第13章轴对称教材分析
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等腰三角形的判定:两边相等
举例11
已知:如图,△ABC 中, ∠ABC=3∠ACB,AD 平分∠ BAC 交,BD 垂直 AD, 垂足为 D. A 1 求证: BD AC AB ． 2 E
D B C
三、《轴对称》一章的教学建议
7. 研究新图形,帮助落实
二倍角三角形
举例12
B 2C, AH 平分BAC, 求证： AC AB BH A
角平分线的性质和判定 线
最简单的轴对称封闭图形 等腰三角形的判定和性质 特殊化 等边三角形的判定和性质
轴对称变换
轴对称分形
·从能力来看
二、《轴对称》一章的教学目标
演绎推理：演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、
定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序） 出发，按照逻辑推理的法则证明和计算.
一、《轴对称》一章的教学地位
举例4
1 ( x 2) x 8 在直线 y x m 下方的 2 部分存在点 P ，使得 DPF 45 (D 是抛物线与直线交
若抛物线 y 点，F 在抛物线对称轴上)，当满足条件的点 P 只有两个 时， m 的值为 .
5 m 4
一、《轴对称》一章的教学地位
三、《轴对称》一章的教学建议
3. 从实验到论证，激发兴趣
实验几何 论证几何 合情推理 演绎推理
三、《轴对称》一章的教学建议
举例5
折
求证：大边对大角
三、《轴对称》一章的教学建议
举例6
剪
展开后①是什么图形？
三、《轴对称》一章的教学建议
举例7
分
将含有54°的等腰三角形分割成四个等腰三角形
三、《轴对称》一章的教学建议
第十三章
轴 对 称
目录
• 一、《轴对称》一章的教学地位 • 二、《轴对称》一章的教学目标 • 三、《轴对称》一章的教学建议
一、《轴对称》一章的教学地位
7.平移 11.三角形 12.全等三角形
·从几何教学来看
轴对称为两个全等形 的重合提供了第二种运动 方式，也就为移动图形提 供了第二种方法. 另外，本章是训练学 生逻辑推理的重要机会.
推理
合情推理：合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和
直觉，通过归纳和类比等推断某些结果. 在解决问题的过程中，合情推理用于探索思路，发现结论； 演绎推理用于验证结论． 推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中．
二、《轴对称》一章的教学目标
促使学生形成轴对称的观念.
一分为二，思维减半； 对称反射，重组变换．
A
Ｏ
1
B
C
D
三、《轴对称》一章的教学建议
等腰三角形的判定：等角对等边
G
A
D A E
K H
A
J
L I
E B
D C
F B C G
A F
D A E
E
E B D C
D C
B C
B
三、《轴对称》一章的教学建议
举例10
B 2C, AD⊥BC, 求证： CH AB BH A
B
H
B’
C
三、《轴对称》一章的教学建议
对称是一种数学思想观念.
·从知识来看
二、《轴对称》一章的教学目标
轴对称、轴对称图形 对称轴 垂直平分线的性质和判定 最简单的轴对称封闭图形 等腰三角形的判定和性质 特殊化 等边三角形的判定和性质 画图 用坐标表示轴对称
·从方法来看
二、《轴对称》一章的教学目标
轴对称、轴对称图形 对称轴 画图 轴对称补形
13.轴对称
18.平行四边形 23.旋转 24.圆
27.相似
一、《轴对称》一章的教学地位
举例1
·从数学教学来看
1 x 3
-3 -1
1
3
“对称减半” 是我们思考问题的一种方式。
x y
2
2
2
x y 5 x y 3
2
一、《轴对称》一章的教学地位
举例2
如图所示，在长方形 ABCD 的对称轴 l 上找点 P，使得△PAB、 △PBC 均为等腰三角形，则满足条件的点 P 有 A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
A l D
B
C
一、《轴对称》一章的教学地位
举例3
如图，AB 是⊙O 的直径，过点 B 作⊙O 的切线 BM，弦 CD∥BM，交 AB 于点 F，且 = ，连接 AC，AD，延长 AD 交 BM 于点 E． （1）求证：△ACD 是等边三角形； （2）连接 OE，若 DE=2，求 OE 的长．
“是否对称” 是我们 观察图形的一种方式。
三、《轴对称》一章的教学建议
1.从《全等三角形》说起，自然衔接
能够完全重合的两个图形，叫作 全等形，它们可以通过什么样的运动 方式重合呢？
三、《轴对称》一章的教学建议
三、《轴对称》一章的教学建议
2. 突出几何研究方法，条理清晰
怎么找到这个图形的对称轴呢？ 从对应点出发，或从对应线出发？ 几何图形的基本元素：点、线、角
B
H
C
直角三角形
二倍角三角形
三倍角三角形
可分成两个等腰三角形的等腰三角形
三、《轴对称》一章的教学建议
等腰直角三角形 含有30°角的直角三角形
三、《轴对称》一章的教学建议
8.分析解题思路
举例13
已知：AC=AB， CD垂直AB． 求证：2∠DCB=∠A．
三、《轴对称》一章的教学建议
举例14
如图，在△ABC 中， AC BC ， ACB 90 ， D 为△ABC 内一点， BAD 15 ， AD AC ， CE AD 于 E ，且 CE 5 ． A （1）求 BC 的长； （2）求证： BD CD ．
E D B C
举例15
在△ ABC 中，∠BAD=∠DAE=9° ，∠DAC=90° ，且 AE+BA=BC， E’ 求∠B
x°
A
(x+18)° x° B DE
x°
C
举例16
如图，在 △ ABC 中， D 是 BC 边上的一点，若 ∠BAD=∠C=2∠DAC=45° ，DC=2．求 BD 的长．
角平分线性质和判定的本 质又是什么?
三、《轴对称》一章的教学建议
如何证明等腰三角形的性 质呢?
三、《轴对称》一章的教学建议
借助等边三角形你 能发现30°角所在的直 角三角形的什么性质?
三、《轴对称》一章的教学建议
怎样获得最短距离?
三、《轴对称》一章的教学建议
6. 落实基本图形的性质和判定
举例8
已知：如图，AD是△ABC的角平分线， DE ，DF分别是△ABD和△ACD的高． 求证：AD垂直平分EF．
A E F B D C
三、《轴对称》一章的教学建议
等腰三角形的性质：等边对等角；三线合一.
A
B
P
Q
C
三、《轴对称》一章的教学建议
举例9
在△ABD中，∠1=60°，∠B=45°，且CD=2BC，求∠D．
A
E
B
D
C
举例17
y
E A A' F H
B
O
t
G
三、《轴对称》一章的教学建议
线段垂直平分线有什么性质呢？ 看线段，看角；看数量，看位置． 元素之间的关系：位置或数量关系
三、《轴对称》一章的教学建议
如何在已知对 称轴的情况下画 出一个轴对称图 形呢？ 点在线上或点在线外 从特殊到一般
三、《轴对称》一章的教学建议
如果将问题放置在平面直 角坐标系中，会怎样？ 用两数的关系来刻画轴对称 数形结合
点
用坐标表示轴对称 最短距离
垂直平分线的性质和判定
角平分线的性质和判定 线
最简单的轴对称封闭图形 等腰三角形的判定和性质 特殊化 等边三角形的判定和性质 轴对称分形
·从思想来看
二、《轴对称》一章的教学目标
轴对称、轴对称图形 对称轴 画图 轴对称补形
点
用坐标表示轴对称 最短距离
垂直平分线的性质和判定
4. 规范三种语言的表述
等腰三角形两底角相等.
∵AB=AC ∴∠B=∠C
三、《轴对称》一章的教学建议
等腰三角形三线合一.
情况一
∵AB=AC, DB=DC ∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD
三、《轴对称》一章的教学建议
5.渗透轴对称观念
垂直平分线性质和判定的 本质是什么?
三、《轴对称》一章的教Biblioteka Baidu建议
举例11
已知:如图,△ABC 中, ∠ABC=3∠ACB,AD 平分∠ BAC 交,BD 垂直 AD, 垂足为 D. A 1 求证: BD AC AB ． 2 E
D B C
三、《轴对称》一章的教学建议
7. 研究新图形,帮助落实
二倍角三角形
举例12
B 2C, AH 平分BAC, 求证： AC AB BH A
角平分线的性质和判定 线
最简单的轴对称封闭图形 等腰三角形的判定和性质 特殊化 等边三角形的判定和性质
轴对称变换
轴对称分形
·从能力来看
二、《轴对称》一章的教学目标
演绎推理：演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、
定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序） 出发，按照逻辑推理的法则证明和计算.
一、《轴对称》一章的教学地位
举例4
1 ( x 2) x 8 在直线 y x m 下方的 2 部分存在点 P ，使得 DPF 45 (D 是抛物线与直线交
若抛物线 y 点，F 在抛物线对称轴上)，当满足条件的点 P 只有两个 时， m 的值为 .
5 m 4
一、《轴对称》一章的教学地位
三、《轴对称》一章的教学建议
3. 从实验到论证，激发兴趣
实验几何 论证几何 合情推理 演绎推理
三、《轴对称》一章的教学建议
举例5
折
求证：大边对大角
三、《轴对称》一章的教学建议
举例6
剪
展开后①是什么图形？
三、《轴对称》一章的教学建议
举例7
分
将含有54°的等腰三角形分割成四个等腰三角形
三、《轴对称》一章的教学建议
第十三章
轴 对 称
目录
• 一、《轴对称》一章的教学地位 • 二、《轴对称》一章的教学目标 • 三、《轴对称》一章的教学建议
一、《轴对称》一章的教学地位
7.平移 11.三角形 12.全等三角形
·从几何教学来看
轴对称为两个全等形 的重合提供了第二种运动 方式，也就为移动图形提 供了第二种方法. 另外，本章是训练学 生逻辑推理的重要机会.
推理
合情推理：合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和
直觉，通过归纳和类比等推断某些结果. 在解决问题的过程中，合情推理用于探索思路，发现结论； 演绎推理用于验证结论． 推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中．
二、《轴对称》一章的教学目标
促使学生形成轴对称的观念.
一分为二，思维减半； 对称反射，重组变换．
A
Ｏ
1
B
C
D
三、《轴对称》一章的教学建议
等腰三角形的判定：等角对等边
G
A
D A E
K H
A
J
L I
E B
D C
F B C G
A F
D A E
E
E B D C
D C
B C
B
三、《轴对称》一章的教学建议
举例10
B 2C, AD⊥BC, 求证： CH AB BH A
B
H
B’
C
三、《轴对称》一章的教学建议
对称是一种数学思想观念.
·从知识来看
二、《轴对称》一章的教学目标
轴对称、轴对称图形 对称轴 垂直平分线的性质和判定 最简单的轴对称封闭图形 等腰三角形的判定和性质 特殊化 等边三角形的判定和性质 画图 用坐标表示轴对称
·从方法来看
二、《轴对称》一章的教学目标
轴对称、轴对称图形 对称轴 画图 轴对称补形
13.轴对称
18.平行四边形 23.旋转 24.圆
27.相似
一、《轴对称》一章的教学地位
举例1
·从数学教学来看
1 x 3
-3 -1
1
3
“对称减半” 是我们思考问题的一种方式。
x y
2
2
2
x y 5 x y 3
2
一、《轴对称》一章的教学地位
举例2
如图所示，在长方形 ABCD 的对称轴 l 上找点 P，使得△PAB、 △PBC 均为等腰三角形，则满足条件的点 P 有 A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
A l D
B
C
一、《轴对称》一章的教学地位
举例3
如图，AB 是⊙O 的直径，过点 B 作⊙O 的切线 BM，弦 CD∥BM，交 AB 于点 F，且 = ，连接 AC，AD，延长 AD 交 BM 于点 E． （1）求证：△ACD 是等边三角形； （2）连接 OE，若 DE=2，求 OE 的长．
“是否对称” 是我们 观察图形的一种方式。
三、《轴对称》一章的教学建议
1.从《全等三角形》说起，自然衔接
能够完全重合的两个图形，叫作 全等形，它们可以通过什么样的运动 方式重合呢？
三、《轴对称》一章的教学建议
三、《轴对称》一章的教学建议
2. 突出几何研究方法，条理清晰
怎么找到这个图形的对称轴呢？ 从对应点出发，或从对应线出发？ 几何图形的基本元素：点、线、角
B
H
C
直角三角形
二倍角三角形
三倍角三角形
可分成两个等腰三角形的等腰三角形
三、《轴对称》一章的教学建议
等腰直角三角形 含有30°角的直角三角形
三、《轴对称》一章的教学建议
8.分析解题思路
举例13
已知：AC=AB， CD垂直AB． 求证：2∠DCB=∠A．
三、《轴对称》一章的教学建议
举例14
如图，在△ABC 中， AC BC ， ACB 90 ， D 为△ABC 内一点， BAD 15 ， AD AC ， CE AD 于 E ，且 CE 5 ． A （1）求 BC 的长； （2）求证： BD CD ．
E D B C
举例15
在△ ABC 中，∠BAD=∠DAE=9° ，∠DAC=90° ，且 AE+BA=BC， E’ 求∠B
x°
A
(x+18)° x° B DE
x°
C
举例16
如图，在 △ ABC 中， D 是 BC 边上的一点，若 ∠BAD=∠C=2∠DAC=45° ，DC=2．求 BD 的长．
角平分线性质和判定的本 质又是什么?
三、《轴对称》一章的教学建议
如何证明等腰三角形的性 质呢?
三、《轴对称》一章的教学建议
借助等边三角形你 能发现30°角所在的直 角三角形的什么性质?
三、《轴对称》一章的教学建议
怎样获得最短距离?
三、《轴对称》一章的教学建议
6. 落实基本图形的性质和判定
举例8
已知：如图，AD是△ABC的角平分线， DE ，DF分别是△ABD和△ACD的高． 求证：AD垂直平分EF．
A E F B D C
三、《轴对称》一章的教学建议
等腰三角形的性质：等边对等角；三线合一.
A
B
P
Q
C
三、《轴对称》一章的教学建议
举例9
在△ABD中，∠1=60°，∠B=45°，且CD=2BC，求∠D．
A
E
B
D
C
举例17
y
E A A' F H
B
O
t
G
三、《轴对称》一章的教学建议
线段垂直平分线有什么性质呢？ 看线段，看角；看数量，看位置． 元素之间的关系：位置或数量关系
三、《轴对称》一章的教学建议
如何在已知对 称轴的情况下画 出一个轴对称图 形呢？ 点在线上或点在线外 从特殊到一般
三、《轴对称》一章的教学建议
如果将问题放置在平面直 角坐标系中，会怎样？ 用两数的关系来刻画轴对称 数形结合
点
用坐标表示轴对称 最短距离
垂直平分线的性质和判定
角平分线的性质和判定 线
最简单的轴对称封闭图形 等腰三角形的判定和性质 特殊化 等边三角形的判定和性质 轴对称分形
·从思想来看
二、《轴对称》一章的教学目标
轴对称、轴对称图形 对称轴 画图 轴对称补形
点
用坐标表示轴对称 最短距离
垂直平分线的性质和判定
4. 规范三种语言的表述
等腰三角形两底角相等.
∵AB=AC ∴∠B=∠C
三、《轴对称》一章的教学建议
等腰三角形三线合一.
情况一
∵AB=AC, DB=DC ∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD
三、《轴对称》一章的教学建议
5.渗透轴对称观念
垂直平分线性质和判定的 本质是什么?
三、《轴对称》一章的教Biblioteka Baidu建议