高考数学 常见题型 导数的综合运用课件

• 点评：给定解析式求函数的图象是近几年高考重点，并且 难度在增大，多数需要利用导数研究单调性知其变化趋势， 利用导数求极值(最值)研究零点．
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对点训练 (2015·杭州质检)设函数f(x)＝x2sinx，则
函数f(x)的图象可能为( )
• 【解析】 因为f(－x)＝(－x)2sin(－x)＝－x2sinx＝－f(x)， 所以f(x)是奇函数．又因为f′(x)＝2xsinx＋x2cosx，所以f′(0) ＝0，排除A；且当x∈[0，π]时，函数值为正实数，排除B； 当x∈(π，2π)时，函数值为负实数，排除D，故选C.
(1)求 a，b； (2)证明：f(x)>1. 【解析】 (1)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝aexlnx＋axex－xb2ex－1＋bxex－1. 由题意可得 f(1)＝2，f′(1)＝e.故 a＝1，b＝2.
(2)证明：由(1)知，f(x)＝exlnx＋2xex－1＝exx(xlnx＋2e)， 从而 f(x)>1 等价于 xlnx>xe－x－2e. 设函数 g(x)＝xlnx，则 g′(x)＝1＋lnx. 所以当 x∈0，1e时，g′(x)<0； 当 x∈1e，＋∞时，g′(x)>0.
(2)由题设 g(x)＝f′(x)－3x＝1x－xm2－3x(x>0)， 令 g(x)＝0，得 m＝－13x3＋x(x>0)． 设 φ(x)＝－13x3＋x(x≥0)， 则 φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)． 当 x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0,1)上单调递增； 当 x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递 减．
• 故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)．
• f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2 ＋a)．
• (2)设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R.于是g′(x)＝ex－2x＋ 2a，x∈R.
• 由(1)知当a>ln2－1时，g′(x)最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋ a)>0.于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，
g(x)在(0，＋∞)上是增函数，可利用2x＋2a，x∈R，得f′(x)＝ex－2，x∈R.令 f′(x)＝0，得x＝ln2.
• 于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，ln2)
ln2
(ln2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
2(1－ln2＋a)
题型二 导数与不等式
• 例2 (2015·沧州七校联考)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. • (1)求f(x)的单调区间与极值； • (2)求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1. • 【思路】 (1)令f′(x)＝0，求极值点，然后讨论在各个区间上的单调
性． • (2)构造函数g(x)＝ex－x2＋2ax－1(x∈R)，注意到g(0)＝0，只需证明
【解析】 (1)由题设，当 m＝e 时，f(x)＝lnx＋ex， 则 f′(x)＝x－x2 e. ∴当 x∈(0，e)时，f′(x)<0，f(x)在(0，e)上单调递减； 当 x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(e，＋∞)上单调递 增． ∴当 x＝e 时，f(x)取得极小值 f(e)＝lne＋ee＝2. ∴f(x)的极小值为 2.
• 所以g(x)在R内单调递增． • 于是当a>ln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有
g(x)>g(0)． • 又g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0. • 即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.
• 点评：利用导数工具，证明不等式的关键在于要构造好函 数的形式，转化为研究函数的最值或值域问题，有时需用 到放缩技巧．
题型三 导数与方程
例 3 (2014·陕西文)设函数 f(x)＝lnx＋mx ，m∈R. (1)当 m＝e(e 为自然对数的底数)时，求 f(x)的极小值； (2)讨论函数 g(x)＝f′(x)－3x零点的个数； (3)若对任意 b>a>0，fbb－－faa<1 恒成立，求实数 m 的取 值范围．
• 求证不等式f(x)≥g(x)，一种常见思路是用图像法来说明函 数f(x)的图像在函数g(x)图像的上方，但通常不易说明．于 是通常构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过导数研究函数F(x) 的性质，进而证明欲证不等式．
对点训练 (2014·新 课 标 全 国 Ⅰ 理 ) 设 函 数 f(x) ＝ aexlnx＋be··exx，曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 y＝e(x －1)＋2.
导数的综合运用
题型一 导数与函数图象
例 1 (2015·潍坊模拟)已知 f(x)＝14x2＋sin(π2＋x)，f′(x) 为 f(x)的导函数，则 y＝f′(x)的图象大致是( )
【解析】 因为 f(x)＝14x2＋cosx，所以 f′(x)＝12x－sinx， f′(x)为奇函数，排除 B，D，令 g(x)＝12x－sinx，则 g′(x) ＝12－cosx，当 0<x<π3时，g′(x)<0，f′(x)单调递减，当π3<x<53π 时，g′(x)>0，f′(x)单调递增，当53π<x<2π 时，g′(x)<0，f′(x) 单调递减，故选 A.
故 g(x)在0，1e上单调递减，在1e，＋∞上单调递增， 从而 g(x)在(0，＋∞)上的最小值为 g1e＝－1e.
设函数 h(x)＝xe－x－2e＝exx－2e，则 h′(x)＝e－x(1－x)． 所以当 x∈(0,1)时，h′(x)>0；当 x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0. 故 h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．从而 h(x) 在(0，＋∞)上的最大值为 h(1)＝－1e. 综上，当 x>0 时，g(x)>h(x)，即 f(x)>1.