第8章_相量法
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第8章 相量法_电气09级
*注意区分电压、电流的瞬时值、 注意区分电压、电流的瞬时值、 注意区分电压 最大值、有效值的符号。 最大值、有效值的符号。 宁波工程学院
i , Im , I
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第8章 相量法 章
正弦电流、 正弦电流、电压的有效值 ———— 同理，正弦电压有效值： 同理，正弦电压有效值： 1 T 2 I = √ —∫ 0 i dt 1 T U= Um 2 i = Imcos( ωt + ϕ ) 或 Um = 2U —————————— Im
+j b
F
F=a+jb
F
θ
称为复数 的模 +1
0
a
——— F = √ a2 + b2
a = Fcos θ b = Fsin θ
宁波工程学院
θ = arg F = arctan ( b/a )
称为复数 的辐角
8-5
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第8章 相量法 章
3 指数形式和极坐标形式
指数形式 欧拉公式
F = F(cosθ + jsinθ ) = Fe jθ e jθ = cosθ + jsinθ F = F/θ
正弦交流电变化的快慢； 正弦交流电变化的快慢； ϕu、ϕi 为正弦交流电的初相位。 为正弦交流电的初相位。
相位角
u = Umcos ( ωt + ϕu ) or u = Umsin( ωt + ϕu ) 瞬时值： 瞬时值：
宁波工程学院 简称相角或相（ u = U m cos(ω t + ϕ u ) 简称相角或相 phase） 单位：弧度或度 单位： i = I m cos(ω t + ϕ i )
i , Im , I
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第8章 相量法 章
正弦电流、 正弦电流、电压的有效值 ———— 同理，正弦电压有效值： 同理，正弦电压有效值： 1 T 2 I = √ —∫ 0 i dt 1 T U= Um 2 i = Imcos( ωt + ϕ ) 或 Um = 2U —————————— Im
+j b
F
F=a+jb
F
θ
称为复数 的模 +1
0
a
——— F = √ a2 + b2
a = Fcos θ b = Fsin θ
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θ = arg F = arctan ( b/a )
称为复数 的辐角
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第8章 相量法 章
3 指数形式和极坐标形式
指数形式 欧拉公式
F = F(cosθ + jsinθ ) = Fe jθ e jθ = cosθ + jsinθ F = F/θ
正弦交流电变化的快慢； 正弦交流电变化的快慢； ϕu、ϕi 为正弦交流电的初相位。 为正弦交流电的初相位。
相位角
u = Umcos ( ωt + ϕu ) or u = Umsin( ωt + ϕu ) 瞬时值： 瞬时值：
宁波工程学院 简称相角或相（ u = U m cos(ω t + ϕ u ) 简称相角或相 phase） 单位：弧度或度 单位： i = I m cos(ω t + ϕ i )
第8章相量法
o o
式 原 = (3.41+ j3.657) + (9.063 − j4.226) o =12.47 − j0.569 =12.48∠− 2.61
o
(17 + j9) (4 + j6) 220 ∠ + 35 =? 例2 20+ 20 + j5 19.24∠27.9o ×7.211∠ .3o 56 解 原 =180.2 + j .2 + 126 式 20.62∠ .04o 14 =180.2 + j .2 + 6.728∠ .16o 126 70
ωt
ϕ1
i2 = I m2 cos(ω t + ϕ
i1 = I m1 cos(ω t − ϕ 1 )
2
)
称
i2
超前
ϕ = (ω t +ϕ 2 ) − (ω t −ϕ 1 ) = ϕ 2+ϕ1
i1
第8章相量法 特殊相位关系： 特殊相位关系：
ϕ =±π (±180o ) ，反相： 反相： ±π ±
u, i u iω t
正弦波 特征量之二 -- 幅度
第8章相量法
最大值
电量名称必须大 写,下标加 m。
i = I m cos (ω t + ϕ )
I m 为正弦电流的最大值
如：Um、Im
在工程应用中常用有效值表示幅度。 在工程应用中常用有效值表示幅度。常用交流电 有效值表示幅度 表指示的电压、电流读数， 表指示的电压、电流读数，就是被测物理量的有效 也是指供电电压的有效值。 值。标准电压220V，也是指供电电压的有效值。 标准电压
第8章相量法
第8章 相量法
§8.1 复数 §8.2 正弦量的基本概念 §8.3 正弦量的相量表示 §8.4 电路定理的相量形式
式 原 = (3.41+ j3.657) + (9.063 − j4.226) o =12.47 − j0.569 =12.48∠− 2.61
o
(17 + j9) (4 + j6) 220 ∠ + 35 =? 例2 20+ 20 + j5 19.24∠27.9o ×7.211∠ .3o 56 解 原 =180.2 + j .2 + 126 式 20.62∠ .04o 14 =180.2 + j .2 + 6.728∠ .16o 126 70
ωt
ϕ1
i2 = I m2 cos(ω t + ϕ
i1 = I m1 cos(ω t − ϕ 1 )
2
)
称
i2
超前
ϕ = (ω t +ϕ 2 ) − (ω t −ϕ 1 ) = ϕ 2+ϕ1
i1
第8章相量法 特殊相位关系： 特殊相位关系：
ϕ =±π (±180o ) ，反相： 反相： ±π ±
u, i u iω t
正弦波 特征量之二 -- 幅度
第8章相量法
最大值
电量名称必须大 写,下标加 m。
i = I m cos (ω t + ϕ )
I m 为正弦电流的最大值
如：Um、Im
在工程应用中常用有效值表示幅度。 在工程应用中常用有效值表示幅度。常用交流电 有效值表示幅度 表指示的电压、电流读数， 表指示的电压、电流读数，就是被测物理量的有效 也是指供电电压的有效值。 值。标准电压220V，也是指供电电压的有效值。 标准电压
第8章相量法
第8章 相量法
§8.1 复数 §8.2 正弦量的基本概念 §8.3 正弦量的相量表示 §8.4 电路定理的相量形式
第八章相量法.ppt
第八章
正弦i、u 本章内容
相量法
正弦i、u的相量表示法、相量法 KCL、KVL的相量形式
§8-1 §8-2 §8-3 §8-4
复数 正弦量 相量法的基础 电路定律的相量形式
§8-1
复数
一、复数表示方法：
（1）直角坐标形式：
A = a + jb
说明：
a = Re A ...... 实部
b = Im A
§8-3
相量法的基础
２、相量法分析思路
时域模型——相量模型——时域模型
举例说明相量法分析思路
§8-4
电路定律的相量形式
一、KCL、KVL相量形式 二、R、L、C元件VAR的相量形式
三、相量法分析思路
四、举例说明相量法的简单应用
§8-4
电路定律的相量形式
一、KCL、KVL相量形式
1、KCL：
（1）时域形式
i(t) 为 2 I e jωt + φ 在实轴上的波形
+1
i
i = 2 Icos(ωt + )
+j
2I
φ
O
O
t
§8-3
相量法的基础
二、相量法 1、引入相量法优点 （1）正弦量加减运算 * 时域运算 i = i1 t + i2 t + i3 t （必须利用三角函 数变换公式） * 相量运算： I = I1 + I2 + I3 * 推广： i = i1 - i2 I = I1 - I 2
i t
= 0
i1 ( t )
i2 ( t )
i1 ( t ) 2 3cos(314t 30) i2 ( t ) 2 4cos(314t 60) 求i3 ( t ) ?
正弦i、u 本章内容
相量法
正弦i、u的相量表示法、相量法 KCL、KVL的相量形式
§8-1 §8-2 §8-3 §8-4
复数 正弦量 相量法的基础 电路定律的相量形式
§8-1
复数
一、复数表示方法：
（1）直角坐标形式：
A = a + jb
说明：
a = Re A ...... 实部
b = Im A
§8-3
相量法的基础
２、相量法分析思路
时域模型——相量模型——时域模型
举例说明相量法分析思路
§8-4
电路定律的相量形式
一、KCL、KVL相量形式 二、R、L、C元件VAR的相量形式
三、相量法分析思路
四、举例说明相量法的简单应用
§8-4
电路定律的相量形式
一、KCL、KVL相量形式
1、KCL：
（1）时域形式
i(t) 为 2 I e jωt + φ 在实轴上的波形
+1
i
i = 2 Icos(ωt + )
+j
2I
φ
O
O
t
§8-3
相量法的基础
二、相量法 1、引入相量法优点 （1）正弦量加减运算 * 时域运算 i = i1 t + i2 t + i3 t （必须利用三角函 数变换公式） * 相量运算： I = I1 + I2 + I3 * 推广： i = i1 - i2 I = I1 - I 2
i t
= 0
i1 ( t )
i2 ( t )
i1 ( t ) 2 3cos(314t 30) i2 ( t ) 2 4cos(314t 60) 求i3 ( t ) ?
第08章 相量法
α= π
2 , e
j
复
数
Im
ɺ + jI
π
2 =+j
ɺ I
π
2
= cos
j−
π
2
+ j sin
0
Re
ɺ − jI
α =−
π
2
π
2
, e
= cos(− ) + j sin(− ) = − j 2 2
π
π
ɺ −I
2>、反向因子-1 、反向因子
α = ±π , e j ±π = cos(±π ) + j sin(±π ) = −1
def
T
0
有效值也称均方根值 有效值也称均方根值(root-meen-square，简 也称均方根值 ， 记为 rms。) 。
8. 1 正弦量的基本概念
电流有效值的物理意义： 电流有效值的物理意义： 周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期 内吸收的 ，在一周期T 电能，等于一直流电流I 流过R 在时间T 电能，等于一直流电流 流过 , 在时间 内吸收的电 的有效值。 能，则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值。 i(t) 如图： 如图： T 2
m
8. 2
一、复数A表示形式 复数 表示形式
复
数
Im b A
在平面上， 在平面上，由O指向Ａ的有向 指向 线段（向量）， ），表示复数 线段（向量），表示复数Ａ。 1、直角坐标表示 、 代数形式： 代数形式：
O Im b
a A |A|
Re
Ａ=a+jb
Re[Ａ]=a Im[Ａ]=b
1 j = =−j j j⋅ j
8. 1 正弦量的基本概念
2 , e
j
复
数
Im
ɺ + jI
π
2 =+j
ɺ I
π
2
= cos
j−
π
2
+ j sin
0
Re
ɺ − jI
α =−
π
2
π
2
, e
= cos(− ) + j sin(− ) = − j 2 2
π
π
ɺ −I
2>、反向因子-1 、反向因子
α = ±π , e j ±π = cos(±π ) + j sin(±π ) = −1
def
T
0
有效值也称均方根值 有效值也称均方根值(root-meen-square，简 也称均方根值 ， 记为 rms。) 。
8. 1 正弦量的基本概念
电流有效值的物理意义： 电流有效值的物理意义： 周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期 内吸收的 ，在一周期T 电能，等于一直流电流I 流过R 在时间T 电能，等于一直流电流 流过 , 在时间 内吸收的电 的有效值。 能，则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值。 i(t) 如图： 如图： T 2
m
8. 2
一、复数A表示形式 复数 表示形式
复
数
Im b A
在平面上， 在平面上，由O指向Ａ的有向 指向 线段（向量）， ），表示复数 线段（向量），表示复数Ａ。 1、直角坐标表示 、 代数形式： 代数形式：
O Im b
a A |A|
Re
Ａ=a+jb
Re[Ａ]=a Im[Ａ]=b
1 j = =−j j j⋅ j
8. 1 正弦量的基本概念
电路原理课件 第8章 相量法
三. 相位差 ：
两个同频率正弦量相位角之差。
i(t) 0
Im um
设 u(t)=Umcos(w t+ u)
2
i(t)=Imcos(w t+ i)
0
wt
则 相位差j : j = (w t+ u)- (w t+ i)
u- i
同频率正弦量的相位差等于它们的初相之差。 不同频率的两个正弦量之间的相位差不再是一个常数，而是 随时间变动。
j u与i正交; j u与i反相;
2
§8 - 3相量法的基础
1. 正弦量的相量表示
复函数 F F ej(wt)
没有物理意义
F cos(wt ) j F sin(wt Ψ )
若对F取实部：
Re[F] F cos(ωt Ψ ) 是一个正弦量，有物理意义。
对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应的 复指数函数：
F e j
4、极坐标形式：
F F ej
=|F|
二 复数运算
(1)加减运算——代数形式
+j F2
若 F1=a1+jb1
F2=a2+jb2 O
则 F1±F2= (a1±a2) +j (b1±b2)
F= F1 +F1
F1 +1
+j
O - F2
F2 F1
F= F1 - F2 +1
(2) 乘除运算——指数形式或极坐标形式
⑶∫i2dt。
解： ⑴设 i i1 i2 2I cos(wt i ), 其相量为 I=I/Ψi
I I1 I2 10/600A+22/-1500A=（5+j8.66）A+（-19.05-j11）A
第八章 相量法
Um U= = 0.707U m 2
1 T u2dt （8-14） T 0
或者： Um = 2U
#
（8-15）
u = 2U cos(t + u )
§8.2 正弦量 相位差：两正弦量间的相位之差称为相位差。 线性电路中，如果全部激励都是同一频率的正弦量，则电路 中的响应一定是同一频率的正弦量 。因此，在正弦交流电路中， u,i 常常遇到同频率的正弦量，设 任意两个同频率的正弦量 Im u =Umcos(ωt+φu ) Um i = Imcos(ωt+φi ) 从波形图中可看出u和i的频 率相同，而振幅、初相不同。
T
V
R
i 在一T内所产生的热量为： Q~= i2Rdt (J)
0
-
I 在一T内所产生的热量为： Q-= I2RT (J)
T
按定义两者的Q应相等，即
0
i2Rdt= I2RT
+ uS -
i
R
由此得有效值定义式：
I=
1 T i2dt T 0
（8-12）
§8.2 正弦量 将有效值定义用于正弦电流。 设：i =Imcos(ωt+φi )， 由（8-12）式得：
§8.3 相量法基础 Im= Ime jφi = Im φi 有效值相量为： I= Ie jφi = I φi （8-18）
（e jφi为旋转因子） （8-19）
任何一个正弦量通过上述变换都可以对应得到（8-19）式。 有效值相量与最大值相量的关系为：I = 2I m 例如： 已知正弦电压 u = 220 2 cos( 314t + 450 )V 所对应的有效值相量为： U= 220 450
．
．
第八章相量法
i i
i
i
i
如 i 26 2 cos(t 60) A 26e j 60 A 2660 A I 对应的有效值相量为：
Im 26 2e j 60 A 26 260 A 其最大值相量为：
U 同理若有： 220e j 30V 则有; u 220 2 cos(t 30)V 2.相量图 相量是一个复数，它在复平面上的图形称为相量图。 若用旋转相量表示为，2Ie j e jt 其中复常数 2Ie j 2I i 称为旋转相量的复振幅， e jt 是一个随时间变化而以角速度不断逆时针旋转 的因子，两者的乘积即表示复振幅在复平面上不断 逆时针旋转，故称之为旋转相量，这就是复指数 函数的几何意义。
dt 2
③正弦量的积分
i 2I cos(t i ) 则 idt Re [ 2 Ie jt ]dt Re [ 2 Ie jt dt ] 如
jt I I Re [ 2 ( )e ] 2 cos(t i ) j 2
即正弦量的积分为同频率正弦量，其相量等于原 j 相量 I 除以 . I I 表示为： ( i ) idt
F F1 F2 F1 F2 [cos( 1 2 ) j sin(1 2 )]
F1 a1 jb1 (a1 jb1 )(a2 jb2 ) a1a2 b1b2 a2 b1 a1b2 j 2 2 2 2 F2 a2 jb2 (a2 jb2 )(a2 jb2 ) a2 b2 a2 b2
1
i1 I1m cos(t i 1 ) A 和 i2 I 2 m cos(t i 2 ) A 则 i1 与 i 2 如 的相位差 12 (t i1 ) (t i 2 ) i1 i 2 （初相之差）
i
i
i
如 i 26 2 cos(t 60) A 26e j 60 A 2660 A I 对应的有效值相量为：
Im 26 2e j 60 A 26 260 A 其最大值相量为：
U 同理若有： 220e j 30V 则有; u 220 2 cos(t 30)V 2.相量图 相量是一个复数，它在复平面上的图形称为相量图。 若用旋转相量表示为，2Ie j e jt 其中复常数 2Ie j 2I i 称为旋转相量的复振幅， e jt 是一个随时间变化而以角速度不断逆时针旋转 的因子，两者的乘积即表示复振幅在复平面上不断 逆时针旋转，故称之为旋转相量，这就是复指数 函数的几何意义。
dt 2
③正弦量的积分
i 2I cos(t i ) 则 idt Re [ 2 Ie jt ]dt Re [ 2 Ie jt dt ] 如
jt I I Re [ 2 ( )e ] 2 cos(t i ) j 2
即正弦量的积分为同频率正弦量，其相量等于原 j 相量 I 除以 . I I 表示为： ( i ) idt
F F1 F2 F1 F2 [cos( 1 2 ) j sin(1 2 )]
F1 a1 jb1 (a1 jb1 )(a2 jb2 ) a1a2 b1b2 a2 b1 a1b2 j 2 2 2 2 F2 a2 jb2 (a2 jb2 )(a2 jb2 ) a2 b2 a2 b2
1
i1 I1m cos(t i 1 ) A 和 i2 I 2 m cos(t i 2 ) A 则 i1 与 i 2 如 的相位差 12 (t i1 ) (t i 2 ) i1 i 2 （初相之差）
第八章 相量法
时域形式:
(j 1 为虚数单位)
(j 1 为虚数单位)
2.电感
时域形式:
(j 1 为虚数单位)
U L wLI L i 2
相量关系:
相量形式:
3.电容
时域形式:
(j 1 为虚数单位)
I C wCU C u 2
相量关系:
(j 1 为虚数单位)
上式表明：流入某一结点的所有正弦电流用相量表示 时仍满足KCL；任一回路所有支路正弦电压用相量表 示时仍满足KVL.
2. 电路的相量模型（phasor model)
(j 1 为虚数单位) 时域电路
的相量模型:电压、电流用相量；元件用相量模型。
4.指数形式
F Fe
j
极坐标形式 F F
(j 1 为虚数单位) 二、复数运算
1.加减运算----代数形式
2.乘除运算----极坐标形式
(j 1 为虚数单位)
解：
(j 1 为虚数单位)
Im 3.旋转因子 F• ej
O
F Re
(j 1 为虚数单位)
所以，电流表4的读数为5A；电流表5的读数为7.07A。
小结：
1. 求正弦稳态解是求微分方程的特解，应 用相量法将该问题转化为求解复数代数方程 (j 1 为虚数单位) 问题。 2. 引入电路的相量模型，不必列写时域微 分方程，而直接列写相量形式的代数方程。
(j 1 为虚数单位)
注意：
1. 只有正弦量才能用相量表示,非正弦量 不可以.
(j 相量只是表示正弦量 1 为虚数单位) ,不是等于正弦量. 2.
3. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量 图上,不同频率不行.
第八章_相量法
F2在第三象限， arctan （
2
40 20
） 180 63.4 180 116.6
F 44.7 116.6
二、复数的四则运算 1．加、减法运算：
①代数法：
实部与实部相加减，
虚部与虚部相加减。
+j
F1 F2 ( a1 jb1 ) ( a2 jb2 ) ( a1 a2 ) j ( b1 b2 )
②图解法： F
2
+j
F 1 +F 2 F2 F1
F 1 +F 2 F2
F1 O
1
+j F2
O
+ j 1
+1
F1 O -F2 +1
复数加法的平行四边形法和三角形法 F
F2 +1 F1-F2
O
F1-F2
复数减法的平行四边形法和三角形法
2．乘法运算：
①代数形式： F1 F2 ( a1 jb1 )( a2 jb2 )
y =/2
y =0 y =－/2
当t=0 , y －/2 时 , i(t)=-1
3. 周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为 了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。
周期电流、电压有效值(effective value)定义 直流I
物 理 意 义
R
交流i
R
W RI T
1
F1/F 2
1
| F1 | | F2 |
1 2
O
1 - 2
F2
2
+1
模相除，辐角相减。
复数的乘法
第八章 相量法
第八章相量法§8.1 复数§8.2 正弦量§8.3 相量法的基础§8.4 电路定律的相量形式一、复数的四种表示形式代数形式A = a +j b三角形式：指数表示形式：极坐标形式：二、复数的运算1、加减运算——采用代数形式比较方便若则即复数的加、减运算满足实部和实部相加减，虚部和虚部相加减。
二、复数的运算2、乘除运算——采用指数形式或极坐标形式比较方便。
若则即复数的乘法运算满足模相乘，辐角相加。
除法运算满足模相除，辐角相减2121)(21221121212121θθθθθθθθ-∠==∠∠==-A A e A A A A e A e A A A j j j二、复数的运算3、旋转因子把e jθ称为旋转因子。
当当故+j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
三、复数运算定理定理1式中K 为实常数 定理2定理3若则§8.2 正弦量 一、正弦量（1）I m ——幅值(振幅、最大值)：反映正弦量变化过程中所能达到的最大幅度。
（2）ω——角频率：为相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。
它与周期和频率的关系为：（3）Ψ ——初相角：反映正弦量的计时起点，常用角度表示。
§8.2 正弦量二、正弦量的三要素srad T f ππϖ22==§8.2 正弦量三、相位差相位差是用来描述电路中两个同频正弦量之间相位关系的量。
设则相位差为：通常相位差取主值范围，即：|φ|≤π§8.2 正弦量φ＞0 ，称u 超前i，或i 滞u ，表明u 比i 先达到最大值；如图（a）所示。
φ＜0 ，称i 超前u ，或u 滞后i , 表明i 比u 先达到最大值。
φ= ±π ，称i 与u 反相，如图（b）所示；φ=0 ，称i 与u 同相，如图（c）所示。
(a) (b) (c)§8.2 正弦量四、正弦电流、电压的有效值令：这个直流量I 称为周期量的有效值。
第八章 相量法
I
单位 : 欧
相量图
3. 电容中的正弦电流
相量法： 从求正弦量的幅值和初相角入手，通过 引 入相量，建立相量电路模型，直接应用直流分 析方法，把在时域范围内求微分方程的问题转化 为在频域范围内求复数代数方程的问题，从而使 正弦电路的稳态解法大为简化。
(1)正弦量的相量表示法
u ( t ) U m cos( t ) Re[ U m e Re[( U m e
Im
U2 U1
U
Im
U1
U
U2
60
41 . 9
60
41 . 9
30
30
Re
Re
(2)一个正弦量乘以一个常数的运算相当于对应相量乘以常数
Au 1 ( t ) A 2 U 1 cos( t y ) Re( 2 A U 1 e 1
j t
)
(3)一个正弦量对时间求导的运算，就变成了对应相量乘以 j 的运算 di j I i I
A
C
+1
O 复数的乘法
复数的除法
C A B A B ( a b )
C
A B
A B
( a b )
e
j
1
3. 旋转因子：
任何一个复数乘以一个旋转因子，就旋转一个角. j F 例 F=F1e j 特殊： F1
j
e e
2 j
j
2
yu yi
t
(3) = 0， u与i 同相：
(4) = ( 180o ) ， u与i 反相：
单位 : 欧
相量图
3. 电容中的正弦电流
相量法： 从求正弦量的幅值和初相角入手，通过 引 入相量，建立相量电路模型，直接应用直流分 析方法，把在时域范围内求微分方程的问题转化 为在频域范围内求复数代数方程的问题，从而使 正弦电路的稳态解法大为简化。
(1)正弦量的相量表示法
u ( t ) U m cos( t ) Re[ U m e Re[( U m e
Im
U2 U1
U
Im
U1
U
U2
60
41 . 9
60
41 . 9
30
30
Re
Re
(2)一个正弦量乘以一个常数的运算相当于对应相量乘以常数
Au 1 ( t ) A 2 U 1 cos( t y ) Re( 2 A U 1 e 1
j t
)
(3)一个正弦量对时间求导的运算，就变成了对应相量乘以 j 的运算 di j I i I
A
C
+1
O 复数的乘法
复数的除法
C A B A B ( a b )
C
A B
A B
( a b )
e
j
1
3. 旋转因子：
任何一个复数乘以一个旋转因子，就旋转一个角. j F 例 F=F1e j 特殊： F1
j
e e
2 j
j
2
yu yi
t
(3) = 0， u与i 同相：
(4) = ( 180o ) ， u与i 反相：
8相量法
-b
4 . 极坐标式
F | F |
共轭复数： F * | F | e j ( ) a jb
5
二、复数的四则运算及其几何表示
1.加减法 设F1、F2为复数:
F1 a1 jb1 | F1 | e j1
F2 a2 jb2 | F2 | e j 2
+j
F1 F2 (a1 a2 ) j(b1 b2 )
设电流的结构如下：
i
R
L
+
+ + uR - + uL C uS -
uC
-
i 2I cos( t i ) w
代入上式，得：
24
1 R 2 I cos( t i ) wL 2 I sin( t i ) w w 2 I sin( t i ) 2U S cos( t u ) w w wC
14
同频余弦量的相位差
设两同频率的余弦量： u Umcos(ω t u )
i Imcos(ω t i )
两同频率的余弦量相位差： =初相位之差。与时间起点无关。
1. u i 0
(w t u ) (w t i ) u i u
有效值和相位差。
正弦电流（压）：随时间按余弦规律变动的电流（压）。 如图表示一条支路流过正弦电流。 指定电流参考方向和时间原点，余弦电流及其波形如图所示。 i Im i 最大值
i I m cos( t i ) w
初相位
O
i
wt
12
一、余弦量的三要素
振幅或幅值 （取正值）
角频率w
w 瞬时值表达式： i I m cos( t i )
第8章 相量法
第8章 相量法
8. 1 复数及运算
8. 2 正弦量的基本概念 8. 3 正弦量的相量表示 8. 4 电阻、电感和电容元件上电压 和电流的相量关系
8. 5 电路定律的相量形式和电路的相量模型
8. 1 复数及运算
1. 复数A表示形式： Im b A Im b A |A| |A|称为模
O
两种表示法：
称为辐角
作业：217页
(17 j9)(4 j6) 22035 ? 20 j5
19.24 27.9 7.21156.3 解：上式 180.2 j126.2 20.6214.04
180.2 j126.2 6.72870.16
180.2 j126.2 2.238 j6.329
182.5 j132.5 225.536
(3) 旋转因子：
复数 ej =cos +jsin =1∠ A• ej 相当于A逆时针旋转一个角度 ，而模不变。故 把 ej 称为旋转因子。
Im
几种不同值时的旋转因子：
jI
0
I
, e 2
j
2
cos j sin j 2 2
解： I 10030o A
u 311.1cos(314t 60 )V 试用相量表示 i, u 。
o
U 220 60o V
例2.
已知 I 5015o A, f 50Hz.
试写出电流的瞬时值表达式。
解： i 50 2cos(314 t 15o ) A
二. 相量图
i(t ) 2 Icos(ω t y i ) I I y i
。
8. 1 复数及运算
8. 2 正弦量的基本概念 8. 3 正弦量的相量表示 8. 4 电阻、电感和电容元件上电压 和电流的相量关系
8. 5 电路定律的相量形式和电路的相量模型
8. 1 复数及运算
1. 复数A表示形式： Im b A Im b A |A| |A|称为模
O
两种表示法：
称为辐角
作业：217页
(17 j9)(4 j6) 22035 ? 20 j5
19.24 27.9 7.21156.3 解：上式 180.2 j126.2 20.6214.04
180.2 j126.2 6.72870.16
180.2 j126.2 2.238 j6.329
182.5 j132.5 225.536
(3) 旋转因子：
复数 ej =cos +jsin =1∠ A• ej 相当于A逆时针旋转一个角度 ，而模不变。故 把 ej 称为旋转因子。
Im
几种不同值时的旋转因子：
jI
0
I
, e 2
j
2
cos j sin j 2 2
解： I 10030o A
u 311.1cos(314t 60 )V 试用相量表示 i, u 。
o
U 220 60o V
例2.
已知 I 5015o A, f 50Hz.
试写出电流的瞬时值表达式。
解： i 50 2cos(314 t 15o ) A
二. 相量图
i(t ) 2 Icos(ω t y i ) I I y i
。
第08章相量法
？ 则：U＝10V U 10e j15V？ -j15º 已知： I 10050 A
？ 则： i＝100cos(t＋50º)A
100 2
（3-24）
§8.3 相量法的基础
无物理意义
一、正弦量为何可以用相量表示？
某复函数： A(t ) 2Iej(t)
为正弦量 有物理意义
（3-16）
+j
b
r
A
+1
a
欧拉公式
cos＋jsin ＝ej
A＝a＋jb …………………………代数式
＝r(cos＋j sin) …………三角函数式
＝rej …… …………………………指数式
＝r∠ …………………………极坐标形式
（3-17）
设a、b为正实数
A＝a＋jb ＝r∠
0<< 90º
2.KVL相量式
——任一瞬间任一回路上: u(t)＝0
若该回路上的电压均为同频率正 弦量,则用相量表示时仍满足KVL,即:
KVL相量形式 U 0
I
如右图,设uR,uL,uC均为同频率正弦量：
U R U L U C U 0
+R
U U R U L U C
相量——表示正弦电压、电流的复数
（3-15）
一、复数的基本形式
设复平面上某复数A ：
+j
b
r
A
+1
a
r a2 b2
arctan b
a a＝rcos
b＝ rsin
其中:r—复数的模; —辐角; a—实部; b —虚部
A＝a＋jb ＝rcos＋jrsin ＝r(cos＋j sin)
？ 则： i＝100cos(t＋50º)A
100 2
（3-24）
§8.3 相量法的基础
无物理意义
一、正弦量为何可以用相量表示？
某复函数： A(t ) 2Iej(t)
为正弦量 有物理意义
（3-16）
+j
b
r
A
+1
a
欧拉公式
cos＋jsin ＝ej
A＝a＋jb …………………………代数式
＝r(cos＋j sin) …………三角函数式
＝rej …… …………………………指数式
＝r∠ …………………………极坐标形式
（3-17）
设a、b为正实数
A＝a＋jb ＝r∠
0<< 90º
2.KVL相量式
——任一瞬间任一回路上: u(t)＝0
若该回路上的电压均为同频率正 弦量,则用相量表示时仍满足KVL,即:
KVL相量形式 U 0
I
如右图,设uR,uL,uC均为同频率正弦量：
U R U L U C U 0
+R
U U R U L U C
相量——表示正弦电压、电流的复数
（3-15）
一、复数的基本形式
设复平面上某复数A ：
+j
b
r
A
+1
a
r a2 b2
arctan b
a a＝rcos
b＝ rsin
其中:r—复数的模; —辐角; a—实部; b —虚部
A＝a＋jb ＝rcos＋jrsin ＝r(cos＋j sin)
第八章 相量法
99.5531 99.55e j 31 u (t ) 99.55 2 cos(t 31)V
（ 3）
注意：
电路
在这样的表示中舍弃了正弦量的时间因子。如果给 出一个正弦量的相量表示，要求出该正弦量的瞬时值 表达式，只要在相量式中乘以一个不变的量 2e jt ， 然后取其实部即可得到该正弦量的瞬时表达式。 例如，已知 U 10e V 求u=? ∵ U 2e jt 10 2e j 300 e jt 10 2e j (t 300 )
j
代数式 指数式 极坐标形式
U
电路
设a、b为正实数
j U a jb U e j U a jb U e j U a jb U e j U a jb U e
在第一象限Ⅰ 在第二象限Ⅱ
在一、二象限，一般取值：180° 0 °
设：
U e U 1 1 j 2 U e U
2 2
j 1
电路
则：
U1 U1 j 1 2 e U2 U2
A
90°旋转因子。+j逆时针 转90°，-j顺时针转90°
说明： 设：任一矢量 则：
e A
j 90
( j ) A
§8.2
一、交流电的概念
电路 5 、 一个正弦量对时间积分的相量等于该正弦量相量 除以 j
( idt )
I j
如： i
2I cos(t i ) I Ie j
i
1 2I uc idt cos(t i )dt C C
2I 2I sin(t i ) cos(t i ) C 2 C
（ 3）
注意：
电路
在这样的表示中舍弃了正弦量的时间因子。如果给 出一个正弦量的相量表示，要求出该正弦量的瞬时值 表达式，只要在相量式中乘以一个不变的量 2e jt ， 然后取其实部即可得到该正弦量的瞬时表达式。 例如，已知 U 10e V 求u=? ∵ U 2e jt 10 2e j 300 e jt 10 2e j (t 300 )
j
代数式 指数式 极坐标形式
U
电路
设a、b为正实数
j U a jb U e j U a jb U e j U a jb U e j U a jb U e
在第一象限Ⅰ 在第二象限Ⅱ
在一、二象限，一般取值：180° 0 °
设：
U e U 1 1 j 2 U e U
2 2
j 1
电路
则：
U1 U1 j 1 2 e U2 U2
A
90°旋转因子。+j逆时针 转90°，-j顺时针转90°
说明： 设：任一矢量 则：
e A
j 90
( j ) A
§8.2
一、交流电的概念
电路 5 、 一个正弦量对时间积分的相量等于该正弦量相量 除以 j
( idt )
I j
如： i
2I cos(t i ) I Ie j
i
1 2I uc idt cos(t i )dt C C
2I 2I sin(t i ) cos(t i ) C 2 C
第8章 相量法
i 2 I cos(w t +y i )
（1）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数 一 般为有效值。
14
（2）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，
如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。
但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，
在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值 考虑。 （3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效 值的符号。
A3 3 + j 4 A3 3 j 4
3. 复ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的运算
5e
j 126.9
5e
j 126.9
(1) 加减运算——采用代数形式 若 则 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
18
(2) 乘除运算——采用极坐标、指数形式； 若 A1=|A1| 1 ，A2=|A2| 2 则: A1 A2 A1 e
最大值（振幅） 相位 wt + y i 初相位 yi Im
yi< 0 i(t) I m cos(w t + y i )
三. 正弦量的三要素
1. 幅值（振幅、 最大值）Im
反映正弦量变化幅度的大小。
2. 角频率ω
相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。
w 2f
2 T
单位：rad/s，弧度 / 秒
1
+1
（由欧拉公式e
模 a a1 + a2
2
2
实部 a1 a cos
a2 1 虚部 幅角 tan tan a1 实部 17 虚部 a2 a sin
例：将以下代数形式化为指数形式
A1 3 + j 4
第8章 相量法
重点掌握正弦稳态电路 的解题思路。
重点理解正弦量和相量 运算的映射关系。
§8-1 §8-1 复数（complex 复数（complex number） number）
一、复数的四种表示方法
1、代数形式
+j
b
F = a + jb
a = Re [F] —— 实部real b = Im [F] —— 虚部image 2、三角形式
映射
& = I∠ ϕ I
∫ idt = ∫
=
1 = ⋅ 2 ICos(ωt + ϕ − 90o ) ω
结论：
2 ICos (ω t + ϕ ) d t I 2 Sin (ω t + ϕ ) ω
∫ idt
映射
1 & I jω
& = U C 1 × I&C jω C
1 电容VCR : uC = ∫ iC dt C
学生练习： 217页 题8-9 （充分体现出相量运算的简便性）
二、微分运算
i=
2 ICos (ω t + ϕ I
di 则： dt
=
d [ 2 I cos( ω t + ϕ )] = = − 2 I ω sin( ω t + ϕ ) dt
2 I ω sin( ω t + ϕ + 180 o )
三、正弦量的有效值
1、任意周期量的有效值 ——定义和本质：热等效
T产生热量 Q i：经过一个周期 ：经过一个周期T 产生热量Q I：经过时间 T产生 了相同的 热量 直流 直流I ：经过时间T 产生了 相同的热量
i i
R
I
R
∫
T
重点理解正弦量和相量 运算的映射关系。
§8-1 §8-1 复数（complex 复数（complex number） number）
一、复数的四种表示方法
1、代数形式
+j
b
F = a + jb
a = Re [F] —— 实部real b = Im [F] —— 虚部image 2、三角形式
映射
& = I∠ ϕ I
∫ idt = ∫
=
1 = ⋅ 2 ICos(ωt + ϕ − 90o ) ω
结论：
2 ICos (ω t + ϕ ) d t I 2 Sin (ω t + ϕ ) ω
∫ idt
映射
1 & I jω
& = U C 1 × I&C jω C
1 电容VCR : uC = ∫ iC dt C
学生练习： 217页 题8-9 （充分体现出相量运算的简便性）
二、微分运算
i=
2 ICos (ω t + ϕ I
di 则： dt
=
d [ 2 I cos( ω t + ϕ )] = = − 2 I ω sin( ω t + ϕ ) dt
2 I ω sin( ω t + ϕ + 180 o )
三、正弦量的有效值
1、任意周期量的有效值 ——定义和本质：热等效
T产生热量 Q i：经过一个周期 ：经过一个周期T 产生热量Q I：经过时间 T产生 了相同的 热量 直流 直流I ：经过时间T 产生了 相同的热量
i i
R
I
R
∫
T
相量法
I 2 R
相当于一直流电流 I1 = I 在该电阻上的功率， 即 平均功率与有效值电流产生的功率等效。 如：i1(t)的有效值为I1，则：在整数个周期内， i1(t)与直流量I1 产生的热量相等、耗能相等。
1．周期量的有效值
(3) 正弦量的有效值与最大值之间的量值关系： 设正弦信号 i = I m cos(t+ ) , 由有效值定义
t1+ i(t1)
若相量 2 I 从初相角θ， 以角速度ω绕0点逆时针旋转，则旋转相量
2Ie j ( t ) 2Ie j t 在实轴的投影即为正弦量 i (t ) 2 I cos( t )
例5-2-1 用有效值相量表示下列正弦量
i1 (t ) 10 2 sin( t 60 ) i2 (t ) 15 2 cos(314t 57 ) u (t ) 200 sin t V
j ( 1 2 )
j 三.旋转因子 e
A A e j A的模值不变,而将复数A逆时针旋转一个角度θ
§8-2 正 弦 量
一. 正弦量的三要素
以正弦电流为例
i(t ) I m cos( t i )
1. 振幅、最大值 (amplitude) Im 是正弦量在整个变化过程 中所能到达的最大值。
i1 i2 9.67 2 cos( t 41.9 )( A) di1 1884 2 cos( t 120 )( A) dt i2dt 0.0127 2 cos( t 30 )( A)
314 314 314
§8-4 电路定律的相量形式
一、基尔霍夫定律的相量形式
解： I 10－60 90 1
A A
10－150 ( A)
相当于一直流电流 I1 = I 在该电阻上的功率， 即 平均功率与有效值电流产生的功率等效。 如：i1(t)的有效值为I1，则：在整数个周期内， i1(t)与直流量I1 产生的热量相等、耗能相等。
1．周期量的有效值
(3) 正弦量的有效值与最大值之间的量值关系： 设正弦信号 i = I m cos(t+ ) , 由有效值定义
t1+ i(t1)
若相量 2 I 从初相角θ， 以角速度ω绕0点逆时针旋转，则旋转相量
2Ie j ( t ) 2Ie j t 在实轴的投影即为正弦量 i (t ) 2 I cos( t )
例5-2-1 用有效值相量表示下列正弦量
i1 (t ) 10 2 sin( t 60 ) i2 (t ) 15 2 cos(314t 57 ) u (t ) 200 sin t V
j ( 1 2 )
j 三.旋转因子 e
A A e j A的模值不变,而将复数A逆时针旋转一个角度θ
§8-2 正 弦 量
一. 正弦量的三要素
以正弦电流为例
i(t ) I m cos( t i )
1. 振幅、最大值 (amplitude) Im 是正弦量在整个变化过程 中所能到达的最大值。
i1 i2 9.67 2 cos( t 41.9 )( A) di1 1884 2 cos( t 120 )( A) dt i2dt 0.0127 2 cos( t 30 )( A)
314 314 314
§8-4 电路定律的相量形式
一、基尔霍夫定律的相量形式
解： I 10－60 90 1
A A
10－150 ( A)
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R
W直 =I 2RT
T i 2 ( t ) Rd t R W交 0
例 周期电压如图所示。求其有效值U。 u(t)/V 2 1 0
1 2 3 4 5 6
t/s
解 根据有效值的定义，有
1 U T
T 0
u 2 ( t )dt
2 3 1 1 2 2 2 0 1 dt 1 2 dt 2 0 dt 1.29 V 3
有效值也称均方根值(root-mean-square，简记为 rms。)
正弦电压有效值与最大值的关系： 1 U Um 或 U m 2U 2
工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌 额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是 最大值。 测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。 * 注意区分电压、电流的瞬时值、有效值、最大值的符号。
频率f : 每秒钟完成循环的次数，单位：Hz(赫兹) 。
关系 : f 1 T
2f
2 T
小常识
* 电网频率： 中国 50 Hz
美国 、日本 60 Hz * 有线通讯频率：300 - 5000 Hz
* 无线通讯频率： 30 kHz - 3×104 MHz
i(t)=Imcos( t + φ)
例 + u + u1
U1 U2 U3
u1 (t ) 3 2 cos 314t V
-
u2 (t ) 4 2 cos (314t 90o ) V 求u。 + u2 u(t ) u (t ) u (t ) 5 2 cos (314t 53.1o ) V 1 2 U2 490 V U1 30o V
u, i u i O
φu φi
若 <0， i 超前 u 角，
t
(i 比 u 先到达最大值)。
特例：
u, i u i
O u, i
=0， 同相：
t
= (180 ) ，反相：
o
u
O i t
= /2，正交
u, i
u i
0
t
四、周期性电流、电压的有效值 1、 有效值(effective value)定义 定义 周期性电流i 流过电阻R在一周期T 内消耗的电能， 等于一直流电流I 流过R在时间T 内消耗的电能，则 称电流 I 为周期性电流 i 的有效值。 I i(t)
B C = C， 称为容纳，单位为 S
容抗的物理意义 |XC| (1) 0， |XC| 直流开路(隔直) (2) ，|XC|0 高频短路(旁路作用)
三、小结 元件 i(t) + uR(t) i(t) + uL(t) u, i 关系
波形
i
0
φ
t
Im , , φ ——正弦量的三要素
i(t)=Imcos( t+ φ) 二、正弦量的三要素 1、 幅值 （振幅、 最大值）Im
φ
i
T=2
0
t
2、 角频率 ： 反映正弦量变化的快慢。 =d( t+ φ )/dt 单位时间内变化的角度。 单位： rad/s，弧度/秒
周期T : 完成一个循环变化所需时间，单位 s。
若 则 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
加减法可用图解法。 +j A2 A1
(2) 乘除运算——用极坐标 若 则 A1=|A1| 1 ，若A2=|A2| 2 A1 A2 =| A1 | | A2| 1 2
O
+1
乘法：模相乘，角相加；
8 相量法
8-1 复数 8-2 正弦量 8-3 相量法的基础 8-4 电路定律的相量形式
本章作业：8-10
8-1 复数
一、复数F 表示形式 （1）代数形式 +j (2) 向量表示 b F=a+jb
(j 1 为虚单位)
F
(3) 三角表示
O
a
+1
2 2 其模为|F|， F a b b 辐角为 θ arctag a
u i U I U m Im
8-3 相量法基础
一、问题的提出：
i
灯管
镇流器
u
uR
uL
uR 95 2 cos314tV , uL 185 2 cos(314t 82)V 问，u ?
u uR u L
如何计算？ 电路中的电流？功率？
u R u L u C u S di 1 Ri L idt u S dt c
或 I GU
I
φu= φi
UR
I
+
UR
R
-
相量图
相量模型
2. 电感
i(t) + uL(t) L
设 i(t ) 2I cos t
di(t ) 则 uL (t ) L 2 LI sin t dt U
2U cos(t ) 2
(1) u, i同频
UL
五、复数相等----一个复数方程可分解为两个实数方程
若F1=F2,则有 Re[F1]= Re[F2] , Im[F1]= Im [F2]
F1 F 2
arg(F1) arg(F 2)
交流电能的传输的基本环节
升压变压器
发电站
用户
降压变压器
高压输电
8-2 正弦量
一、正弦量 大小和方向随时间按正弦规律变化的电压、电流。 瞬时值表达式 i(t)=Imcos( t+φ)
2、正弦电流、电压的有效值(effective value) 设电流 i(t)=Imcos( t+ i)
1 T 2 I I m cos 2 ( t i )dt T 0
或 I 0.707 I m Im 2I
即
i(t ) Im cos(t i ) 2I cos(t i )
u (t ) 2U cos(t ) U U
正弦量 相量
例1 已知 i 141.4cos(314t 30o )A
u 311.1cos(314t 60 )V
o
试用相量表示i, u 。 有效值相量 最大值相量
解：
I 10030o A U 220 60o V
四、共轭复数
F * a jb 或 F * F
例 计算
(10 j6.28)( 20 j31.9) 10 j6.28 20 j31.9
11 .81 32.13 o 37.65 57.61o 39.45 40.5 o
10.89 j2.86
A1 | A1 | θ1 | A1 | e jθ1 | A1 | j( θ1θ2 ) | A1 | e jθ 2 A2 | A2 | θ2 | A2 | e | A2 | | A2 |
除法：模相除，角相减。
θ1 θ2
三、 旋转因子
复数 ej =1∠ A• ej 相当于A逆时针旋转一个角度 ，而模不变。
( t + φ) ：相位(相位角)
3、初相位 正弦量在 t0时的相位角，反映正弦量的初始值，
当t 0时 i(t ) I mcos
初相位φ 和计时起点有关，计时起点不同初相位不同。 i
0 则 i I mcost
φ
0
φ=/2
t
2
则 i I m cos(t ) 2
IC
φu
U
(3)相位关系： i 超前 u 90°
相量图
IC
相量表达式
1 jω C
1 1 U IC j I C jX C I C j C C
+ U -
相量模型
I C jC U jBC I
令XC=-1/ C， 称为容抗，单位为 (欧姆)
二、电阻、电容、电感元件的VCR的相量形式 1. 电阻 已知 i(t ) 2I cos(t i ) i(t) + uR(t) R
则
uR (t) Ri(t) 2RI cos(t i )
(1)u， i 同频 (2)相位关系：u, i 同相
(3)有效值关系：UR=RI
相量表示式： U R RI
a | F | cos Re[ F ] b | F | sin Im[ F ]
F | F | (cos j sin )
j cos j sin 由欧拉公式 e
（4）指数形式或极坐标形式
F=|F|ej =|F|
二、复数运算
(1)加减运算——用直角坐标
XL (3)BL=-1/ L ， 感纳，单位为 S (同电导)
3. 电容 iC(t) + u(t) -
u(t ) 2U cos t
iC (t ) C du( t ) 2 CU sin t dt 2 CU cos( t ) 2
C (1) u, i同频
(2)有效值关系： IC= CU
已知激励电压源
uS
uR
uL
i
uC
uS 2U S COS(t u )
线性非时变正弦交流电路中，稳态时，响应与激励是同频率 的正弦量。响应之间、响应与激励之间仅在有效值、初相位 上存在差异。 教材中p208-210运用数学的理论推证了上述结果，涉及欧 拉公式及复指函数的内容。
1、相量----表示正弦量的复数 称 I I 为正弦量 i(t) 对应的相量。 复数的模正弦量大小（有效值或最大值） 复数的辐角正弦量初相位 可以建立正弦电压与相量的对应关系：