02刚体的基本运动

a
a2

a2 n

0.42 0.82 m s2 0.894m s2
全加速度与半径的夹角为
tan 0.5
26 34'
2
因为 与 的正负号相反，因此，v与a 的指向也相反，可见
刚体在t=1s时是做减速转动。因绳不可伸长，且设轮与绳间无相对
滑动，故物体A的速度和加速度应等于轮缘上点M的速度和切向加
设轮Ⅰ是主动轮，轮Ⅱ是从动轮，传动比用来表示，则
Rz
i12
1
2
1
2

2
R1

2
z1
(2-16)
式(2-16)也适用于圆锥齿轮传动、摩擦轮传动等。
有些场合为了区分轮系中各轮的转向，对各轮都规定统一的转
动正向，这时各轮的角速度可取代数值，从而传动比也取代数值，
即
i 1 1 R2 z2
i13

n1 n3

n1 n2
n2 n3

z2 z1
z4 z3
i12 i23
故传动系统的总传动比等于各级传动比的连乘积。各轴的转向
如图2.11所示。由上式可得
i13

n 1
● 2.1 刚体的平动
刚体在运动时，若刚体上任意一直线始终与其初始位置 保持平行，则刚体的这种运动称为平行移动，简称平动。例 如，摆式输送机的送料槽的运动[见图2.1(a)]，车身在直线轨 道上的运动[见图2.1(b)]等，都具有上述的共同特点，因而都 是平动。
BA
设刚体相对于定坐标系作平动，在刚体上任取两点和，任意时 刻它们的位置分别由矢径和确定(见图2.2)。以矢径表示该两点的运 动方程分别为
第2章 刚体的基本运动
● 2.1 刚体的平动 ● 2.2 刚体绕定轴转动
● 2.2.1 刚体的转动方程、角速度和角加速度
● 2.2.2 转动刚体内各点的速度和加速度
● 2.3 定轴轮系的传动比
● 2.3.1 齿轮传动 ● 2.3.2 带轮传动
●本章习题
● 刚体的基本运动
研究刚体运动就要研究刚体整体的运动规律，并在此 基础上研究刚体内各点的运动之间的关系。刚体的最简单 的运动形式是平动和定轴转动，而刚体较复杂的运动则可 看作这两种基本运动的组合，因此，在这里先研究这两种 基本形式的运动，作为进一步研究刚体复杂运动的基础。
解：(1) 分析：各轮都做定轴转动，它是定轴轮系的传动问题。 (2) 根据公式求未知量。用 n1 、n2 和 n3 分别表示各轴的转速，先求
Ⅰ轴与Ⅱ轴的传动比 i12 ，根据传动比式(2-16)得
nz
i12

1
n2

2
z1
再求Ⅱ轴到Ⅲ轴的传动比 i23 ，即
i23

n2 n3

z4 z3
从I轴到Ⅲ轴的总传动比
根据以上结论，刚体的平动完全可以用刚体内任意一点的运动 来代表。这样，刚体的平动问题就归结为前面已经研究过的点的运 动学问题。刚体平动时，若刚体内各点的轨迹为直线，则称为直线 平动，如图2.1(b)车身的运动；若刚体内各点的轨迹为曲线,则称为 曲线平动，如图2.l(a)中送料槽的运动。
● 2.2 刚体绕定轴转动 ● 2.2.1 刚体的转动方程、角速度和角加速度 1. 转动方程
机械中常用齿轮作为传动部件。现以一对啮合的圆柱齿轮为例 圆柱齿轮传动分为外啮合(见图2.8)和内啮合(见图2.9)两种。
设两个齿轮各绕固定轴 O1 和O2 转动。已知其啮合圆半径各为
和；齿数各为和；角速度各为和；角加速度各为和。令A和B分别 是两个齿轮啮合圆的接触点，因两圆之间没有相对滑动，故两者的 速度和切向加速度必定相同，即
rA rB BA
(2-1)
将式(2.1)分别对时间求一阶和二阶导数。注意到常矢量，于是得
v vLeabharlann AB(a)
aA aB
(b)
式(a)和式(b)表明，在任一时刻，A、B两点的速度相同，加速 度也相同。由于、为任取的两点，因此可得结论：刚体平动时，其 上各点的轨迹形状相同，同一时刻各点的速度、加速度也相同。
rA rA (t)
rB rB (t)
两条矢端曲线 AA3 和 BB3 分别是点A 和B点的轨迹。连接B、A得 BA ， 显然由于A、B是刚体上的点，线 段BA的长度不会改变。又因刚体 作平动，矢量 BA的方向也不会改变，故 BA 为常矢量。由此可以 看出，A、B两点的轨迹形状完全相同，只要把B点的轨迹在矢量 的 BA方向上平移一段距离，BA便可与A点的轨迹完全重合。

R
d
dt

R
an

v2


R 2
R

R 2
(2-12) (2-13)
即转动刚体内任一点的切向加速度的大小等于刚体的角加速度 与该点转动半径的乘积，其方向垂直于转动半径，指向与其角加速
度 的转向一致；而法向加速度的大小等于角速度的平方与转动半
径的乘积，其方向沿着转动半径指向圆心，如图2.5(b)所示。
于是，M点全加速度的大小与方向为
a
a2

a2 n
R
2 4
(2-14)
tan a
(2-15)
an 2
式中， 为加速度a与转动半径OM之间的夹角[见图2.5(b)]。
由式(2-11)～式(2-15)可见，在同一时刻，刚体内各点的速度和 加速度的大小与各点的转动半径成正比，各点的速度垂直于各自的 转动半径，各点的加速度与转动半径的夹角相同。因此，同一时刻 转动刚体内通过转轴的任一直线上各点的速度和加速度按线性规律 分布(见图2.6)。
12
R
z
2
2
1
1
(2-17)
式中，正号表示主动轮与从动轮转向相同(内啮合)，如图2.9所 示；负号表示转向相反(外啮合)，如图2.8所示。
● 2.3.2 带轮传动
如图2.10所示，电动机的带轮Ⅰ是主动轮，工作机的带轮Ⅱ是
从动轮，设主动轮Ⅰ的半径为
r1
，以转速1 绕定轴
O 1
转动，通过
带拖动从动轮Ⅱ绕定轴O2 转动。在传动过程中，如不考虑胶带的厚
N



0

200
100rad
2 2
【例2.2】 如图2.7所示，一半径R=0.2m的
圆轮绕定轴的转动方程为 t 2 4t (其中， 的单位为rad；t的单位为s)。求t=1s时，轮缘
上任一点M的速度和加速度。如在此轮上绕一 不可伸长的绳索并在绳端悬一物体A，求当 t=1s时，物体A的速度和加速度。 解：(1) 分析运动：圆轮绕定轴转动；物体A平 动。
(2-3)
即刚体转动的角速度等于转角对时间的一阶导数。它表明该时
刻刚体转动的快慢。显然，角速度 是代数量，其正负表示了刚体 转动的方向。由角速度的定义可看出，当 随 时间而递增时, 为正；
反之， 为负。所以，从转动轴z的正向观察，若刚体作逆时针转动
则为正，反之则为负。角速度 的单位是弧度/秒(rad/s)。
(2-2)
式(2-2)称为刚体绕定轴转动的转动方程。它描述了刚体 的转动规律。绕定轴转动的刚体，用一个参数就可以确定它 的位置。
2. 角速度
刚体绕固定轴的角速度是用来描述刚体转动的快慢和转动方向 的。设在时间间隔Δt内，刚体转过角度 ，对照点的速度的定义， 则刚体在时刻t的角速度定义为
lim d t t0 dt
设刚体绕定轴Z转动，如图2.3所示。为 了确定刚体在转动过程中的位置，可先通过 转轴Z作一固定平面Ⅰ，再通过转轴Z作一随 刚体转动的平面Ⅱ。显然，任一时刻刚体的
位置可用动平面Ⅱ与固定平面Ⅰ的夹角 来 确定， 角称为转角。当刚体转动时， 随
时间 t不断变化，是时间t的单值连续函数， 即
(t)
(2) 根据公式求未知量。圆轮在任一瞬时 的角速度和角加速度为
d 2t 4
dt
d 2
dt 当t=1s时, 2 rad s , 2 rad s2
因此，圆轮上任一点M的速度和加速度为
v R 0.4 m s
an R 2 0.8m s2 a R 0.4 m s2 它们的方向如图2.7所示。点M的全加速度的大小为
因此有
v v
A
B
a A

a B
R11 R22
R11 R22
或
，
1

1

R2
2 2 R1
由于齿轮在啮合圆上的齿距相等，它们的齿数与半径成正比，
故
1

1

R2

z2

2
2
R1
z1
由此可知，两齿轮啮合传动时，其角速度、角加速度均与两齿
轮的齿数成反比(或与两轮的啮合圆半径成反比)。
2.4(b)]。
角加速度的单位是弧度/秒2 (rad/s)。
若刚体在转动过程中， 0， = 常数，则为匀速转动；当 =常数时，则为匀变速转动。
对于这些特殊运动，同第1章点的匀速曲线运动和匀变速曲线运 动的公式相对比，具有完全相似的基本公式。
匀速转动：
t 0
(2-6)
匀变速转动：
工程中常用转速n，即用每分钟的转数r/min表示转动的快慢。
角速度 与转速n之间的关系为
2n n
60 30
(2-4)
3.角加速度
设在时间间隔Δt内，刚体的角速度 改变了Δ ，则刚体在任一
时刻t的角加速度定义为
lim d d2
t t0 dt dt 2