高三数学专题复习

高三数学专题复习：数学开放性问题

数学开放性问题是近年来高考命题的一个新方向,其解法灵活且具有一定的探索性,这类题型按解题目标的操作模式分为:规律探索型,问题探究型,数学建模型,操作设计型,情景研究型.如果未知的是解题假设,那么就称为条件开放题;如果未知的是解题目标,那么就称为结论开放题;如果未知的是解题推理,那么就称为策略开放题.当然,作为数学高考题中的开放题其“开放度”是较弱的,如何解答这类问题,还是通过若干范例加以讲解.

【例1】 设等比数列{}n a 的公比为 q ，前 n 项和为 n S ，是否存在常数 c ，使数列 {}c S n +也成等比数列？若存在，求出常数c ；若不存在，请 明理由.

解 存在型开放题的求解一般是从假设存在入手, 逐步深化解题进程的. 设存在常数c ， 使数列{}c S n + 成等比数列.

2

12)())((c S c S c S n n n +=++++

()221122n n n n n n S S S c S S S ++++∴⋅-=-- (i) 当 1=q 时，1na S n = 代入上式得

()[])2()1((1)2(12

2

12

1+--+=+-+n n n a ca n a n n a 即2

1a =0

但01≠a , 于是不存在常数c ，使{}c S n +成等比数列.

(ii) 当 1≠q 时，(1)1n n a q S q

-=-， 代 入 上 式 得

222

1112

(1)(1),(1)1(1)n n a q ca q a q q c q q q --=-∴=---.

综 上 可 知 , 存 在 常 数 1

1

-=

q a c ，使{}c S n +成等比数列. 注意：等比数列n 项求和公式中公比的分类, 极易忘记公比1q =的 情 形,可不要忽视

【例2】 某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元.

（1）写出y 与x 之间的函数关系式；

（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）；

(3 ) 使用若干年后，对机床的处理方案有两种：

(i )当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；

(ii )当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床，问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由.

解：（1）98]42

)

1(12[50-⨯-+

-=x x x x y =984022

-+-x x . （2）解不等式 984022

-+-x x ＞0, 得 5110-＜x ＜5110+.

∵ x ∈N ， ∴ 3 ≤x ≤ 17. 故从第3年工厂开始盈利.

（3）(i) ∵

）

x x x x x y 98

2(4098402+-=-+-=≤40129822=⨯- 当且仅当x

x 98

2=时，即x =7时，等号成立.

∴ 到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30=114万元. (ii) y =－2x 2+40x －98= －2（x －10）2 +102，

∴当x =10时，y ma x =102.

故到2011年，盈利额达到最大值，工厂共获利102+12=114万元. 解答函数型最优化实际应用题，二、三元均值不等式是常用的工具. 【例3】 已知函数f (x )=

4

12

-x (x <－2)

(1)求f (x )的反函数f －

1(x ); (2)设a 1=1,

1

1+n a =－f －

1(a n )(n ∈N ),求a n ;

(3)设S n =a 12+a 22+…+a n 2,b n =S n +1－S n 是否存在最小正整数m ,使得对任意n ∈N ,有b n <25

m 成立？若存在，求出m 的值；若不存在说明理由. 解：(1) y

∵x <－2，∴x=

即y =f －

1(x )= －

(x >0). (2)

∵

11n a += , ∴2

2111n n

a a +-=4. ∴21n a ⎧⎫

⎨

⎬⎩⎭

是公差为4的等差数列. ∵a 1=1, ∴

2

1n a =21

1

a +4(n －1)=4n －3. ∵a n >0 , ∴a n

.

(3) b n =S n +1－S n =a n +12=141n +, 由b n <25

m ,得 m >25

41n +对于n ∈N 成立. ∵

25

41

n +≤5 , ∴m >5,存在最小正数m =6,使得对任意n ∈N 有b n <

25

m

成立. 【例4】 已知数列))(,(,1,}{11N n a a P a a n n n ∈=+且点中在直线x －y +1=0上. （1） 求数列{a n }的通项公式； （2）若函数123

111

1

()(,2),n

f n n N n n a n a n a n a =++++

∈≥++++且 求函数f (n )的最小值；

(3)设1

,n n n

b S a =

表示数列{b n }的前n 项和.试问:是否存在关于n 的整式g(n ), 使得)()1(1321n g S S S S S n n ⋅-=++++- 对于一切不小于2的自然数n 恒成立?若存在,写出

g(n )的解析式,并加以证明;若不存在,说明理由.

解 ：（1）

011=+-+n n a a

.

1,

01,,

01,

01,011113221n n a a n a a a a a a a a n n n n =-+==-+-=+-=+-=+-∴-得以上各式相加

（2） 11

1()12

2f n n n n =+++++,

11111

(1)23

22122

f n n n n n n +=

+++

++

++++,

111111

(1)()021********

f n f n n n n n n n ∴+-=

+->+-=++++++.