变量.在本书中我们主要学习的是离散型与连续型随机变量.
• 则称X为离散型随机变量，并且式(2.均称为随机变量X的概率分布， 又称分布律或分布列.
下一页 返回
随机变量及其分布
f ( x) lim
x 0
xLeabharlann x xlim P{x X x x} lim x
f (x)dx .
x 0
x
x 0
x
故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是 X落在区间 (x,x+△x] 上的概率与区间长度 △x之比的极限. 这里，如果把概率理解为质 量， f (x)相当于线密度.
f (x)
a
ba
当x b时，
x
a
b
x
F (x) f (t)dt f (t)dt f (t)dt f (t)dt 1.
a
b
因此X ～ U(a, b)的分布函数为：
0
F ( x)
P( X
x)
x b
a
a 1
xa a xb
xb
例1 长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发
车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随
解: 设X表示400次独立射击中命中的次数，则
X～B(400, 0.02)，故 P{X2}＝1－ P{X＝0}－P {X＝1} ＝1－0.98400－(400)(0.02)(0.98399) ＝0.9972
例5 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01, 且一台设备的故障只能 由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法,其一 是由4人维护,每人负责20台;其二是由3人共同维护 30台.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及 时维修的概率大小.
称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.
(4) 若x是f(x)的连续点，则 dF(x) F(x) f (x)
dx
设随机变量X的分布函数
F
随机变量及其分布
随机变量及其分布在我们的日常生活和科学研究中，常常会遇到各种各样的不确定现象。
比如，明天的天气是晴是雨，一场考试的成绩是高是低，或者在生产线上产品的质量是否合格等等。
为了更好地理解和描述这些不确定的情况，数学中引入了一个重要的概念——随机变量。
那么，什么是随机变量呢？简单来说，随机变量就是一个将随机试验的结果与实数对应起来的函数。
它的取值是由随机试验的结果决定的，并且具有不确定性。
举个例子，假设我们进行一次掷骰子的试验。
如果我们关心掷出的点数，那么可以定义一个随机变量 X ，它的值就是掷出的点数。
在这个例子中，随机变量 X 可能的取值就是 1、2、3、4、5、6 。
随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。
离散型随机变量的取值是可以一一列举出来的，就像上面掷骰子的例子。
而连续型随机变量的取值则是在某个区间内连续变化的，比如测量一个人的身高，身高可以在一定的范围内取任意实数值。
了解了随机变量的类型，接下来我们看看它们的分布。
分布描述了随机变量取不同值的概率情况。
对于离散型随机变量，我们通常用概率分布列来描述它的分布。
概率分布列就是列出随机变量的所有可能取值以及对应的概率。
比如，对于上面掷骰子的随机变量 X ，它的概率分布列为：X ： 1 2 3 4 5 6P ： 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6这个概率分布列清楚地告诉我们，掷出每个点数的概率都是 1/6 。
连续型随机变量的分布则通常用概率密度函数来描述。
概率密度函数并不是直接给出随机变量取某个值的概率，而是给出概率在某个区间内的分布情况。
比如说，正态分布就是一种常见的连续型分布，它的概率密度函数是一个钟形曲线。
在实际应用中，随机变量及其分布有着广泛的用途。
比如在保险行业，保险公司需要根据投保人的风险情况（可以用随机变量来表示）以及风险的分布来制定合理的保险费率；在质量控制中，通过对产品质量指标（随机变量）的分布进行分析，可以判断生产过程是否稳定，是否需要进行调整；在金融领域，股票价格的波动可以看作是一个随机变量，对其分布的研究有助于投资者做出合理的决策。
随机变量及其分布例题和知识点总结
随机变量及其分布例题和知识点总结在概率论与数理统计中，随机变量及其分布是非常重要的概念。
理解和掌握这部分知识对于解决各种概率问题至关重要。
接下来，我们将通过一些具体的例题来深入探讨随机变量及其分布的相关知识点。
一、随机变量的概念随机变量是指定义在样本空间上的实值函数。
简单来说，就是对于随机试验的每一个可能结果，都对应着一个实数。
例如，抛一枚硬币，正面朝上记为 1，反面朝上记为 0，这里定义的 0 和 1 就是随机变量。
二、常见的随机变量分布1、离散型随机变量分布（1）0 1 分布也称为伯努利分布，随机变量只有两个可能的取值 0 和 1，概率分别为 p 和 1 p 。
（2）二项分布在 n 重伯努利试验中，成功的次数 X 服从二项分布 B(n, p) 。
例题：进行 10 次独立的投篮，每次投篮命中的概率为 07，求命中次数的分布。
解：设命中次数为 X ，则 X 服从二项分布 B(10, 07) 。
P(X ＝ k) ＝ C(10, k) 07^k （1 07)＾（10 k) ，k ＝ 0, 1, 2,， 10 。
（3）泊松分布用于描述在一定时间或空间内稀有事件发生的次数。
2、连续型随机变量分布（1）均匀分布在区间 a, b 上，概率密度函数为常数 1 ／（b a) 。
（2）正态分布是最常见的分布之一，其概率密度函数呈现出钟形曲线的形状。
三、随机变量的数字特征1、期望离散型随机变量的期望为 E(X) ＝Σx P(X ＝ x) ，连续型随机变量的期望为 E(X) ＝∫x f(x) dx 。
例题：已知随机变量 X 的分布列为：｜ X ｜ 1 ｜ 2 ｜ 3 ｜｜｜｜｜｜｜ P ｜ 03 ｜ 05 ｜ 02 ｜求 E(X) 。
解：E(X) ＝ 1 03 ＋ 2 05 ＋ 3 02 ＝ 19 。
2、方差离散型随机变量的方差为 Var(X) ＝Σ(x E(X)）＾2 P(X ＝ x) ，连续型随机变量的方差为 Var(X) ＝∫（x E(X)）＾2 f(x) dx 。
第二章 随机变量及其分布
2. 二项分布的推导过程与说明
3. 举例（ 例2，例3，例4 ）
C. 泊松分布
1. 定义：如果随机变量X的概率密度如下：
P(X k)
λ k k!
e
λ
,
k =0,1,2,… ( >0) ,
(2.4)
则称X服从参数为 的泊松分布，记作：
X ~ ()
2. 说明
3. 举例
返回目录
§3 随机变量的分布函数
P{X=4}=0.218 P{X=5}=0.175 P{X=6}=0.109 P{X=7}=0.055
P{X=k} < 0.001 , 当 k ≥ 11时
P{ X=8 }=0.022 P{ X=9 }=0.007 P{X=10}=0.02
例3：
某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射 击400次，试求至少击中两次的概率。
解：以p表示每组信号灯禁止汽车通过的概率，
X所有可能取值为0，1，2，3，4。得X的分布律 为：P{X= k}= (1-p)k p , k=0,1,2,3, P{X= 4}= (1-p)4。用表格表示如下：
X
01
2
34
pk
p (1-p) p (1-p)2 p (1-p)3 p (1-p)4
代入p=1/2可得结果，可验证此结果满足分布 律两性质。
• 而有的实验结果与数值无直接关系，我们可 以把它映射为数值来表示，如：硬币抛掷中出 现正面用“0”来表示，出现反面用“1”来表示。
例1：在一袋中装有编号分别为1，2，3的3只球，
在袋中任取一只球，放回，再取一只球，记录它 们的编号。考察两只球的编号之和。则实验的样 本空间S={e}={(i,j)} i,j=1,2,3。 i,j分别为第一，第 二次取到球的号码。 以X表示两球号码之 和，得到样本空间 的每一个样本点e， X都有一值与之对 应，如图2-1。
随机变量及其分布
随机变量及其分布
定义2.1
设随机试验的样本空间为 e，X X e 是定义在样本
空间 Ω 上的实值单值函数，称之为随机变量(Random variable)。
定义2.2
设 X 是随机变量，x 为任意实数，函数
F x PX x
称为 X 的分布函数(Distribution function)。
3.
F lim F x 0，F lim F x 1 。
x
x
4. F x为右连续，即
F
x0
Hale Waihona Puke 0limx x0
F
x0
F
x0
，x0
R
概率论主要是利用随机变量来描述和研究随机现象，而利用 分布函数就能很好地表示各事件的概率。例如，
PX a 1 PX a 1 Fa PX a Fa 0 PX a Fa Fa 0
对于任意实数 x1，x2 x1 x2 ，有
Px1 X x2 PX x2 PX x1 F x2 F x1 (2.1)
因此，若已知 X 的分布函数，我们就能知道 X 落在任一区
间 x1，x2 上的概率。从这个意义上说，分布函数完整地描述
了随机变量的统计规律性。
如果将 X 看成是数轴上的随机点的坐标，那么，分布函数F x
概率学与数理统计
Pa X b PX b PX a Fb 0 Fa
Pa X b PX a Pa<X b
Fa Fa 0 Fb Fa
Fb Fa 0
随机变量的分类:
1. 离散型随机变量：随机变量只取数轴上的有限个或可列个点。 2. 连续型随机变量：随机变量的可能取值充满数轴上的一个或 若干区间。 3. 奇异型随机变量：既不是离散型随机变量，也不是连续型随 机变量。在理论上很有价值，而实际问题中很少有应用。
随机变量及其分布
也可以是等式或是不等式。 X ∈ L 也可以是等式或是不等式。
如在掷骰子试验中，用X表示出现的点数,则 如在掷骰子试验中， 表示出现的点数, A=“出现偶数点”可表示为： X=2} X=4} X=6} A=“出现偶数点”可表示为：{X=2}∪ {X=4} ∪{X=6} 出现偶数点 B=“出现的点数小于４ 可表示为： 4} {X≤ B=“出现的点数小于４”可表示为：{X< 4}或{X≤3} 出现的点数小于
F(x) = P( X ≤ x)
为随机变量X的分布函数 随机变量X
F(x)是一个 F(x)是一个 普通的函数！ 值域为 值域为 ［０，１］。
定义域为 定义域为
（－∞，＋ ）； （－ ，＋∞）； ，＋
分布函数的性质
单调不减性 右连续性 非负有界性 规范性
若x1 < x2 , 则F ( x1 ) ≤ F ( x2 )
2)
∑p
k =1
∞
k = 1, 2,
k
=1
设离散型随机变量X的分布律为 例3 设离散型随机变量 的分布律为 P（X= xi） = pi i = 1、2、… （ 、 、 其中 0 ＜ p ＜1 ，求 p 值。
解：
1= ∵ ∑ P ( X = xi )
i =1
+∞
p =∑p = 1 p i =1
i
一般地， 一般地，对离散型随机变量 X～P（X= xk）＝ k, k＝1, 2, … ～ （ ）＝p ＝ 其分布函数为
F ( x) = P ( X ≤ x ) =
k : xk ≤ x
∑
pk
分布律确定事件的概率 例2中，得到 的分布律为 中 得到X的分布律为
随机变量及其分布
随机变量及其分布一、随机变量用来表示随机现象结果的变量称为随机变量。
常用大写字母X，Y，Z等表示随机变量，而它们的取值用相应的小写字母x，y，z等表示。
假如一个随机变量仅取数轴上有限个点或可列个点(见图1.3-1)，则称此随机变量为离散随机变量，或离散型随机变量。
假如一个随机变量的所有可能取值充满数轴上一个区间(a，b)(见图1.3-2)，则称此随机变量为连续随机变量，或连续型随机变量，其中a可以是-∞，b可以是+∞。
[例1.3-11产品的质量特性是表征产品性能的指标，产品的性能一般都具有随机性，所以每个质量特性就是一个随机变量。
例如:(1)设X是一只铸件上的瑕疵数，则X是一个离散随机变量，它可以取0，1，2，…等值。
可用随机变量X的取值来表示事件:“X=0”表示事件“铸件上无瑕疵”，“X=2”表示事件“铸件上有两个瑕疵”，“X>2”表示事件“铸件上的瑕疵超过两个”等等。
这些事件有可能发生，也可能不发生。
因为X取0，1，2，…等值是随机的。
类似地，一平方米玻璃上的气泡数、一匹布上的疵点数、一台车床在一天内发生的故障数都是取非负整数{0，1，2，3，…}的离散随机变量。
(2)一台电视机的寿命X(单位:小时)是在[0，∞)上取值的连续随机变量:“X=0”表示事件“一台电视机在开箱时就发生故障”，“X ≤10000”表示事件“电视机寿命不超过10000小时”，“X>40000”表示事件“电视机寿命超过40000小时”。
(3)检验一个产品，结果可能是合格品，也可能是不合格品。
设X表示检验一个产品的不合格品数，则X是只能取0或1两个值的随机变量。
“X=0”表示合格品，“X= 1”表示不合格品。
类似地，检验10个产品，其中不合格品数X是仅可能取0，1，…，10等11个值的离散随机变量。
更一般的，在n个产品中的不合格品数X是可能取0，1，2，…，n等n+1个值的离散随机变量。
二、随机变量的分布随机变量的取值是随机的，但内在还是有规律性的，这个规律性可以用分布来描述。
第二章随机变量及其分布
若随机变量X的概率分布为
Pn (k ) P( X k)C p (1 p)
k n k
nk
, k 0,1,, n
其中0<p<1,称X服从参数为n和p的二项分布， 记作 X~B(n,p)
例5：一随机数字序列要有多长才能使0至少出 现一次的概率不小于0.9?
泊松分布
若随机变量X的概率分布为
和 2 都是常数， 任意， >0， 其中 2 则称X服从参数为 和 的正态分布. 2 记作 X ~ N ( , )
正态分布 N ( , )的图形特点
2
正态分布的密度曲线是一条关于 对 称的钟形曲线. 特点是“两头小，中间大，左右对称”.
设X~ N ( , ) ,
, x
t2 2
( x )
1 ( x) 2
x
e dt
正态分布与标准正态分布的关系 标准正态分布的重要性在于，任何一个 一般的正态分布都可以通过线性变换转化为 标准正态分布.
F ( x) (
x
)
正态分布的概率计算
( x ) 1 ( x )
5.P( X x) 0
P ( a X b) P ( a X b) P ( a X b) P ( a X b)
例1 :已知连续型随机变量X有概率密度
k x 1 0 x 2 f ( x) 其它 0 求系数k及分布函数F(x)，并计算P(0.5<X<3).
2
2
( x)dx
的 2 值，并称之为 关于的双侧分位点。 X
2.3
离散型随机变量函数的分布
例1 已知X的分布列为 X Pk -2 -1 0 1 2 3
概率论与数理统计：随机变量及其分布
以X记 A在 n 次试验中发生 的次数,X为一个随机变量 其分布律为
n k P( X = k ) = p (1 p) n k 记 q = 1 p k
n k nk P( X = k ) = p q k
n k n k L p q L k 称这样的分布为二项分布 二项分布.记为 称这样的分布为二项分布 记为 X ~ b(n, p).
X
0
1
1
2
2
3
5 3 2 0.6 0.4 3
4
5
pk (0.4)6 0.4 0.65 4
二项分布随机数演示 二项分布随机数演示
例3 某人进行射击 , 设每次射击的命中率为 0.02, 独立射击 400 次 , 试求至少击中两次的概 率 . 解 设击中的次数为 X ,
X
pk
1 1 6
2 1 6
3 1 6
4 1 6
5 1 6
6 1 6
均匀分布随机数演示 均匀分布随机数演示
3.二项分布 二项分布
n 重伯努利试验
伯努利资料
设试验 E 只有两个可能结果 : A 及 A, 设 P ( A) = p (0 < p < 1), 此时P( A) = 1 p.
将 将 E 独立地重复地进行 n 次 , 则称这一串重 复的独立试验为 n 重伯努利试验 .
(3)随机变量与随机事件的关系 随机变量与随机事件的关系 随机事件包容在随机变量这个范围更广的概 念之内.或者说 : 随机事件是从静态的观点来研究 念之内 或者说 随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随 随机现象 而随机变量则是从动态的观点来研究随 机现象. 机现象 (4) 随机事件可以用随机变量表示
4. 泊松分布
随机变量及其分布总结
随机变量及其分布总结一、随机变量随机变量（Random Variable）是概率论中的重要概念，它是表示一个随机实验的可能结果及这些结果发生的概率的指标，是随机现象中的重要解释指标。
随机变量由它的取值所确定，特点是：（1）它是一类不能确定的数，因此不能被直接测量，但是可以用概率来描述它；（2）它表示了实验结果的取值；（3）它可以表示有一定规律的实验结果，也可以表示没有规律的实验结果；（4）它用其取值及概率分布表示一个随机实验的结果，即实验结果的不确定性；（5）它可以用来描述随机实验中各可能结果对概率的影响，从而探究随机现象的规律性。
二、随机变量的分类根据随机变量的取值类型，随机变量可分为定型随机变量和随机变量。
（1）定型随机变量定型随机变量也称为离散型随机变量，它会取值完全可以确定的一组可数的取值。
其具体分类包括：（a）伽玛分布（Gamma Distribution）：它是一种对数正态分布，可用来模拟某些自然现象，如系统失效时间的分布。
（b）指数分布（Exponential Distribution）：这是一种特殊的定型随机变量，它可以用来模拟服从指数分布的概率分布函数或者指数函数，常用来描述生存分析中系统的衰减过程。
（c）伯努利分布（Bernoulli Distribution）：这是一种概率分布，它是一种若干独立实验中，某个事件出现的概率。
（d）泊松分布（Poisson Distribution）：它是描述某一时间段内发生的事件的概率分布，可用来模拟客流量等自然现象中的随机变量。
（2）随机变量随机变量又称为连续型随机变量，它的取值范围是无限的，其取值受随机实验影响，其取值不能确定，但可以描述它的概率分布。
具体分类包括：（a）正态分布（Normal Distribution）：正态分布具有非常广泛的应用，它可用来描述许多现实世界中的现象，如智力、体重等。
（b）卡方分布（Chi-square Distribution）：卡方分布是在实验设计中非常常见的概率分布，它包含了有关实验结果的统计量，如样本均值、样本方差等。
随机变量及其分布列
随机变量及其分布列.几类典型的随机分布一、离散型随机变量及其分布列随机变量是指在试验中可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的。
离散型随机变量是指所有可能的取值都能一一列举出来的随机变量。
离散型随机变量常用大写字母X,Y表示。
离散型随机变量的分布列是将所有可能的取值与对应的概率列出的表格。
二、几类典型的随机分布1.两点分布二点分布是指随机变量X的分布列为X:1，P:pq，其中p 为0~1之间的参数，q为1-p。
伯努利试验只有两种可能结果的随机试验，因此又称为伯努利分布。
2.超几何分布超几何分布是指有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件，这n件中含有这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为C(n,m)C(M,m)/C(N,n)。
超几何分布只要知道N，M和n，就可以根据公式求出X取不同值时的概率P(X=m)，从而列出X的分布列。
3.二项分布二项分布是指在n次独立重复试验中，事件A发生的次数X服从二项分布，事件A不发生的概率为q=1-p，事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=C(n,k)p^kq^(n-k)。
其中p为事件A发生的概率，k为事件A发生的次数，n为试验的总次数。
首先，将文章中的格式错误和明显有问题的段落删除。
然后对每段话进行小幅度改写。
对于二项分布，当一个试验重复进行n次，每次成功的概率为p，失败的概率为q=1-p时，事件发生k次的概率可以用公式P(n,k) = n。
/ (k!(n-k)!) * p^k * q^(n-k)来计算。
这个公式可以展开成X的分布列，其中X表示事件发生的次数。
因为每个值都可以对应到表中的某个项，所以我们称这样的散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X~B(n,p)。
二项分布的均值和方差可以用公式E(X) = np和D(X) = npq(q=1-p)来计算。
正态分布是一种连续型随机变量的概率分布。
随机变量及其分布函数
3）引进分布函数 F ( x ) 后，事件的概率 可以用 F ( x ) 的函数值来表示。
(1) P{ X b} F (b)
( 2) P{a X b} P{ X b} P{ X a } F (b) F (a )
(3) P{ X b} 1 P{ X b} 1 F (b)
随机变量
离散型
可能值为离散可列个点， 如，次品数
连续型 可能值为某个区间， 如，年降水量
练习1：设随机变量X的分布律为:
X pk -1 0.3 0 0.2 2 0.5
求X的分布函数 F ( x ),并作图 . 练习2：设有函数
sinx, 0 x F ( x) 0, 其他
（2）随机变量取任意一个数值或取任何数值范围内 的概率是多少？ 问：怎样可以描述随机变量的取值规律呢？
二. 分布函数 不妨将r.v.X 看成数轴上一个随机点的坐标 1， P{ X 1}与 1 对应 2， P{ X 2}与 2 对应
x,
x
P{ X x}与 x 对应
x
从而， P ( X x )为 x 的函数 1. 定义 分布函数
0 （ a ] b
性质 （1）有界
0 F ( x) 1
（2）单调增加 x1 x2 , 则 F ( x1 ) F ( x2 )
F ( ) lim F ( x ) 1
x
F ( ) lim F ( x ) 0
x
（3）右连续
F ( a 0) lim F ( x ) F ( a )
第二章 随 机 变 量
在上一章中，我们把随机事件看作样本空
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
所以这是一个概率分布，称 X 服从两点分布.
结论：概率1，以不同的方式分布到各可能取值，就确 定不同的随机变量.
例：
e2
e1
e0
游戏规则： 落在e0区域得0分； 落在e1区域得1分； 落在e2区域得2分．
对技术熟练的射手甲 X0 1 2 pk 0 0.2 0.8
对新手乙
Y012 pk 0.6 0.3 0.1 X和Y 是不同的随机变量.
e1 (男,男), e2 (男, 女), e3 (女,男), e4 (女, 女).
若用X表示该家庭女孩的人数时，则有 X (e1 ) 0, X (e2 ) 1, X (e3 ) 1, X (e4 ) 2,
可得随机变量
0, X (e) 1,
2,
e e1 , e e2, e e3, e e4 .
在有两个孩子的家庭中,考虑孩子的性别，其基本事件 为“男男”、“男女”、 “女男”、 “女女”.
如果我们将随机试验的结果数量化，使之与实数对应起来， 我们就有可能利用数学分析的方法对随机试验的结果进行深 入广泛的研究.
随机变量的概念(2)
定义：随机变量是定义在样本空间 S 上的实值函数.
S B
A
0
若假设男孩和女孩的出生率相等，则
{ X 1} {e2 , e3 } 1
P{ X 1} P{e2 , e3 } 2
§2 离散型随机变量及其分布律
离散型随机变量
定义：若随机变量只能取有限个或可列个数值，则称为 离散型随机变量.
随机变量
离散型随机变量
非离散型随机变量
附注：随机变量与普通函数有着本质的区别. 随机变量是一种因变量（而非自变量），它的取值依赖于 样本点，所以其定义域是抽象的样本空间. 随机变量的取值随试验的结果而定，而试验各个结果的出 现有一定的概率，因而随机变量的取值也有一定的概率. 随机变量常用大写字母X, Y, Z, …表示，而以小写字母x, y, z, …表示实数. 若 L 是一个实数集合，则集合{e | X(e) ∈L}表示样本空间 S 中满足X(e) ∈L的所有样本点组成的子集（随机事件）.
两点分布
在成功概率 P(A) = p 的伯努利试验中，事件 A 出现 的次数 X 只能等于0 或 1，且它的分布律是
P{ X k} pkq1k , k 0,1
即 X 0 1 其中 p q 1 pk q p
不难验证： P{X k} 0, k 0,1
1
P{X k} p q 1
附注：所谓独立重复进行一个伯努利试验，是指
每一次试验都是伯努利实验，只能发生 A或 .A “重复”是指在每次试验中成功概率 P(A) = p 保持不变.
“独立”是指每一次试验的结果互不影响，即若以 Ci 表示 第 i 次试验的结果，则 P(C1C2 … Cn) = P(C1) P(C2) … P(Cn) .
随机变量的概念(1)
随机试验的可能结果不止一个. 例如：考察投掷两颗骰子的随机试验，假设这两颗骰子是 可以分辨的，其样本空间为： S = {(1,1), (1,2), …, (1,6), (2,1), (2,2), …, (6,6)}
在某些情况下，人们主要感兴趣的不是试验结果本身，而 是与试验结果有关的某个数. 例如：如果人们关心两颗骰子掷出的点数之和是否等于7, 实际上就不会在乎其结果是(1,6)还是(2,5).
P(B)
0.5
P(A)
1
S
e1
e2
X (e1 )
0
X (e2 )
X () 是定义在样本空间 S 上的函数
附注：随机变量与普通函数有着本质的区别. 随机变量是一种因变量（而非自变量），它的取值依赖于 样本点，所以其定义域是抽象的样本空间. 随机变量的取值随试验的结果而定，而试验各个结果的出 现有一定的概率，因而随机变量的取值也有一定的概率. 随机变量常用大写字母X, Y, Z, …表示，而以小写字母x, y, z, …表示实数. 若 L 是一个实数集合，则集合{e | X(e) ∈L}表示样本空间 S 中满足X(e) ∈L的所有样本点组成的子集（随机事件）.
0.3
试求出 X 的分布.
独立验序列
定义：若一个随机试验只有两种可能结果： A（A称为“成功”）与A（称为“失败”）,
两者发生的概率分别为： P( A) （ p成功概率）, P( A) 1 （p 失 q败概率）， 则此类试验称为成功概率为 p 的伯努利试验.
定义：将一个伯努利试验独立重复进行 n 次，得到的试验 序列称为 n 重伯努利试验.
• 有些随机试验的结果本身是一个数，例如：
某出租车公司的电话订车中心，一天之内接到订车电 话的次数；
某射手对一活动靶进行射击，到击中目标为止，所进 行的射击次数；
从一批灯泡中，任取一只，测定这只灯泡的寿命.
• 有些随机试验的结果看起来与数量无关，例如：
投掷一枚硬币，其基本事件为“正面向上”、“反面 向上”；
例：若随机变量X 只取常数值a ，即 P{X a} 1， 则称X 服从退化分布或单点分布. 附注：其实X 并不随机，但有时将它看作是随机变量更 为方便，这是概率集中在一点a 处的退化情形.
例：已知随机变量 X 的概率分布描述如下：
X 1 0 1 2 3
pk
0.16 a 10
a2
2a 10
实例1 掷一个硬币,观察出现的结果,共有两种情况:
e1 (反面朝上), e2 (正面朝上),
若用X 表示掷一个硬币出现正面的次数,则有
e1 (反面朝上) e2 (正面朝上)
X (e)
0 X(e1) 0
1 X(e2 ) 1
即X(e)是一个随机变量.
实例2 在有两个孩子的家庭中,考虑其性别,共有4个样 本点:
离散型随机变量的分布
设离散型随机变量 X 的所有可能取值为 xk (k 1, 2, )，
且 P{ X xk } pk , k 1, 2,
分布律
也可以用表格的形式来表示
X x1 x2
xn
pk p1 p2
pn
显然，下列两个条件必定成立： (1) pk 0, k 1, 2,
(2) pk p1 p2 1 k 1