圆的切线的证明方法

圆的切线的证明方法

天津四中杨建成

平面内直线和圆存在着三种位置关系，即直线和圆相离、直线和圆相切、直线和圆相交，这三种位置关系中最重要的是直线和圆相切。那么怎样证明直线和圆相切呢？证明直线是圆的切线大体上有三种方法：

⑴和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；

⑵到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；

⑶经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

其中⑴是切线的定义，它是从直线与圆的交点的角度来判断直线和圆的位置关系；

⑵是从圆心到直线的距离d与圆的半径r的数量关系的角度来判断；⑶是根据切线的判定定理进行判断。⑵和⑶都是由⑴推演出来的。

在几何证明中，常用的是最后一种方法，具体的证法有两种：①当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，证明直线垂直于这条半径，简称为“连半径，证垂直”；②当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称为“作垂直，证半径”。

例1.如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，

求证CD是⊙O的切线。

［分析］：因直线CD与⊙O有公共点D，故应采用“连半径，证垂直”的方法。

［证明］：连结OD

∵OC∥AD ∴∠COB=∠DAO，∠COD=∠ADO

∵OA=OD ∴∠DAO=∠ADO

∴∠COB=∠COD

在△DOC和△BOC中

∵OD=OB，∠COD=∠COB

OC=OC

∴△DOC≌△BOC

∴∠CDO=∠CBO

∵AB是⊙O的直径，BC是切线

∴∠CBO=90°

∴∠CDO=90°

∵OD是⊙O的半径

∴CD是⊙O的切线

例2.如图，已知两个同心圆O中，

大圆的弦AB、CD相等，且AB与小圆

相切于点E，求证：CD是小圆的切线。

［分析］：因直线CD与⊙O无公共

点，故应采用“作垂直，证半径”的方法。

［证明］：连结OE，过O点作

OF⊥CD于F

∵AB与小圆相切于点E

∴OE⊥AB ∴AE=BE，CF=DF

∵AB=CD ∴AE=CF

在Rt△AEO和Rt△CFO中

∵OA=OC，AE=CF

∴Rt△AEO≌Rt△CFO

∴OE=OF

∴CD是小圆的切线

例3.如图，已知在△ABC中，CD是AB上的高，且CD=1/2AB，E、F分别是AC、BC的中点，求证：以EF为直径的⊙O 与AB 相切。

［分析］：因直线AB与⊙O无公共点，故应采用“作垂直，证半径”的方法。

［证明］：过O点作OH⊥AB于H

∵E、F分别为AC、BC的中点

∴EF∥AB，且EF=1/2AB

∴G点为CD的中点，OH=GD=1/2CD

∵CD=1/2AB ∴EF=CD

∴OH=1/2EF

∴AB为⊙O的切线

例4.如图，已知AB是⊙O 的直径，线段AF与⊙O相切于点A，D是AF的中点，BF 交⊙O于E点，过B点的切线与DE的延长线交于C点，求证：CD与⊙O相切。

［分析］：因直线CD与⊙O有公共点E，故应采用“连半径，证垂直”的方法。

［证法一］：如图4-1，连结OE、AE

∵AB是⊙O的直径

∴AE⊥BF

∵D是AF的中点

∴DA=DF=DE

∴∠DEA=∠DAE

∵OA=OE ∴∠OAE=∠OEA

∵AB是⊙O的直径，AF是⊙O的切线

∴∠DAE+∠OAE=90°

∴∠DEA+∠OEA=90°

∵OE是⊙O的半径

∴CD与⊙O 相切于E

［证法二］：如图4-2，连结OE、AE、OD

∵AB是⊙O的直径

∴AE⊥BF

∵D是AF的中点

∴DA=DE=1/2AF

在△OED和△OAD中

∵DE=DA，OD=OD，OE=OA

∴在△OED≌△OAD

∴∠OED=∠OAD

∵AB是⊙O的直径，AF是⊙O的切线∴∠OAD=90°

∴∠OED=90°

∵OE是⊙O的半径

∴CD与⊙O相切于E

［点评］：证法一是利用了等式的性质证明∠OED=∠OAD=90°, 证法二是利用了全等三角形的对应角相等证明∠OED=∠OAD=90°

例5.如图，已知直角梯形ABCD中∠A=∠B=90°，AD∥BC，E为AB上一点，ED平分∠ADC，CE平分∠BCD，试问⑴以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系？并证明。

⑵以CD为直径的圆与AB又有怎样的位置关系？并证明。

［分析］：

⑴取AB的中点E，过E点作EF⊥CD于F，如果EF=AE，那么以AB为直径的圆与边CD相切，这就是“作垂直，证半径”。

⑵的证明方法是在⑴得到AE=BE的基础上,作梯形的中位线EG，即要证明EG为圆的半径又要证明EG⊥AB。

［证明］：⑴以AB为直径的圆与边CD相切。

如图5-1，过E点作EF⊥CD于F

∵DE平分∠ADC，DA⊥AE，EF⊥CD ∴EA=EF

同理可证,EF=EB

∴EA=EB=EF=1/2AB

∵EF⊥CD，且FE=1/2AB

∴以AB为直径的圆与边CD相切

⑵以CD为直径的圆与边AB相切

如图5-2，过E点作EF⊥CD于F，过E点作EG∥BC交CD于G点。

在△EAD与△EFD中

∵∠A=∠EFD=90°

∠ADE=∠FDE，DE=DE

（下转6版）