三自由度正交球面并联机构姿态正解

文章编号:100122354(2002)0420008203

三自由度正交球面并联机构姿态正解

Ξ

梅江平,倪雁冰,王辉,孔德庆

(天津大学机械工程学院,天津　300072)

摘要:结合国家“863”高技术发展项目,以开发基于球面并联机构的数控回转台为目标,建立了高效的运动学正解模型,并给出显式解析表达,为数控系统的开发提供理论依据。 关键词:球面并联机构

中图分类号:TP273 文献标识码:A

1　前言

三自由度球面并联机构是一种可实现转动自由度的并联机构,可用作机器人肩关节、卫星跟踪随动装置、灵捷眼以及数控回转台等需要结构紧凑且较大回转角的场合[1～6]。在国家“863”高技术发展计划及国家自然科学基金的资助下,天津大学开展了设计理论及样机建造的研究工作。 与其它并联机构相仿,提供形式简洁、计算高效的姿态正、逆解模型是实现这类机构高速、高精度的实时运动控制及实时监控的首要前提。本文紧密结合样机的研制,利用刚体旋转的性质,导出正交球面并联机构正解的显式解析模型。并将研究成果用于一台新型数控回转台数控系统的开发

。

图1　球面并联机构简图

2　机构简介

如图1所示,基于正交球面并联机构的数控转台

由静角台、动角台、工作台以及三组连架杆和连杆构成

的支链组成。如图2所示,固连在静角台上的伺服电机通过直角减速器与连架杆、连架杆与连杆、及连杆与动角台间用转动副铰接,各转动副轴线u i 、v i 和w i (i =1,2,3)汇交于球心O 。在伺服电机的驱动下,动角台可实现绕过球心O 任意轴线的三维转动

。

图2　机构简图

正交球面并联机构的结构参数满足如下条件:

α1=α2=

π

2

,　β1=β2=β=arctan 2,　

η=π

3

式中:α1,α2—

——u i 轴与v i 轴,v i 轴与w i 轴间的结构夹角;β1,β2—

——静、动角台的半顶锥角;η———静、动角台间的结构扭角。

3　姿态描述

如图2所示,在动、静角台上分别建立连体系O

-x ′0y ′0z ′0和固定参考系O -x 0y 0z 0,动角台相对

8 机构学与机械动力学

专题论文《机械设计》2002年4月№4

Ξ收稿日期:2001205216;　修订日期:2001208227

基金项目:国家863高技术发展计划资助项目(863-511-943-006);国家自然科学基金资助项目(50075056)

作者简介:梅江平(19692),男,博士研究生,研究方向:数控技术。

静角台的姿态可由三个动欧拉角ψ1,ψ2和ψ3来描述。在此ψ1,ψ2和ψ3分别称进动角、章动角和自旋角

,定义见文献[1,2],相应的动欧拉矩阵可表示为:

R =c ψ1c ψ3-s ψ1c ψ2s ψ3

-c ψ1s ψ3-s ψ1c ψ2c ψ3s ψ1s ψ2s ψ1c ψ3+c ψ1c ψ2s ψ3

-s ψ1s ψ3+c ψ1c ψ2c ψ3

-c ψ1s ψ2s ψ2s ψ3s ψ2c ψ3

c ψ2

式中:ψ3=<-ψ1,　s =sin ,　c =cos 。

由轴w 1、w 2和w 3彼此正交,建立如图2所示的连体系O -w 1w 2w 3和固定参考系O -w 10w 20w 30,令两系间的旋转矩阵为R ′。于是,实现系O -x 0y 0z 0至系O -x ′0y ′0z ′0旋转变换的另一途径为:首先将系O -x 0y 0z 0旋转至系O -w 10w 20w 30,然后将系O -w 10w 20w 30旋转至系O -w 1w 2w 3,最后再将系O -w 1w 2w 3旋转至O -x ′0y ′0z ′0。据此,有:

R =R 0R ′R T

0=Q

(1)式中:

R 0=cos η21sin βcos η22sin βcos η23sin β

sin η21sin βsin η22sin βsin η23sin βcos β

cos β

cos β

(1a )

表示由O -w 10w 20w 30(O -w 1w 2w 3)相对系

O -x 0y 0z 0(O -x ′0y ′0z ′0)的姿态矩阵:

R ′=

c ψ′1c ψ′3-s ψ′1c ψ′2s ψ′3

-c ψ′1s ψ′3-s ψ′1c ψ′2c ψ′3s ψ′1s ψ′2s ψ′1c ψ′3+c ψ′1c ψ′2s ψ′3

-s ψ′1s ψ′3+c ψ′1c ψ′2c ψ′3

-c ψ′1s ψ′2

s ψ′2s ψ′3

s ψ′2c ψ′3

c ψ′2

(1b )

η2j =(i -1)

2

π3

+η,(i =1,2,3)———动角台的位置角; ψ′1,ψ′2,ψ′3—

——描述系O -w 1w 2w 3相对系O -w 10w 20w 30姿态的三个欧拉角。

当R ′已知时,由式(1)可确定:

ψ2=arccos q 33,　ψ3=arctan q 31q 32,　ψ1=arctan q 13

-q 23

(2)

式中:q ij ———矩阵Q 的第i 行第j 列元素。

4　正解模型

进行运动控制时,通常期望通过人机界面监测当

前动角台的姿态,为此需要构造姿态正解模型,即利用伺服电机编码器的反馈信息θi (i =1,2,3)后,确定动角台的3个欧拉角ψi (i =1,2,3)。 由于轴u 1,u 2和u 3彼此正交,故在定角台上建立如图2所示以O 为原点的固定坐标系O -u 1u 2u 3,约定:

u 1=1　0　0T ,u 2=0　0　1T ,u 3=0　1　0T

(3) 根据机构装配模式,且注意α1=π

/2,易导出在系O -u 1u 2u 3下,连架杆与连杆铰接轴线的单位矢量:

v 1=0

cos θ1sin θ1

,v 2=

cos θ2sin θ20

,v 3=

sin θ30cos θ3

(4)

当机构处于初始位形时,动角台与连杆铰接轴线的单位矢量为:

w 10=-u 3,w 20=-u 1,w 30=-u 2

(5) 因系O -w 10w 20w 30至系O -w 1w 2w 3的旋转矩阵为R ′,故w i =(w i 1　w i 2　w i 3)

T

可表示为:

w i =R ′w i 0,　i =1,2,3

(6)

另注意到α2=π

/2,由交错角定理可构造机构的闭环约束方程:

v i ・w i =cos α2=0(7) 将式(4)和式(6)代入式(7)展开得:

cos θ1cos ψ′1sin ψ′2-sin θ1cos ψ′2=0(8a ) cos θ2(cos ψ′1sin ψ′3+sin ψ′1cos ψ′2cos ψ′3)+

sin θ2(sin ψ′1sin ψ′3-cos ψ′1cos ψ′2cos ψ′3)=0

(8b ) sin θ3(-cos ψ′1cos ψ′3+sin ψ′1cos ψ′2sin ψ′3)-cos θ3sin ψ′2sin ψ′3=0

(8c )

将式(8b )和式(8c )改写为:

A 1sin ψ′3+A 2cos ψ′3=0

B 1sin ψ′3+B 2cos ψ′3=0

(9)

式中:A 1=cos θ2cos ψ′1+sin θ2sin ψ′1

A 2=cos θ2sin ψ′1cos ψ′2-sin θ2cos ψ′1cos ψ′2

B 1=sin θ3sin ψ′1cos ψ′2-cos θ3sin ψ′2B 2=-sin θ3cos ψ′1

对式(9)操作使得:

A 1

B 2-A 2B 1=0

(10)

展开整理后有:

(cos θ2cos ψ′1+sin θ2sin ψ′1)(1+tan 2

ψ′2)sin θ3cos ψ

′+ (cos θ2sin ψ′1-sin θ2cos ψ′1)(sin θ3sin ψ′1-cos θ3tan ψ′2)=0

(11)

又由式(8a )知,若cos ψ′1≠0且cos ψ′2≠

0,则: tan ψ′2=tan θ1/cos ψ′1(12) 将式(12)代入式(11),整理得:

a tan ψ′1+

b =0

(13)

式中:a =sin θ2sin θ3tan 2

θ1-cos θ2cos θ3tan θ1;

b =cos θ2sin θ3(1+tan 2

θ1)+sin θ2cos θ3tan θ1。

根据机构的装配模式,可得到如下正解:

ψ′1=arctan (-b/a )

(14)

据式(14)、式(12)、式(9)依次可解出ψ′1、ψ′2、

ψ′3。将ψ′1、ψ′2、ψ′3代入式(1b )后,再将式(1a )、式(1b )代入式(1)得矩阵Q 中诸元素q 13、q 23、q 33、q 31、

q 32,最后代入式(2),即可求出ψ1、

ψ2、ψ3。5　结论

本文根据正交球面并联机构的性质,利用一组特

殊的正交坐标系,导出姿态正解模型的显式解析表达,进而为控制系统的实时轨迹控制及在线监测提供了保证。实验结果表明,模型正确,计算速度快,能满足数

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《机械设计》2002年4月№4专题论文

机构学与机械动力学