八年级数学培优讲义(下册)(完整资料).doc
人教版八年级数学上下册培优讲义机构辅导资料(共29讲)
八年级数学讲义目录专题01 整式的乘除阅读与思考指数运算律是整式乘除的基础，有以下5个公式：mnm na a a+⋅=， ()m n mna a=，()n n nab a b =，(0)m n m n a a a a -÷=≠，01(0)a a =≠，1(0)p pa a a -=≠． 学习指数运算律应注意： 1．运算律成立的条件；2．运算律中字母的意义：既可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者多项式； 3．运算律的正向运用、逆向运用、综合运用．多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是： 1．将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位； 2．确定商式，竖式演算式，同类项上下对齐； 3．演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止．例题与求解【例1】（1）若n 为不等式2003006n>的解，则n 的最小正整数的值为 ．（“华罗庚杯”香港中学竞赛试题）（2）已知21x x +=，那么432222005x x x x +--+= ． （“华杯赛”试题）（3）把26(1)x x -+展开后得121121211210a x a x a x a x a +++++L ，则121086420a a a a a a a ++++++= ． （“祖冲之杯”邀请赛试题）（4）若543237629()()()()()x x x x x x a x b x c x d x e -+-++=-----则ab ac ad ae bc bd be cd ce de +++++++++= ． （创新杯训练试题）解题思路：对于（1），从幂的乘方逆用入手；对于（2），目前无法求x 值，可考虑高次多项式用低次多项式表示；对于（3），它是一个恒等式，即在x 允许取值范围内取任何一个值代入计算，故可考虑赋值法；对于（4），可考虑比较系数法．【例2】已知252000x =，802000y=，则11x y+等于（ ） A ．2 B ．1 C ．12 D ．32（“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：,x y 为指数，我们无法求出,x y 的值，而11x y x y xy++=，所以只需求出,x y xy +的值或它们的关系，于是自然想到指数运算律．【例3】设,,,a b c d 都是正整数，并且5432,,19a b c d c a ==-=，求d b -的值．（江苏省竞赛试题）解题思路：设5420326,a b m c d n ====，这样,a b 可用m 的式子表示，,c d 可用n 的式子表示，通过减少字母个数降低问题的难度．【例4】已知多项式2223286(2)(2)x xy y x y x y m x y n +--+-=++-+，求3211m n +-的值．解题思路：等号左右两边的式子是恒等的，它们的对应系数对应相等，从而可考虑用比较系数法．【例5】是否存在常数,p q 使得42x px q ++能被225x x ++整除？如果存在，求出,p q 的值，否则请说明理由．解题思路：由条件可推知商式是一个二次三项式（含待定系数），根据“被除式=除式×商式”，运用待定系数法求出,p q 的值，所谓,p q 是否存在，其实就是关于待定系数的方程组是否有解．【例6】已知多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除，求ab的值． （北京市竞赛试题） 解题思路：本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．本题关键是能够通过分析得出当2x =-和1x =时，原多项式的值均为0，从而求出,a b 的值．当然本题也有其他解法．能力训练A 级1．（1）24234(0.25)1⨯--= ． （福州市中考试题） （2）若23n a=，则621n a -= ． （广东省竞赛试题）2．若2530x y +-=，则432xyg． 3．满足200300(1)3x ->的x 的最小正整数为 ． （武汉市选拔赛试题）4．,,,a b c d 都是正数，且23452,3,4,5a b c d ====，则,,,a b c d 中，最大的一个是 ．（“英才杯”竞赛试题）5．探索规律：133=，个位数是3；239=，个位数是9；3327=，个位数是7；4381=，个位数是1；53243=，个位数是3；63729=，个位数是9；…那么73的个位数字是 ，303的个位数字是 ． （长沙市中考试题） 6．已知31416181,27,9a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．a b c <<D ．b c a >>7．已知554433222,3,5,6a b c d ====，那么,,,a b c d 从小到大的顺序是（ ）A ．a b c d <<<B ．a b d c <<<C ．b a c d <<<D ．a d b c <<<（北京市“迎春杯”竞赛试题）8．若11222,22n n n n x y +--=+=+，其中n 为整数，则x 与y 的数量关系为（ ）A ．4x y =B ．4y x =C ．12x y =D ．12y x =（江苏省竞赛试题）9．已知23,26,212,abc===则,,a b c 的关系是（ ）A ．2b a c <+B ．2b a c =+C ．2b a c >+D ．a b c +>（河北省竞赛试题）10．化简4322(2)2(2)n n n ++-得（ ） A ．1128n +- B ．12n +-C ．78D ．7411．已知2233447,49,133,406ax by ax by ax by ax by +=+=+=+=，试求171995()6()2x y xy a b ++-+的值．12．已知2267314(23)(3)x xy y x y a x y b x y c --+++=-+++．试确定,,a b c 的值．13．已知323x kx ++除以3x +，其余数较被1x +除所得的余数少2，求k 的值．（香港中学竞赛试题）B 级1．已知23,45,87,abc===则28a c b+-= ．2．（1）计算：1998200020002000200073153735+⎛⎫⨯ ⎪+⎝⎭= ． （第16届“希望杯”邀请竞赛试题） （2）如果5555555555555554444666666233322n ++++++++⨯=+++，那么n = ． （青少年数学周“宗沪杯”竞赛试题）3．（1）1615与1333的大小关系是1615 1333（填“＞”“＜”“＝”）．（2）200020013131++与200120023131++的大小关系是：200020013131++ 200120023131++（填“＞”“＜”“＝”）．4．如果210,x x +-=则3223x x ++= ． （“希望杯”邀请赛试题）5．已知55432(2)x ax bx cx dx ex f +=+++++，则164b d f ++= ．（“五羊杯”竞赛试题）6．已知,,a b c 均为不等于1的正数，且236,ab c -==则abc 的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．12（“CASIO 杯”武汉市竞赛试题）7．若3210x x x +++=，则27261226271xx x x x x x ---+++++++++L L 的值是（ ）A ．1B ．0C ．—1D ．28．如果328x ax bx +++有两个因式1x +和2x +，则a b +=（ ）A ．7B ．8C ．15D ．21（奥赛培训试题）9．已知12319961997,,,,a a a a a L 均为正数，又121996231997()()M a a a a a a =++++++L gL ，121997231996()()N a a a a a a =++++++L g L ，则M 与N 的大小关系是（ ）A ．M N =B ．M N <C ．M N >D ．关系不确定10．满足22(1)1n n n +--=的整数n 有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．411．设,,,a b x y 满足2233443,7,16,42,ax by ax by ax by ax by +=+=+=+=求55ax by +的值．12．若,,,x y z w 为整数，且x y z w >>>，52222208xyzw+++=，求2010(1)x y z w +++-的值． （美国犹他州竞赛试题）13．已知,,a b c 为有理数，且多项式32x ax bx c +++能够被234x x +-整除． （1）求4a c +的值； （2）求22a b c --的值；（3）若,,a b c 为整数，且1c a >≥．试比较,,a b c 的大小．（四川省竞赛试题）专题02 乘法公式阅读与思考乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在整式的乘除、数值计算、代数式的化简求值、代数式的证明等方面有广泛的应用，学习乘法公式应注意：1．熟悉每个公式的结构特征；2．正用 即根据待求式的结构特征，模仿公式进行直接的简单的套用； 3．逆用 即将公式反过来逆向使用； 4．变用 即能将公式变换形式使用；5．活用 即根据待求式的结构特征，探索规律，创造条件连续综合运用公式．例题与求解【例1】 1，2，3，…，98共98个自然数中，能够表示成两个整数的平方差的个数是 ．（全国初中数字联赛试题）解题思路：因22()()a b a b a b -=+-，而a b +a b -的奇偶性相同，故能表示成两个整数的平方差的数，要么为奇数，要么能被4整除．【例2】（1）已知,a b 满足等式2220,4(2)x a b y b a =++=-，则,x y 的大小关系是( )14．x y ≤B ．x y ≥C ．x y <D ．x y >（山西省太原市竞赛试题）（2）已知,,a b c 满足22227,21,617a b b c c a +=-=--=-，则a b c ++的值等于（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5（河北省竞赛试题）解题思路：对于（1），作差比较,x y 的大小，解题的关键是逆用完全平方公式，揭示式子的非负性；对于（2），由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑．【例3】计算下列各题：（1） 2486(71)(71)(71)(71)1+++++；（天津市竞赛试题） （2）221.23450.76552.4690.7655++⨯；（“希望杯”邀请赛试题）（3）22222222(13599)(246100)++++-++++L L ．解题思路：若按部就班运算，显然较繁，能否用乘法公式简化计算过程，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征．【例4】设221,2a b a b +=+=，求77a b +的值． （西安市竞赛试题）解题思路：由常用公式不能直接求出77a b +的结构，必须把77a b +表示相关多项式的运算形式，而这些多项式的值由常用公式易求出其结果．【例5】观察：222123415;2345111;3456119;⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯+=L（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；（2）根据（1），计算20002001200220031⨯⨯⨯+的结果（用一个最简式子表示）．（黄冈市竞赛试题）解题思路：从特殊情况入手，观察找规律．【例6】设,,a b c 满足2223331,2,3,a b c a b c a b c ++=++=++=求：（1）abc 的值； （2）444a b c ++的值．（江苏省竞赛试题）解题思路：本题可运用公式解答，要牢记乘法公式，并灵活运用．能力训练A 级1．已知22(3)9x m x --+是一个多项式的平方，则m = ． （广东省中考试题） 2．数4831-能被30以内的两位偶数整除的是 ．3．已知222246140,x y z x y z ++-+-+=那么x y z ++= ．（天津市竞赛试题）4．若3310,100,x y x y +=+=则22x y += ．5．已知,,,a b x y 满足3,5,ax by ax by +=-=则2222()()a b x y ++的值为 ．（河北省竞赛试题）6．若n 满足22(2004)(2005)1,n n -+-=则(2005)(2004)n n --等于 ． 7．22221111(1)(1)(1)(1)2319992000----L 等于（ ） A ．19992000 B ．20012000 C ．19994000D ．200140008．若222210276,251M a b a N a b a =+-+=+++，则M N -的值是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．可正可负9．若222,4,x y x y -=+=则19921992xy +的值是（ ）A ．4B ．19922C ．21992D ．41992（“希望杯”邀请赛试题）10．某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？ （“CASIO ”杯全国初中数学竞赛试题）11．设9310382a =+-，证明：a 是37的倍数． （“希望杯”邀请赛试题）12．观察下面各式的规律：222222222222(121)1(12)2;(231)2(23)3;(341)3(34)4;⨯+=+⨯+⨯+=+⨯+⨯+=+⨯+L写出第2003行和第n 行的式子，并证明你的结论．B 级1．()na b +展开式中的系数，当n =1，2，3…时可以写成“杨辉三角”的形式（如下图），借助“杨辉三角”求出901.1的值为 ． （《学习报》公开赛试题）2．如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上的两数之和都相等，如果13，9，3的对面的数分别为,,a b c ，则222a b c ab bc ac ++---的值为 ．（天津市竞赛试题）3．已知,,x y z 满足等式25,9,x y z xy y +==+-则234x y z ++= ．4．一个正整数，若分别加上100与168，则可得两到完全平方数，这个正整数为 ．（全国初中数学联赛试题）5．已知19992000,19992001,19992002a x b x c x =+=+=+，则多项式222a b c ab bc ac ++---的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．把2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有（ ）A ．16种B ．14种C ．12种D ．10种（北京市竞赛试题）7．若正整数,x y 满足2264x y -=，则这样的正整数对(,)x y 的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（山东省竞赛试题）第2题图11 2 1 1 3 31146 4 11 5 10 10 5 1 … … … … … … …8．已知3a b -=，则339a b ab --的值是（ ）A ．3B ．9C ．27D ．81（“希望杯”邀请赛试题）9．满足等式221954m n +=的整数对(,)m n 是否存在？若存在，求出(,)m n 的值；若不存在，说明理由．10．数码不同的两位数，将其数码顺序交换后，得到一个新的两位数，这两个两位数的平方差是完全平方数，求所有这样的两位数．（天津市竞赛试题）11．若x y a b +=+，且2222x y a b +=+， 求证：2003200320032003x y a b +=+．12．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如222222420,1242,2064,=-=-=-因此4，12，20这三个数都是神秘数．（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为22k +和2k （其中k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（取正值）是神秘数吗？为什么？ （浙江省中考试题）专题3 和差化积----因式分解的方法（1）阅读与思考提公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法，有公因式的先提公因式，分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止． 一些复杂的因式分解问题经常用到以下重要方法： 1．换元法：对一些数、式结构比较复杂的多项式，可把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新字母代替，从而可达到化繁为简的目的．从换元的形式看，换元时有常值代换、式的代换；从引元的个数看，换元时有一元代换、二元代换等． 2．拆、添项法：拆项即把代数式中的某项拆成两项的和或差，添项即把代数式添上两个符号相反的项，因式分解中进行拆项与添项的目的是相同的，即经过拆项或添项后，多项式能恰当分组，从而可以运用分组分解法分解．例题与求解【例l 】分解因式()()=-++++122122x x x x ___________．（浙江省中考题）解题思路：把()x x +2看成一个整体，用一个新字母代换，从而简化式子的结构．【例2】观察下列因式分解的过程： （1）y x xy x 442-+-；原式＝()()()()()()44442+-=-+-=-+-x y x y x y x x y x xy x ；（2）bc c b a 2222+--．原式＝()()()()c b a c b a c b a bc c b a +--+=--=-+-222222．第（1）题分组后能直接提公因式，第（2）题分组后能直接运用公式． 仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式： （1）bc ac ab a -+-2；（西宁市中考试题）（2）yz z y x 44222+--．（临沂市中考试题）解题思路：通过分组，使每一组分组因式后，整体能再分解，恰当分组是关键，经历“实验－－失败－－再试验－－再失败－－直至成功”的过程．【例3】分解因式（1）1999)11999(199922---x x ；（重庆市竞赛题）（2）()()()()112-+++++xy xy xy y x y x ；（“缙云杯”邀请赛试题）（3）()()()33322y x y x -----．（“五羊杯”竞赛试题）解题思路：（1）式中系数较大，直接分解有困难，不妨把数字用字母来表示；（2）式中y x +、xy 反复出现，可用两个新字母代替，突出式子的特点；（3）式中前两项与后一项有密切联系．【例4】把多项式34222----y x y x 因式分解后，正确的结果是（ ）．A ．()()13--++y x y xB ．()()31+--+y x y xC ．()()13+--+y x y xD ．()()31--++y x y x（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：直接分组分解困难，可考虑先将常数项拆成几个数的代数和，比如－3＝－4＋1．【例5】分解因式： （1）15++x x ；（扬州市竞赛题）（2）893+-x x ；（请给出多种解法）（“祖冲之杯”邀请赛试题）（3）1232234++++a a a a ．解题思路：按次数添上相应的项或按系数拆项法分解因式的基本策略．【例6】分解因式：611623+++x x x ．（河南省竞赛试题）解题思路：拆哪一项？怎样拆？可有不同的解法．能力训练A 级1．分解因式： （1）2341x x x -+＝___________________________． （泰安市中考试题）（2）33164mn n m -＝__________________________．（威海市中考试题）2．分解因式：（1）xy y y x x 2)1()1(-++-＝_________________________； （2）8)3(2)3(222-+-+x x x x ＝_____________________________． 3．分解因式：32422+++-b a b a ＝____________________________． 4．多项式a ax 83-与多项式442+-x x 的公因式是____________________．5．在1~100之间若存在整数n ，使n x x -+2能分解为两个整系数一次式的乘积，这样的n 有_______个． 6．将多项式yz z y x 1294222---分解因式的积，结果是（）．A ．)32)(32(z y x z y x ---+B ．)32)(32(z y x z y x +---C ．)32)(32(z y x z y x -+++D ．)32)(32(z y x z y x --++ 7．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是（）．A ．2727923-+-x x x B ．272723-+-x x x C ．272734-+-x x x D ．279323-+-x x x（“希望杯”邀请赛试题）8．把44+a 分解因式，其中一个因式是（ ）．A ．1+aB ．22+aC ．42+aD ．222+-a a 9．多项式abc c b a 3333++-有因式（ ）．A ．b a c -+B ．c b a ++C ．ab ac bc c b a -+-++222 D ．ab ac bc +-（“五羊杯”竞赛试题）10．已知二次三项式10212-+ax x 可分解成两个整系数的一次因式的积，那么（ ）．A ．a 一定是奇数B ．a 一定是偶数C ．a 可为奇数也可为偶数D ．a 一定是负数 11．分解因式：（1）13322)132(222-+-+-x x x x ； （2）90)384)(23(22-++++x x x x ；（3）1724+-x x ； （“祖冲之杯”邀请赛试题） （4）65223--+x x x ； （重庆市竞赛试题） （5）444)(y x y x +++；（6）2)1)(13)(12)(16(x x x x x +----．12．先化简，在求值：2)()(2b a b a a +-+，其中 2008=a ，2007=b ．B 级1．分解因式：344422-+--y y x x ＝_______________．（重庆市竞赛试题）2．分解因式：)5()4)(3)(2)(1(++++++x x x x x x ＝_____________．（“五羊杯”竞赛试题）3．分解因式：12)5)(3)(1(2+++-x x x ＝_________________________．（“希望杯”邀请赛试题）4．分解因式：15-+x x ＝______________________．（“五羊杯”竞赛试题）5．将145++x x 因式分解得（）．A ．)1)(1(32++++x x x x B ．)1)(1(32+++-x x x x C ．)1)(1(32+-+-x x x x D ．)1)(1(32+-++x x x x（陕西省竞赛试题）6．已知c b a ,,是△ABC 三边的长，且满足0)(22222=+-++c a b c b a ，则此三角形是（ ）． A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定 7．613223+-+x x x 的因式是（ ）．A ．12-xB ．2+xC ．3-xD ．12+x E. 12+x（美国犹他州竞赛试题）8．分解因式：（1）2)1()2)(2(ab b a ab b a -+-+-+； （湖北省黄冈市竞赛试题） （2）19991998199924+++x x x ； （江苏省竞赛试题） （3）22212)16)(1(a a a a a ++-++； （陕西省中考试题） （4）153143+-x x ； （“祖冲之杯”邀请赛试题） （5）333)(125)23()32(y x y x y x ---+-； （“五羊杯”竞赛试题） （6）6121444234++--x x x x ． （太原市竞赛试题）9．已知乘法公式：))((43223455b ab b a b a a b a b a +-+-+=+ ))((43223455b ab b a b a a b a b a ++++-=-利用或者不利用上述公式，分解因式：12468++++x x x x ．（“祖冲之杯”邀请赛试题）10．分解因式： （1）x x x 27623-+； （2）123--+a a a ；（3）xy y x x y x ++--)7()2(822．11．对方程20042222=++b a b a ，求出至少一组正整数解．（莫斯科市竞赛试题）12．已知在△ABC 中，),,(010616222是三角形三边的长c b a bc ab c b a =++--， 求证：b c a 2=+．（天津市竞赛试题）专题04 和差化积----因式分解的方法（2）阅读与思考因式分解还经常用到以下两种方法 1．主元法所谓主元法，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式按降幂排列重新整理成关于这个字母的多项式，使问题获解的一种方法． 2．待定系数法即对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出一个或几个待定的字母系数，把所求问题用式子表示，然后再利用已知条件，确定或消去所设系数，使问题获解的一种方法，用待定系数法解题的一般步骤是：（1）在已知问题的预定结论时，先假设一个等式，其中含有待定的系数；（2）利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；（3）解方程组，求出待定系数，再代入所设问题的结构中去，得出需求问题的解．例题与求解【例l 】xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是（ ）．A ．()()()z x y x z y -+-B ．()()()z x y x z y +--C ．()()()z x y x z y +-+D ．()()()z x y x z y -++（上海市竞赛题）解题思路：原式是一个复杂的三元二次多项式，分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母的多项式并按降幂排列，改变原式结构，寻找解题突破口．【例2】分解因式：（1）bc ac ab c b a 54332222+++++；（“希望杯”邀请赛试题）（2）z y xy xyz y x z x x 222232242-++--．（天津市竞赛题）解题思路：两个多项式的共同特点是：字母多、次数高，给分解带来一定的困难，不妨考虑用主元法分解．【例3】分解因式1)12()12(2223-+-++++a x a a x a x ．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：因a 的最高次数低于x 的最高次数，故将原式整理成字母a 的二次三项式．【例4】k 为何值时，多项式k y x y xy x +++-+108222有一个因式是?22++y x（“五羊杯”竞赛试题）解题思路：由于原式本身含有待定系数，因此不能先分解，再求值，只能从待定系数法入手．【例5】把多项式12544234+-+-x x x x 写成一个多项式的完全平方式.（江西省景德镇市竞赛题）解题思路：原多项式的最高次项是44x ，因此二次三项式的一般形式为b ax x ++22，求出b a 、即可．【例6】如果多项式15)5(2-++-a x a x 能分解成两个一次因式)(b x +，)(c x +的乘积（c b ,为整数），则a 的值应为多少？（江苏省竞赛试题）解题思路：由待定系数法得到关于a c b ,,的方程组，通过消元、分解因式解不定方程，求出a c b ,,的值．能力训练A 级1．分解因式：222449c bc b a -+-＝___________________________．（“希望杯”邀请赛试题）2．分解因式：22635y y x xy x ++++＝_______________________（河南省竞赛试题）3．分解因式：)(3)(322y x y y x x -+-+++＝____________________________．（重庆市竞赛试题）4．多项式78622++-+y x y x 的最小值为____________________．（江苏省竞赛试题）5．把多项式822222--++-y x y xy x 分解因式的结果是（ ）A ．)2)(4(+---y x y xB ．)8)(1(----y x y xC ． )2)(4(--+-y x y xD ．)8)(1(--+-y x y x6．已知122-+ax x 能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数是（ ）．A ．3 个B ．4 个C ．5 个D ．6个 7．若4323+-kx x 被13-x 除后余3，则k 的值为（ ）． A ．2 B ．4 C ．9 D ．10（“CASIO 杯”选拔赛试题）8．若51-=+b a ，13=+b a ，则53912322+++b ab a 的值是（ ）． A ．92 B ．32 C ．54D ．0（大连市“育英杯”竞赛试题）9．分解因式：（1）ac bc ab b a 2222++--；（吉林省竞赛试题）（2）))((4)(2b ac b a c ----；（昆明市竞赛试题）（3）a x a x x 2)2(323-++-；（天津市竞赛试题）（4）12267222--++-y x y xy x ；（四川省联赛试题）（5）2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy（天津市竞赛试题）10．如果1)4)((---x a x 能够分割成两个多项式b x +和c x +的乘积（c b 、为整数），那么a 应为多少？（兰州市竞赛试题）15．已知代数式24322-+---by x y xy x 能分解为关于y x ,的一次式乘积，求b 的值．（浙江省竞赛试题）B 级1．若k x x x +-+3323有一个因式是1+x ，则k ＝_______________．（“希望杯”邀请赛试题）2．设y kx xy x x 42323---+可分解为一次与二次因式的乘积，则k ＝_____________．（“五羊杯”竞赛试题）3．已知4+-y x 是4322+++-y mx y x 的一个因式，则m ＝________________________． （“祖冲之杯”邀请赛试题） 4．多项式6522++-++y x by axy x 的一个因式是2-+y x ，则b a +的值为__________．（北京市竞赛试题）5．若823+++bx ax x 有两个因式1+x 和2+x ，则b a +＝（）．A ．8B ．7C ． 15D ．21E ．22（美国犹他州竞赛试题）6．多项式251244522+++-x y xy x 的最小值为（ ）．A ．4B ．5C ．16D ．25（“五羊杯”竞赛试题）7．若136498322++-+-=y x y xy x M （y x ,为实数），则M 的值一定是（ ）．A ．正数B ．负数C ．零D ．整数(“CASIO 杯”全国初中数学竞赛试题）8．设n m ,满足016102222=++++mn n m n m ，则),(n m ＝（）A ．（2，2）或（－2，－2）B ．（2，2）或（2，－2）C ．（2，－2）或（－2，2）D ．（－2，－2）或（－2，2）（“希望杯”邀请赛试题）9．k 为何值时，多项式253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的积？（天津市竞赛试题）10．证明恒等式：222444)(2)(b ab a b a b a ++=+++．（北京市竞赛试题）11．已知整数c b a ,,，使等式)1)(11()10())((+-=-+++x x x c b x a x 对任意的x 均成立，求c 的值．（山东省竞赛试题）12．证明：对任何整数y x ,，下列的值都不会等于33．543223451241553y xy y x y x y x x ++--+（莫斯科市奥林匹克试题）专题05 和差化积——因式分解的应用阅读与思考：因式分解是代数变形的有力工具，在以后的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，其应用主要体现在以下几个方面：1．复杂的数值计算； 2．代数式的化简与求值； 3．简单的不定方程（组）； 4．代数等式的证明等.有些多项式分解因式后的结果在解题中经常用到，我们应熟悉这些结果： 1. 4224(22)(22)x x x x x +=++-+; 2. 42241(221)(221)x x x x x +=++-+; 3. 1(1)(1)ab a b a b ±±+=±±； 4.1(1)(1)ab a b a b ±-=±m m ；5. 3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ac ++-=++++---．例题与求解【例1】已知0≠ab ，2220a ab b +-=，那么22a ba b-+的值为___________ .（全国初中数学联赛试题） 解题思路：对已知等式通过因式分解变形，寻求a ，b 之间的关系，代入关系求值．【例2】a ，b ，c 是正整数，a ＞b ，且27a ab ac bc --+=，则a c -等于( ).A . －1B ．－1或－7C ．1 D.1或7（江苏省竞赛试题） 解题思路：运用因式分解，从变形条件等式入手，在字母允许的范围内，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称代数式的恒等变形，它是研究代数式、方程和函数的重要工具，换元、待定系数、配方、因式分解又是恒等变形的有力工具．求代数式的值的基本方法有； (1)代入字母的值求值； (2)代入字母间的关系求值； (3)整体代入求值．【例3】计算：(1) 32321997219971995199719971998--+-g （“希望杯”邀请赛试题）（2）444444444411111(2)(4)(6)(8)(10)4444411111(1)(3)(5)(7)(9)44444++++++++++ （江苏省竞赛试题） 解题思路：直接计算，则必然繁难，对于(1)，不妨用字母表示数，通过对分子、分母分解因式来探求解题思路；对于(2)，可以先研究41()4x +的规律．【例4】求下列方程的整数解．(1)64970xy x y +--=; （上海市竞赛试题） (2)222522007x xy y ++=. （四川省竞赛试题） 解题思路：不定方程、方程组没有固定的解法，需具体问题具体分析，观察方程、方程组的特点，利用整数解这个特殊条件，从分解因式入手．解不定方程的常用方法有：(1)穷举法； (2)配方法； (3)分解法； (4)分离参数法．用这些方程解题时，都要灵活地运用质数合数、奇数偶数、整除等与整数相关的知识.【例5】已知3a b +=，2ab =，求下列各式的值： (1) 22a b ab +； (2) 22a b +； (3)2211a b +． 解题思路：先分解因式再代入求值.【例6】一个自然数a 恰等于另一个自然数b 的立方，则称自然数a 为完全立方数，如27＝33，27就是一个完全立方数．若a ＝19951993×199519953－19951994×199519923，求证：a 是一个完全立方数． （北京市竞赛试题）解题思路：用字母表示数，将a 分解为完全立方式的形式即可．能力训练A 级1. 如图，有三种卡片，其中边长为a 的正方形卡片1张，边长分别为a ，b 的长方形卡片6张，边长为b 的正方形卡片9张，用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为 ________．（烟台市初中考试题）babbaa2．已知223,4x y x y xy +=+-=，则4433x y x y xy +++的值为__________．（江苏省竞赛试题） 3．方程25510x xy x y --+-=的整数解是__________． （“希望杯”邀请赛试题） 4. 如果2(1)1x m x -++是完全平方式，那么m 的值为__________． （海南省竞赛试题）5. 已知22230x xy y -+=(0≠xy )，则x yy x+的值是( )． A ．2，122 B ．2 C ．122 D ．12,22-- 6．当1x y -=，43322433x xy x y x y xy y ---++的值为( )． A . －1 B ．0 C ．2 D ．17．已知a b c ＞＞，222222M a b b c c a N ab bc ca =++=++，，则M 与N 的大小关 系是( )．A . M ＜NB ．M ＞NC ．M ＝ND ．不能确定（“希望杯”邀请赛试题）8．n 为某一自然数，代入代数式3n n -中计算其值时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的结果只能是( )．A . 388944B .388945C .388954D .388948（五城市联赛试题）9．计算：(1) 3331999100099919991000999--⨯⨯ （北京市竞赛试题）(2) 333322223111122222311111++ (安徽省竞赛试题)10. 一个自然数a 恰好等于另一个自然数b 的平方，则称自然数a 为完全平方数，如64＝82，64就是一个完全平方数，若a ＝19982＋19982×19992＋19992，求证：a 是一个完全平方数．（北京市竞赛试题）16．已知四个实数a ，b ，c ，d ，且a b ≠，c d ≠，若四个关系式224,b 4a ac bc +=+=，82=+ac c ，28d ad +=，同时成立.(1)求a c +的值；(2)分别求a ，b ，c ，d 的值．（湖州市竞赛试题）B 级1．已知n 是正整数，且4216100n n -+是质数，那么n ____________ .（“希望杯”邀请赛试题）2．已知三个质数,,m n p 的乘积等于这三个质数的和的5倍，则222m n p ++＝________ .（“希望杯”邀请赛试题）3．已知正数a ，b ，c 满足3ab a b bc b c ac c a ++=++=++=，则(1)(1)(1)a b c +++＝_________ . （北京市竞赛试题） 4．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式44x y -，因式分解的结果是22()()()x y x y x y -++，若取x ＝9，y ＝9时，则各个因式的值是：22()0,()18,()162x y x y x y -=+=+=，于是就可以把“0181 62”作为一个六位数的密码，对于多项式324x xy -，取x ＝10，y ＝10时，用上述方法产生的密码是：__________．（写出一个即可）．（浙江省中考试题）5．已知a ，b ，c 是一个三角形的三边，则444222222222a b c a b b c c a ++---的值( )．A .恒正B ．恒负C ．可正可负D ．非负(太原市竞赛试题) 6．若x 是自然数，设4322221y x x x x =++++，则( )．A . y 一定是完全平方数B ．存在有限个x ，使y 是完全平方数C . y 一定不是完全平方数D ．存在无限多个x ，使y 是完全平方数 7．方程2223298x xy x --=的正整数解有( )组．A .3B ．2C ．1D ．0（“五羊杯”竞赛试题）8．方程24xy x y -+=的整数解有( )组．A .2B ．4C ．6D .8（”希望杯”邀请赛试题）9．设N ＝695＋5×694＋10×693＋10×692＋5×69＋1.试问有多少个正整数是N 的因数？（美国中学生数学竞赛试题）10．当我们看到下面这个数学算式333337133713503724372461++==++时，大概会觉得算题的人用错了运算法则吧，因为我们知道3333a b a bc d c d++≠++．但是，如果你动手计算一下，就会发现上式并没有错，不仅如此，我们还可以写出任意多个这种算式：333331313232++=++，333352525353++=++，333373737474++=++，3333107107103103++=++，… 你能发现以上等式的规律吗？11.按下面规则扩充新数：已有a ，b 两数，可按规则c ab a b =++扩充一个新数，而以a ，b ，c 三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…每扩充一个新数叫做一次操作. 现有数1和4，求：(1) 按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；(2) 能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由．（重庆市竞赛试题）12.设k ，a ，b 为正整数．k 被22,a b 整除所得的商分别为m ，16+m .(1)若a ，b 互质，证明22a b -与22,a b 互质；(2)当a ，b 互质时．求k 的值；( 3)若a ，b 的最大公约数为5，求k 的值．（江苏省竞赛试题）专题06 从地平面到脚手架------分式的运算阅读与思考分式的主要内容包括分式的概念、分式的基本性质、分式的四则运算、简单的分式方程等． 分式的运算与分数的运算类似，是以整式的变形、因式分解及计算为工具，以分式的基本性质、运算法则和约分为基础．分式的加减运算是分式运算的难点，解决这一难点的关键是根据题目的特点恰当地通分，通分通常有以下策略与技巧：1．分步通分，步步为营； 2．分组通分，化整为零； 3．减轻负担，先约分再通分； 4．拆项相消后通分； 5．恰当换元后通分， 学习分式时．应注意：(1)分式与分数的类比．整数可以看做是分数的特殊情形，但整式却不能看做是分式的特殊情形； (2)整式与分式的区别需要讨论字母的取值范围，这是分式区别于整式的关键所在． 分式问题比起整式问题，增加了几个难点； (1)从“平房”到“楼房”，在“脚手架”上活动；(2)分式的运算中多了通分和约分这两道技术性很强的工序； (3)需要考虑字母的取值范围， 例题与求解【例1】m ＝_________时，分式2(1)(3)32m m m m ---+的值为0. （杭州市中考试题）解题思路：分母不为0时，分式有意义，分子与分母的公因式1m -就不为0．【例2】 已知1abc =，以2a b c ++=，2223a b c ++=，则111111ab c bc a ca b +++-+-+-的值为( )．A .1B ．12-C ．2D ．23- （太原市竞赛试题）解题思路：不宜直接通分，运用已知条件2a b c ++=，对分母分解因式，分解后再通分.【例3】计算：(1)322441124a a a b a b a b a b+++-+++ （武汉市竞赛试题）(2) 2232233223222244113a b a b a a b ab b a a b ab b a b a b a b+++--+++-+--+- （天津市竞赛试题）（3）33232322112(1)2212211x x xx x x x x x x-+++-+++-+--（赣州市竞赛试题）（4）22223322332223()2b a b aa b a bb a b a b aa b a b a b+++÷---+-（漳州市竞赛试题）解题思路：由于各个分式复杂，因此，必须仔细观察各式中分母的特点，恰当运用通分的相关策略与技巧；对于(4)，注意到题中各式是关于ba或ab的代数式，考虑设bxa=，ayb=，则1xy=，通过换元可降低问题的难度．当一个数学问题不能或不便于从整体上加以解决时，我们可以从局部入手将原题分解。
人教版八下数学培优系统全套讲义
第一讲 二次根式基础回顾1．下列式子是二次根式的是（ ）A. B ．． D.52．x 的取值范围（ ）A. 3x ＞ B ．3x ＜ C. 3x ≥ D. 3x ≤3．）A ．5B ．5- C.5± D.254．(2-的结果是（ ）A. B ． C . 18 D. 18-5.若a =，则a 的范围是（ ）A ．0a ＞ B. 0a ≥ C. 0a ≤ D. 0a ＜6.成立，则x 的范围是（ ） A.3≤≤4 B. x ≥4 C.3＜x ≤4 D. x ＞37.下列二次根式属于最简二次根式的是（ ）A.B.C. D.8．化简）A.B.C. 0D.9．下列计算正确的是（ ）A. =B. =C. =D.1== 方法运用（一）利用二次根式有意义的条件解答问题10．已知3y =，求.11.已知296m m +=，求nm的比值.(二）二次根式有意义的条件12．下列式子有意义，求x 的范围.(1)(2)(三)比较大小 13.比较大小.(1) (2)(3)（四）二次根式的运算14.计算．(1) - (2)-(3) 22)-1） (5)(6) 28÷(8)已知直角三角形的两条直角边分别为1和1，求周长与面积. （五）先化简，再求值．15．化简：2x 值代入化简并计算.16．一个三角形三边长分别为 , 54(1)求它的周长； (2)请给一个适当x 的值，使其周长为整数，并求三角形的周长的值17.412(2)22x x x x -÷+---，其中4x =. 18.已知4x y +=-，2xy =，求.（六）运用整体代换求值19．2a =2b =a bb a+的值．20．已知a b -=，b c -=，求222a b c ab bc ac ++---的值.（七）设辅助未知数求值 21． 22.23．已知4=，求.24.已知1x =，求代数式223x x ++的值.25.如图1，△ACB 为等腰直角三角形，AC ＝BC ，AC ⊥BC ，点E 、F 分别在BC 上．且CE ＝BF ，CM ⊥AE ，AE 与MF 的延长线相交于N 点． （1）求证：∠BMF ＝∠AMC .（2) 如图2，若CM 为AN 的垂直平分线，MF 与AE 的延长线交于N 点，求证：BM ＋CM ＝MN .(3) 若AC＝2+在(26.已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，AB ⊥AC ，D 、E 在BC 上，且∠ADC ＝∠BAE . (1)求证：∠DAE ＝045；(2) 过B 作BF ⊥AD 于F ，交直线AE 于M ，连CM ，判断BM 与CM 的位置关系，加以证明．图2图1第2讲 勾股定理基础回顾（一）勾股定理基本计算 1.依图给出条件进行计算2.如图，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AC ＝25，BD ＝10，AB ＝20，在AB 上找一点P ，使PC ＋PD 最小，并求最小值.AB（二）勾股定理画图3．在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，10ABC S △，求BC .4.在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝14，AC ＝15，AD ⊥BC 于D ，求AD .5．有四个全等的直角三角形，能用___________种方式拼成两个正方形．并用其中一种拼法证明勾股定理.6．在△ABC 中，AB ＝22，BC ＝1，∠ABC ＝045，以AB 为一边作等腰直角三角形ABD ，连接CD ，若∠ABD ＝090，求线段CD 的长.（三）勾股定理与方程7．如图，AB ＝15，AC ＝13，BC ＝4，求ABC S △.8．如图，长方形ABCD 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的F 点，求CE .9．如图，∠ACB ＝090，∠1＝∠2，AC ＝6，BC ＝8，求CD 的长．10.如图，已知∠ACB ＝090，CD ⊥AB 于D ，∠1＝∠2，EF ∥AB ，AC ＝6，BC ＝8． (1)求证CE ＝CG ； (2)求证：CE ＝FB ； (3)求FG 的长．11.如图，长方形ABCD ，AB ＝6，BC ＝10，将△BCD 沿BD 折翻，得△BDF ，BF 交AD 于E ，求BDE S △．（四）勾股定理与全等12.如图，等腰直角△ACB ，∠ACB ＝090，点D 、E 在AB 上，∠DCE ＝045，AD ＝3，BE ＝4，求AC .13.如图，等腰直角△ACB ，∠ACB ＝090，D 为AB 的中点，点E 、F 分别在AC 、BC 上，DE ⊥DF . (1) 求证：DE ＝DF ;(2) AC ＝4，AE ＝3，求DE 的长.（五）勾股定理与常规辅助线作法14.如图，△ABC中，AC⊥BC，D为AB中点，点E、F分别在BC、AC上，DE⊥DF,AF＝12，BE ＝5，求EF.15.如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，A、B两点关于y轴对称，∠APB＝0120，∠APB的外角平分线交y轴于E点．(1)求∠EBA的大小；(2)当P点在第二象限内运动时，问PB-PA与PE是否存在确定大小关系并证明．16.如图，在坐标系中，点A、B在x轴上，且OA＝OB，点P在第三象限内，∠APB＝060，PC平分∠APB交y轴于C点．-，0），求C点的坐标； (2)问PA＋PB与PC的数量关系，并证明.(1)若A（2317.如图，四边形ABCD中，∠A＝090，AB＝2，CD＝1，求BC和AD的60，∠B＝∠D＝0长.18.如图，在△ABC中，∠A＝090，P是AC的中点，PD⊥BC于D, BC＝9，CD＝3，求AB.问题探究19.如图，等腰直角△ACB，AC＝BC＝5，等腰直角△CDP, CD＝CP，且PB＝2，将△CDP绕C点旋转．(1)求证AD＝PB；(2)若∠CPB＝0135，求BD；(3) ∠PBC＝__________时，BD有最大值．并画图说明；∠PBC＝__________时，BD有最小值，并画图说明.第3讲 勾股定理逆定理基础回顾（一）运用逆定理证垂直1.如图，点P 为正方形ABCD 内一点，PA ＝3，PD ＝2，PC ＝1，求∠CPD .2．等边△ABC ，PA ＝5，PB ＝4，PC ＝3，求∠BPC .3.三角形三边为a ，b ，c ，判断△ABC 的形状.(1)21a n =-,2b n =,21c n =+； (2)222200121620a b c a b c +++=++.4.如图，BF ⊥AD ，∠A ＝∠EBC ＝060，AB ＝4，BC ＝3，CD 3DE ＝3. 求证：AD ⊥CD .5．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝090，P为角平分线的交点．(1)求∠APB； (2)若AC＝8，BC＝6，求PA的长．6．如图，△ACB为等腰直角三角形，∠ACB＝090，BE//AC，且AC＝4BE，AD为中线求证：(1)AD DE；(2) AD平分∠CAE.方法运用（一）利用勾股定理构造直角三角形7．如图，A(4，0)、B(0，4)两点，P在BA延长线上，△OPE为等腰直角三角形，F为PE的中点，OF交AB于M.(1)若P（5，－1），求E点坐标；(2)当P点在AB上运动时，问PA、PM、BM三者之间存在怎样关系并证明.8．如图，△ACB为等腰直角三角形，AC⊥BC，AE∥BC，AF＝AC，AM平分∠EAF.45；(2)求证：AM⊥MB；(1)求证：∠AMC＝0(3)探究AM、BM、CM三者间关系，并证明.9．如图，△ACB为等腰直角三角形，AC⊥BC，PA⊥PB，连接PC.(1)如图1，求证：PA＋PB＝2PC； (2)如图2，求证：PA–PB＝2PC.10.如图，四边形ABCD中，CA＝CB，∠ACB＝060，连PC. 求证：PA＋PB＝120，∠APB＝03.（二）利用特殊直角三角形寻求线段的比11．如图，正方形ABCD 中，F 为CD 的中点，点E 在BC 上，∠EAF ＝045，求CEBE．12.如图，△ACB 为等腰直角三角形，AC ＝BC ，点D 在AB 上，点E 在BC 上，CD ＝DE . (1)若∠CDE ＝045，求BEBC的值； (2)过E 点作EM AB 交BC 于M 点，求DMBC的值.13.（2011．武汉．5月调考）如图，等腰直角△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝090，AF 为△ABC的角平分线，分别过点C 、B 作AF 的垂线，垂足分别为E 、D . (1)求证：CE ＝DE ＝22BD； (2)求证：AF ＝2BD ； (3)求证：212DF AF -=.问题探究利用045、060构造特殊直角三角形，求线段的比．14.如图，△ABC 中，D 为AC 上一点，CD ＝2DA ，∠BAC ＝045，∠BDC ＝060，CE ⊥BD 于E ，连AE ，下列结论：(1)求证：ED ＝DA ； (2)求证：∠CBA ＝060；(3)求证：23BCEADES S =△△.15.如图，四边形ABDM 中，AB ＝BD ，AB ⊥BD , ∠AMD ＝060，以AB 为边作等边△ABC ，BE 平分∠ABD 交CD 于E ，连ME . (1)求∠BEC 的度数；(2)试探究：线段MD ＋MA 与ME 之间的数量关系，并加以证明； (3)若BD 6EC 的长为___________.（直接写出结果）第4讲平行四边形性质与判定基础回顾（一）平行四边形性质l.用两个全等的三角形拼成一个四边形，则下列说法正确的是( )A.一定是平行四边形B.可能是平行四边形C.一定不是平行四边形D.以上说法都不对2.在□ABCD中，对角线AC、BD交于O点，AC＝6，BD＝4，则AB的取值范围是（）A. AB＞1B.AB＞2C.1＜AB＜5D.2＜AB＜103．如图，□ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，交CD的延长线于F，若AB＝4，AD＝7，则DF＝ ( )A.5 B．4 C.6 D．34.如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF.求证：DE＝BF.5.如图，□ABCD中，对角线AC、BD交于O点，过O点的直线分别与AB、CD交于E、F两点.(1)求证：OE＝OF；(2)若E、F分别在AD、CB的延长线上，其余条件不变，(1)中结论是否仍然成立？画图并证明你的结论．6.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC＝6cm．点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动，几秒钟后四边形ABQP是平行四边形？7．□ABCD中，AC与BD相交于点O，AB AC，∠DAC＝045，AC＝2，求BC的长．60，BF＝2，DE＝3，DF与AE交于点G.8.如图口ABCD中，AF⊥BC于F，AE⊥DC于E，∠B＝0试判断△AFG的形状并予以证明．9．如图O为口ABCD的对角线AC的中点，过O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，点E、F 在直线MN上且OE＝OF.(1)图中共有几对全等三角形？请把它们都写出来；(2)求证：∠MAE＝∠NCF.（二）平行四边形判定10．如图，在口ABCD中，E，F为BD上的点，BF＝DE，那么四边形AECF是什么四边形？11．（2010恩施州）如图，口ABCD中，AE＝CF，M、N分别是DE、BF的中点.求证：四边形MFNE是平行四边形．12.如图，在口ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且AE＝CG，BF＝DH.求证：EG与FH互相平分.13.如图，在口ABCD中，E、F分在AD、BC上，AE＝CF，AF与BE交于G，CE与DF交于H，猜想EF与GH之间的关系，并证明你的猜想．135，连CE交AD于F14.如图，E是口ABCD内一点．ED⊥CD，EB⊥BC，∠AED＝0(l)求证：∠ADE＝∠ABE；(2)求证；△BCE为等腰直角三角形.15.如图，E是口ABCD内一点，已知DE AD，∠CBE＝∠CDE，∠BCE＝045.延长CE交AD、BA的延长线于F、G,连接BF.(1) BE＝CD；(2) BC－DE＝2CE.16.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，AE、DC的延长线相交于F，连接AC、BF.(1)求证：AB＝CF；(2)四边形ABFC是什么四边形？并说明理由.方法运用17.如图，在△ACB中，∠ACB＝090，CD AB.(1)若AC＝8，BC＝6，求AD的长；(2)若DE平分∠ADC，DF平分∠CDB，分别交AC、BC于F、F点，求证：CE＝CF.18.如图，口ABCD中，AB＝4，BC＝2，EB、CF平分∠ABC、∠BCD，交直线AD于E、F，求EF.S.19.在口ABCD中，AD＝12，BD＝10，AC＝26，求ABCD问题探究20．已知等腰△ABC和等腰△ADE，CA＝CB，AD＝AE，∠ACB＝∠DAE，点C、A、D在同一直线上，点E、B在直线CD的异侧，以线段AB和AD为邻边作口ABFD，连接CE、CF.60，则∠CFE＝_________；(1)如图1，若∠ACB＝∠DAE＝090，则∠CFE＝_________；(2)如图2，若∠ACB＝∠DAE＝0α，求∠CFE.(3)如图3，若∠ACB＝∠DAE＝060，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，21.（2012．沈阳）已知，如图1，∠MON＝04，在∠NON的内部、△AOB的外部有一点P，且AP＝BP，B不与点O重合），且AB＝3120．∠APB＝0(1)求AP的长；(2)求证：点P在∠MON的平分线上；(3)如图2，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP．①当AB⊥OP时，请直接．．写出四边形CDEF的周长的值；t的取值范围．②若四边形CDEF的周长用t表示，请直接．．写出第五讲 中位线专题一．结合全等构造中位线1.如图，△ABC 中，CD 平分∠ACB ，AD ⊥CD ，垂足为D 点，点E 为AB 的中点，（1）求证：DE ∥BC ;（2）若AC ＝8，BC ＝5，求DE 的长.2.如图，梯形ABCD 中，E ，F 分别为对角线BD ，AC 的中点，求证：（1）EF ∥CD ，(2)EF ＝21(CD －AB ).3.如图，四边形ABCD 为平行四边形，E 为AD 的中点，连接EB 并延长，使BF ＝BE ，连接EC 并延长，使CG ＝CE ，连接FG ， H 为FG 的中点，连接DH ，DH 交BC 于M ． （1）求证：四边形AFHD 为平行四边形；（2）若AB ＝BF ＝2，∠BAE ＝60°，求四边形BFHM 的面积．4.如图，在□BCFD 的对角线CD 的延长线上取一点E ，连接FE 并延长至A 点，使EA ＝EF ，连接AB ，求证：CE ∥AB .5.如图，□ABCD 的周长为a ，延长AB 至E ，使BE ＝BC ，BN ⊥EC 于N ，连MN ，求MN .6.如图，四边形ABCD 中，AB ＝CD ，∠ABD ＝20°，∠BDC ＝100°，E 、F 、M 分别为AD 、BD 、BC 的中点，求EFFM.7.如图，在△ABC 中，AB ＝10，BC ＝7，BE 平分∠ABC ，AE ⊥BE ，点F 是AC 的中点，连EF ，求EF .8.如图，AE ⊥AB ，BF ⊥AB ，AB 的中垂线交AB 于N ，交EF 于M ，求证：MN ＝21(BF －AE ).9.如图，AD ∥BC ，∠B ＋∠BCD ＝90°，连AC ，M 、N 、P 分别为AD 、BC 、AC 的中点， （1）求证：MP ⊥NP ； (2) 若AB ＝6，CD ＝8，求MN 的长.10.如图，BF 是△ABC 的角平分线，AM ⊥BF 于M ，CE 平分△ABC 的外角，AN ⊥CE 于N ， (1) 求证：MN ∥BC ； (2) 若AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，求MN 的长.二．寻找中点，产生两次中位线11.已知△ACB 、△CEF 都为等腰直角三角形，点E 、F 分别在AC 、BC 上，∠ACB ＝90°，连BE 、AF ,点M 、N 分别为AF 、BE 的中点. (1)如图1，求证： AE ＝2MN ；(2)将△CEF 绕C 点顺时针旋转一个锐角至图2，（1）中结论是否成立，试证明你的结论.12. 已知△ACB 、△CEF 都为等腰直角三角形，∠AED ＝∠ACB ＝90°，点D 在AB 上， 连CE ，M 、N 分别为BD 、CE 的中点. (1)求证：MN ＝21CE ； 4． 如图，将△ADE 绕A 点逆时针旋转一个锐角，（1）中结论是否仍成立，并证明. 5． 求证：MN ⊥CE .13.己知△ACB 为等腰直角三角形,∠ACB ＝90°,点E 在AC 上,EF 丄AC 交AB 于F ,连BE 、CF .M 、N 分别为CF 、BE 的中点. （1）如图1,则CEMN＝___________,并说明理由； （2）如图2,将△AEF 绕点A 顺时针旋转45°,（1）中的结论是否成立？并加以证明； （3）如图3,将△AEF 绕A 点顺时针旋转一个锐角,则上述结论是否仍成立？（画图不证明）14.如图1,已知等腰直角△ABC 和等腰直角△BEF ,∠ABC ＝∠BEF ＝90°,点F 在边BC 上,点M 为AF 的中点，连EM .（1）①在图1中画出△BEF 关于直线BE 成轴对称的三角形；②求证：CF ＝2ME ;（2）将图1中的△BEF 绕点B 逆时针旋转至如图2的位置，其它条件不变,（1）中的结论②是否仍成立?请证明你的结论；（3）如图3,过B 作BS 丄ME 于S ，若ES ＝2，BS ＝4，CF ＝10，则S 四CFEB 的面积为________（直接写出结果）.第6讲 矩形的性质与判定专题训练基础回顾 一．矩形初步1.如图，矩形ABCD ，沿对角线BD 向上翻折，使点C 落在点F 处，连AF . (1) 求证：AF ∥BD ； (2) 若AB ＝6，BC ＝8，求AF 的长.2.如图，矩形ABCD 中，AC ＝2AB ，AE 平分∠DAB ，求∠OEA .3. 如图，矩形ABCD 中，EF ⊥CE ，EF ＝CE ，DE ＝4，矩形的周长为32，求CF 的长.4. 如图，矩形ABCD 中，点P 在BC 边上，PE ⊥AC ，PF ⊥BD ，AB ＝6，BC ＝8，运用上题结论，求PE ＋PF 的值.5. 如图，矩形ABCD ，∠AOD ＝120°，OD ＝2，求AB 、AD .6. 如图，矩形ABCD ，CE ⊥BD ，DE ＝31BE ＝2，求BC 和CD 的长.7. 如图，矩形ABCD中，AE平分∠DAB，∠EAC＝15°，求∠BOE.8. 如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，沿AC折叠到△ACE，AE交BC于F，求S△ACF.二．矩形的判定9.顺次连接四边形ABCD各边中点得到的四边形EFGH，要使四边形EFGH是矩形，需添加的条件是____________，并画图给予证明.10.如图，AB＝BC，AD⊥BC于D，点P为AB上的动点，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为E，F.（1）求证：PE＋PF＝AD；(2) 若P点在AB的延长线上，问PE、PF、AD有怎样的关系，画图证明；11.如图，E、F、G、H分别为AB、AD、CD、PC的中点，（1）问四边形EFGH的形状；（2）若AC⊥BD，则（1）中四边形的形状如何？12.如图，BE 平分△ABC 的外角，BF 平分∠ABC ，AE ⊥BE 于E 点，AF ⊥BF 于F 点， （1）求证：四边形AEBF 是矩形； （2）求证：EF ∥BC .三．矩形的性质与判定13.如图，矩形ABCG 中，点D 是AG 的中点，DE ⊥CD 交AB 于E ，BE ＝BC ，连CE 交BD 于F ，求证：（1）BD ＝CD ；(2)∠BDC ＝45°；（3）DE ＝DF ；(4)21=∆∆DEF ADE S S .14. 如图，矩形ABCG 中，点D 为AG 上一点，且BD ＝BC ，ED 平分∠ADB ，交AB 于E ，BN ∥DE ，交CE 于N .（1）求证：CD ⊥DE ； (2) 求证：EN ＝CN ； (3) 求证：∠AED ＝∠BEC .15. 如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AE ⊥BD 于E ，AB ＝6，AD ＝8. (1) 求BD 的长； （2）求AE 的长.16. 如图，四边形ABEC中，∠BAC＝∠E＝90°，AD⊥BE于点D,(1) 若BD＝3，求AD－CE的值；(2) 若S四ABEC＝16，在（1）中，求AB的长.17. 如图，矩形ABCD中，E在BC上，AB＝3，AD＝5，CE＝1，DF⊥AE于F，求DF的长.问题探究18.已知等腰三角形ABC和DBE的底角共顶点，AB＝AC，DB＝DE，∠BAC＝∠BDE，以线段AD和AC为邻边作□ACFD，连接CE.(1)如图1，B、D、C依次在同一条直线上，若∠BAC＝∠BDE＝60°，则∠ECF＝_______;(2) 如图2，B、D、C依次在同一条直线上，若∠BAC＝∠BDE＝90°，则∠ECF＝_______; 请你完成（1），（2）两个命题，并从中任选一个进行证明.19.已知等腰△ABC 和等腰△ADE ，CA ＝CB ，AD ＝AE ，∠ACB ＝∠DAE ＝α，以AB 和AD 为邻边作□ABFD ，连接CE 、CF .(1)如图1，当α＝90°，且C 、A 、D 依次在同一条直线上，求∠CFD ＝_______，CFEF＝_______ (2)如图2，当α＜90°，且C 、A 、D 不在同一条直线上，求∠CFE ，并证明.20. 如图，AB ∥CD ，∠D ＝90°，AB ＝AC ，AE ＝AD ，且∠CAE ＝90°，连BE 交AC 于F 点. (1) 求证：BF ＝EF ；(2) 如图2，若点N 为BC 的中点，求BDFN. (3) 如图3，若点M 为AE 的中点，BM 交AC 于点P ，求BPMP.第7讲斜边上的中线专题一、知直角和中点，构造斜边上的中线1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，CE为△ACB的中线，若AC＝16，BC＝12，求CE、CD的长.2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，M为AB的中点，MN⊥DE于N.（1）求证：EN＝DN. （2）当∠C大于90°时，画图证明上述结论仍然成立.3.如图，正方形ABCD，点P为CD上一动点，AP交BC延长线于E，N为PE的中点. （1）问CM与CN有何位置关系，并证明.（2）若P点在DC的延长线上，其它不变，问上结论是否仍成立，画图证明.4.如图，Rt△ABC，∠BAC＝90°，M为BC的中点，过A点任作直线l（与BC边相交），BD ⊥l于点D，CE⊥l于点E.（1）求证：MD＝ME；（2）当直线l与线段BC不相交时，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？画图并证明你的结论.5.如图，已知ABCD中，AE⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为E、N，且AE＝BE，AN、BD交于点O，∠ADB＝15°.（1）求证：∠FAO＝45°；（2）求证：DF＝22AE.6.如图，Rt△AEB和Rt△AFB中，∠AEB＝∠AFB＝90°，O为AB的中点，连EF、OE. （1）如图1，∠EAF＝α，求∠OEF；（2）如图2，若∠EAF＝α，求∠OEF.7.如图，△ACB为等腰直角三角形，△PBE也为等腰直角三角形，M为AP的中点.（1）求证：CE＝2CM；（2）若△PBE绕B点旋转一个锐角，问以上结论是否成立，并画图证明.8.如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D点，AF平分∠BAC交CD、CB于E、F.（1）若AC＝8，BC＝5，求CE的长；（2）若M、N分别为AC、EF的中点，求证：DM ＝MN.6．如图，在△ABC 中，∠B ＝2∠A ，CD ⊥AB 于D ，E 为AB 的中点. 求证：DE ＝21BC .二、知等腰和中点，产生直角构造斜边上的中线. 10.已知，∠ACB ＝∠ADB ＝90°，点N 为AB 的中点. （1）如图1，过N 作NM ⊥CD 于M ，求证：CM ＝DM ；（2）如图2，过A 、B 分别作AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ，求证：CE ＝DF ；（3）如图3，在（2）的条件下，将△ABC 沿直线AB 翻折，问（2）中结论是否仍成立？请证明你的结论.11.已知，矩形ABCD ，AB ＝4，BE 、CF 分别平分∠ABC ，∠BCD ，交AD 于E 、F ，BE 、CF 相交于G 点，EG ＝22，求BC 的长.12.如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 边上的高线CH 与△ABC 的两条内角平分线AM 、BN 分别交于P 、Q 两点，PM 、QN 的中点分别为E 、F .求证：EF ∥AB .第8讲菱形一、菱形的判定1.如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，ED⊥BC交AC于F，DF∥AB 交AC于F.求证：四边形AFDE为菱形.2.如图，□ABCD，AE、BF分别为∠A、∠B的平分线.求证：四边形ABEF为菱形.3.若四边形ABCD的中点四边形为矩形，则四边形ABCD需满足条件_________________，并画图证明.4.若四边形ABCD的中点四边形为菱形，则四边形ABCD需满足条件__________________，并画图证明.5.如图矩形ABCD的对角线相交于O点，E、F分别在AD、BC上，EF过O点，EF⊥BD. （1）判定四边形DEBF的形状；（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形DEBF的周长.6.如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，CH⊥AB于H，交AD于F，DE⊥AB于E.（1）求证：四边形CDEF是菱形；（2）若AC＝8，AB＝10，求EF的长.二、菱形的性质7.如图，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AC＝43，求菱形的周长.8.如图，菱形ABCD中，E、F分别在BC、CD上，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝15°，求∠CEF.9.如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥BD交CB的延长线于点G.（1）求证：DE∥BF；（2）若∠G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形.10.如图，菱形ABCD ，∠A ＝60°，M 、N 分别在AD 、DC 上，且∠BMN ＝60°.（1）求证：BM ＝MN ； （2）若M 、N 分别在DA 、CD 的延长线，上述结论是否成立，请说明理由.11.已知菱形ABCD ，∠BAD ＝120°，BD ＝43.（1）求AB 的长； （2）E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠EAF ＝60°，求CE ＋CF ； （3）当点E 在BC 何位置时，S △AEF 最小并说明理由，并求出最小值.12.如图，□ABCD 中，BC ＝2CD ，CE ⊥AB 于点E ，F 为AD 的中点，若∠EFD ＝k ∠AEF ，求k 的值.13.如图，在菱形ABCD 中，AB ＝BD ，点E 、F 分别在AB 、AD 上，且AE ＝DF ，连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG 与BD 相交于点H .（1）求证：△AED ≌△DFB ； （2）求证：S 四边形BCDG ＝43CG 2.第9讲平行四边形、矩形、菱形（全国各地中考题汇编)—、平行四边形1.(2012乌鲁木齐）如图，在周长为20中，AB＜AD，AC与BD交于点O, OE 丄BD，交AD于点E，求△ABE的周长.2.(2012乌鲁木齐）如图,E、F对角线AC上的两点，且BE//DF，求证：BF=DE.3.(2011中，点E、F分别在边AD、BC上，且BE//DF,若∠EBF=45°，求∠EDF的度数.4.(2012河南）如图，在菱形ABCD中，AB=2, ∠DAB= 60°,点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN.(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；(2)填空：①当AM的值为时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为时，四边形AMDN是菱形.二、矩形、菱形5.(2012吉林）如图1，在△ABC 中，AB =AC , D 为边BC 上一点，以AB ，BD 为邻边，连接 AD ，EC .(1) 求证：△ADC ≌△ECD(2) 如图2，若BD =CD , 求证：四边形ADCE 是矩形.E BC DA EBCDA6.(2012西宁）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AC =12，BD =16，E 为AD 的中点，点P 在x 轴上移动.小明同学写出了两个使△POE 为等腰三角形的P 点坐标为（一5，0)和(5, 0).求出其余所有符合这个条件的P 点的坐标.7.(2012宁夏）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，DE 丄AC 于E ，∠EDC : ∠EDA =1 : 2，且AC =10，求DE 的长.8. (2012兰州）如图，四边形ABCD 中，∠BAD =120°, ∠B =∠D =90°.在BC 、CD 上分别找一点M 、 N ,使△AMN 周长最小时，求∠AMN +∠ANM 的度数.9.(2011乌鲁木齐）如图，中，∠DAB=60°，AB=2AD,点E、F分别是AB、CD 的中点，过点A作AG//BD，交CB的延长线于点G.(1) 求证：四边形DEBF是菱形；(2) 请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明.10. (2011甘肃兰州）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD (AD＞AB),将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE.(1) 求证：四边形AFCE是菱形；cm，求△ABF的周长；(2) 若AE=10cm ,△ABF的面积为24211.(2011南京）如图，菱形ABCD的边长是2cm, E是AB中点，且DE丄AB,求菱形ABCD 的面积.12.(2011的边DC延长到点E, CE=DC,连接AE，交BC于点F.(1) 求证：△ABF≌△ECF(2) 若∠AFC=2∠D，连接AC、BE.求证：四边形ABEC是矩形.13.(2011哈尔滨）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O, ∠AOB= 60°, AB = 5,求AD的长.14. (2011株洲）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO 的延长线交BC于Q. (1) 求证：OP=OQ;(2) 若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D 重合）.设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形.问题探究15.在平行四边形ABCD中，∠A=∠DBC,过点D作DE =DF, 且∠EDF=∠ABD,连接EF、EC, N、P分别为EC、BC的中点，连接NP.(1) 如图1，若点E在DP上，EF与DC交于点M，试探究线段NP与线段NM的数量关系及∠ABD与∠MNP满足的等量关系，请直接写出你的结论；(2) 如图2，若点M在线段EF上，当点M在何位置时，你在（1)中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M的位置，并证明（1)中的结论.16. 如图1,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转至矩形AEFG，使B点正好落在CD上的点E 处，连BE.(1) 求证：∠BAE =2∠CBE.(2) 如图2，连BG交AE于M，点N为BE的中点，连MN，AF, 试探究AF与MN的数量关系，并证明你的结论；(3) 若AB=5，BC=3,直接写出BG的长第10讲 正方形专题（一)一、正方形与全等1. (2011沈阳）如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，且AE =EF =F A .(1) 求证：△ABE ≌△ADF ; (2) 求证：CE =CF ;(3) 求证：∠AEB =75°; (4) 求证：CEF ADF ABE S S S ∆∆∆=+.2. (2011贵阳）如图，点E 是正方形ABCD 内一点，△CDE 是等边三角形，连接EB 、EA ,延长BE 交边AD 于点F .(1) 求证：△ADE ≌△BCE ; (2) 求∠AFB 的度数.3. (2010青岛）如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 和CD 上，AE =AF .(1) 求证：BE =DF ;(2) 连接AC 交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM =OA ，连接EM 、FM .判断四边形AEMF 是什么特殊四边形？并证明你的结论.4. (2010长沙）如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED.(1) 求证：△BEC≌△DEC;(2) 延长BE交AD于F，当∠BED=120°时，求∠EFD的度数.5. (2010乌鲁木齐）如图，边长为5的正方形OABC的顶点O在坐标原点处，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是OA边上的点（不与点A重合），EF⊥CE,且与正方形外角平分线AG交于点P.(1) 当点E坐标为（3，0)时，试证明GE=EP;(2) 如果将上述条件“点E坐标为（3，0)”改为“点E坐标为(t,0) (t＞0)”，结论CE=EP是否仍然成立，请说明理由；(3)在y轴上是否存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形？若存在，用t表示点M 的坐标；若不存在，说明理由.二、正方形与勾股定理结合6. (2012攀枝花）如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC 上一动点，求PE+PB的最小值.7. (2011重庆）如图，正方形ABCD 中，AB =6,点E 在边CD 上，且CD =3DE .将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ,连结AG 、CF .(1) 求证：△ABG ≌△AFG ; (2) 求证：BG =GC ;(3) 求证：AG //CF ; (4) 求 PGC S ∆.8.如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，AF 交BD 于H ，EH 丄AF 交BC 于E ,连AE .(1) 求证：∠EAF =45°;(2) 连EF ，作∠EFC 的平分线FG 交AE 的延长线于G ，连CG ，求证：CG 2: (3) 在(2)的条件下，若F 是DC 的中点，AB =4，直接写出EG 的长HDAFE CDAECDAF方法运用(一）知45°作垂线构造等腰直角三角形9. 如图，正方形ABCD .点E 为正方形外一点，△ADE 为等边三角形，连BE ，AM 丄DE 交BE 于P 点，连CP .（1）求∠APB 的大小； （2）求证：AP 丄CP .10.如图，将上题中的条件“等边三角形△ADE ”改为“AE =AD ”，且点E 在正方形内部，上述两个结论是否仍成立，并证明.BC(二）线段和差的常规处理方法11.已知正方形ABCD ,点E 、F 分别为边BC 、AB 上一点，且CE =BF . （1）如图1，求证：DE 丄CF ;（2）如图2，若BG =BF ,CF 交BD 于Q 点，QG 交DE 于P 点，求证：PE =PG ; : （3）如图2，若H 为PD 的中点，在（2)中，求CQ BQDQ +的值，如图（2).B ADC EAD问题探究12. 如图，四边形ABCD ，AD //BC ,点E 在AB 上，点F 在BC 上，∠EDF =a ，EM //BC 交DF 于M 点.（1）如图1，当四边形ABCD 是正方形，a =45°时，求证：EM =AE +CF ; （2）如图2，当四边形ABCD 是等腰梯形，边AB =AD =AC , ∠BAD =120°, a = 60°时，(1)中结 论是否仍成立？请说明理由.MF DA BCEM FCBD A E13.(2010武汉4月调考)如图，P 为正方形ABCD 边BC 上任一点，BG ⊥AP 于点G ，在AP 的延长线上取点E ，使AG =GE ,连接BE ，CE .(1) 求证：BE =BC ; （2）∠CBE 的平分线交AE 于点N 点，连接DN . 求证：BN +DN =2AN ;（3) 若正方形的边长为2,当P 点为BC 的中点时，请直接写出CE 的长为 .。
人教版八年级数学下册培优体系讲义
(4) ( (7)2 ;
(5) ( (2)2 4
(6) ( ( 3 2)2
(7) (3 )2
(8) x2 2x 1(x 1) (9) a4 2a2 1
中档题训练 11.如果 (2a 1)2 = 1-2a,则( ).
1
A.a<
2
1
B.a≤
2
1
C.a>
2
1
D. a≧
2
12.当 a≤ 1 时,化简 1 4a 4a2 2a 1 ( ) 2
二次根式（一）
基础训练题
1.下列各式中： a 、 1 、 x2 、 3 2 、 x 2 ，其中是二次根式的有（ ） 2
A.1个
B.2个
C. 3个
2.下列式子中一定是二次根式的是（ ）
D.4个
A. a
B. a 1
C. a 1
D. a2 1
3.在实数0， 3 ， 2 ，－1中，最小的数是（ ）
A.－1
1 B. a2
C. a2
D. a2
13.一个正方形的面积为 7,估计其边长的范围为( )
A.大于1小于2 B.大于2小于3 C.大于3小于4 D.大于4小于5
14.如果 m= 7 -1,那么 m的取值范围是( )
A.0<:m<1
B. 1<m<2 C. 2<m<3 D. 3<m<4
15.如果代数式 xy 1 有意义,那么点 A(x,y)的位置可能在( ) 2x
B． 3 1
C． 3
D． 6
8．（2014·河北）计算： 8 1 ＝ ． 2
9．化简： 32 18 ＝ ； 15 27 ＝ ．
10．计算下列各式：
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`新人教版八年级数学下册辅导资料（01）姓名：________得分：_____一、知识点梳理： 1、二次根式的定义.一般地，式子（a ≥0）叫做二次根式，a 叫做被开方数。
两个非负数：（1）a ≥0；（2）≥0 2、二次根式的性质：（1）.()0≥a a 是一个________数；（2）()=2a __________（a ≥0）（3）()()()⎪⎩⎪⎨⎧〈=〉==0_______0_______0_______2a a a a a3、二次根式的乘除：积的算术平方根的性质：)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ，二次根式乘法法则：__________=⋅b a （a ≥0,b ≥0）商的算术平方根的性质：b ab a =).0,0(>≥b a 二次根式除法法则：)0,0(>≥=b a baba1．被开方数不含分母；4、最简二次根式2．分母中不含根号； 3.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．分母有理化：是指把分母中的根号化去，达到化去分母中的根号的目的． 二、典型例题：例1：当x 是怎样实数时，下列各式在实数范围内有意义？ ⑴2-x ⑵xx -+2)1(0⑶13-+-x x ⑷12+x （5）12-+x x小结：代数式有意义应考虑以下三个方面：（1）二次根式的被开方数为非负数。
（2）分式的分母不为0.（3）零指数幂、负整数指数幂的底数不能为0 例2：化简：（1）|21|)22(2-+-（2）|3254|)3253(2-+-例3：(1)已知y=x -3+62-x +5，求xy的值． (2)已知01442=-+++-y x y y ，求xy 的值． 小结：（1）常见的非负数有：a a a ,,2（2）几个非负数之和等于0，则这几个非负数都为0. 例4：化简： （1）32；（2）2ba 33；（3）48.0（4）yxx2（5）2925x y例5：计算： （1）351223⨯（2）21335÷（3）()0,02123〉〉⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷b a b a b a 例6：化去下列各式分母中的二次根式： （1）323+（2）813（3）251+（4）()0,03〉〉y x xy 三、强化训练： 1有意义的x 的取值范围是（） A 、x ≤1；B 、x ≤1且2x ≠-；C 、2x ≠-；D 、x <1且2x ≠-． 2、已知0<x<1时，化简()21--x x 的结果是（）A2X-1B1-2XC-1D13、已知直角三角形的一条直角边为9，斜边长为10，则别一条直角边长为（） A 、1；B C 、19；D 4n 的最小值是（） A 、4；B 、5；C 、6；D 、7．5、下列二次根式中，是最简二次根式的是（） A 、a 16B 、b 3C 、abD 、45 6、下列计算正确的是（） A()()69494-=-⨯-=-⨯-B 188142712=⨯=⨯C 624416416=+=+=+D 1212414414=⨯=⨯= 7、等式33-=-x x x x成立的条件是（）Ax ≠3Bx ≥0 Cx ≥0且x ≠3Dx>38、已知053232=--+--y x y x 则y x 8-的值为 9、23231+-与的关系是。
八年级数学下册培优讲义(人教版)
2、化简： ＝
3、已知直角三角形的两直角边分别为 和 ，则斜边长为
【例6】已知 ,则化简 的结果是()
A、 B、 C、 D、
【变式题组】
1、根式 的值是( )A．-3 B．3或-3 C．3 D．9
2、已知a<0，那么│ －2a│可化简为（）A．－a B．a C．－3a D．3a
【例7】比较 与 的大小。（用两种方法解答）
【变式题组】
1.比较 与 的大小。2.比较 与 的大小。
3.比较 与 的大小。4.比较 与 的大小
【例8】（2010.福建德化）化简 ﹙ ＋2﹚－ =__________.
【变式题组】
1.（2010.江西中考）化简 － ﹙1－ ﹚的结果是﹙﹚
A.3B.－3C. D.－
【变式题组】
1、若 ，则x－y的值为（ ） A．－1 B．1 C．2 D．3
2、若x、y都是实数，且y= ，求xy的值
3、当 取什么值时，代数式 取值最小，并求出这个最小值。
4、已知a是 整数部分，b是 的小数部分，求 的值。
5、若 的整数部分是a，小数部分是b，则 。
6、若 的整数部分为x，小数部分为y，求 的值.
C可能取的最大值为﹙﹚A .0B .1C .2D.3
【变式题组】
1.（武汉竞赛）已知实数a满足|2006-a|＋ =a,那么a－20062的值是（ ）
A .2005B .2006C .2007D.2008
2、((华师一中招生）已知实数满足 ＋ +|10-2b|＝2，则代数式ab＋bc的值为。
演练巩固·反馈提高
4．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：利用 来确定，如： ， ， 与 等分别互为有理化因式。②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如 与 ， ， 分别互为有理化因式。
最新新人教版八年级数学下册培优辅导资料(全册)
最新新人教版八年级数学下册培优辅导资料(全册)姓名：________一、知识点梳理： 1、二次根式的定义.一般地，式子 a （a ≥0）叫做二次根式，a 叫做被开方数。
两个非负数：（1）a ≥0 ；（2） a ≥02、二次根式的性质：（1）.()0≥a a 是一个________ 数 ； （2）()=2a __________（a ≥0）（3）()()()⎪⎩⎪⎨⎧〈=〉==0_______0_______0_______2a a a a a3、二次根式的乘除：积的算术平方根的性质：)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ，二次根式乘法法则：__________=⋅b a （a ≥0,b ≥0）商的算术平方根的性质：b ab a =).0,0(>≥b a 二次根式除法法则：)0,0(>≥=b a baba1．被开方数不含分母； 4、最简二次根式 2．分母中不含根号；3. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 分母有理化：是指把分母中的根号化去，达到化去分母中的根号的目的． 二、典型例题：例1：当x 是怎样实数时，下列各式在实数范围内有意义？ ⑴ 2-x ⑵xx -+2)1(0⑶13-+-x x ⑷12+x （5）12-+x x小结：代数式有意义应考虑以下三个方面：（1）二次根式的被开方数为非负数。
（2）分式的分母不为0.（3）零指数幂、负整数指数幂的底数不能为0 例2：化简：（1）|21|)22(2-+- （2）|3254|)3253(2-+-例3： (1)已知y=x -3+62-x +5，求xy的值． (2) 已知01442=-+++-y x y y ，求xy 的值．小结：（1）常见的非负数有：a a a ,,2（2）几个非负数之和等于 0，则这几个非负数都为0. 例4：化简：（1）32； （2）2ba 33； （3）48.0 （4）yxx2（5）2925x y例5：计算： （1）351223⨯ （2） 21335÷ （3） ()0,02123〉〉⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷b a b a b a例6：化去下列各式分母中的二次根式： （1）323+ （2）813 （3）251+ （4）()0,03〉〉y x xy三、强化训练： 1、使式子2x+有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x ≤1； B 、x ≤1且2x ≠-； C 、2x ≠-； D 、x <1且2x ≠-． 2、已知0<x<1时，化简()21--x x 的结果是（ ）A 2X-1B 1-2XC -1D 13、已知直角三角形的一条直角边为9，斜边长为10，则别一条直角边长为（ ） A 、1；B 、C 、19；D ．4n 的最小值是（ ）A 、4；B 、5；C 、6；D 、7．5、下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A 、a 16 B 、b 3 C 、abD 、45 6、下列计算正确的是（ ） A()()69494-=-⨯-=-⨯- B 188142712=⨯=⨯C 624416416=+=+=+D 1212414414=⨯=⨯= 7、等式33-=-x xx x 成立的条件是（ ） A x ≠3 B x ≥0 C x ≥0且x ≠3 D x>3 8、已知053232=--+--y x y x 则y x 8-的值为 9、23231+-与的关系是 。
八年级数学培优讲义(下册)
八年级数学培优讲义(下册)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第十六章 分式测试1 从分数到分式学习要求掌握分式的概念，能求出分式有意义，分式值为0、为1的条件．课堂学习检测一、填空题1．用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成______的形式，如果除式B 中______，该分式的分式．2．把下列各式写成分式的形式：（1）5÷xy 为______. （2）（3x ＋2y ）÷（x －3y ）为______.3．甲每小时做x 个零件，做90个零件所用的时间，可用式子表示成______小时． 4．n 公顷麦田共收小麦m 吨，平均每公顷的产量可用式子表示成______吨．5．轮船在静水中每小时走a 千米，水流速度是b 千米／时，轮船在逆流中航行s 千米所需要的时间可用式子表示成______小时． 6．当x ＝______时，分式13-x x没有意义． 7．当x ＝______时，分式112--x x 的值为0．8．分式yx，当字母x 、y 满足______时，值为1；当字母x ，y 满足______时值为－1． 二、选择题 9．使得分式1+a a有意义的a 的取值范围是（ ） A ．a ≠0 B ．a ≠1 C ．a ≠－1D ．a ＋1＞010．下列判断错误．．的是（ ） A ．当32=/x 时，分式231-+x x 有意义 B ．当a ≠b 时，分式22ba ab-有意义 C ．当21-=x 时，分式x x 412+值为0D ．当x ≠y 时，分式x y y x --22有意义 11．使分式5+x x值为0的x 值是（ ） A ．0 B ．5C ．－5D ．x ≠－512．当x ＜0时，xx ||的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．不确定13．x 为任何实数时，下列分式中一定有意义的是（ )A ．x x 12+B ．112--x xC ．11+-x x D ．112+-x x 三、解答题14．下列各式中，哪些是整式哪些是分式⋅----++++-π1;)1(;2;3;3;13;222x x x x y x y x y x x y x y x 15．x 取什么值时，2)3)(2(---x x x 的值为0综合、运用、诊断一、填空题16．当x =______时，分式632-x x无意义． 17.使分式2)3(2+x x有意义的条件为______． 18.分式2)1(522+++x x 有意义的条件为______． 19．当______时，分式44||--x x 的值为零． 20．若分式x--76的值为正数，则x 满足______． 二、选择题21．若x 、y 互为倒数，则用x 表示y 的正确结果是（ ）A ．x ＝－yB ．y x 1=C ．x y 1=D ．xy 1±=22．若分式ba ba 235+-有意义，则a 、b 满足的关系是（ ）A ．3a ≠2bB ．b a 51=/C ．a b 32-=/ D ．b a 32-=/23．式子222--+x x x 的值为0，那么x 的值是（ ） A ．2 B ．－2 C ．±2D ．不存在24．若分式6922---a a a 的值为0，则a 的值为（ ）A ．3B ．－3C ．±3D ．a ≠－225．若分式1212+-b b的值是负数，则b 满足（ ）A ．b ＜0B ．b ≥1C ．b ＜1D ．b ＞1三、解答题26．如果分式323||2-+-y y y 的值为0，求y 的值．27．当x 为何值时，分式121+x 的值为正数？28．当x 为何整数时，分式124+x 的值为正整数？拓展、探究、思考29．已知分式,by ay +-当y ＝－3时无意义，当y ＝2时分式的值为0，求当y ＝－7时分式的值．测试2 分式的基本性质学习要求掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式约分．课堂学习检测一、填空题1．,MB M A B A ⨯⨯=其中A 是整式，B 是整式，且B ≠0，M 是______． 2．把分式xy中的x 和y 都扩大3倍，则分式的值______．3．⋅-=--)(121xx x4．.y x xy x 22353)(= 5．22)(1y x y x -=+．6．⋅-=--24)(21y y x 二、选择题7．把分式bab a 392+-约分得（ ）A ．33++b a B ．33+-b a C ．ba 3- D ．ba 3+ 8．如果把分式yx yx ++2中的x 和y 都扩大10倍，那么分式的值（ ） A ．扩大10倍 B ．缩小10倍 C ．是原来的32D ．不变9．下列各式中，正确的是（ ）A ．b am b m a =++ B ．0=++b a ba C ．1111--=-+c b ac abD ．y x y x y x +=--122 三、解答题 10．约分：（1）ac ab1510-（2）yx yx 322.36.1-（3）112--m m（4）yx x xy y -+-2442211．不改变分式的值，使下列分式的分子、分母都不含负号．（1）;53a - （2）；y x 532- （3）;52a b -- （4）⋅---xy 1511综合、运用、诊断一、填空题12．化简分式：（1）=--3)(x y yx _____；（2）=+--22699xx x _____． 13．填空：)()1(=++-nm n m =-----ba n m m n 212)2(;)(⋅-ba221 14．填入适当的代数式，使等式成立．（1）⋅+=--+ba b a b ab a )(22222（2）.a b ba b a-=-+)(11 二、选择题 15．把分式yx x-2中的x 、 y 都扩大m 倍（m ≠0），则分式的值（ ） A ．扩大m 倍 B ．缩小m 倍C ．不变D ．不能确定16．下面四个等式：;22;22;22yx y x y x y x y x y x +-=+---=----=+-③②①⋅-+=--22yx y x ④其中正确的有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个17．化简22222b ab a b a ++-的正确结果是（ ）A ．ba ba -+ B ．ba ba +- C ．ab21 D ．ab21- 18．化简分式2222639ab b a b a -后得（ ）A ．222223ab b a b a -B ．263ab a ab-C ．ba ab23- D ．bb a ab2332-三、解答题 19．约分：（1）322)(27)(12b a a b a --（2）62322--++x x x x（3）22164m m m --（4）2442-+-x x x20．不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数．（1）yx x --22（2）aa b --2（3）xx x x +---2211（4）2213m m m ---拓展、探究、思考21．（1）阅读下面解题过程：已知,5212=+x x 求142+x x 的值． 解：),0(5212=/=+x x x,5211=+∴xx 即⋅=+251x x ⋅=-=-+=+=+∴1742)25(12)1(1111222242x x x x x x （2）请借鉴（1）中的方法解答下面的题目：已知,2132=+-x x x求1242++x x x 的值．测试3 分式的乘法、除法学习要求1．学会类比方法、总结出分式乘法、除法法则． 2．会进行分式的乘法、除法运算．课堂学习检测一、填空题1．=-⋅)29(283x yy x ______． 2．=+-÷-x y x x xy x 33322______． 3．=+÷+)(1b a ba ______．4．=--++⋅+ab a b a .b ab a b ab 2222222______． 5．已知x ＝2008，y ＝2009，则4422))((y x y x y x -++的值为______．二、选择题 6．)(22m n n m a-⋅-的值为（ ）A ．nm a+2 B ．nm a+ C ．nm a+-D ．nm a--7．计算cdaxcd ab 4322-÷等于（ ） A ．x b 322B ．232x bC ．x b 322-D ．222283dc x b a -8．当x ＞1时，化简xx --1|1|得（ ） A ．1B ．－1C ．±1D ．0三、计算下列各题9．xy x y 212852⋅10．nm mnm mn m n m --÷--24222211．11.11)1(122+-÷--x x x x 12．2222294255)23(xa xb a b a a x --⋅++四、阅读下列解题过程，然后回答后面问题 13．计算：⋅⨯÷⨯÷⨯÷dd c c b b a 1112 解：dd c c b b a 1112⨯÷⨯÷⨯÷ ＝a 2÷1÷1÷1①＝a 2． ②请判断上述解题过程是否正确？若不正确，请指出在①、②中，错在何处，并给出正确的解题过程．综合、运用、诊断一、填空题14．cc b a 1⨯÷_____． 15．x y xy 3232÷-_____．16．一份稿件，甲单独打字需要a 天完成，乙单独打字需b 天完成，两人共同打需_____天完成． 二、选择题17．计算xx x x x x +-÷---2231)2)(3(的结果是（ ） A ．22--x x x B ．xx x 212--C ．xx x --22D ．122--x x x18．下列各式运算正确的是（ ）A ．m ÷n ·n ＝mB ．m nn m =÷1.C ．111=÷⋅÷mm m m D ．1123=÷÷m mm 三、计算下列各题19．44)16(.2-+÷-a a a20．2222)1()1(a a a a .a a a -+--21．a b bab a b ab a b a a 22222224.2+÷+-- 22．xx x x x x --+÷+--32.)3(446222拓展、探究、思考23．小明在做一道化简求值题：,.2)(2222xyx xy y xy x x xy -+-÷-他不小心把条件x 的值抄丢了，只抄了y ＝－5，你说他能算出这道题的正确结果吗为什么测试4 分式的乘法、除法、乘方学习要求掌握乘方的意义，能根据乘方的法则，先乘方，再乘除进行分式运算．课堂学习检测一、填空题1．分式乘方就是________________．2．=323)2(bca ____________． 3．=-522)23(z y x ____________． 二、选择题4．分式32)32(ba 的计算结果是（ ） A ．3632b a B ．3596baC ．3598b aD ．36278b a5．下列各式计算正确的是（ ） A ．yx y x =33B ．326m mm =C ．b a ba b a +=++22D ．b a a b b a -=--23)()(6．22222nm m n m n ⋅÷-的结果是（ ）A ．2n m -B ．32nm -C ．4m n -D ．－n7．计算⨯-32)2(b a 2)2(a b )2(a b -⨯的结果是（ ） A ．68ba - B ．638b a - C ．5216b aD ．5216ba -三、计算题8．32)32(c b a9．22)52(a y x --10．223)2(8y x y ÷11．232)4()2(ba ba -÷-四、解答题12．先化简，再求值：（1）,144421422xx x x x ++÷--其中⋅-=41x（2）,a b .b b a a b a b a a 222224)()(+÷--其中,21=a b ＝－1．综合、运用、诊断一、填空题13．=⋅-⋅-76252)1()()(aba b b a ______．14．=-÷-32223)3()3(ac b c ab ______． 二、选择题15．下列各式中正确的是（ ）A ．363223)23(yx y x =B ．22224)2(b a a b a a +=+C ．22222)(yx y x y x y x +-=+- D ．333)()()(n m n m nm n m -+=-+ 16．na b 22)(-（n 为正整数）的值是（ ）A ．n n a b 222+B ．n n ab 24C ．n n a b 212+-D ．n nab 24-17．下列分式运算结果正确的是（ ）A ．nm m n n m =3454.B ．bc add c b a =.C ．22224)2(b a a ba a -=-D ．33343)43(y x yx =三、计算下列各题18．2222)2()()(ab a bb a -÷⋅-19．23212313.-+-n nn n ba a c b20．22321).()(ba ab a ab b a -÷---四、化简求值21．若m 等于它的倒数，求32222)2.()22(444m m m m m m m --+÷-++的值．拓展、探究、思考22．已知.0)255(|13|2=-+-+b a b a 求2232332).6().()3(a bb a ab b a -÷--的值．测试5 分式的加减学习要求1．能利用分式的基本性质通分． 2．会进行同分母分式的加减法． 3．会进行异分母分式的加减法．课堂学习检测一、填空题1．分式2292,32acbc b a 的最简公分母是______． 2．分式3241,34,21x x x x x +--的最简公分母是______． 3．分式)2(,)2(++m b nm a m 的最简公分母是______．4．分式)(,)(x y b yy x a x --的最简公分母是______． 5．同分母的分式相加减的法则是______．6．异分母的分式相加减，先______，变为______的分式，再加减． 二、选择题 7．已知=++=/xx x x 31211,0（ ） A ．x 21 B ．x61 C ．x65 D ．x611 8．x y y a y x a x +--+++3333等于（ ）A ．y x y x +-33 B ．x －y C ．x 2－xy ＋y 2 D ．x 2＋y 29．cab c a b +-的计算结果是（ ） A ．abca cb 222+-B ．abcb a ac c b 222--C ．abc b a ac c b 222+-D ．abcac b +- 10．313---a a 等于（ )A ．aa a --+1622B ．1242-++-a a a C ．1442-++-a a a D ．a a -111．21111xx x x n n n +-+-+等于（ ）A ．11+n x B ．11-n x C ．21x D ．1三、解答题 12．通分：（1）abb a a b 41,3,22 （2）)2(2,)2(-+x b x a y（3）aa a a -+21,)1(2（4）aba b a b a --+2222,1,1四、计算下列各题 13．x x x x x -+--+22422214．xx x x x x x x +---+--+++3522363422215．412234272--+--x x x 16．xyy xxy x y -+-22综合、运用、诊断一、填空题17．计算a a -+-329122的结果是____________． 18.=-+abb a 6543322____________．二、选择题19．下列计算结果正确的是（ ）A ．)2)(2(42121-+=--+x x x x B ．))((211222222222x y y x x x y y x ---=---C ．yx xy y x x 231223622-=-D ．33329152+-=----x x x x 20．下列各式中错误．．的是（ ） A ．ad a d c d c a d c a d c 2-=---=+-- B ．1522525=+++a aaC ．1-=---xy yy x xD ．11)1(1)1(22-=---x x x x 三、计算下列各题 21．ba aa b b b a b a ---+-+22 22．zx y zy z x y z x z y x y ------+++-223．941522333222-++-++a a a a 24．43214121111xx x x x x +-++-+--25．先化简,1)121(22xx x x x x x ÷+---+再选择一个恰当的x 值代入并求值．拓展、探究、思考26.已知,10345252---=++-x x x x B x A 试求实数A 、B 的值．27．阅读并计算：例：计算：⋅+++++++)3)(2(1)2)(1(1)1(1x x x x x x原式31212111111+-+++-+++-=x x x x x x⋅+=+-=)3(3311x x x x 仿照上例计算：⋅+++++++)6)(4(2)4)(2(2)2(2x x x x x x测试6 分式的混合运算学习要求1．掌握分式的四则运算法则、运算顺序、运算律． 2．能正确进行分式的四则运算．课堂学习检测一、填空题1．化简=-2222639ab b a b a ______．2．化简2426a a ab -＝______． 3．计算)1()1111(2-⨯+--m m m 的结果是______． 4．)1(y x y y x +-÷的结果是______．二、选择题5．2222y x y x y x y x -+÷+-的结果是（ ） A ．222)(y x y x ++B ．222)(y x y x -+C ．222)(y x y x +-D ．222)(yx y x ++6．222)(ba bb b a -⨯-的结果是（ ） A ．b1 B ．2bab ba +- C ．ba ba +- D ．)(1b a b +7．ba ba b a b a b a b a -+⨯-+÷-+22)()(的结果是（ ） A ．ba ba +- B ．ba ba -+ C ．2)(ba b a -+ D ．1三、计算题 8．xxx -+-111 9．291232mm -+-10．242-++x x11．121)11(22+-+-÷--a a a a a a12．)()(nm mnm n m mn m +-÷-+13．)131()11(22a a a a --÷++综合、运用、诊断一、填空题14．=-+-+-b a ba b a b a ______． 15．=++-+-32329122m m m ______． 二、选择题16．（1－m ）÷（1－m 2）×（m ＋1）的结果是（ ）A ．2)1(1m +B ．2)1(1m - C ．－1D ．117．下列各分式运算结果正确的是（ ）．24435232510.25bc b a c c b a =①abc b a a c b 32332=⋅②1131).3(1122+=--÷+x x x x ③1111.2=+÷--xyx x x xy ④ A ．①③ B ．②④C ．①②D ．③④18．abb a b a 2223231⨯--等于（ ） A ．aba - B ．bab - C ．a ba 323- D ．bab 232- 19．实数a 、b 满足ab ＝1，设,11,1111bb aa Nb a M +++=+++=则M 、N 的大小关系为（ ）A ．M ＞NB ．M ＝NC ．M ＜ND ．不确定三、解答下列各题 20．yy y y y yy y 4)44122(22-÷+--+-+21．)1214()11(22-----+÷+x x x x x x四、化简求值22．,)]3(232[x y x y x x y x y x x -÷--++-其中5x ＋3y ＝0．拓展、探究、思考23．甲、乙两名采购员去同一家饲料公司购买两次饲料，两次购买时饲料的价格各不相同．两位采购员的购货方式也各不相同，甲每次购买1000千克，乙每次只购买800元的饲料，设两次购买的饲料单价分别为m 元/千克和n 元／千克（m ，n 为正整数，且m ≠n ），那么甲、乙两名采购员两次购得饲料的平均价格分别是多少谁的购买方法更合算测试7 整数指数幂学习要求1．掌握零指数幂和负整数指数幂的意义． 2．掌握科学记数法．课堂学习检测一、填空题1．3－2＝______，=--3)51(______．2．（－0.02）0＝______，=0)20051(______． 3．（a 2）－3＝______（a ≠0），=-2)3(______，=--1)23(______．4．用科学记数法表示：1cm ＝______m ，2.7mL ＝______L ． 5．一种细菌的半径为0.0004m ，用科学记数法表示为______m .6．用小数表示下列各数：10－5＝______，2.5×10－3＝______．7．（3a 2b －2）3＝______，（－a －2b ）－2＝______．8．纳米是表示微小距离的单位，1米＝109纳米，已知某种植物花粉的直径为35000纳米，用科学记数法表示成______m . 二、选择题9．计算3)71(--的结果是（ ）A ．3431-B ．211- C ．－343 D ．－21 10．下列各数，属于用科学记数法表示的是（ ）A ．20.7×10－2B ．0.35×10－1C ．2004×10－3D ．3.14×10－5 11．近似数0.33万表示为（ ）A ．3.3×10－2 B ．3.3000×103 C ．3.3×103 D ．0.33×104 12．下列各式中正确的有（ ） ①;9)31(2=-②2－2＝－4；③a 0＝1；④（－1）－1＝1；⑤（－3）2＝36．A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个 三、解答题13．用科学记数法表示：（1）0.00016 （2）－0.0000312 （3）1000.5 （4）0.00003万14．计算：（1）98÷98 （2）10－3 （3）2010)51(-⨯15．地球的质量为6×1013亿吨，太阳的质量为1.98×1019亿吨，则地球的质量是太阳质量的多少倍（用负指数幂表示）综合、运用、诊断一、填空题16．=-+-01)π()21(______，－1＋（3.14）0＋2－1＝______．17．=-+---|3|)12()21(01______．18．计算（a －3）2（ab 2）－2并把结果化成只含有正整数指数幂形式为______．19．“神威一号”计算机运算速度为每秒384000000000次，其运算速度用科学记数法表示，为______次/秒．20．近似数－1.25×10－3有效数字的个数有______位． 二、选择题21．2009200908)125.0()13(⨯+-的结果是（ ） A ．3 B ．23- C ．2 D ．022．将201)3(,)2(,)61(---这三个数按从小到大的顺序排列为（）A ．21)3()61()2(-<<-- B ．201)3()2()61(-<-<-C ．12)61()2()3(-<-<-D ．12)61()3()2(-<-<-三、解答题23．计算下列各式，并把结果化成只含有正整数指数幂的形式：（1）（a 2b －3）－2（a －2b 3）2 （2）（x －5y －2z －3）2（3）（5m －2n 3）－3（－mn －2）－224．用小数表示下列各数：（1）8.5×10－3 （2）2.25×10－8 （3）9.03×10－5测试8 分式方程的解法学习要求了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．课堂学习检测一、填空题 1．分式方程1712112-=-++x x x 若要化为整式方程，在方程两边同乘的最简公分母是______． 2．方程111=+x 的解是______． 3．方程625--=-x x x x 的解是______． 4．x ＝2是否为方程32121---=-x x x 的解？答：______．5．若分式方程127723=-+-xax x 的解是x ＝0，则a ＝______．二、选择题6．下列关于x 的方程中，不是分式方程的是（ ） A ．11=+x xB ．4132=+x xC ．52433=+x xD ．6516-=x x 7．下列关于x 的方程中，是分式方程的是（ ） A ．55433+=--x x B ．abb x b a a x +=- C ．11)1(2=--x xD ．nx m n n x =- 8．将分式方程yyy y 2434216252--=+-+化为整式方程时，方程两边应同乘（ ）． A ．（2y －6）（4－2y ） B ．2（y －3） C ．4（y －2）（y －3） D ．2（y －3）（y －2）9．方程4321+-=+-x x x x 的解是（ ） A ．x ＝－4 B ．21-=x C ．x ＝3 D ．x ＝110．方程34231--=+-x xx 的解是（ ） A ．0 B ．2C ．3D ．无解11．分式方程)2(6223-+=-x x x x 的解是（ ） A ．0B ．2C ．0或2D ．无解三、解分式方程12．0227=-+x x13．3625+=-x x14．45411--=--x xx 15．1617222-=-++x xx xx综合、运用、诊断一、填空题16．当x ＝______时，分式x 3与x-62的值互为相反数． 17．下列每小题中的两个方程的解是否相同？（1）2322-=-+x x x 与x ＋2＝3 （ ） （2）2422-=-+x x x 与x ＋2＝4 （ ） （3）113112-+=-++x x x 与x ＋2＝3 （ ） 18．当m ＝______时，方程312=-xm 的解为1． 19．已知分式方程 424-+=-x ax x 有增根，则a 的值为______． 二、选择题 20．若分式方程58)1()(2-=-+x a a x 的解为,51-=x 则a 等于（ ）A ．65 B ．5C ．65-D ．－521．已知,11,11cb b a -=-=用a 表示c 的代数式为（ ） A ．b c -=11 B ．ca -=11 C ． aa c -=1 D ．a a c 1-=22．若关于x 的方程0111=----x xx m 有增根，则m 的值是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．－123．将公式21111R R R +=（R ，R 1，R 2均不为零，且R ≠R 2）变形成求R 1的式子，正确的是（ ）A ．R R RR R -=221 B ．R R RR R +=221 C ．2211R RR RR R +=D ．221R R RR R -=三、解分式方程 24．1211422+=+--x xx x x 25．2224412-++=--x x x x x26．32)3)(2(122-=-----x x x x x x x 27．xx x x x x ---+-=-+41341216852拓展、探究、思考28．若关于x 的分式方程211=--x m 的解为正数，求m 的取值范围．29．（1）如下表，方程1、方程2、方程3……是按照一定规律排列的一列方程．猜想方程1的解，并将它们的解填在表中的空白处．（2）若方程)(11b a bx x a >=--的解是x 1＝6，x 2＝10，猜想a 、b 的值，该方程是不是（1）中所给出的一列方程中的一个如果是，是第几个（3）请写出这列方程中的第n 个方程和它的解．测试9 列分式方程解应用题学习要求会列出分式方程解简单的应用问题．课堂学习检测一、选择题1．某班学生军训打靶，有m 人各中靶a 环，n 人各中靶b 环，那么所有中靶学生的平均环数是（ ） A ．nm ba ++ B ．nm bnam ++ C ．)(21nb m a +D ．)(21bn am +2．某农场挖一条480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x 米，那么下列方程正确的是（ ） A ．420480480=+-x x B ．204480480=+-x xC ．448020480=--x xD ．204804480=--xx二、列方程解应用题3．一辆汽车先以一定速度行驶120千米，后因临时有任务，每小时加5千米，又行驶135千米，结果行驶这两段路程所用时间相等，求汽车先后行驶的速度．4．一个车间加工720个零件，预计每天做48个，就能如期完成，现在要提前5天完成，每天应该做多少个？5．甲、乙两同学学习电脑打字，甲打一篇3000字的文章与乙打一篇2400字的文章所用的时间相同，已知甲每分钟比乙多打12个字，问甲、乙两人每分钟各打字多少个？6．某煤矿现在平均每天比原计划多采330吨煤，已知现在采33000吨煤所需的时间和原计划采23100吨煤的时间相同．问现在平均每天采煤多少吨？ 综合、运用、诊断一、填空题7．仓库贮存水果a 吨，原计划每天供应市场m 吨，若每天多供应2吨，则要少供应______天．8．某人上山，下山的路程都是s ，上山速度v 1，下山速度v 2，则这个人上山和下山的平均速度是______．9．若一个分数的分子、分母同时加1，得;21若分子、分母同时减2，则得,31这个分数是______．二、列方程解应用题10．某市决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路，为了使工程能提前3个月完成，需要将原定的工作效率提高12％，问原计划完成这项工程用多少月？11．某一工程招标时，接到甲、乙两工程队的投标书，每施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元，乙工程队工程款1.1万元．目前有三种施工方案： 方案一：甲队单独完成此项工程刚好如期完成； 方案二：乙队单独完成此项工程比规定日期多5天；方案三：若甲、乙两队合作4天，剩下的工程由乙队单独做也正好如期完成． 哪一种方案既能如期完工又最节省工程款？第十九章 四边形测试1 平行四边形的性质(一)学习要求1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理；2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．课堂学习检测一、填空题1．两组对边分别______的四边形叫做平行四边形．它用符号“□”表示，平行四边形ABCD 记作__________。
八年级数学培优讲义(下册)48316
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2．平行四边形的两组对边分别______且______；平行四边形的两组对角分别______；两邻角______；平行四边形的对角线______；平行四边形的面积＝底边长×______．3．在□ABCD中，若∠A－∠B＝40°，则∠A＝______，∠B＝______．4．若平行四边形周长为54cm，两邻边之差为5cm，则这两边的长度分别为______．5．若□ABCD的对角线AC平分∠DAB，则对角线AC与BD的位置关系是______．6．如图，□ABCD中，CE⊥AB，垂足为E，如果∠A＝115°，则∠BCE＝______．6题图7．如图，在□ABCD中，DB＝DC、∠A＝65°，CE⊥BD于E，则∠BCE＝______．7题图8．若在□ABCD中，∠A＝30°，AB＝7cm，AD＝6cm，则S□ABCD＝______．二、选择题9．如图，将□ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成．．．．立．的是( )．(A)AF＝EF(B)AB＝EF(C)AE＝AF(D)AF＝BE10．如图，下列推理不正确的是( )．(A)∵AB∥CD∴∠ABC＋∠C＝180°(B)∵∠1＝∠2 ∴AD∥BC(C)∵AD∥BC∴∠3＝∠4(D)∵∠A＋∠ADC＝180°∴AB∥CD11．平行四边形两邻边分别为24和16，若两长边间的距离为8，则两短边间的距离为( )．(A)5 (B)6(C)8 (D)12综合、运用、诊断一、解答题12．已知：如图，□ABCD中，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F．求证：DE＝BF．13．如图，在□ABCD中，∠ABC的平分线交CD于点E，∠ADE的平分线交AB于点F，试判断AF与CE是否相等，并说明理由．14．已知：如图，E、F分别为□ABCD的对边AB、CD的中点．(1)求证：DE＝FB；(2)若DE、CB的延长线交于G点，求证：CB＝BG．15．已知：如图，□ABCD中，E、F是直线AC上两点，且AE＝CF．求证：(1)BE＝DF；(2)BE∥DF．拓展、探究、思考16．已知：□ABCD中，AB＝5，AD＝2，∠DAB＝120°，若以点A为原点，直线AB为x 轴，如图所示建立直角坐标系，试分别求出B、C、D三点的坐标．17．某市要在一块□ABCD的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占面积是□ABCD面积的一半，并且四边形花园的四个顶点作为出入口，要求分别在□ABCD的四条边上，请你设计两种方案：方案(1)：如图1所示，两个出入口E、F已确定，请在图1上画出符合要求的四边形花园，并简要说明画法；图1方案(2)：如图2所示，一个出入口M已确定，请在图2上画出符合要求的梯形花园，并简要说明画法．图2测试2 平行四边形的性质(二)学习要求能综合运用所学的平行四边形的概念和性质解决简单的几何问题．课堂学习检测一、填空题1．平行四边形一条对角线分一个内角为25°和35°，则4个内角分别为______．2．□ABCD中，对角线AC和BD交于O，若AC＝8，BD＝6，则边AB长的取值范围是______．3．平行四边形周长是40cm，则每条对角线长不能超过______cm．4．如图，在□ABCD中，AE、AF分别垂直于BC、CD，垂足为E、F，若∠EAF＝30°，AB＝6，AD＝10，则CD＝______；AB与CD的距离为______；AD与BC的距离为______；∠D＝______．5．□ABCD的周长为60cm，其对角线交于O点，若△AOB的周长比△BOC的周长多10cm，则AB＝______，BC＝______．6．在□ABCD中，AC与BD交于O，若OA＝3x，AC＝4x＋12，则OC的长为______．7．在□ABCD中，CA⊥AB，∠BAD＝120°，若BC＝10cm，则AC＝______，AB＝______．8．在□ABCD中，AE⊥BC于E，若AB＝10cm，BC＝15cm，BE＝6cm，则□ABCD的面积为______．二、选择题9．有下列说法：①平行四边形具有四边形的所有性质；②平行四边形是中心对称图形；③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形．其中正确说法的序号是( )．(A)①②④(B)①③④(C)①②③(D)①②③④10．平行四边形一边长12cm，那么它的两条对角线的长度可能是( )．(A)8cm和16cm (B)10cm和16cm (C)8cm和14cm (D)8cm和12cm 11．以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有( )个．(A)1 (B)2 (C)3 (D)无数12．在□ABCD中，点A1、A2、A3、A4和C1、C2、C3、C4分别是AB和CD的五等分点，点B1、B2、和D1、D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为1，则□ABCD的面积为( )(A)2(B)53 (C)35 (D)1513．根据如图所示的(1)，(2)，(3)三个图所表示的规律，依次下去第n 个图中平行四边形的个数是( )……(1) (2) (3)(A)3n (B)3n (n ＋1) (C)6n(D)6n (n ＋1)综合、运用、诊断 一、解答题14．已知：如图，在□ABCD 中，从顶点D 向AB 作垂线，垂足为E ，且E 是AB 的中点，已知□ABCD 的周长为8.6cm ，△ABD 的周长为6cm ，求AB 、BC 的长．15．已知：如图，在□ABCD 中，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ，∠2＝30°，求∠1、∠3的度数．拓展、探究、思考16．已知：如图，O 为□ABCD 的对角线AC 的串点，过点O 作一条直线分别与AB 、CD 交于点M 、N ，点E 、F 在直线MN 上，且OE ＝OF ．(1)图中共有几对全等三角形?请把它们都写出来；(2)求证：∠MAE＝∠NCF．17．已知：如图，在□ABCD中，点E在AC上，AE＝2EC，点F在AB上，BF＝2AF，若△BEF的面积为2cm2，求□ABCD的面积．测试3 平行四边形的判定(一)学习要求初步掌握平行四边形的判定定理．课堂学习检测一、填空题1．平行四边形的判定方法有：从边的条件有：①两组对边__________的四边形是平行四边形；②两组对边__________的四边形是平行四边形；③一组对边__________的四边形是平行四边形．从对角线的条件有：④两条对角线__________的四边形是平行四边形．从角的条件有：⑤两组对角______的四边形是平行四边形．注意：一组对边平行另一组对边相等的四边形______是平行四边形．(填“一定”或“不一定”)2．四边形ABCD中，若∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°，则这个四边形______(填“是”、“不是”或“不一定是”)平行四边形．3．一个四边形的边长依次为a、b、c、d，且满足a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则这个四边形为______．4．四边形ABCD中，AC、BD为对角线，AC、BD相交于点O，BO＝4，CO＝6，当AO＝______，DO＝______时，这个四边形是平行四边形．5．如图，四边形ABCD中，当∠1＝∠2，且______∥______时，这个四边形是平行四边形．二、选择题6．下列命题中，正确的是( )．(A)两组角相等的四边形是平行四边形(B)一组对边相等，两条对角线相等的四边形是平行四边形(C)一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形(D)两组对边分别相等的四边形是平行四边形7．已知：园边形ABCD中，AC与BD交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下四种说法：①如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；②如果再加上条件“∠BAD＝∠BCD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；③如果再加上条件“OA＝OC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；④如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形．其中正确的说法是( )．(A)①②(B)①③④(C)②③(D)②③④8．能确定平行四边形的大小和形状的条件是( )．(A)已知平行四边形的两邻边(B)已知平行四边形的相邻两角(C)已知平行四边形的两对角线(D)已知平行四边形的一边、一对角线和周长综合、运用、诊断一、解答题9．如图，在□ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，已知AE＝CF，M、N是DE和FB的中点，求证：四边形ENFM是平行四边形．10．如图，在□ABCD中，E、F分别是边AD、BC上的点，已知AE＝CF，AF与BE相交于点G，CE与DF相交于点H，求证：四边形EGFH是平行四边形．11．如图，在□ABCD中，E、F分别在边BA、DC的延长线上，已知AE＝CF，P、Q分别是DE和FB的中点，求证：四边形EQFP是平行四边形．12．如图，在□ABCD中，E、F分别在DA、BC的延长线上，已知AE＝CF，F A与BE的延长线相交于点R，EC与DF的延长线相交于点S，求证：四边形RESF是平行四边形．13．已知：如图，四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，点E在BC上，点F在AD上，AF＝CE，EF与对角线BD交于点O，求证：O是BD的中点．14．已知：如图，△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE 的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF．求证：CF∥AE.拓展、探究、思考15．已知：如图，△ABC，D是AB的中点，E是AC上一点，EF∥AB，DF∥BE．(1)猜想DF与AE的关系；(2)证明你的猜想．16．用两个全等的不等边三角形ABC和三角形A′B′C′(如图)，可以拼成几个不同的四边形?其中有几个是平行四边形?请分别画出相应的图形加以说明．测试4 平行四边形的判定(二)学习要求进一步掌握平行四边形的判定方法．课堂学习检测一、填空题1．如图，□ABCD中，CE＝DF，则四边形ABEF是____________．1题图2．如图，□ABCD，EF∥AB，GH∥AD，MN∥AD，图中共有______个平行四边形．2题图3．已知三条线段长分别为10，14，20，以其中两条为对角线，其余一条为边可以画出______个平行四边形．4．已知三条线段长分别为7，15，20，以其中一条为对角线，另两条为邻边，可以画出______个平行四边形．5．已知：如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，则四边形ABCD是______．5题图二、选择题6．能判定一个四边形是平行四边形的条件是( )．(A)一组对边平行，另一组对边相等(B)一组对边平行，一组对角互补(C)一组对角相等，一组邻角互补(D)一组对角相等，另一组对角互补7．能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是( )．(A)AD＝BC，AB∥CD(B)∠A＝∠B，∠C＝∠D(C)AB＝BC，AD＝DC(D)AB∥CD，CD＝AB8．能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是：∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值为( )．(A)1∶2∶3∶4 (B)1∶4∶2∶3(C)1∶2∶2∶1 (D)1∶2∶1∶29．如图，E、F分别是□ABCD的边AB、CD的中点，则图中平行四边形的个数共有( )．(A)2个(B)3个(C)4个(D)5个10．□ABCD的对角线的交点在坐标原点，且AD平行于x轴，若A点坐标为(－1，2)，则C点的坐标为( )．(A)(1，－2) (B)(2，－1) (C)(1，－3) (D)(2，－3)11．如图，□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，将△AOD平移至△BEC的位置，则图中与OA相等的其他线段有( )．(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条综合、运用、诊断一、解答题12．已知：如图，在□ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只需证明一组线段相等即可)．(1)连结______；(2)猜想：______＝______；(3)证明：13．如图，在△ABC中，EF为△ABC的中位线，D为BC边上一点(不与B、C重合)，AD 与EF交于点O，连结EF、DF，要使四边形AEDF为平行四边形，需要添加条件______．(只添加一个条件)证明：14．已知：如图，△ABC中，AB＝AC＝10，D是BC边上的任意一点，分别作DF∥AB交AC于F，DE∥AC交AB于E，求DE＋DF的值．15．已知：如图，在等边△ABC中，D、F分别为CB、BA上的点，且CD＝BF，以AD为边作等边三角形ADE．求证：(1)△ACD ≌△CBF ；(2)四边形CDEF 为平行四边形．拓展、探究、思考16．若一次函数y ＝2x －1和反比例函数x k y 2=的图象都经过点(1，1)． (1)求反比例函数的解析式；(2)已知点A 在第三象限，且同时在两个函数的图象上，利用图象求点A 的坐标；(3)利用(2)的结果，若点B 的坐标为(2，0)，且以点A 、O 、B 、P 为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P 的坐标．17．如图，点A (m ，m ＋1)，B (m ＋3，m －1)在反比例函数xk y =的图象上．(1)求m ，k 的值；(2)如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点，以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式．测试5 平行四边形的性质与判定学习要求能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算．课堂学习检测一、填空题：1．平行四边形长边是短边的2倍，一条对角线与短边垂直，则这个平行四边形各角的度数分别为______．2．从平行四边形的一个锐角顶点作两条高线，如果这两条高线夹角为135°，则这个平行四边形的各内角的度数为______．3．在□ABCD中，BC＝2AB，若E为BC的中点，则∠AED＝______．4．在□ABCD中，如果一边长为8cm，一条对角线为6cm，则另一条对角线x的取值范围是______．5．□ABCD中，对角线AC、BD交于O，且AB＝AC＝2cm，若∠ABC＝60°，则△OAB 的周长为______cm．6．如图，在□ABCD中，M是BC的中点，且AM＝9，BD＝12，AD＝10，则□ABCD的面积是______．7．□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若∠BOC＝120°AD＝7，BD＝10，则□ABCD 的面积为______．8．如图，在□ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，AF＝5，24BG，则△CEF的周长为______．9．如图，BD为□ABCD的对角线，M、N分别在AD、AB上，且MN∥BD，则S△DMC______ S△BNC．(填“＜”、“＝”或“＞”)综合、运用、诊断一、解答题10．已知：如图，△EFC中，A是EF边上一点，AB∥EC，AD∥FC，若∠EAD＝∠F AB．AB ＝a，AD＝b．(1)求证：△EFC是等腰三角形；(2)求EC＋FC．11．已知：如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，AE平分∠BAC，EF∥DC，交BC于F．求证：BE＝FC．12．已知：如图，在□ABCD中，E为AD的中点，CE、BA的延长线交于点F．若BC＝2CD，求证：∠F＝∠BCF．13．如图，已知：在□ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB、CD的中点，且AB＝2AD．求证：BF∶BD＝3∶3．拓展、探究、思考14．如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M(－2，－1)，且P(－1，－2)是双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，P A垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．。
八年级数学培优讲义下册
第十六章 分式测试1 从分数到分式学习要求掌握分式的概念，能求出分式有意义，分式值为0、为1的条件．课堂学习检测一、填空题1．用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成______的形式，如果除式B 中______，该分式的分式．2．把下列各式写成分式的形式：（1）5÷xy 为______. （2）（3x ＋2y ）÷（x －3y ）为______.3．甲每小时做x 个零件，做90个零件所用的时间，可用式子表示成______小时．4．n 公顷麦田共收小麦m 吨，平均每公顷的产量可用式子表示成______吨．5．轮船在静水中每小时走a 千米，水流速度是b 千米／时，轮船在逆流中航行s 千米所需要的时间可用式子表示成______小时．6．当x ＝______时，分式13-x x没有意义． 7．当x ＝______时，分式112--x x 的值为0．8．分式yx，当字母x 、y 满足______时，值为1；当字母x ，y 满足______时值为－1．二、选择题9．使得分式1+a a有意义的a 的取值范围是（ ） A ．a ≠0 B ．a ≠1 C ．a ≠－1 D ．a ＋1＞010．下列判断错误．．的是（ ） A ．当32=/x 时，分式231-+x x 有意义 B ．当a ≠b 时，分式22ba ab-有意义 C ．当21-=x 时，分式x x 412+值为0D ．当x ≠y 时，分式x y y x --22有意义11．使分式5+x x值为0的x 值是（ ） A ．0 B ．5C ．－5D ．x ≠－512．当x ＜0时，xx ||的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．不确定13．x 为任何实数时，下列分式中一定有意义的是（ )A ．xx 12+B ．112--x x C ．11+-x x D ．112+-x x 三、解答题14．下列各式中，哪些是整式哪些是分式15．x 取什么值时，2)3)(2(---x x x 的值为0综合、运用、诊断一、填空题16．当x =______时，分式632-x x无意义． 17.使分式2)3(2+x x有意义的条件为______． 18.分式2)1(522+++x x 有意义的条件为______． 19．当______时，分式44||--x x 的值为零． 20．若分式x--76的值为正数，则x 满足______． 二、选择题21．若x 、y 互为倒数，则用x 表示y 的正确结果是（ ）A ．x ＝－yB ．yx 1= C ．xy 1=D ．xy 1±=22．若分式ba ba 235+-有意义，则a 、b 满足的关系是（ ）A ．3a ≠2bB ．b a 51=/C ．a b 32-=/D ．b a 32-=/23．式子222--+x x x 的值为0，那么x 的值是（ ） A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．不存在24．若分式6922---a a a 的值为0，则a 的值为（ ）A ．3B ．－3C ．±3D ．a ≠－225．若分式1212+-b b的值是负数，则b 满足（ ）A ．b ＜0B ．b ≥1C ．b ＜1D ．b ＞1三、解答题26．如果分式323||2-+-y y y 的值为0，求y 的值．27．当x 为何值时，分式121+x 的值为正数 28．当x 为何整数时，分式124+x 的值为正整数 拓展、探究、思考29．已知分式,by ay +-当y ＝－3时无意义，当y ＝2时分式的值为0，求当y ＝－7时分式的值．测试2 分式的基本性质学习要求掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式约分．课堂学习检测一、填空题1．,MB M A B A ⨯⨯=其中A 是整式，B 是整式，且B ≠0，M 是______． 2．把分式xy中的x 和y 都扩大3倍，则分式的值______． 3．⋅-=--)(121xx x 4．.y x xy x22353)(= 5．22)(1yx y x -=+． 6．⋅-=--24)(21yy x 二、选择题7．把分式bab a 392+-约分得（ ）A ．33++b a B ．33+-b a C ．ba 3- D ．ba 3+ 8．如果把分式yx yx ++2中的x 和y 都扩大10倍，那么分式的值（ ） A ．扩大10倍 B ．缩小10倍C ．是原来的32D ．不变9．下列各式中，正确的是（ ）A ．b am b m a =++ B ．0=++ba ba C ．1111--=-+c b ac ab D ．yx y x y x +=--122 三、解答题10．约分：（1）acab1510-（2）yx yx 322.36.1- （3）112--m m（4）yx x xy y -+-2442211．不改变分式的值，使下列分式的分子、分母都不含负号．（1）;53a - （2）；y x 532- （3）;52a b-- （4）⋅---xy 1511 综合、运用、诊断一、填空题12．化简分式：（1）=--3)(x y yx _____；（2）=+--22699xx x _____． 13．填空：)()1(=++-nm n m =-----ba n m m n 212)2(;)(⋅-ba221 14．填入适当的代数式，使等式成立．（1）⋅+=--+ba b a b ab a )(22222（2）.a b ba b a-=-+)(11 二、选择题15．把分式yx x-2中的x 、 y 都扩大m 倍（m ≠0），则分式的值（ ）A ．扩大m 倍B ．缩小m 倍C ．不变D ．不能确定16．下面四个等式：;22;22;22yx y x y x y x y x y x +-=+---=----=+-③②①⋅-+=--22yx y x ④其中正确的有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个17．化简22222b ab a b a ++-的正确结果是（ ）A ．ba ba -+ B ．ba ba +- C ．ab21 D ．ab21- 18．化简分式2222639ab b a b a -后得（ ）A ．222223ab b a b a -B ．263ab a ab-C ．ba ab23- D ．bb a ab2332-三、解答题19．约分：（1）322)(27)(12b a a b a --（2）62322--++x x x x（3）22164m m m --（4）2442-+-x x x20．不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数．（1）yx x --22（2）aa b --2（3）xx x x +---2211（4）2213m m m ---拓展、探究、思考21．（1）阅读下面解题过程：已知,5212=+x x 求142+x x 的值．解：),0(5212=/=+x x x Θ,5211=+∴xx 即⋅=+251x x （2）请借鉴（1）中的方法解答下面的题目：已知,2132=+-x x x求1242++x x x 的值． 测试3 分式的乘法、除法学习要求1．学会类比方法、总结出分式乘法、除法法则．2．会进行分式的乘法、除法运算．课堂学习检测一、填空题1．=-⋅)29(283x yy x ______． 2．=+-÷-xy x x xy x 33322______． 3．=+÷+)(1b a ba ______．4．=--++⋅+ab a b a .b ab a b ab 2222222______．5．已知x ＝2008，y ＝2009，则4422))((y x y x y x -++的值为______．二、选择题6．)(22m n n m a-⋅-的值为（ ）A ．nm a+2 B ．nm a+ C ．nm a+-D ．nm a--7．计算cdaxcd ab 4322-÷等于（ ） A ．x b 322B ．232x bC ．x b 322-D ．222283dc x b a -8．当x ＞1时，化简xx --1|1|得（ ） A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．0三、计算下列各题9．xy xy 212852⋅10．n m mnm mn m n m --÷--24222211．11.11)1(122+-÷--x x x x12．2222294255)23(x a x b a b a a x --⋅++四、阅读下列解题过程，然后回答后面问题13．计算：⋅⨯÷⨯÷⨯÷dd cc bb a 1112解：dd c c b b a 1112⨯÷⨯÷⨯÷＝a 2÷1÷1÷1①＝a 2． ②请判断上述解题过程是否正确若不正确，请指出在①、②中，错在何处，并给出正确的解题过程．综合、运用、诊断一、填空题14．cc b a 1⨯÷_____． 15．x y xy 3232÷-_____．16．一份稿件，甲单独打字需要a 天完成，乙单独打字需b 天完成，两人共同打需_____天完成．二、选择题17．计算xx x x x x +-÷---2231)2)(3(的结果是（ ） A ．22--x x xB ．xx x 212--C ．xx x --22D ．122--x x x18．下列各式运算正确的是（ ）A ．m ÷n ·n ＝mB ．m nn m =÷1.C ．111=÷⋅÷mm m m D ．1123=÷÷m mm 三、计算下列各题19．44)16(.2-+÷-a a a20．2222)1()1(a a a a .a a a -+-- 21．a b bab a b ab a b a a 22222224.2+÷+-- 22．xx x x x x --+÷+--32.)3(446222拓展、探究、思考23．小明在做一道化简求值题：,.2)(2222xy x xy y xy x x xy -+-÷-他不小心把条件x 的值抄丢了，只抄了y ＝－5，你说他能算出这道题的正确结果吗为什么测试4 分式的乘法、除法、乘方学习要求掌握乘方的意义，能根据乘方的法则，先乘方，再乘除进行分式运算．课堂学习检测一、填空题1．分式乘方就是________________．2．=323)2(bca ____________． 3．=-522)23(z y x ____________．二、选择题4．分式32)32(b a 的计算结果是（ ）A ．3632b aB ．3596b aC ．3598b aD ．36278b a5．下列各式计算正确的是（ ）A ．yx y x =33B ．326m mm =C ．b a ba b a +=++22D ．b a a b b a -=--23)()(6．22222nm m n m n ⋅÷-的结果是（ ）A ．2nm -B ．32nm -C ．4m n -D ．－n7．计算⨯-32)2(b a 2)2(a b )2(ab -⨯的结果是（ ） A ．68ba -B ．638ba -C ．5216baD ．5216ba -三、计算题8．32)32(cb a9．22)52(a y x -- 10．223)2(8y xy ÷11．232)4()2(ba b a -÷-四、解答题12．先化简，再求值：（1）,144421422xx x x x ++÷--其中⋅-=41x （2）,a b .b b a a b a b a a 222224)()(+÷--其中,21=a b ＝－1．综合、运用、诊断一、填空题13．=⋅-⋅-76252)1()()(aba b b a ______．14．=-÷-32223)3()3(ac b c ab ______． 二、选择题15．下列各式中正确的是（ ）A ．363223)23(yx y x =B ．22224)2(b a a b a a +=+C ．22222)(y x y x y x y x +-=+- D ．333)()()(n m n m nm n m -+=-+ 16．na b 22)(-（n 为正整数）的值是（ ）A ．n n a b 222+B ．n n a b 24C ．n n a b 212+-D ．n nab 24-17．下列分式运算结果正确的是（ ）A ．nm m n n m =3454.B ．bcad d cb a =. C ．22224)2(b a a b a a -=-D ．33343)43(y x yx =三、计算下列各题18．2222)2()()(ab ab ba -÷⋅- 19．23212313.-+-n nn n b a a c b20．22321).()(ba ab a ab b a -÷--- 四、化简求值21．若m 等于它的倒数，求32222)2.()22(444m m m m m m m --+÷-++的值．拓展、探究、思考22．已知.0)255(|13|2=-+-+b a b a 求2232332).6().()3(a bb a ab b a -÷--的值． 测试5 分式的加减学习要求1．能利用分式的基本性质通分．2．会进行同分母分式的加减法．3．会进行异分母分式的加减法．课堂学习检测一、填空题1．分式2292,32ac bc b a 的最简公分母是______．2．分式3241,34,21x x x x x +--的最简公分母是______． 3．分式)2(,)2(++m b nm a m 的最简公分母是______．4．分式)(,)(x y b yy x a x --的最简公分母是______． 5．同分母的分式相加减的法则是______．6．异分母的分式相加减，先______，变为______的分式，再加减．二、选择题7．已知=++=/xx x x 31211,0（ ） A ．x21 B ．x61 C ．x65 D ．x611 8．x y y a y x a x +--+++3333等于（ ）A ．y x y x +-33 B ．x －y C ．x 2－xy ＋y 2 D ．x 2＋y 29．ca bc ab +-的计算结果是（ ）A ．abc a c b 222+-B ．abcb a ac c b 222--C ．abcb a ac c b 222+-D ．abcac b +- 10．313---a a 等于（ ) A ．aa a --+1622B ．1242-++-a a a C ．1442-++-a a a D ．a a -111．21111xx x x n n n +-+-+等于（ ） A ．11+n xB ．11-n xC ．21xD ．1三、解答题12．通分：（1）abb a a b 41,3,22 （2）)2(2,)2(-+x b x a y （3）aa a a -+21,)1(2（4）aba b a b a --+2222,1,1 四、计算下列各题13．x x x x x -+--+22422214．xx x x x x x x +---+--+++35223634222 15．412234272--+--x x x 16．xyy xxy x y -+-22 综合、运用、诊断一、填空题17．计算aa -+-329122的结果是____________． 18.=-+abb a 6543322____________． 二、选择题19．下列计算结果正确的是（ ）A ．)2)(2(42121-+=--+x x x x B ．))((211222222222x y y x x x y y x ---=---C ．yx xy y x x 231223622-=- D ．33329152+-=----x x x x 20．下列各式中错误．．的是（ ） A ．ad a d c d c a d c a d c 2-=---=+-- B ．1522525=+++a aaC ．1-=---xy yy x xD ．11)1(1)1(22-=---x x x x 三、计算下列各题21．ba aa b b b a b a ---+-+22 22．zx y zy z x y z x z y x y ------+++-223．941522333222-++-++a a a a 24．43214121111xx x x x x +-++-+-- 25．先化简,1)121(22xx x x x x x ÷+---+再选择一个恰当的x 值代入并求值． 拓展、探究、思考26.已知,10345252---=++-x x x x B x A 试求实数A 、B 的值．27．阅读并计算：例：计算：⋅+++++++)3)(2(1)2)(1(1)1(1x x x x x x原式31212111111+-+++-+++-=x x x x x x仿照上例计算：⋅+++++++)6)(4(2)4)(2(2)2(2x x x x x x测试6 分式的混合运算学习要求1．掌握分式的四则运算法则、运算顺序、运算律．2．能正确进行分式的四则运算．课堂学习检测一、填空题1．化简=-2222639ab b a b a ______．2．化简2426aa ab -＝______． 3．计算)1()1111(2-⨯+--m m m 的结果是______． 4．)1(yx y y x +-÷的结果是______． 二、选择题5．2222y x y x y x y x -+÷+-的结果是（ ）A ．222)(y x y x ++B ．222)(y x y x -+C ．222)(y x y x +-D ．222)(yx y x ++6．222)(ba bb b a -⨯-的结果是（ ） A ．b1 B ．2b ab ba +-C ．ba ba +- D ．)(1b a b +7．ba ba b a b a b a b a -+⨯-+÷-+22)()(的结果是（ ） A ．ba ba +- B ．ba ba -+ C ．2)(ba b a -+ D ．1三、计算题8．xxx -+-111 9．291232mm -+- 10．242-++x x11．121)11(22+-+-÷--a a a a a a 12．)()(nm mnm n m mn m +-÷-+13．)131()11(22a a a a --÷++综合、运用、诊断一、填空题14．=-+-+-b a ba b a b a ______． 15．=++-+-32329122m m m ______． 二、选择题16．（1－m ）÷（1－m 2）×（m ＋1）的结果是（ ）A ．2)1(1m + B ．2)1(1m - C ．－1 D ．117．下列各分式运算结果正确的是（ ）．A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④18．abb a b a 2223231⨯--等于（ ） A ．aba - B ．bab - C ．aba 323- D ．bab 232- 19．实数a 、b 满足ab ＝1，设,11,1111bbaa Nb a M +++=+++=则M 、N 的大小关系为（ ）A ．M ＞NB ．M ＝NC ．M ＜ND ．不确定三、解答下列各题20．yy y y y yy y 4)44122(22-÷+--+-+21．)1214()11(22-----+÷+x x x x x x 四、化简求值22．,)]3(232[xy x y x xy x yx x-÷--++-其中5x ＋3y ＝0．拓展、探究、思考23．甲、乙两名采购员去同一家饲料公司购买两次饲料，两次购买时饲料的价格各不相同．两位采购员的购货方式也各不相同，甲每次购买1000千克，乙每次只购买800元的饲料，设两次购买的饲料单价分别为m 元/千克和n 元／千克（m ，n 为正整数，且m ≠n ），那么甲、乙两名采购员两次购得饲料的平均价格分别是多少谁的购买方法更合算测试7 整数指数幂学习要求1．掌握零指数幂和负整数指数幂的意义．2．掌握科学记数法．课堂学习检测一、填空题1．3－2＝______，=--3)51(______．2．（－0.02）0＝______，=0)20051(______． 3．（a 2）－3＝______（a ≠0），=-2)3(______，=--1)23(______．4．用科学记数法表示：1cm ＝______m ，2.7mL ＝______L ．5．一种细菌的半径为0.0004m ，用科学记数法表示为______m.6．用小数表示下列各数：10－5＝______，2.5×10－3＝______．7．（3a 2b －2）3＝______，（－a －2b ）－2＝______．8．纳米是表示微小距离的单位，1米＝109纳米，已知某种植物花粉的直径为35000纳米，用科学记数法表示成______m.二、选择题9．计算3)71(--的结果是（ ）A ．3431-B ．211-C ．－343D ．－2110．下列各数，属于用科学记数法表示的是（ ）A ．20.7×10－2B ．0.35×10－1C ．2004×10－3D ．3.14×10－511．近似数0.33万表示为（ ）A ．3.3×10－2B ．3.3000×103C ．3.3×103D ．0.33×10412．下列各式中正确的有（ ）①;9)31(2=-②2－2＝－4；③a 0＝1；④（－1）－1＝1；⑤（－3）2＝36．A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个三、解答题13．用科学记数法表示：（1）0.00016 （2）－0.0000312 （3）1000.5 （4）0.00003万14．计算：（1）98÷98 （2）10－3 （3）2010)51(-⨯15．地球的质量为6×1013亿吨，太阳的质量为1.98×1019亿吨，则地球的质量是太阳质量的多少倍（用负指数幂表示）综合、运用、诊断一、填空题16．=-+-01)π()21(______，－1＋（3.14）0＋2－1＝______．17．=-+---|3|)12()21(01______．18．计算（a －3）2（ab 2）－2并把结果化成只含有正整数指数幂形式为______．19．“神威一号”计算机运算速度为每秒次，其运算速度用科学记数法表示，为______次/秒．20．近似数－1.25×10－3有效数字的个数有______位．二、选择题21．2009200908)125.0()13(⨯+-的结果是（ ）A ．3B ．23-C ．2D ．022．将201)3(,)2(,)61(---这三个数按从小到大的顺序排列为（）A ．210)3()61()2(-<<--B ．201)3()2()61(-<-<-C ．102)61()2()3(-<-<-D ．120)61()3()2(-<-<-三、解答题23．计算下列各式，并把结果化成只含有正整数指数幂的形式：（1）（a 2b －3）－2（a －2b 3）2 （2）（x －5y －2z －3）2（3）（5m －2n 3）－3（－mn －2）－224．用小数表示下列各数：（1）8.5×10－3 （2）2.25×10－8 （3）9.03×10－5测试8 分式方程的解法学习要求了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．课堂学习检测一、填空题1．分式方程1712112-=-++x x x 若要化为整式方程，在方程两边同乘的最简公分母是______．2．方程111=+x 的解是______． 3．方程625--=-x x x x 的解是______． 4．x ＝2是否为方程32121---=-x x x 的解答：______． 5．若分式方程127723=-+-xax x 的解是x ＝0，则a ＝______．二、选择题6．下列关于x 的方程中，不是分式方程的是（ ）A ．11=+x xB ．4132=+x xC ．52433=+x x D ．6516-=x x 7．下列关于x 的方程中，是分式方程的是（ ）A ．55433+=--x x B ．abb x b a a x +=- C ．11)1(2=--x xD ．nx m n nx =-8．将分式方程yyy y 2434216252--=+-+化为整式方程时，方程两边应同乘（ ）． A ．（2y －6）（4－2y ） B ．2（y －3）C ．4（y －2）（y －3）D ．2（y －3）（y －2）9．方程4321+-=+-x x x x 的解是（ ） A ．x ＝－4B ．21-=xC ．x ＝3D ．x ＝110．方程34231--=+-x xx 的解是（ ） A ．0 B ．2 C ．3 D ．无解11．分式方程)2(6223-+=-x x x x 的解是（ ） A ．0 B ．2 C ．0或2 D ．无解三、解分式方程12．0227=-+x x13．3625+=-x x 14．45411--=--x xx 15．1617222-=-++x xx xx综合、运用、诊断一、填空题16．当x ＝______时，分式x3与x-62的值互为相反数． 17．下列每小题中的两个方程的解是否相同（1）2322-=-+x x x 与x ＋2＝3 （ ） （2）2422-=-+x x x 与x ＋2＝4 （ ） （3）113112-+=-++x x x 与x ＋2＝3 （ ） 18．当m ＝______时，方程312=-xm 的解为1． 19．已知分式方程424-+=-x ax x 有增根，则a 的值为______． 二、选择题20．若分式方程58)1()(2-=-+x a a x 的解为,51-=x 则a 等于（ ）A ．65B ．5C ．65- D ．－521．已知,11,11cb ba -=-=用a 表示c 的代数式为（ ）A ．bc -=11 B ．ca -=11 C ． aa c -=1 D ．a a c 1-=22．若关于x 的方程0111=----x xx m 有增根，则m 的值是（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．－123．将公式21111R R R +=（R ，R 1，R 2均不为零，且R ≠R 2）变形成求R 1的式子，正确的是（ ） A ．RR RRR -=221B ．R R RR R +=221 C ．2211R RR RR R +=D ．221R R RRR -=三、解分式方程24．1211422+=+--x xx x x 25．2224412-++=--x x x x x 26．32)3)(2(122-=-----x x x x x x x 27．xx x x x x---+-=-+41341216852 拓展、探究、思考28．若关于x 的分式方程211=--x m 的解为正数，求m 的取值范围． 29．（1）如下表，方程1、方程2、方程3……是按照一定规律排列的一列方程．猜想方程1的解，并将它们的解填在表中的空白处．（2）若方程)(11b a bx x a >=--的解是x 1＝6，x 2＝10，猜想a 、b 的值，该方程是不是（1）中所给出的一列方程中的一个如果是，是第几个（3）请写出这列方程中的第n 个方程和它的解．测试9 列分式方程解应用题学习要求会列出分式方程解简单的应用问题．课堂学习检测一、选择题1．某班学生军训打靶，有m 人各中靶a 环，n 人各中靶b 环，那么所有中靶学生的平均环数是（ ）A ．nm ba ++ B ．nm bnam ++C ．)(21nb m a +D ．)(21bn am +2．某农场挖一条480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x 米，那么下列方程正确的是（ ）A ．420480480=+-x x B ．204480480=+-x x C ．448020480=--xx D ．204804480=--xx 二、列方程解应用题3．一辆汽车先以一定速度行驶120千米，后因临时有任务，每小时加5千米，又行驶135千米，结果行驶这两段路程所用时间相等，求汽车先后行驶的速度．4．一个车间加工720个零件，预计每天做48个，就能如期完成，现在要提前5天完成，每天应该做多少个5．甲、乙两同学学习电脑打字，甲打一篇3000字的文章与乙打一篇2400字的文章所用的时间相同，已知甲每分钟比乙多打12个字，问甲、乙两人每分钟各打字多少个6．某煤矿现在平均每天比原计划多采330吨煤，已知现在采33000吨煤所需的时间和原计划采23100吨煤的时间相同．问现在平均每天采煤多少吨综合、运用、诊断一、填空题7．仓库贮存水果a 吨，原计划每天供应市场m 吨，若每天多供应2吨，则要少供应______天．8．某人上山，下山的路程都是s ，上山速度v 1，下山速度v 2，则这个人上山和下山的平均速度是______．9．若一个分数的分子、分母同时加1，得;21若分子、分母同时减2，则得,31这个分数是______．二、列方程解应用题10．某市决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路，为了使工程能提前3个月完成，需要将原定的工作效率提高12％，问原计划完成这项工程用多少月11．某一工程招标时，接到甲、乙两工程队的投标书，每施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元，乙工程队工程款1.1万元．目前有三种施工方案：方案一：甲队单独完成此项工程刚好如期完成；方案二：乙队单独完成此项工程比规定日期多5天；方案三：若甲、乙两队合作4天，剩下的工程由乙队单独做也正好如期完成．哪一种方案既能如期完工又最节省工程款第十九章 四边形测试1 平行四边形的性质(一)学习要求1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理；2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．课堂学习检测一、填空题1．两组对边分别______的四边形叫做平行四边形．它用符号“□”表示，平行四边形ABCD 记作__________。
八年级数学培优(下册)
八年级数学培优(下册)(A)AF＝EF(B)AB＝EF(C)AE＝AF(D)AF＝BE10．如图，下列推理不正确的是( )．(A)∵AB∥CD∴∠ABC＋∠C＝180°(B)∵∠1＝∠2 ∴AD∥BC(C)∵AD∥BC∴∠3＝∠4(D)∵∠A＋∠ADC＝180°∴AB∥CD 11．平行四边形两邻边分别为24和16，若两长边间的距离为8，则两短边间的距离为( )．(A)5 (B)6(C)8 (D)12综合、运用、诊断一、解答题12．已知：如图，□ABCD中，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F．求证：DE＝BF．13．如图，在□ABCD中，∠ABC的平分线交CD于点E，∠ADE的平分线交AB于点F，试判断AF与CE是否相等，并说明理由．14．已知：如图，E、F分别为□ABCD的对边AB、CD的中点．(1)求证：DE＝FB；(2)若DE、CB的延长线交于G点，求证：CB＝BG．15．已知：如图，□ABCD中，E、F是直线AC 上两点，且AE＝CF．求证：(1)BE＝DF；(2)BE∥DF．拓展、探究、思考16．已知：□ABCD中，AB＝5，AD＝2，∠DAB ＝120°，若以点A为原点，直线AB为x 轴，如图所示建立直角坐标系，试分别求出B、C、D三点的坐标．17．某市要在一块□ABCD的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占面积是□ABCD面积的一半，并且四边形花园的四个顶点作为出入口，要求分别在□ABCD的四条边上，请你设计两种方案：方案(1)：如图1所示，两个出入口E、F已确定，请在图1上画出符合要求的四边形花园，并简要说明画法；图1方案(2)：如图2所示，一个出入口M已确定，请在图2上画出符合要求的梯形花园，并简要说明画法．图2测试2 平行四边形的性质(二)学习要求能综合运用所学的平行四边形的概念和性质解决简单的几何问题．课堂学习检测一、填空题1．平行四边形一条对角线分一个内角为25°和35°，则4个内角分别为______．2．□ABCD中，对角线AC和BD交于O，若AC＝8，BD＝6，则边AB长的取值范围是______．3．平行四边形周长是40cm，则每条对角线长不能超过______cm．4．如图，在□ABCD中，AE、AF分别垂直于BC、CD，垂足为E、F，若∠EAF＝30°，AB＝6，AD＝10，则CD＝______；AB与CD的距离为______；AD与BC的距离为______；∠D＝______．5．□ABCD的周长为60cm，其对角线交于O 点，若△AOB的周长比△BOC的周长多10cm，则AB＝______，BC＝______．6．在□ABCD中，AC与BD交于O，若OA＝3x，AC＝4x＋12，则OC的长为______．7．在□ABCD中，CA⊥AB，∠BAD＝120°，若BC＝10cm，则AC＝______，AB＝______．8．在□ABCD中，AE⊥BC于E，若AB＝10cm，BC＝15cm，BE＝6cm，则□ABCD的面积为______．二、选择题9．有下列说法：①平行四边形具有四边形的所有性质；②平行四边形是中心对称图形；③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形．其中正确说法的序号是( )．(A)①②④(B)①③④(C)①②③ (D)①②③④10．平行四边形一边长12cm，那么它的两条对角线的长度可能是( )．(A)8cm和16cm (B)10cm和16cm(C)8cm和14cm (D)8cm和12cm11．以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有( )个．(A)1 (B)2 (C)3 (D)无数12．在□ABCD中，点A1、A2、A3、A4和C1、C2、C3、C4分别是AB和CD的五等分点，点B1、B2、和D1、D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为1，则□ABCD的面积为( )3(A)2 (B)55(D)15(C)313．根据如图所示的(1)，(2)，(3)三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是( )……(1) (2)(3)(A)3n(B)3n(n＋1) (C)6n(D)6n(n＋1)综合、运用、诊断一、解答题14．已知：如图，在□ABCD中，从顶点D向AB作垂线，垂足为E，且E是AB的中点，已知□ABCD的周长为8.6cm，△ABD的周长为6cm，求AB、BC的长．15．已知：如图，在□ABCD中，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∠2＝30°，求∠1、∠3的度数．拓展、探究、思考16．已知：如图，O为□ABCD的对角线AC的串点，过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，点E、F在直线MN上，且OE＝OF．(1)图中共有几对全等三角形?请把它们都写出来；(2)求证：∠MAE＝∠NCF．17．已知：如图，在□ABCD中，点E在AC上，AE＝2EC，点F在AB上，BF＝2AF，若△BEF的面积为2cm2，求□ABCD的面积．测试3 平行四边形的判定(一)学习要求初步掌握平行四边形的判定定理．课堂学习检测一、填空题1．平行四边形的判定方法有：从边的条件有：①两组对边__________的四边形是平行四边形；②两组对边__________的四边形是平行四边形；③一组对边__________的四边形是平行四边形．从对角线的条件有：④两条对角线__________的四边形是平行四边形．从角的条件有：⑤两组对角______的四边形是平行四边形．注意：一组对边平行另一组对边相等的四边形______是平行四边形．(填“一定”或“不一定”)2．四边形ABCD中，若∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°，则这个四边形______(填“是”、“不是”或“不一定是”)平行四边形．3．一个四边形的边长依次为a、b、c、d，且满足a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则这个四边形为______．4．四边形ABCD中，AC、BD为对角线，AC、BD相交于点O，BO＝4，CO＝6，当AO＝______，DO＝______时，这个四边形是平行四边形．5．如图，四边形ABCD中，当∠1＝∠2，且______∥______时，这个四边形是平行四边形．二、选择题6．下列命题中，正确的是( )．(A)两组角相等的四边形是平行四边形(B)一组对边相等，两条对角线相等的四边形是平行四边形(C)一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形(D)两组对边分别相等的四边形是平行四边形7．已知：园边形ABCD中，AC与BD交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下四种说法：①如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；②如果再加上条件“∠BAD＝∠BCD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；③如果再加上条件“OA＝OC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；④如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形．其中正确的说法是( )．(A)①②(B)①③④(C)②③(D)②③④8．能确定平行四边形的大小和形状的条件是( )．(A)已知平行四边形的两邻边(B)已知平行四边形的相邻两角(C)已知平行四边形的两对角线(D)已知平行四边形的一边、一对角线和周长综合、运用、诊断一、解答题9．如图，在□ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，已知AE＝CF，M、N是DE和FB的中点，求证：四边形ENFM是平行四边形．10．如图，在□ABCD中，E、F分别是边AD、BC上的点，已知AE＝CF，AF与BE相交于点G，CE与DF相交于点H，求证：四边形EGFH是平行四边形．11．如图，在□ABCD中，E、F分别在边BA、DC的延长线上，已知AE＝CF，P、Q分别是DE和FB的中点，求证：四边形EQFP是平行四边形．12．如图，在□ABCD中，E、F分别在DA、BC的延长线上，已知AE＝CF，FA与BE的延长线相交于点R，EC与DF的延长线相交于点S，求证：四边形RESF是平行四边形．13．已知：如图，四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，点E在BC上，点F在AD上，AF＝CE，EF与对角线BD交于点O，求证：O是BD的中点．14．已知：如图，△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF．求证：CF∥AE.拓展、探究、思考15．已知：如图，△ABC，D是AB的中点，E 是AC上一点，EF∥AB，DF∥BE．(1)猜想DF与AE的关系；(2)证明你的猜想．16．用两个全等的不等边三角形ABC和三角形A′B′C′(如图)，可以拼成几个不同的四边形?其中有几个是平行四边形?请分别画出相应的图形加以说明．测试4 平行四边形的判定(二)学习要求进一步掌握平行四边形的判定方法．课堂学习检测一、填空题1．如图，□ABCD中，CE＝DF，则四边形ABEF 是____________．1题图2．如图，□ABCD，EF∥AB，GH∥AD，MN ∥AD，图中共有______个平行四边形．2题图3．已知三条线段长分别为10，14，20，以其中两条为对角线，其余一条为边可以画出______个平行四边形．4．已知三条线段长分别为7，15，20，以其中一条为对角线，另两条为邻边，可以画出______个平行四边形．5．已知：如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，则四边形ABCD是______．5题图二、选择题6．能判定一个四边形是平行四边形的条件是( )．(A)一组对边平行，另一组对边相等(B)一组对边平行，一组对角互补(C)一组对角相等，一组邻角互补(D)一组对角相等，另一组对角互补7．能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是( )．(A)AD＝BC，AB∥CD(B)∠A＝∠B，∠C＝∠D(C)AB＝BC，AD＝DC(D)AB∥CD，CD＝AB8．能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是：∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值为( )．(A)1∶2∶3∶4 (B)1∶4∶2∶3(C)1∶2∶2∶1 (D)1∶2∶1∶29．如图，E、F分别是□ABCD的边AB、CD 的中点，则图中平行四边形的个数共有( )．(A)2个(B)3个(C)4个(D)5个10．□ABCD的对角线的交点在坐标原点，且AD平行于x轴，若A点坐标为(－1，2)，则C点的坐标为( )．(A)(1，－2) (B)(2，－1) (C)(1，－3) (D)(2，－3)11．如图，□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，将△AOD平移至△BEC的位置，则图中与OA相等的其他线段有( )．(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条综合、运用、诊断一、解答题12．已知：如图，在□ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只需证明一组线段相等即可)．(1)连结______；(2)猜想：______＝______；(3)证明：13．如图，在△ABC中，EF为△ABC的中位线，D为BC边上一点(不与B、C重合)，AD与EF交于点O，连结EF、DF，要使四边形AEDF为平行四边形，需要添加条件______．(只添加一个条件)证明：14．已知：如图，△ABC中，AB＝AC＝10，D 是BC边上的任意一点，分别作DF∥AB交AC于F，DE∥AC交AB于E，求DE＋DF的值．15．已知：如图，在等边△ABC 中，D 、F 分别为CB 、BA 上的点，且CD ＝BF ，以AD 为边作等边三角形ADE ．求证：(1)△ACD ≌△CBF ；(2)四边形CDEF 为平行四边形．拓展、探究、思考16．若一次函数y ＝2x －1和反比例函数x k y 2 的图象都经过点(1，1)．(1)求反比例函数的解析式；(2)已知点A 在第三象限，且同时在两个函数的图象上，利用图象求点A 的坐标；(3)利用(2)的结果，若点B 的坐标为(2，0)，且以点A 、O 、B 、P 为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P 的坐标．17．如图，点A (m ，m ＋1)，B (m ＋3，m －1)在反比例函数xk y 的图象上．(1)求m ，k 的值；(2)如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点，以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式．测试5 平行四边形的性质与判定学习要求能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算．课堂学习检测一、填空题：1．平行四边形长边是短边的2倍，一条对角线与短边垂直，则这个平行四边形各角的度数分别为______．2．从平行四边形的一个锐角顶点作两条高线，如果这两条高线夹角为135°，则这个平行四边形的各内角的度数为______．3．在□ABCD中，BC＝2AB，若E为BC的中点，则∠AED＝______．4．在□ABCD中，如果一边长为8cm，一条对角线为6cm，则另一条对角线x的取值范围是______．5．□ABCD中，对角线AC、BD交于O，且AB ＝AC＝2cm，若∠ABC＝60°，则△OAB的周长为______cm．6．如图，在□ABCD中，M是BC的中点，且AM＝9，BD＝12，AD＝10，则□ABCD的面积是______．7．□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若∠BOC＝120°AD＝7，BD＝10，则□ABCD 的面积为______．8．如图，在□ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，AF＝5，24BG，则△CEF的周长为______．9．如图，BD为□ABCD的对角线，M、N分别______ 在AD、AB上，且MN∥BD，则S△DMC S△BNC．(填“＜”、“＝”或“＞”)综合、运用、诊断一、解答题10．已知：如图，△EFC中，A是EF边上一点，AB∥EC，AD∥FC，若∠EAD＝∠FAB．AB＝a，AD＝b．(1)求证：△EFC是等腰三角形；(2)求EC＋FC．11．已知：如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，AE平分∠BAC，EF∥DC，交BC于F．求证：BE＝FC．12．已知：如图，在□ABCD中，E为AD的中点，CE、BA的延长线交于点F．若BC＝2CD，求证：∠F＝∠BCF．13．如图，已知：在□ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB、CD的中点，且AB＝2AD．求证：BF∶BD＝3∶3．拓展、探究、思考14．如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M(－2，－1)，且P(－1，－2)是双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．图1(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式；(2)当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等?如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；(3)如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．图2测试6 三角形的中位线学习要求理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．课堂学习检测一、填空题：1．(1)三角形的中位线的定义：连结三角形两边____________叫做三角形的中位线．(2)三角形的中位线定理是三角形的中位线____________第三边，并且等于____________________________________．2．如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，A′、B′、C′分别为EF、EG、GF的中点，△A′B′C′的周长为_________．如果△ABC、△EFG、△A′B′C′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是__________________．3．△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，若DE＝4，AD＝3，AE＝2，则△ABC的周长为______．二、解答题4．已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．5．已知：△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．求证：四边形DEFG是平行四边形．综合、运用、诊断6．已知：如图，E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连结AE分别交BC、BD于点F、G，连结AC交BD于O，连结OF．求证：AB＝2OF．7．已知：如图，在□ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE交于G．求证：GF＝GC．8．已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是DC、AB边的中点，FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于H、G点．求证：∠AHF＝∠BGF．拓展、探究、思考9．已知：如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E点，若AB＝5，AC＝7，求ED．10．如图在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且BD＝CE，M、N分别是BE、CD 的中点．过MN的直线交AB于P，交AC 于Q，线段AP、AQ相等吗?为什么?测试7 矩形学习要求理解矩形的概念，掌握矩形的性质定理与判定定理．课堂学习检测一、填空题1．(1)矩形的定义：__________________的平行四边形叫做矩形．(2)矩形的性质：矩形是一个特殊的平行四边形，它除了具有四边形和平行四边形所有的性质，还有：矩形的四个角______；矩形的对角线______；矩形是轴对称图形，它的对称轴是____________．(3)矩形的判定：一个角是直角的______是矩形；对角线______的平行四边形是矩形；有______个角是直角的四边形是矩形．2．矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10cm，则AB＝______cm，BC＝______cm．3．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB边上的中线CD＝______．4．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD ＝2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B＝______°。
八年级数学培优资料word版(全年级全章节培优_保证经典)
目录第01讲全等三角形的性质与判定1经典·考题·赏析1演练巩固·反馈提高5培优升级·奥赛检测7第02讲角平分线的性质与判定10经典·考题·赏析10培优升级·奥赛检测13第3讲轴对称及轴对称变换15经典·考题·赏析15演练巩固·反馈提高18培优升级·奥赛检测20第4讲等腰三角形23经典·考题·赏析23培优升级·奥赛检测30第五讲等边三角形33经典考题赏析33巩固练习反馈提高36第06讲实数38经典·考题·赏析38演练巩固反馈提高39培优升级奥赛检测41第7讲变量与函数43经典·考题·赏析43演练巩固·反馈提高46第8讲一次函数的图象与性质48经典·考题·赏析48演练巩固·反馈提高52培优升级·奥赛检测55第9讲一次函数与方程、不等式56经典·考题·赏析56演练巩固·反馈提高59第10讲一次函数的应用61经典·考题·赏析61演练巩固反馈提高68第11讲幂的运算71经典·考题·赏析71演练巩固反馈提高72培优升级奥赛检测73第12讲整式的乘除75经典·考题·赏析75演练巩固·反馈提高77第13讲因式分解及其应用80经典·考题·赏析80演练巩固反馈提高83培优升级奥赛检测83第14讲分式的概念•性质与运算85经典•考题•赏析85演练巩固反馈提高89培优升级奥赛检测90第15讲分式的化简求值与证明92经典•考题•赏析92演练巩固反馈提高96培优升级奥赛检测98第16讲分式方程及其应用99经典·考题·赏析100演练巩固·反馈提高103培优升级·奥赛检测105第17讲反比例函数的图象与性质106经典·考题·赏析107演练巩固·反馈提高112培优升级·奥赛检测115第18讲反比例函数的应用118经典·考题·赏析118演练巩固反馈提高121培优升级奥赛检测123第19讲勾股定理125经典·考题·赏析125演练巩固·反馈提高130培优升级•奥赛检测132第20讲平行四边形135经典•考题•赏析135演练巩固反馈提高139培优升级奥赛检测141第21讲菱形与矩形143经典·考题·赏析143演练巩固反馈提高147培优升级奥赛检测150第22讲正方形154经典•考题•赏析154演练巩固·反馈提高159培优升级·奥赛检测161第23讲梯形163经典•考题•赏析163演练巩固反馈提高. 165培优升级奥赛检测167第24讲数据的分析171经典·考题·赏析171演练巩固·反馈提高175培优升级·奥赛检测177模拟测试卷（一）180模拟测试卷(二) 183模拟测试卷（三）186AF CEDB B AC DE F第01讲 全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同； 2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（ ） A ．5对 B ．4对 C ．3对 D ．2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90.在△ABC 和△DCB 中 AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中BE CEEF EF=⎧⎨=⎩ ∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C .【变式题组】 01．（天津）下列判断中错误的是（ ）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等 02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.03．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE .【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF在△ABE 和△DCF 中, AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C在△ABF 和△DCE 中, AB DC B C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE【变式题组】01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．502.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. \AE第1题图A BCDEBCDO第2题图A B C D O F E A C EFBD03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC 和△DEF 的顶点B和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.【解法指导】⑴∠AFD ＝∠DCA⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下：由△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF , ∠ABC ＝∠DEF , ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF , ∴∠ABF ＝∠DEC在△ABF 和△DEC 中, AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC , ∴∠FAC ＝∠CDF∵∠AOD ＝∠FAC ＋∠AFD ＝∠CDF ＋∠DCA∴∠AFD ＝∠DCA 【变式题组】 01．（绍兴）如图，D 、E 分别为△ABC 的AC 、BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C落在AB 边上的点P 处.若∠CDE ＝48°，则∠APD 等于（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58° 02．如图，Rt △ABC 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到△DEF ，下列结论中错误的是（ ）A ．△ABC ≌△DEFB ．∠DEF ＝90° ．EC ＝CF得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下B （E ）OC F 图③DAAFECB DEFB ACDG第2题图图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上. ⑴求证：AB ⊥ED ；⑵若PB ＝BC ，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.【例４】（第21上的高，点P 在BD 的延长线，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB. 求证：⑴ AP ＝AQ ；⑵AP ⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP ＝AQ ,也就是证△APD 和△AQE ，或△APB 和△QAC 全等,由已知条件BP ＝AC ，CQ ＝AB ，应该证△APB ≌△QAC ，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP ⊥AQ ，即证∠PAQ ＝90°，∠PAD ＋∠QAC ＝90°就可以.证明：⑴∵BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高，∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°, ∴∠1＋∠BAD ＝90°，∠2＋∠BAD ＝90°，∴∠1＝∠2.在△APB 和△QAC 中, 2AB QC BP CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠ ∴△APB ≌△QAC ， ∴AP ＝AQ⑵∵△APB ≌△QAC ，∴∠P ＝∠CAQ , ∴∠P ＋∠PAD ＝90° ∵∠CAQ ＋∠PAD ＝90°，∴AP ⊥AQ 【变式题组】01．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点F 是CD 的中点，求证：AF ⊥CD .02．（湖州市竞赛试题）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为am ，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm ，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（ ）A ．2a bm + B ．2a bm - C ．bm D ．am21ABC P Q E F D03．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，则五边形ABCDE 的面积为__________演练巩固·反馈提高01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°02．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ BCB /＝30°，则∠ACA 的度数是（ ）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40° 03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（ ） A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS 04．（江西）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ ）A . CB ＝CD B .∠BAC ＝∠DAC 05将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A 、B 、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ）A . △ABE ≌△CBDB . ∠ABE ＝∠CBDC . ∠ABC ＝∠EBD ＝45° D . AC ∥BE06．如图，△ABC 和共顶点A ，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E . BC 交AD 于M ，DE 交AC 于第1题图a αc ca50° b72°58°AECBA 75° C45° BNM第2题图第3题图DN ，小华说：“一定有△ABC ≌△AED .”小明说：“△ABM ≌△AEN .”那么（ ） A . 小华、小明都对 B . 小华、小明都不对 C . 小华对、小明不对 D .小华不对、小明对07．如图，已知AC ＝EC , BC ＝CD , AB ＝ED ,如果∠BCA ＝119°，∠ACD ＝98°,那么∠ECA 的度数是___________.08．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝105°，∠DAC ＝10°，则∠DFB 的度数为_______.09AE ＋DE ＝______10AE ＝_____. 11．如图, AB ＝CD , AB ∥CD . BC ＝12cm ，同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发，沿CB 方向爬行，P 的速度是0.1cm /s , Q 的速度是0.2cm /s . 求爬行时间t 为多少时，△APB ≌△QDC .12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D .⑴求证：AE ＝CD ；⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长.13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F , 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14．如图，将等腰直角三角板ABC 的直角顶点C 放在直线l 上，从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E . ⑴找出图中的全等三角形，并加以证明； ⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.15．如图，AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB 分别是E 、F .求证：CE ＝DF .D A C .QP.BD B AC EFAE BF D C16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？ ⑴阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）； 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；已知△ABC 、△A 1B 1C 1均为锐角三角形，AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，∠C ＝∠C 1.求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1.（请你将下列证明过程补充完整）⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.培优升级·奥赛检测01．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝AF ，BF 、CE 相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则图中全等三角形有（ ） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对02．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，OC ＝OD ，下列结论中：①∠A ＝∠B ②DE ＝CE ，③连接DE , 则OE 平分∠AOB ，正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③03．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC ＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE 的长等于（）A ．DCB . BC C . ABD .AE ＋AC04．下面有四个命题，其中真命题是（ ）A ．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B ．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C . 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等05．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于H 点,且BH ＝AC ，则∠ABC ＝_______.06．如图，EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C , AE＝AF . 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD ＝DB ，其中正确的结论有___________.（填序号）07．如图，AD 为在△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ,且有BF ＝AC ，FD ＝CD .⑴求证：BE ⊥AC ；⑵若把条件“BF ＝AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.F 第6题图 21A B C E N M 321 A D E B C F A D E CO AE O BF C D 第1题图 B 第2题图 第3题图 A B CD A 1 B 1C 1D 1AEFC D B A B C DEA EB DC08．如图，D 为在△ABC 的边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD 的中线.求证：AC ＝2AE .09．如图，在凸四边形ABCD 中，E 为△ACD 内一点，满足AC ＝AD ，AB ＝AE , ∠BAE ＋∠BCE＝90°, ∠BAC ＝∠EAD .求证：∠CED ＝90°.10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB ＝90°，∠A ＝∠D ＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F .⑴求证：AF ＋EF ＝DE ;⑵若将图①中△DBE 绕点B 顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；⑶若将图①中△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由。
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八年级数学下册辅导资料（01）姓名：________ 得分：_____一、知识点梳理： 1、二次根式的定义.一般地，式子 a （a ≥0）叫做二次根式，a 叫做被开方数。
两个非负数：（1）a ≥0 ；（2）a ≥02、二次根式的性质：（1）.()0≥a a 是一个________ 数 ； （2）()=2a __________（a ≥0）（3）()()()⎪⎩⎪⎨⎧〈=〉==0_______0_______0_______2a a a a a3、二次根式的乘除：积的算术平方根的性质：)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ，二次根式乘法法则：__________=⋅b a （a ≥0,b ≥0）商的算术平方根的性质：ba b a =).0,0(>≥b a 二次根式除法法则：)0,0(>≥=b a bab a1．被开方数不含分母； 4、最简二次根式 2．分母中不含根号；3. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 分母有理化：是指把分母中的根号化去，达到化去分母中的根号的目的． 二、典型例题：例1：当x 是怎样实数时，下列各式在实数范围内有意义？ ⑴ 2-x ⑵xx -+2)1(0⑶13-+-x x ⑷12+x （5）12-+x x小结：代数式有意义应考虑以下三个方面：（1）二次根式的被开方数为非负数。
（2）分式的分母不例2：化简：（1）|21|)22(2-+- （2）|3254|)3253(2-+-例3： (1)已知y=x -3+62-x +5，求xy的值． (2) 已知01442=-+++-y x y y ，求xy 的值．小结：（1）常见的非负数有：a a a ,,2（2）几个非负数之和等于 0，则这几个非负数都为0. 例4：化简：（1）32； （2）2ba 33； （3）48.0 （4）yxx2（5）2925x y例5：计算： （1）351223⨯ （2） 21335÷ （3） ()0,02123〉〉⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷b a b a b a例6：化去下列各式分母中的二次根式： （1）323+ （2）813 （3）251+ （4）()0,03〉〉y x xy三、强化训练：1、使式子有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x ≤1； B 、x ≤1且2x ≠-； C 、2x ≠-； D 、x <1且2x ≠-． 2、已知0<x<1时，化简()21--x x 的结果是（ ）A 2X-1B 1-2XC -1D 1 3、已知直角三角形的一条直角边为9，斜边长为10，则别一条直角边长为（ ）A 、1；B 、C 、19；D ．4、n 的最小值是（ ）A 、4；B 、5；C 、6；D 、7． 5、下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A 、a 16 B 、b 3 C 、abD 、45 6、下列计算正确的是（ ） A()()69494-=-⨯-=-⨯- B 188142712=⨯=⨯C 624416416=+=+=+D 1212414414=⨯=⨯= 7、等式33-=-x x x x成立的条件是（ ）A x ≠3B x ≥0C x ≥0且x ≠3D x>3 8、已知053232=--+--y x y x 则y x 8-的值为 9、23231+-与的关系是 。
八年级数学培优讲义(下册)
第十六章分式测试1 从分数到分式学习要求掌握分式的概念，能求出分式有意义，分式值为0、为1 的条件．课堂学习检测一、填空题1.用A、B 表示两个整式，A÷B 就可以表示成的形式，如果除式 B 中，该分式的分式．2.把下列各式写成分式的形式：（1）5÷xy 为. （2）（3x＋2y）÷（x－3y）为.3.甲每小时做x 个零件，做90 个零件所用的时间，可用式子表示成小时．4.n 公顷麦田共收小麦m 吨，平均每公顷的产量可用式子表示成吨．5.轮船在静水中每小时走 a 千米，水流速度是 b 千米／时，轮船在逆流中航行s 千米所需要的时间可用式子表示成小时．x 6.当x＝时，分式3xx2 7.当x＝时，分式没有意义．11的值为0．x 18.分式x，当字母x、y 满足时，值为1；当字母x，y 满足时值为－1．y二、选择题9.使得分式a有意义的 a 的取值范围是（）a 1A ．a≠0 B．a≠1 C．a≠－1 D．a＋1＞0 10．下列判断错误．．的是（）A ．当x 2 x时，分式3 3x1有意义2B.当a≠b 时，分式1aba 2 b22x有意义1C.当x 时，分式2x 2值为0 4 xy 2D.当x≠y 时，分式y x 有意义11. 使分式x值为0 的x 值是（）x 5A ．0 B．5 C．－5 D．x≠－512. 当x＜0 时，| x |的值为（）xA ．1 B．－1 C．± 1 D．不确定213. x 为任何实数时，下列分式中一定有意义的是（ )x 21A ．x三、解答题B.x 1 x 21C.x 1 x 1D.x 1 x 2114. 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？x y ; 3 x y x 2 ; x y;1 3 3 x2; x yy;x( x 2 x 1) ; x 1π15. x 取什么值时，(x 2)( x 3) 的值为 0？x 2综合、运用、诊断一、填空题16. 当 x=时，分式2x 无意义．3x 617. 使分式2 x有意义的条件为．(x 3) 218. 分式2x 5(x1)2有意义的条件为 ．219. 当 时，分式| x | x 4 的值为零．4 20. 若分式二、选择题6 的值为正数，则 x 满足．7 x21. 若 x 、y 互为倒数，则用 x 表示 y 的正确结果是（）A ． x ＝－ yB ． x1C ．yy1 D ． y1 x x22. 若分式 5a3a b有意义，则 a 、b 满足的关系是（ ）2b1A ． 3a ≠ 2bB ． a b5C.b2 a 32 D. ab 323. 式子x 2 x 2 x 的值为 0，那么 x 的值是（）2A ． 2B ．－ 2C ．± 2D ．不存在24. 若分式a 2 9 a 2a 6的值为 0，则 a 的值为（） A ． 3B ．－ 3C ．± 3D ． a ≠－ 225. 若分式1 2b2b 的值是负数，则 b 满足（） 1A ． b ＜ 0B ． b ≥ 1C ． b ＜ 1D ． b ＞1三、解答题26. 如果分式| y | 3y2 2 y的值为0，求y 的值．327. 当x 为何值时，分式12 x 1的值为正数？28. 当x 为何整数时，分式42 x 1的值为正整数？29. 已知分式拓展、探究、思考y a, 当y＝－3 时无意义，当y＝2 时分式的值为0，求当y＝－7 时分式的值．y b测试2 分式的基本性质学习要求掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式约分．课堂学习检测一、填空题A A M1．B B My, 其中 A 是整式， B 是整式，且B≠0，M 是．2．把分式中的x 和y 都扩大 3 倍，则分式的值．xx 1 1 x 3．x 2 ( ) 4．( )3 x5xy 23x2 y.1 ( 5．x y x2)．6．1 xy2 y 2( )4 y2二、选择题a 2 7．把分式ab 93b约分得（）a 3 A ．b 3B．ab33C．a 3bD．a 3b x8．如果把分式x 2 yy中的x 和y 都扩大10 倍，那么分式的值（）A ．扩大10 倍B ．缩小10 倍C．是原来的23D ．不变9．下列各式中，正确的是（）a m A ．b mab 1 C．ac 1 abbcB ．aabb0 11D ．xx 2yy12 x y三、解答题10．约分：（1）10ab15ac2 （2）1.6x y3.2 x3 y（3）m 1m22 （4）y1 4 xy 4 x2 2 x y11．不改变分式的值，使下列分式的分子、分母都不含负号．（1）3 ;（2）3x ；2（3）2b;（4）11y 5a 5 y5a 15x综合、运用、诊断一、填空题1x yx2912．化简分式： （ 1） 3；（2）2．13.填空： (1) ( y x)m n ()n m 9 6 x x; (2) 2a 1 ( )1 2am nm n 2b2b14. 填入适当的代数式，使等式成立．a（ 1） a二、选择题ab a 2 b 22b2( )（ 2） b a b1 a b( ) . b a15. 把分式2 x中的 x 、 y 都扩大 m 倍（ m ≠ 0），则分式的值（ ）x yA ．扩大 m 倍B ．缩小 m 倍C ．不变D ．不能确定16. 下面四个等式：①x y2x y ; ② x y2 2x y ; ③ x y2 2 x y ;2④x y 2x y 其中正确的有（ ） 2A ． 0 个B ． 1 个C ． 2 个D ． 3 个a2b217. 化简a 22ab 的正确结果是（）b2A ．a b a b9a 2b 2 B. a ba bC.1 D ． 2ab12ab18. 化简分式3a 2b 6ab 2后得（） 3a 2b 2 3ab3ab 3abA ． a 2b2ab 2B.2C.D a 2b2三、解答题19. 约分：12a 2 (b a) 2a 6abx2 3x 2 3a b 2b（ 1）327(a b)（ 2）2xx 6m24m2x 4x 4（ 3）2（ 4）16 m x 220. 不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数．2．4（ 1） x2x 2y（ 2）b a 2 a（ 3）1 x x 1 x2 x（ 4）3m m21 m 2拓展、探究、思考21．（ 1）阅读下面解题过程：已知x x212 , 求 5x 2x41的值．解：xx21 2 (x5 0), 1 2 , 即 x1 5 x1 5x2xx 21x1 x 21 x21 ( x 1 )22x1 4 ( 5 )2 2 172（ 2）请借鉴（ 1）中的方法解答下面的题目：已知2xx 3x 1x2 2, 求42x x 的值．1测试 3 分式的乘法、除法学习要求1. 学会类比方法、总结出分式乘法、除法法则．2. 会进行分式的乘法、除法运算．一、填空题课堂学习检测8x 1． ( 2 y 9y) ． 3x2xyx23x 3 y ．3 x223．1( a b)． 4．ab ba 2 b22 . 2．a ba2ab b a ab( xy)( x 2 y 2)5．已知 x ＝2008 ， y ＝2009 ，则x4y4的值为．二、选择题a 6.(n m2n2m) 的值为（）A ．2am nB.a C ．m na D ． am nm n7. 计算A ． ab 22cd2b 2 3x3ax 4cd等于（ ）3b 2 xB ．22b 2 C.3x3a 2b 2 x D.8c 2 d 28. 当 x ＞ 1 时，化简|11 x |得（ ）xA ．1B ．－ 1C ．± 1D ． 0三、计算下列各题5 ym2 4n2m22mn9． 228 x21xy 10．2m mn m nx2111．21 .112．x(3a 2) 25a 2b 222 2(x 1)x 1 x 15a b4x9a x四、阅读下列解题过程，然后回答后面问题13．计算： a 2b1b21c 1 d1 c d 11解： abcdbcd＝ a 2÷ 1÷ 1÷ 1①＝ a 2．②请判断上述解题过程是否正确？若不正确，请指出在①、②中，错在何处，并给出正确的解题过程．综合、运用、诊断2了 y ＝－ 5，你说他能算出这道题的正确结果吗？为什么？测试 4 分式的乘法、除法、乘方学习要求掌握乘方的意义，能根据乘方的法则，先乘方，再乘除进行分式运算．课堂学习检测一、填空题一、填空题 14． a b c1 c．15． 3xy2 y 23x．16．一份稿件，甲单独打字需要 a 天完成，乙单独打字需b 天完成，两人共同打需天完成．二、选择题17．计算 ( x 3)( x 2) x 2 3x的结果是（ ） 2A ． xx x x21 x 2B ．x 21 2x C ．x xx22 x2D ． xx 2 x118．下列各式运算正确的是（）A ． m ÷ n · n ＝ mB ． m n.1nm C ． 1 m mm 1 m1D ． m 31 mm21三、计算下列各题.19． (a 216)a a 4 420． (1 a (1 a)2 a )2 . a a a 2a 2 a421． a 2a 2 b2a2ab 2ab b 2b2 b 2. a 22．4 2 x 4x6( x x23) .3 2x 2 x拓展、探究、思考23．小明在做一道化简求值题：( xy x )2x22xy xyy2.x yx2, 他不小心把条件 x 的值抄丢了，只抄) 1．分式乘方就是．2a 33 x2 2． ( bc 2 )3．3． (2 y 2z)5．二、选择题2a 2 34. 分式 ( 3b ) 的计算结果是（）2a 6 A ． 3b36a 5 B ．9b 38a 5 C ．9b 38a 6 D ．27b 35. 下列各式计算正确的是（）x 3x A ． y3ya 2b 2C ．a ba bm 6B ． m2D ．(a (b m3b)3a ba) 2n6.m222m m 2 n 2的结果是（）m A ． 2n2a 32b 2m 2B.n3 2bn C.4mD. － n7. 计算 ( 2 )b 8a( ) ( a ) 的结果是（ ） a8a 3 16a 216a 2A ． 6b 三、计算题B.b6C.b5D ．b58． ( 2a 2b 3) 3c9． ( 2x y 2 5a 2y 310． 8x(2 y 2 )211． ( 2a)3b2 (4a ) 2b四、解答题12．先化简，再求值：4 x21 4x24x 11 （ 1）, 其中 x2 4xx4n4 2 2（ 2）a a ba(a 2b) . b , 其中 a 1, b ＝－ 1． (a b)2b 2a 2一、填空题综合、运用、诊断13． a 2 5 ( b ) b 2 6( a ) ( 1 )7 ．ab14． ( 3ab 3c 2 )23b 2c ( )3．a二、选择题15．下列各式中正确的是（）3 x 23 3 x 62a24 a2A ． ( 2 yC. ( x xb22n)y )2y2 y 3x 2 y 2 x2y2B ． (aD ． ( m m ) bn )3na 2b 2(m n)3 ( m n)316． ( a ) （n 为正整数）的值是（）b2 2 n A ．a2nb4nB ． a 2nb 2 n 1C ． a2 nb4 n D.a2 n17．下列分式运算结果正确的是（）m 4A ． n 5 n 4m . m3nB ． a .c ad b dbc2a 24a 23x 3 3x 3 C ． ( )a b a 2 b 2D ． ( )4 y4 y 3三、计算下列各题18． ( a 2 b 2) ( 2 )b a2( 2ab)b 3n 1c 3 a 2 n19． a 2 n 1 . b3n 220. (a b)2 .( a ) 3 1 ab b a a2 b2四、化简求值21. 若m 等于它的倒数，求m 24m 4m 24m 22m 2( ) .(m 2m) 32的值．拓展、探究、思考22. 已知| 3a b 1 |(5a 5b) 220. 求(3a) 2.(bab3)a 3b 2(6ba 2.) 2的值．测试5 分式的加减学习要求1. 能利用分式的基本性质通分．2. 会进行同分母分式的加减法．3. 会进行异分母分式的加减法．一、填空题课堂学习检测1. 分式2a3b2c,2b9 ac2的最简公分母是．2. 分式x 1,4,x 1 的最简公分母是．3. 分式2 x 2m3x 4 x3n, 的最简公分母是．a( m 2) b(m 2)4. 分式xa( xy,y) b( y的最简公分母是．x)5. 同分母的分式相加减的法则是．33x y322 6. 异分母的分式相加减，先，变为 的分式，再加减．二、选择题7.已知 x 0, 1x 1 1（ ）2x 3xA ．1 B ．2 x 1C ． 6 x5D ．11 6x6xx3a3a 38.x y y A ．x y y等于（）xB. x － yC ． x 2－ xy ＋ y 2D ． x 2＋ y 29.ba c a 的计算结果是（）bcA ．b c a 222B ．b c ac a bb 2c C ．abcac 2 abca 2bD ． bc abcabca 310. 10． a 1a 2a 3 等于（)2a 62a4a 2a24a 4 a A ．B ．1 aa 1C.D ．a 11 a11. 11．n 1n 1xxx n 11 等于（）x21A ．xn 1B. 1x n 1 C.x2D. 1三、解答题12. 通分：（ 1）ba2a , 3b 2, 14ab（ 2）ya( x,22) b(x 2)（ 3）a2(a 11) , a 2a（ 4）1 1 a b , a2 b 2 2, a 2ab四、计算下列各题32222x 2 x 4 xx24 x2x 6 2x22 x 513. 13．x 22 x14.x 3 x 3 3 x715. 15．2 x 43 12x 2 x 2416.y x2xyx y2xy综合、运用、诊断一、填空题12 17.计算2 的结果是 ．a 29 3 a 2 3 518. 18.3a 2．4b 6ab二、选择题19. 下列计算结果正确的是（）1 1 A ．x 2x 24( x 2)( x 2)1B.x2y21y2x2( x 22x 2y 2 )( y 2x 2 )2C.6x3 x 212xy 3 x2 y 2 yx 15 2 3 D ．x9 3 xx 320. 下列各式中错误．．的是（）c d c d A ．aac d c da2d B ． 5 a 2a 5 2a 12a 5x y C ．1xyyxD ． x(x 1) 21 1 (1 x) 2x 1三、计算下列各题a 2b b 2a 21. 21．a b b a a b22. 22．y 2 x z y zx y zy x z y x z23．2 2a3 3 32a2a 15 4a 2924．1 11 x 1 x2 x 1 x 24 x 3 1 x425.先化简 ( x 1 x 2xx ) x 2 2x 1 1 , 再选择一个恰当的 x 值代入并求值． xA 26. 已知x 5B x 2x 25 x 43 x 10拓展、探究、思考, 试求实数 A 、B 的值．27. 阅读并计算：例：计算：1 x( x 1)1 (x 1)( x 2)1 (x 2)(x 3)原式1 x 1 1 1 x 1 x 1 x 21 1 x 2x3 1 1 xx 33 x( x 3)仿照上例计算：2 x(x2)2 ( x2)( x4)2 (x4)( x6)测试 6 分式的混合运算学习要求1. 掌握分式的四则运算法则、运算顺序、运算律．2. 能正确进行分式的四则运算．课堂学习检测一、填空题9a 2b 26ab1．化简3a 2b 6ab 2． 2．化简2a 4a2＝ ．2 ) 3. 计算 (1m 1 1) ( m 2 m 11) 的结果是．4.xy (1 y x ) 的结果是 ． y二、选择题xy x 2 5.xyx2y 的结果是（ ）y 2x 2A ． ( xy 2y)2x 2 B. ( x y 2y)2(x C. x 2y)2y 2 (x D. x 2y)2y 2a b 2 6． ( ) bb a 2 b 2的结果是（ ）A ．1B ．a bbab b2C.a b a bD.b (ab )7． (a b 2 a b ( a b )2 a b a b的结果是（ ）a bA ．a ba bB. a b a bC. (a ab )2 bD.1三、计算题8．1 xx 1 1 x9．2m 3 12 9 m 210． x 2 4x 2111．(a )1 a a2 a 1a 2 2a 1mn mna 3a 212． (m) (m ) m n m n13． ( 1) a 1(1 1 a 2 )一、填空题综合、运用、诊断a b14．a b八年级数学培优讲义a b ． 15． 12 a bm 292 3 m m 2．3二、选择题16．（ 1－ m ）÷（ 1－ m 2）×（ m ＋1）的结果是（ ）1A ．(1 m)2B．1(1 m) 2C．－1 D．117．下列各分式运算结果正确的是（）．5a3b2①2c10c5.a3b425c4b2b 2c3 a 2②a3 bbc3a③1( xx 2 13).1x 31x2 1④xy.x 1x 2 1x 1 1xyA ．①③B．②④C．①②D．③④3a 3a 2b18．1 等于（）2b 2b 2aA ．a b B. b a C. 3a 2b D. 2b 3a a b19．实数a、b 满足ab＝1，设M1a 13a1, Nab 1 1 a2bb, 则M、N 的大小关系为（）1 bA ．M＞N B．M＝N C．M＜N D．不确定三、解答下列各题y 2 20．(2y 2y1 y)y 4y 2 4 y 4 y21．(11) (x 4x 1 xx 2x 2)x 2 1四、化简求值22．[ 2 2(x yx y)]x y, 其中5x＋3y＝0．3 x x y 3x x拓展、探究、思考23．甲、乙两名采购员去同一家饲料公司购买两次饲料，两次购买时饲料的价格各不相同．两位采购员的购货方式也各不相同，甲每次购买1000 千克，乙每次只购买800 元的饲料，设两次购买的饲料单价分别为m 元/ 千克和n 元／千克（m，n 为正整数，且m≠n），那么甲、乙两名采购员两次购得饲料的平均价格分别是多少？谁的购买方法更合算？测试7 整数指数幂学习要求1．掌握零指数幂和负整数指数幂的意义． 2．掌握科学记数法．课堂学习检测一、填空题 1． 3 －2＝ ， ( 1)53．2．（－ 0.02）0＝， ( 12005)．－33．（ a 2） ＝（a ≠ 0）， ( 3 )2，( 3 2)1．4．用科学记数法表示： 1cm ＝ m ， 2.7mL ＝ L ．5．一种细菌的半径为 0.0004m ，用科学记数法表示为 m. 6．用小数表示下列各数： 10 －5＝ ， 2.5× 10 ＝．－3 7．（ 3a 2b－2）3＝，（－ a －2b ） －2＝．8．纳米是表示微小距离的单位，1 米＝ 109 纳米，已知某种植物花粉的直径为35000 纳米，用科学记数法表示成 m.二、选择题9．计算 ( 1) 71 3433的结果是（） A ．B ．1 21C ．－ 343D ．－ 2110．下列各数，属于用科学记数法表示的是（） A ． 20.7× 10－ 2B ． 0.35×10－ 1C ． 2004× 10－3D ． 3.14× 10－511．近似数 0.33 万表示为（）A ． 3.3× 10－ 2B ． 3.3000× 103C ． 3.3× 103D ． 0.33× 10412．下列各式中正确的有（）① ( 1)2－2－ 129; ② 2 ＝－ 4；③ a ＝ 1；④（－ 1） ＝1；⑤（－ 3） ＝ 36．3A ． 2 个B ． 3 个C ． 4 个D ． 1 个三、解答题13. 用科学记数法表示：（ 1） 0.00016 （ 2）－ 0.0000312 （ 3） 1000.5 （4） 0.00003 万14. 计算：（ 1） 98÷ 98（ 2）10－3（ 3） ( 1 )0510 215. 地球的质量为 6× 1013 亿吨，太阳的质量为 1.98×1019 亿吨，则地球的质量是太阳质量的多少倍 （用负指数幂表示）？一、填空题综合、运用、诊断1 1 16． ( )2 ( π) ， － 1＋（ 3.14） 0＋ 2－1 ＝ ．17．(1 ) 12( 2 1) 0 | 3| ． 18.计算（ a－ 3） 2（ ab 2 ）－ 2并把结果化成只含有正整数指数幂形式为 ．19.“神威一号”计算机运算速度为每秒 384000000000 次，其运算速度用科学记数法表示，为次/ 秒．20.近似数－ 1.25×10－ 3有效数字的个数有位． 二、选择题21． ( 3 1)( 0.125)200982009的结果是（ ）A ． 3B ． 3 2C ． 2D ． 01 22．将 ( ) 61, ( 2) 0 , ( 3) 2这三个数按从小到大的顺序排列为（）A ． (2)( 1 ) 16 ( 3)2B ． (1)16( 2)( 3) 2C ． (三、解答题3)2( 2)(1 ) 1 6D ． ( 2) 0( 3)2( 1) 1623. 计算下列各式，并把结果化成只含有正整数指数幂的形式：（ 1）（a 2b － 3） －2（ a － 2b 3）2（ 2）（ x － 5y－ 2z － 3）2（ 3）（5m － 2n 3） －3（－ mn － 2）－ 224. 用小数表示下列各数：（1）8.5×10－3 （2）2.25×10－8 （3）9.03×10－5测试8 分式方程的解法学习要求了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．课堂学习检测一、填空题1 1. 分式方程1 x2 7x 1 x2若要化为整式方程，在方程两边同乘的最简公分母是．112. 方程x 11的解是．3. 方程x xx 5 x2 的解是．614. x＝2 是否为方程x 2 x 13 的解？答：．x 25. 若分式方程二、选择题3x2x 7a7 2x1的解是x＝0，则a＝．6. 下列关于x 的方程中，不是分式方程的是（）A ．1x 1xB ．3x4x2 1C．x 3 x 23 4 5D ．x 516 x 67. 下列关于x 的方程中，是分式方程的是（）A ．x 34x 5B ．3 5( xC. x 1)211 D ．2 y 58. 将分式方程2 y 6 1 43 y2 4 2 y化为整式方程时，方程两边应同乘（）．A ．（2y－6）（4－2y）B ．2（y－3）C．4（y－2）（y－3） D ．2（y－3）（y－2）9. 方程x 1x 2 x 3的解是（）x 4xaabxbbaxnnmxn1A ．x＝－4 B．x C．x＝3 D．x＝12110. 方程 2x 3 4 x的解是（）x 3A ．0 B．2 C．3 D．无解3 11. 分式方程x 2 2 6x x( x的解是（）2)A ．0 B．2 C．0 或2 D．无解三、解分式方程7 x12． 2 0x 2 13．5 6x 2 x 31 5 x 14．1x 4 x 4 15．7x 2 x1x 2 x6x2 1一、填空题16.当x＝时，分式综合、运用、诊断3 与 2 的值互为相反数．x 6 x17.下列每小题中的两个方程的解是否相同？（1）x 2x 23与x＋2＝3 （）x 2（2）x 2x 24与x＋2＝4 （）x 2（3）x 21x 113 与x＋2＝3 （）x 118.当m＝时，方程2 1m x3 的解为1．19.已知分式方程二、选择题x2a有增根，则 a 的值为．x 4 x 420.若分式方程2( x a)a( x 1)8的解为x51 ,则a 等于（）5A ．5B．5 C．65D．－5621.已知a 1 1, b 1b1, 用a 表示c 的代数式为（）cA ． c11 bB. a11 cC.c1 a aD.ca 1 am 1 22.若关于 x 的方程 x 1 x0 有增根，则 m 的值是（）x 1A ． 3B ． 2C ．1D ．－ 11 23.将公式 R1 1 R 1R 2（ R ， R 1， R 2 均不为零，且 R ≠ R 2）变形成求 R 1 的式子，正确的是（）A ． RRR 2 B ． RRR 2 1R 2 R 1R 2 RC ． RRR 1 RR 2D ． RRR 2 1R 2三、解分式方程1R R 2x 2 4x2x 24． 21 x 1x 125． 14xx 2 4x 2 x 2x 2x1 x22x8x 2 x 13x 1 26．x 2 (x 2)( x 3)x 327． 52x16x 44 x28．若关于 x 的分式方程m 1x 1拓展、探究、思考2的解为正数，求 m 的取值范围．29．（ 1）如下表，方程 1、方程 2、方程 3是按照一定规律排列的一列方程．猜想方程 1 的解，并将它们的解填在表中的空白处． 序号方程 方程的解（ x 1<x 2)1 6 1 1x x 2 8 1 2 1xx 3x 1＝， x 2＝x 1＝ 4， x 2=6 10 1 31xx 4x 1=5，x 2=8（2）若方程ax11(ax bb) 的解是x1＝6，x2＝10，猜想a、b 的值，该方程是不是（1）中所给出的一列方程中的一个？如果是，是第几个？（3）请写出这列方程中的第n 个方程和它的解．测试9 列分式方程解应用题学习要求会列出分式方程解简单的应用问题．课堂学习检测一、选择题1.某班学生军训打靶，有m 人各中靶 a 环，n 人各中靶 b 环，那么所有中靶学生的平均环数是（）A ．a bm n1 a bB ．am bnm n1C．( )2 m n D ．(am2bn)2.某农场挖一条480 米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20 米，结果提前 4 天完成任务，若设原计划每天挖x 米，那么下列方程正确的是（）A ．480 4804 B ．480 48020 xC．480x 204804xD ．480x 448020 x 20 x x 4 x二、列方程解应用题3.一辆汽车先以一定速度行驶120 千米，后因临时有任务，每小时加 5 千米，又行驶135 千米，结果行驶这两段路程所用时间相等，求汽车先后行驶的速度．4.一个车间加工720 个零件，预计每天做48 个，就能如期完成，现在要提前 5 天完成，每天应该做多少个？5.甲、乙两同学学习电脑打字，甲打一篇3000 字的文章与乙打一篇2400 字的文章所用的时间相同，已知甲每分钟比乙多打12 个字，问甲、乙两人每分钟各打字多少个？6.某煤矿现在平均每天比原计划多采330 吨煤，已知现在采33000 吨煤所需的时间和原计划采23100吨煤的时间相同．问现在平均每天采煤多少吨？综合、运用、诊断一、填空题7.仓库贮存水果 a 吨，原计划每天供应市场m 吨，若每天多供应 2 吨，则要少供应天．8.某人上山，下山的路程都是s，上山速度v1，下山速度v2，则这个人上山和下山的平均速度是．9.若一个分数的分子、分母同时加1，得二、列方程解应用题1; 若分子、分母同时减2，则得21, 这个分数是．310.某市决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路，为了使工程能提前 3 个月完成，需要将原定的工作效率提高12％，问原计划完成这项工程用多少月？11.某一工程招标时，接到甲、乙两工程队的投标书，每施工一天，需付甲工程队工程款 1.5 万元，乙工程队工程款 1.1 万元．目前有三种施工方案：方案一：甲队单独完成此项工程刚好如期完成；方案二：乙队单独完成此项工程比规定日期多 5 天；方案三：若甲、乙两队合作 4 天，剩下的工程由乙队单独做也正好如期完成．哪一种方案既能如期完工又最节省工程款？第十九章四边形测试1 平行四边形的性质(一)学习要求1. 理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理；2. 能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．课堂学习检测一、填空题1. 两组对边分别的四边形叫做平行四边形．它用符号“□”表示，平行四边形ABCD 记作。
八年级数学下册培优讲稿、练习资料
八年级数学下册培优讲稿、练习资料目录八年级数学下册培优讲稿、练习资料目录 (1)第一章一元一次不等式和一元一次不等式组 (3)不等关系、不等式的基本性质及解集 (3)知识要点 (3)易错易混点 (3)典型例题 (4)学习自评 (4)一元一次不等式、一元一次不等式与一次函数、一元一次不等式组 (6)知识要点 (6)易错易混点 (6)典型例题 (6)学习自评 (7)第二章分解因式 (14)分解因式 (14)知识要点 (14)易错易混点 (14)典型例题 (14)学习自评 (14)提公因式法、公式法 (16)知识要点 (16)易错易混点 (16)典型例题 (16)学习自评 (17)第三章分式 (19)分式 (19)知识要点 (19)易错易混点 (19)典型例题 (19)学习自评 (20)分式的乘除法、加减法 (21)知识要点 (21)易错易混点 (21)典型例题 (21)学习自评 (22)分式方程 (23)知识要点 (23)易错易混点 (24)典型例题 (24)学习自评 (24)第四章相似图形 (27)线段的比、黄金分割及形状相同的图形 (27)知识要点 (27)易错易混点 (28)典型例题 (28)学习自评 (29)相似多边形相似三角形及三角形相似的条件 (30)知识要点 (30)易错易混点 (31)典型例题 (31)学习自评 (32)相似形的应用、相似多边形的性质、图形的方法与缩小 (36)知识要点 (36)易错易混点 (37)典型例题 (37)学习自评 (39)第五章数据的收集与处理 (42)数据的收集 (42)知识要点 (42)易错易混点 (42)典型例题 (42)学习自评 (43)频数与频率、数据的波动 (45)知识要点 (45)易错易混点 (46)典型例题 (46)学习自评 (47)第六章证明（一） (50)肯定与否定定义与命题 (50)知识要点 (50)易错易混点 (50)典型例题 (51)学习自评 (51)平行线的判定及其性质三角形内角和定理、推论及应用 (55)知识要点 (55)易错易混点 (55)典型例题 (55)学习自评 (56)第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组不等关系、不等式的基本性质及解集知识要点※要点1 不等式的概念及分类一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），≠，连接的式子叫做不等式。
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第17讲 反比例函数的图象与性质考点·方法·破译1．反比例函数的定义：形如k y x=（或1y kx -=，k ≠0）,y 叫做x 的反比例函数. 2．反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，关于y ＝x 或y ＝－x 轴对称，关于原点O 成中心对称，当k ＞0时，图象的两支分别在第一、三象限，当k ＜0时，图象的两支分别在第二、四象限，3．反比例函数的性质：当k ＞0时，在每个象限内，y 随x 增大而减小；当k ＜0时，在每个象限内，y 随x 增大而增大.经典·考题·赏析【例１】（西宁）已知函数ky x=-中，x ＞0时，y 随x 增大而增大，则y ＝kx －k 的大致图象为（ ）【解法指导】因为ky x=-中，x ＞0时y 随x 增大而增大，则－k ＜0，k ＞0，而一 次函数y ＝kx －k 中，k ＞0，－k ＜0，因而直线向右上方倾斜,与y 轴交点在负半轴上，所以选A ．【变式题组】 01．已知反比例函数ay x=（a ≠0）的图象，在每一象限内，y 的值随着x 值增大而减小，则一次函数y ＝－ax ＋a 的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 02．（龙岩）函数y ＝x ＋m 与my x=（m ≠0）在同一象限内的图象可以是（ABCDABCD03．（凉山州）若ab ＜0,则正比例函数y ＝ax 与反比例函数by x=在同一坐标第中的大致图象可能是（ ）04．函数y 1＝x (x ≥0),24y x=(x ＞0)的图象如图所示，则结论：①两函数图象的交点为（2，2）；②当x ＝1时，BC ＝3；③当0＜x ＜2时，y 2＞y 1;④当x 逐渐增大时，y 1随着x 的增大而增大，y 2随着x 的增大而减小.其中正确结论的序号是 . 【例2】如图，A 、B 分别是反比例函数10y x =，6y x=图象上的点，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OB 、OA ，OA 交BD 于E 点，△BOE 的面积为S 1，四边形ACDE 的面积为S 2，则S 2－S 1＝ .【解法指导】在反比例函数ky x=中，k 的几何意义为：OABC S k =长方形，或2ABO k S ∆=. 题中122121106()()22222ODE OBE k k S S S S S S ∆∆-=+-+=-=-= 【变式题组】01．（宁波）如图，正方形ABOC 的边长为2，反比例函数ky x=过点A ，则k 的值是（ ） A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－402．（兰州）如图，在直角坐标系中，点A 是x 轴正半轴上的一个定点，点B 是双曲线3y x=（x ＞0）上的一个动点，当点B 的横坐标逐渐增大时，△OAB 的面积将会（ ） A ．逐渐增大 B ．不变 C ．逐渐减小 D ．先增大后减小ABCD03．（牡丹江）如图，点A、B是双曲线3yx=上的点，分经过A、B两点向x轴、y轴作垂线，若S阴影＝1，则S1＋S2＝.04．（河池）如图，A、B是函数2yx=的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则（）A．S＝2 B．S＝4 C．2＜S＜4 D．S＞405．（泰安）如图，双曲线kyx=（k＞0）经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D，若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为（）A．1yx=B．2yx=C．3yx=D．6yx=【例3】（成都）如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数myx=的图象交于点A（－2，1），B（1，n）两点⑴试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；⑵求△AOB的面积.【解法指导】利用割补法求图形面积.解：⑴∵点A（－2，1）在反比例函数myx=的图象上，∴m＝(－2)×1＝－2，∴反比例函数的表达式为2yx=-.∵点B（1，n）也在反比例函数2yx=-图象上，∴n＝－2，即B（1，－2）把点A（－2，1）点B（1，－2）代入一次函数y＝kx＋b中，得212k bk b-+=⎧⎨+=-⎩解得11kb=-⎧⎨=-⎩∴一次函数的表达式为y＝－x－1．⑵在y＝－x－1中，当y＝0时，得x＝－1，∴直线y＝－x－1与x轴的交点为C（－1，0），∵线段OC将△AOB分成△AOC和△BOC，∴1113111212222 AOB AOC BOCS S S∆∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=+=.第1题图第2题图第3题图第4题图第5题图【变式题组】01．（徐州）如图，已知A (n ,－2),B (1,4)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数my x=的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C ．⑴求反比例函数和一次函数的关系式； ⑵求△AOC 的面积； ⑶求不等式kx ＋b mx-＜0的解集（直接写出答案）02．已知反比例函数112k y x=的图象与一次函数22y k x b =+的图象交于A 、B 点，A (1，n )，B (12-，－2). ⑴求两函数的解析式；⑵在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，请你直接写出P 点的坐标；若不存在，说明理由. ⑶求AOB △S ；⑷若y 1＞y 2，求x 的取值范围.03．如图，A 是反比例函数1ky x=（x ＞0）上一点，AB ⊥x 轴，C 是OB 的中点，一次函数y 2＝ax ＋b 的图象经过点A 、C 两点，并交y 轴为D （0，－2），AOD S ∆＝4. ⑴求两函数的解析式；⑵在y 轴右侧，若y 1＞y 2时，求x 的取值范围.04．如图，Rt △ABO 的顶点A 是双曲线ky x=与直线y ＝－x －(k ＋1)在第二象限的交点，AB ⊥x 轴于B ，32ABO S ∆=. ⑴求这两个函数的解析式； ⑵求A 、C 两点的坐标；⑶若P 是y 轴上一动点，5PAC S ∆=，求点P 的坐标.【例4】（咸宁）两个反比例函数k y x =和1y x=在第一象限内的图象如图所示，点P 在k y x =的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1y x=的图象于点B ，当点P 在ky x=的图象上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形P AOB 的面积不会发生变化；③P A 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点.其中一定正确的是 （把你认为正确的序号都填上）【解法指导】∵A 、B 两点在1y x=的图象上，根 据反比例函数ky x=中k 的几何意义可知12ODB OAC S S ∆∆==，因而①正确；∵1ODB OAC PDOC PAOB S S S S k ∆∆=--=-矩形四边形，当k不变时，若P 变动，而四边形P AOB 的面积不变．因而是②正确；若设P （t ,k t ），则A （t ,1t），B （,t k k t ），∴P A ＝11k k t t t --=，PB ＝t t k -.若P A ＝PB ，则有1(1)k t k t k--=.∵k ≠1,∴2t k =,∵t ＞0,t =,∴当P时，有P A ＝PB ，并不是P A 与PB 始终相等，因而③不正确；当A为PC 的中点时，OAC OPA OBD S S S ∆∆∆==，OPC ODP S S ∆∆=，∴ODB OPB S S ∆∆=，∴DB ＝PB ，因而④正确；故填①，②．④.1x =【变式题组】01．（武汉）如图，已知双曲线ky x=（k ＞0）经过矩形OABC 的边AB 的中点F ，交BC 于点E ，且四边形OEBF 的面积为2，则k ＝ . 02．如图，矩形ABCD 对角线BD 中点E 与A 都在反比例函数ky x=的图象上，且3ABCD S =矩形，则k ＝ .03．如图，P 为x 轴正半轴上一点，过点P 作x 轴的垂线，交函数1y x =（x ＞0）的图象于点A ，交函数4y x=（x ＞0）的图象于点B ，过点B 作x 轴的平行线，交1y x=（x ＞0）于点C ，连接AC ，当点P 的坐标为（t ，0）时，△ABC 的面积是否随t 的变化而变化？ 04．函数2y x =（x ＞0）与8y x=（x ＞0）的图象如图所示，直线x ＝ t （t ＞0）分别与两个函数图象交于A 、C 两点，经过A 、C 分别作x 轴的平行线，交两个函数图象于B 、D两点，探索线段AB 与CD 的比值是否与t 有关，请说明理由.05．如图，梯形AOBC 的顶点A 、C 有反比例函数第1题图第3题图第4题图的图象上，OA ∥BC ，上底OA 在直线y ＝x 上，下底BC 交x 轴于E （2，0），求四边形AOEC 的面积.演练巩固·反馈提高01．（恩施自治州）如图，一次函数y 1＝x －1与反比例函数22y x=的图象点A （2，1）、B （－1，－2），则使y 1＞y 2的x 的取值范围是（ ） A ．x ＞2 B ． x ＞2或－1＜x ＜0 C ． －1＜x ＜2 D ． x ＞2或x ＜－102．（常州）若反比例函数1k y x-=的图象在其每个象限内，y 随x 的增大而减小，则k 的值可以是（ ）A ．－1B ．3C ．0D ．－3 03．（荆州）如图，直线l 是经过点（1，0）且与y 轴平行的直线，Rt △ABC 中直角边AC ＝4，BC ＝3，将BC 边在直线l 上滑动，使A 、B 在函数ky x=的图象上，那么k 的值是（ ） A ．3 B ．6 C ．12 D ．15404．（丽水）点P 在反比例函数1y x=（x ＞0）的图象上，且横坐标为2，若将点P 先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得点为P /，则在第一象限内，经过点P /的反比例函数图象的解析式是（ ） A ． 5y x =-（x ＞0） B ． 5y x =（x ＞0） C ． 6y x =-（x ＞0） D ． 6y x=（x ＞0）05．（铁岭）如图所示，反比例函数y 1与正比例函数y 2的图象的一个交点坐标是A （2，1），若y＞y＞0，则xA B C D06．（泰安）函数1y x x=+图象如图所示，下列对该函数性质的论断不可能正确的是（ ） A ．该函数的图象是中心对称图形 B ．当x ＞0时，该函数在x ＝1时取得上值2C ．在每个象限内，y 随x 的增大而减小D ． y 的值不可能为1 07．（芜湖）在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x 向上平移一个单位长度得到直线l , 直线l与反比例函数ky x=的图象的一个交点为A （a ,2）则k 的值等于 . 08．（广安）如图，在反比例函数4y x=-（x ＞0）的图象上有三点P 1、P 2、P 3，它们的横坐标依次为1，2，3，分别过这3个点作x 轴、y 轴的垂线，设斩中阴影部分的面积依次为S 1、S 2、S 3，则S 1＋S 2＋S 3＝ .09．（十堰）已知函数y ＝－x ＋1的图象与x 轴、y 轴分别交于点C 、B ，与双曲线ky x=交于点A 、D ，若AB ＋CD ＝BC ，则k 的值为 . 10．（遵义）如图，在平面直角坐标系中，函数ky x=（x ＞0，常数k ＞0）的图象经过点A （1，2），B （m ,n ）,(m ＞1),过点B 作y 轴的垂线，垂足为C ，若△ABC 的面积为2，则点B 的坐标为 .11．如图，点P 的坐标为（2，32），过点P 作x 轴的平行线交y 轴于点A ，交双曲线k y x=（x ＞0）于点N ，作PM ⊥AN ，交双曲线于ky x=（x ＞0）于点M ．连接AM ，已知PN＝4，⑴求k 的值；⑵求△APM 的面积.第5题图第3题图第6题图第8题图12．如图，反比例函数kyx=的图象与直线y＝x＋m在第一象限交于点P（6，2），A、B为直线上的两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标3，D、C为反比例函数图象上的两点，且AD、BC平行于y轴，⑴直接写出k、m的值；⑵求梯形ABCD的面积.13．如图，已知双曲线kyx=（x＞0）经过Rt△OAB斜边的中点D，与直角边AB相交于点C，若△OBC的面积为3，求k的值.14．如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴的正半轴上，斜边AC边上的中线BD反向延长交y轴负半轴于E，双曲线kyx=（x＞0）的图象经过点A，若BECS∆＝8，求k的值.15．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC所在直线的解析式为42033y x=-+，AC＝3，若AB的D在双曲线ayx=（x＞0）上，将三角形向左平移，当点B落在双曲线上时，求三角形平移的距离.16．（荆州）如图，D 为反比例函数ky x=（k ＜0）图象上一点，过D 作DC ⊥y 轴于C ，DE ⊥x 轴于E ，一次函数y x m =-+与2y x =+的图象都经过点C ，与x 轴分别交于A 、B 两点，若梯形DCAE 有面积为4，求k 的值.17．（四川广安）如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象相交于点A （－1，2）、点B （－4，n ）⑴求一次函数和反比例函数的解析式； ⑵求△AOB 的面积.18．（河北省）如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶点A 、C分别在坐标，顶点B 的坐标为（4，2），过点D （0，3）和E （6，0）的直线分别与AB 、BC 交于点M 、N ，⑴求直线DE 的解析式和点M 的坐标；⑵若反比例函数my x=（x ＞0）的图象经过点M ，求该反比例例函数的解析式，并通过计算判断点N 是否在该函数的图象上？ ⑶若反比例函数my x=（x ＞0）的图象与△MNB 有公共点，请直接．．写出m 的取值范围.培优升级·奥赛检测01．如图，直线l 与反比例函数m y x =与ny x=（m ＞n ＞0）的图象分别交于点A 、B ，且直线l ∥x 轴，连接P A 、PB ，小芳与小丽同学针对△P AB 面积的讨论，有以下两种意见：小芳：点P 在x 轴上移动时，△P AB 的面积总保持不变； 小丽：当直线l 上下平移时，△P AB 的面积总保持不变； 那么，你认为她们的说法中（ ）A ．只有小芳正确B ．只有小丽正确C ．两人都正确D ．两人都不正确02．（南昌市八年级竞赛题）在函数21a y x+=-（a 为常数）的图象上有三点：（－1，y 1）,(21,4y -),( 31,2y )则函数值y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ） A ． y 1＜y 2＜y 3 B ． y 3＜y 2＜y 1 C ． y 3＜y 1＜y 2 D ． y 2＜y 1＜y 303．（济南）如图，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB ＝AC ＝2，直角顶点A 在直线y＝x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB 、AC 分别平行于x 轴、y 轴，若双曲线ky x=（k ≠0）与△ABC 有交点，则k 的取值范围是（ ） A ．1＜k ＜2 B ．1≤k ≤3 C ． 1≤k ≤4 D ． 1≤k＜404．（第十八届“希望杯”初二）直线l 交反比例函数y =的图象于点A ，交x 轴于点B ，点A 、B 与坐标原点O 构等边三角形，则直线l 的函数解析式为 05．（成都）如图，正方形OABC 的面积是4，点B 在反比例函数ky x=（k ＞0，x ＜0）的图象上，若点R 是该反比例函数图象上异于点B 的任意一点，过点R 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为M 、N ，从矩形OMRN 的面积中减去其与正方形OABC 重合部分的面积，记剩余部分的面积为S ，则当S ＝m （m 为常数，且0＜m ＜4）时，点R 的坐标是 .（用含m 的代数式表示）06．如图，已知直线12y x=与双曲线kyx=（k＞0）交于A点，且点A的横坐标为4，若双曲线kyx=（k＞0）上一点B的纵坐标为8，求△AOB的面积.07．（北京）如图，A、B两点在函数myx=（x＞0）的图象上，⑴求m的值及直线AB的解析式；⑵如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点，请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数.08．（温州）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴和x轴分别交于点A、点B，与反比例函数myx=在第一象限的图象交于点C（1，6）点D（3，n）.过点C作CE⊥y轴于E，过点D作DF⊥x轴于点F，⑴求m、n的值；⑵求直线AB的函数解析式；⑶求证：△AEC≌△DFB．09．如图，已知正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，点B 在函数k y x =（k ＞0，x ＞0）的图象上，点P （m ，n ）是函数ky x=（k ＞0，x ＞0）的图象上的任意一点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，并设在矩形OEPF 中和正方形OABC 不重合的部分面积为S .⑴求点B 的坐标和k 的值； ⑵当92S =时，求点P 的坐标； ⑶写出S 关于m 的函数关系式.10．如图，已知A （－6，n ），B （3，－4）是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数m y x= 图象的两个交点，直线AB 与x 轴和y 轴的交点分别为C 、D ．⑴求反比例函数和一次函数的解析式； ⑵求不等式mkx b x+-＜0的解集（请直接写出答案）； ⑶求证：AC ＝BD ；⑷若y 轴上有一动点P ，使得△P AB 的面积为18，求P 点的坐标.第18讲 反比例函数的应用考点·方法·破译反比例函数在实际问题中的应用，是根据实际问题中的变量之间的关系，建立反比例函数模型，然后利用反比例函数的有关概念和有关性质去解决实际问题.经典·考题·赏析【例1】在压力不变的情况下，某物体承受的压强P （P a ）是它的手力面积S （m 2）的的反比例函数，其图象如图所示.⑴求P 与S 之间的函数关系式；⑵求当S ＝0.5 m 2时物体承受的压强是多少？ 【解法指导】解：⑴∵P 与S 之间是反比例函数关系∴P ＝sk（s ＞0） ∵函数图象经过（0.1， 1000） ∴ 1000＝1.0k， k ＝100 ∴P ＝s100（s ＞0） ⑵ 当S ＝0.5时，P ＝5.0100＝200.【变式题组】 01．（青岛）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P (kPa )是气体体积V （m 3）的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于120 kPa 时，气球将爆炸.为了安全起见，气球的体积应 （ ）A ．不小于45m 3 B ．小于45m 3 C ．不小于54m 3 D ．小于54m 302． (芜湖)在对物体做功一定的情况下，力F （牛）与此物体在力的方向上移动的距离S S (米)成反比例函数关系，其图象如图所示，P （5，1）图象上，则当达到10时，物体在力的方向上移动的距离是 米.【例2】某汽车集装箱公司加工一种容积为36立方米的集装箱. ⑴集装箱的地面积s (平方米)与其高a (米)有怎样的函数关系？⑵公司计划把把集装箱地面积做成12平方米，那么集装箱的高度要加工成多少米？ ⑶具体在生产时，由于运输公司受道路运输条件的限制，要求汽车集装箱公司生产的集装箱宽为2米，高度控制在2—2．5米以内（包含2米、2．5米），那么集装箱的长是多少米才能符合要求？【解法指导】解：⑴∵sa ＝v ∴s ＝a36(a ＞0) ∴s 与a 是反比例函数关系.⑵当s ＝12时，∵s ＝a 36 ∴12＝a36，a ＝3 ⑶设长为x 米，则s ＝2x∴2x ＝a36x ＝a 18 又∵2≤x ≤2．5根据反比例函数的增减性可知5.218≤x ≤218 ∴7.2≤x ≤9【变式题组】01．（淮安）某项工程需要沙石料2×106立方米，阳光公司承担了该工程运送石料的任务.⑴在这项任务中平均每天的工作量v （立方米/天）与完成任务所需要的时间t （天）之间具有怎样的函数关系？写出这个函数关系式； ⑵阳光公司计划投入A 型卡车200辆，每天一共可以运送沙石料2×104立方米，则完成全部运输任务需要多少天？如果工作了25天后，由于工程进度的需要，公司准备再投入A 型卡车120辆，在保持每辆车每天工作量不变的前提下，问：是否能提前28天完成任务？02．小明家离学校的距离为2400m , 他骑自行车上学的速度为v （m /s ）,所需时间为t (s ).⑴用含t 的代数式表示v , v 是t 的反比例函数吗？⑵如果小明骑车的速度最快为5 m /s ，他至少需要几分钟到校？ ⑶在直角坐标系中作出v 与t 之间的相应图象；⑷根据图象指出，小明若用10min 到校，那么他骑车的平均速度是多少？【例3】某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x （元）与日销售量y （个）之间有如下关系：⑴根据表中数据在直角坐标系中描出实数x 、y 的对应点. ⑵猜测并确定x 与y 的函数关系式，并画出图象；⑶设经营此贺卡的日销售利润为w 元，试求出w 与x 之间的函数关系式；若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出日销售单价x 定为多少元时，才能获得最大日销售利润.【解法指导】首先在坐标系中描出各点，根据图象的形状猜测函数类型，再根据表中的条件用待定系数法求出猜测的解析式，把余下的x 、y 的值带入求出的解析式中进行检验，如全部符合，说明猜测和所求的解析式是正确的，根据利润w ＝(售价—进价)×销售量，建立w 与x 之间的关系式，根据解析式分析出x 为何值时，才能获得最大日销售利润.解：⑴如图所示：⑵根据图象猜测y 与x 之间的关系式为：y ＝xk . 当x ＝3时，y ＝20 ∴20＝3k , ∴k ＝60, ∴y ＝x60 把x 、y 的实数（4，15），（6，10）带入解析式y ＝x60，都符合∴x 与y 的函数关系式为y ＝x 60（x ＞0）.其图象是第一象限的双曲线，如图所示.⑶w ＝(x －2)y ＝(x －2)·x 60＝60 － x120.故当x ＝10时，w 有最大值，最大利润为60－12＝48（元）.【变式题组】01．某超市出售一批进价为2元/盒的牙膏，在市场营销中发现此商品的日销售单价x 与日销售y 盒之间有如下关系：x （元） 2.4 2.5 3y (盒) 300 288 240⑴猜测并确定y 与x 之间的函数关系式；⑵设此种牙膏的日销售利润为w 元，试求出w 与x 之间的函数关系式，若物价局规定此牙膏的售价最高不能超过3.6元/盒，请你求出日销售单价为多少时，日利润最大.【例4】某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y （℃）和通电时间x （min ）成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温为20℃，接通电源后，水温和时间的关系如下图所示，回答下列问题：⑴分别求出当0≤x ≤8和8＜x ≤a 时，y 和x 之间的关系式； ⑵求出图中a 的值；⑶下表是该小学的作息时间，若同学们希望在上午第一节下课8：20时能喝到不超过40℃的开水，已知第一节下课前无人接水，请直接写出生活委员应该在什么时间或时间段接通饮水机电源．（不可以用上课时间接通饮水机电源）【解法指导】⑴当0≤x ≤8时，设y ＝k 1x ＋b ，将（0，20），（8，100）代入y ＝k 1x ＋b 得k 1＝10，b ＝20∴当0≤x ≤8时，y ＝10x ＋20，当8＜x ≤a 时，设y ＝xk 2，将（8，100）代入y ＝x k 2，得k 2＝800∴当8＜x ≤a 时，y ＝ x 800；⑵将y ＝20代入y ＝x800，解得a ＝40；⑶要想喝到不超过40℃的热水，则：∵10x ＋20≤40，∴0＜x ≤2，∵x800≤40，∴20≤x＜40，因为40分钟为一个循环，所以8：20要喝到不超过40℃的热水，则需要在8：20－（40＋20）分钟＝7：20或在（8：20－40分钟）－2分钟＝7：38～7：45打开饮水机.故在7：20或7：38～7：45时打开饮水机．【变式题组】01．制作一种产品，需先将材料加热达到60°C ，再进行操作.设该材料温度为y （℃），从加热开始计算的时间为x （分钟）．据了解，该材料加热时，温度y 与时间x 成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y 与时间x 成反比例关系（如图）．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．⑴分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y 与x 的函数关系式；⑵根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？02．为预防“手足口病”，某校对教室进行“药熏消毒”.已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y （mg ）与燃烧时间x （分钟）成正比例；燃烧后，y 与x 成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为8mg ．据以上信息解答下列问题：⑴求药物燃烧时y 与x 的函数关系式． ⑵求药物燃烧后y 与x 的函数关系式．⑶当每立方米空气中含药量不低于3mg 时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？演练巩固 反馈提高01．一项工作有a 台相同机器一起工作a 小时可以完成，当由x 台机器（x 是不大于a 的正整数）完成这项工作时，所需的是时间（时）与机器台数x 之间的关系是 （ ）A ．y ＝x a 2B ． y ＝a x 2C ． y ＝2axD ． y ＝x a 202．下列各问题中两个变量成反比例关系的是 （ ）A ．一个容器的容积是20cm 3,该容器盛满某种溶液的质量m （g ）与其密度ρ（g/cm 3）的关系B ．小丽完成400米赛跑时，所用的时间y （秒）与她的平均速度v （米/秒）的关系C ．圆的面积s （cm 2）与其周长x(cm )之间的关系D ．一根弹簧原长10cm ，在其弹性范围内所挂物体的质量y （千克）与弹簧总长度x (cm )之间的关系03．（湛江）已知三角形的面积一定，则它底边a 上的高h 与底边a 之间的函数关系的图象大致是 （ ）04．（襄樊）在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ（单位：kg /m 3）是体积V （单位：m 3）的反比例函数，它的图象如图所示，当V ＝10m 3时，气体的密度是（ ）A ．5kg /m 3B ． 2 kg /m 3C ． 100 kg /m 3D ． 2 kg /m 305．京沪高速公路全长约1262km ,汽车沿京沪高速公路从上海驶往北京，汽车完成全程所需的时间t (h )与行驶的平均速度v （km /h ）之间的关系式为 . 06．（梅州）近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）成反比例，已知400度近视眼睛镜片的焦距为0.25米，则眼镜的度数y 与镜片焦距x 的函数关系式为 .07．一幢新建宾馆的建筑工程已完工，接下来要进行装修，总装修工程经预算用一人18000个工作日，且每人工作效率相同.⑴装修的天数y （单位：天）与装修工人数x (单位：人)之间有怎样的函数关系？⑵工程队原有工人100人，由于业主希望赶在春节前开业，要求工程队不超过150天内完成任务，那么工程队至少需要增加多少工人？ 08．（嘉兴）一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t （h ）与行驶速度v （km /h ）满足函数关系：t ＝vk，其图象为如图所示的一段曲线且端点为A （40，1）和B （m ，0.5）． ⑴求k 和m 的值；⑵若行驶速度不得超过60km /h ，则汽车通过该路段最少需要多少时间？09．码头工人往一艘轮船上装载货物，装完货物所需的时间y （分钟）与装载速度x （吨/分钟）之间满足反比例函数关系，图象如图所示. ⑴这批货物的质量是多少？⑵若b －c ＝40（分钟），请根据图中提供的信息求b 、c 、d 的值． ⑶在⑵的条件下，若轮船到达目的地后，以d （吨/分钟）的速度开始装货，装到一半时，一辆吊车发生故障，因而每分钟少装1吨，那么装满这船货物一共需要多少时间？培优升级 奥赛检测01．某市为满足市民休闲需要，要在居民区旁修建一个面积为40000m 2的人民广场，广场的地面需要铺满大小都为2500cm 2的红、白、蓝、黄四种颜色的瓷砖.⑴所需要的瓷砖块数x 与每块瓷砖的面积s (cm 2)有什么样的函数关系式？⑵为了广场颜色的协调，使用红、白、蓝、黄四种颜色瓷砖的比例为3：3：1：1，则需要四种瓷砖各多少块？02．某地上一年度电价为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55～0.75元之间，经测算，若电价调至x 元，则本年度新增电量y （亿度）与（x －0.4）成反比例，又当x ＝0.65元时，y ＝0.8． ⑴y 与x 之间的函数关系式；⑵若每度电成本价0.3元，则电价调至多少元时，本年度电力部门收益比上一年度增加20%？[收益＝用电量×（实际电价—成本价）]（只列方程并化简，不求解） 03．（杭州）为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝ta（a 为常数），如图所示．据图中提供的信息，解答下列问题：⑴写出从药物释放开始，y 与t 之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范围； ⑵据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？04．某个公司有一种海产品共2104千克，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种海产品的每天销售量y （千克）与销售价格x （元/千克）之间的关系．现假定在这批海产品的销售中，每天的销售量y （千克）与销售价格x （元/千克）之间都满足这一关系．⑴写出这个反比例函数的解析式，并补全表格；⑵在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？05．经过市场调查，一段时间内某地区特种农产品的需求量y （千克）与市场价格x （元/千克）存在下列函数关系式：y ＝x100000＋6000(0＜x ＜100);又已知该地区农民的这种农产品的生产数量z （千克）与市场价格x （元/千克）成正比例关系：z ＝400x （0＜x ＜100），现不计其它因素影响，如果需求数量y 等于生产数量z 时，即供需平衡，此时市场处于平衡状态．⑴根据以上市场调查，请你分析当市场处于平衡状态时，该地区这种农产品的市场价格与这段时间内农民的总销售收入各是多少？⑵受国家“三农”政策支持，该地区农民运用高科技改造传统生产方式，减少产量，以大力提高产品质量．此时生产数量z 与市场价格x 的函数关系发生改变，而需求函数关系未发生变化，当市场再次处于平衡状态时，市场价格已上涨了a （0＜a ＜25）元，问在此后的相同时间段内该地区农民的总销售收入是增加了还是减少了，变化多少？第19讲 勾股定理考点·方法·破译1．会用勾股定理解决简单问题.2．会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.3．勾股定理提示了直角三角形三边的关系，对于线段的计算，常可由勾股定理列方程进行求解；对于涉及平方关系的等式证明，可根据勾股定理进行论证.经典·考题·赏析【例1】 (达州)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E 的面积是( )A ．13B ．26C ．47D ．94【解法指导】 观察勾股树，发现正方形A 、B 的边长恰好是一直角三角形相邻的两直角边.此时直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即两个较小正方形面积之和等于较大正方形的面积，从而正方形E 的面积等于正方形A 、B 、C 、D 四个面积之和，故选C ．【变式题组】01．(安徽)如图，直线l 过正方形ABCD 的顶点B ，点A ，C 到直线l 的距离分别是1和2，则正方形的边长是___________.02．(浙江省温州)在直线l 上的依次摆放着七个正方形(如图所示)，己知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝______.03．(浙江省丽江)如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1、l 2、l 3上，且l 1、l 2之间的距离为2，l 2、l 3之间的距离为3，则AC 的长是( )A． B． C． D ．7【例2】(青岛)如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm .如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要_____cm ；如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要______cm .【解法指导】细线缠绕时绕过几个面，则将这几个面展开后在同一平面内利用线段的公理：两点之间线段最短.画出线路，然后利用勾股定理解决，应填10，【变式题组】第1题图第2题图B A 3cm 1cm6cm。
八年级数学培优讲义(下册)
第十六早分式测试1从分数到分式学习要求掌握分式的概念，能求出分式有意义，分式值为0、为1的条件.课堂学习检测一、填空题1. ____________________________________________ 用A、B表示两个整式，A* B就可以表示成______________________________________________ 的形式，如果除式B中________ ，该分式的分式.2. 把下列各式写成分式的形式：(1) 5* xy 为 ______ . (2) (3x+ 2y)*( x—3y)为__________ .3 .甲每小时做x个零件，做90个零件所用的时间，可用式子表示成 ____________ 小时.4. n公顷麦田共收小麦m吨，平均每公顷的产量可用式子表示成 __________ 吨.5. 轮船在静水中每小时走a千米，水流速度是要的时间可用式子表示成 ______ 小时.x6. 当x= --------- 时，分式没有意义.3x 1x2 17. 当x= --------- 时，分式的值为0.x 1x&分式一，当字母X、y满足 __________ 时，值为y二、选择题a9. 使得分式有意义的a的取值范围是(A .当2 x 1x -时，分式有意义33x 2B .当abb时，分式 2 2a b有意义C.当x 1 2x—时，分式2x2 4x1值为0D .当 2 2 X M y时，分式y ?有意义11.使分式xx 5-值为0的x值是 ( )A. 0B. 512.当x v 0 时，|x|的值为(x)A. 1B.—11;当字母x, y满足________ 时值为一1.)C . a M—1D . a+ 1 >C. —5 D . x M—5C. ±1D.不确定b千米/时，轮船在逆流中航行s千米所需13. x为任何实数时，下列分式中一定有意义的是a 1A . a 丰 0 B. a 丰 110. 下列判断错误.的是( )11B . X >1C •—x1x 1三、解答题14•下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？2 2x y 3 x y 3 x y x(x 1) x 1 xy'x 31'3‘xy' 2 ' x n2|y| 3的值为0,求y 的值. y 2 2y 326 . 如果分式 15. x 取什么值时, (X 2)(x 3)的值为 0?x 2、填空题 综合、运用、诊断16.当 x= 时,分式為无意义.2 x17.使分式2有意义的条件为 （x 3）22x 52~18.分式(x 1)有意义的条件为219.时,分式I A L J 4的值为零. x 420. 21. 若分式一6-7 x选择题若x 、y 互为倒数，则用 x 表示y 的正确结果是（- _ 1 的值为正数，则x 满足 22. A . x =— y若分式———有意义，则3a 2bb 满足的关系是（A . 3a ^ 2b x 1 x 2 123 .0,那么 x 的值是（D .不存在24 . 若分式2 a a 2-的值为0,则a 的值为（ 6D . a — 225 . 12b 2 A . b v 0解答题若分式-的值是负数，贝U b 满足（ C . b v 1D . b > 127.当x为何值时，分式—的值为正数?2x 1428•当x为何整数时，分式——的值为正整数?2x 1拓展、探究、思考29.已知分式,当y=—3时无意义，当y= 2时分式的值为0,求当y= —7时分式的值. y b测试2分式的基本性质学习要求掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式约分.课堂学习检测B B,其中A是整式,MB是整式，且B M 0, M是.把分式—中的x和y都扩大x3倍，则分式的值.x1 1 x4（)5xy2 x2()3x3x2y1()6 . 1 y x()x y 2 2 .x y 2 4 y2填空题1.2.3.5.二、选择题7.把分式ab9—约分得（）3b&如果把分式10倍，那么分式的值（A .扩大10倍B .缩小10倍C .是原来的 9.下列各式中，正确的是（ ）A .b mc ab 1C. —ac 1 三、解答题 10. 约分:(1) 10ab15ac综合、运用、诊断、填空题1a二、选择题(3) m 2 1 (4)2 2y 4xy 4x2x y11.不改变分式的值, 使下列分式的分子、分母都不含负号.(1)二5a(3)』5a(4)11y 15x15.把分式 中的X 、:yy 都扩大m 倍（m ^ 0）,则分式的值（D .不变a bb 1c 1 12.化简分式:(1) x (yy \3 x) x 2 9-2x13. 填空：（1） m n14. 填入适当的代数式，使等式成立.)旦旦;(2严1m n 2b(1) a 2 ab 2b 2(2)16 . 17 .18 . 19 .A .扩大m倍F面四个等式:④2A. 0个2化简代齐A.」a bb2B.缩小m倍①亍宁②_y2其中正确的有（的正确结果是（C •不变x y2ab.不能确定x y x y23个12ab9 2b 2化简分式30冶A3a2b2.a2b 2ab2解答题约分：后得（3aba 6ab23aba 2b3ab23a2b 2b(1)2 212a (b a)3~27(a b)2 小(2)务3XX(4)x2 4x 4x 220 .不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数.(1)x2(2)(3)1 x x21 x2 x(4)3m m21 m2拓展、探究、思考2x 2 x21 .（1）阅读下面解题过程：已知2,求r 的值.x 1 5 x 15 2 1 1 4(x 丄)2 2 石x 2（2）请借鉴（1）中的方法解答下面的题目：2已知丁丄2,求4 X 2 的值.x 3x 1x x 1测试3分式的乘法、除法 学习要求1 •学会类比方法、总结出分式乘法、除法法则.课堂学习检测x 2 xy 3x 3y 2-x 3x2 2 2ab b a b~2 2 . ~2~a 2ab b a ab5. 已知 x = 2008 , y = 2009，则 (x 2 2 y)(x y ) x y的值为6. 2 a / 2 (n m ）的值为（) m nA . 2aB .am nm n ab 23ax 一7.计算 2cd 等于（4 cd)2b 23b 2 xA .B .2&当x > 1时，化简■^凶得 ( )1 xA . 1B . -1、选择题 C .a m nD .a m nC .2b 2 D .3a 2b 2x 3x8c 2 d 2C . ± 1D . 0解：x2-(x 0), 5x 2 11 2 1即x -1 5 x x —x2x1x 4 12 1xx一、填空题1.(9y3) 2.2y2x 313.b (a b).4a2 •会进行分式的乘法、除法运算.三、计算下列各题 9. 5y28x 221xy 2 2 2m 4n m 2mn 10. —m mn m n11.x 2 1(x 1)21 __ 1x 1 x 1 x(3a 2) 25a 2 b 25a b 4x 29a 2x 2 12. 四、阅读下列解题过程，1 b - bb 1c b 13.计算：a 解：a 2 然后回答后面问题 1 =a 2十1十1十1① =a 2 . ② 请判断上述解题过程是否正确？若不正确，请指出在①、 的解题过程. ②中，错在何处，并给出正确、填空题 综合、运用、诊断 15. 3xy咯14. ac b 16. 一份稿件，甲单独打字需要 a 天完成，乙单独打字需完成. 二、选择题 17. 计算 ° 3)(x 2) b 天完成，两人共同打需x 21 2A x x A . x 218.下列各式运算正确的是 x 3~~2 x 的结果是( A . m + n • C 1 C . — m m 三、计算下列各题 2. a19. (a 2 16)-a 4x 1 2x 2x)20.a)2a(1 a 2) (1 2D .x 2x2a a a 2拓展、探究、思考23.小明在做一道化简求值题：2 22x2xy y x y(xy x 2) x y・2 ,他不小心把条件x 的值抄 xyx 丢了，只抄了 y =— 5,你说他能算出这道题的正确结果吗？为什么?测试4分式的乘法、除法、乘方学习要求掌握乘方的意义，能根据乘方的法则，先乘方，再乘除进行分式运算.课堂学习检测一、填空题1.分式乘方就是 __________________ .x 3 A .亍(a b)3(b a)2a 4 a 2b 2 a 22ab b 2a 2 ab b 2._a_2x 6 4 4x x 2(x二、选择题 3.(嘉)54.5.2a 2 3 分式（2b ）3的计算结果是（ A .贺 3b 3下列各式计算正确的是（ 6a 5 9b 3 )6. 2n m 2 2m牙的结果是n 7. m~~2n2m n 3计算（空）3 （b 2）8a(与a’ 2b\( )的结果是a8a 3B . 厂b 616a 2 b 516a 2b 2b""2fX y 、2xC . ()2x yx y二、计算题 (竽)32x yy 3 2210. 8x (2y 2)22a 34a 211. ( —)3 ( )2bb四、解答题12 .先化简，再求值：2 24x 1 4x 4x 1 卄出 1(1),其中x2 4xx4(2)a 4a 2b 22a(a b)b_ 其中 .J丿、Iab 2运用、诊断一、填空题 213.宀）5 b(£)6' a' 3 2、214. ( 3ab c ) 二、选择题 F 列各式中正确的是 3x 6 15. A .(等)3 宀2a b4a 2 a 2 b 2 16. 2n （n 为正整数）的值是（17.22n4nAb —B k-A . a2n. a 2n下列分式运算结果正确的是（ b 2n1 a 2n b 4n a 2n(m n)3(m n)4 m 4 n mA. n5.m3n2C. ( 2aa-)2b4aa2 b2三、计算下列各题18. ( a)2 (与a2(2ab)2ba c adb dbeD. (-3x)34y3x34y319 .2na a2n 1■ b3n 220 .a b 2a 3(—-)2.e—)3ab b a1a2b2四、化简求值2 2…“亠‘—t m 4m 4 m 2m 2 m 3亦居21.若m等于它的倒数，求2( ).()的值.m2 4 m 2 2拓展、探究、思考322•已知|3a b 1| (5a 5b)20.求(』)2.(-^)3 ( -6b)2的值.2 b a3b2a2.测试5分式的加减学习要求1•能利用分式的基本性质通分.2•会进行冋分母分式的加减法.3•会进行异分母分式的加减法.课堂学习检测填空题1分式竽，単的最简公分母是 ____________3b2c 9ac22 •分式丄—，土，呂的最简公分母是_________2x2 3x 4x33.分式ma(mn2)，b(m 2)的最简公分母是_______4.分式——X------ , ---- y——的最简公分母是_______a(x y) b(y x)5.同分母的分式相加减的法则是_______________ ，变为 ______ 的分式，再加减.已知1117 x0,-( )x2x3xA . 1B .丄2x6x 3333&x a a y等于（）x y y x33A . x yB . x—yx y9 .b c a的计算结果是( ) a b c「2 2 2A . b c aabc6.异分母的分式相加减，先、选择题C . A6x 11 6xC. x2—xy+ y2D. x2+ y2b2c ac2 a2babc2 2 2,b c ac a b B.abcD b c aabc10.)a2 2a 61 a『4a 2 C . a2 4a 4D .旦a 1 a 1 1 a11 .1等于（xx2三、解答题12 .通分:(1)b a ____, 2 ,2a 3b 4ab(2)y 2a(x 2)'b(x 2)一、 填空题 1217. 计算-一a 2 92 3 18. 2 3a 24b二、 选择题19.下列计算结果正确的是（1 A . x 22 23x 12xy 3x 药 2yx 15 2 3D .丁x 9 3 x x 320.下列各式中错误的是（）(3) a 12(a 1) a 2a (4)1 12 a b a 2 b 2 ' a 2 ab四、计算下列各题 13. x 2 2x 4 x 22,2小一 x 4 x x 6 14.x 3 x 32x 2 2x 53 x15. 7 2x 412x 2 416.y~2x xy x~2y xy综合、运用、诊断c dA .aC .亠x y三、计算下列各题2dB. J 2a 5 x 4 12a 51 2D .(x 1)2(1 x)2—的结果是3 a丄6ab1x 2 (x 2)(x 2)1B.丁 x2x 21/产 X 2(x 2 y 2)(y 2 x 2)C . 6x八年级数学培优讲义 帮邦教育2x z23. 2 2a 33 3 2a2a 15 24a 924.25.先化简 2x1 x 24x 3 1 x 4x1——）丄 再选择一个恰当的 x 值代入并求值.x 22x 1 x‘ 拓展、探究、思考 26.已知一A B 25x 4一，试求实数 A 、B 的值. x 5 x 2 x 3x 10 27.阅读并计算: 例：计算: 1x(x 1) 1 1 (x 1)( x 2) (x 2)(x3)原式1」 111 匚xx1x1x2x2x3 1 1 3 x x 3 x(x 3) 仿照上例计算:2 2 2 x(x 2) (x 2)(x4) (x 4)( x 6)测试6分式的混合运算学习要求1 •掌握分式的四则运算法则、运算顺序、运算律. 2•能正确进行分式的四则运算.课堂学习检测一、填空题22.3. 计算(_2—) (m 2 1)的结果是 _____________m 1 m 14.X（1丄）的结果是 _________y x y二、选择题2 25. 1养的结果是（）x y x 2 y 2a b ab b 2二、计算题12 9 m 211 . (a 丄)1 a a2 2a 1综合、运用、诊断一、 填空题 一 abab “ 12 2 214._____ .15. 厂a b a b m 93 m m 3二、 选择题16. (1 — m )-( 1 — m 2)x( m + 1)的结果是( )1化简2 29a b 3a 2b 6ab 22•化简6ab2a 4a 2 7. （汁a b )2(a◎的结果是（a b) C . (^^)2D . 1a b12. (m 』n)(mm nmjn13. （说 1) (1耳） 6. (a(x y)2b^22 2x y (x y)2—2的结果是（a b(x y)2 x 2 y 2(x y)2 x 2 y 21 b(a b)10. x 2A. (^mp17 .下列各分式运算结果正确的是A . M > N 解答下列各题四、化简求值拓展、探究、思考23 .甲、乙两名采购员去同一家饲料公司购买两次饲料， 两次购买时饲料的价格各不相同.两 位采购员的购货方式也各不相同， 甲每次购买1000千克，乙每次只购买800元的饲料，设两次购买的饲料单价分别为m 元/千克和n 元/千克(m , n 为正整数，且n ),那么甲、乙两名采购员两次购得饲料的平均价格分别是多少？谁的购买方法更合算？测试7整数指数幕学习要求1 .掌握零指数幕和负整数指数幕的意义. 2. 掌握科学记数法.课堂学习检测一、填空题3, 2 5 ① 5a b 10c ① _2^.a 3b 4 25e 4.2 3②啤abe 318. 1 1 2 X 1 ①③ 3a 3a 2b 2b a b (x 3).- x 1 X 21 3 B .②④ — x④ xy.r x 1 C .①②19.实数a 、b 满足 xyD .③④色等于 2a ab = 1，设,NC 3a 2b3a D 2b 3a2b,则M 、N 的大小关系为( b20.y4y 4)21 .1 (1 )xx 4 x 2 x 2K x 21)(1).D .不确定22 . [-2(- yx3x x y 3xx y y)] ,其中 5x + 3y =0 ._2/ 1\ 31 . 3 = _______, (—).512. (— 0.02) 0= _______ , ( ------- )0 .20053. ______________ ( a 2) —3 = ______________ (a 丰 0), (V3) 2 ____ , U-3 <2) 1 .4.用科学记数法表示： _____________ 1cm = m , 2.7mL = L .5. __________________________________________________ 一种细菌的半径为 0.0004m ，用科学记数法表示为 ________________________________________ m. 6.用小数表示下列各数： ___________ 10 5 = , 2.5X 10 3= .7. __________________ ( 3a 2b —2) 3 = _______ , (— a —2b ) — 2= .&纳米是表示微小距离的单位， 1米=109纳米，已知某种植物花粉的直径为35000纳米,用科学记数法表示成 _________ m.二、选择题1 39 .计算(7 3的结果是(15 .地球的质量为 6X 1013亿吨，太阳的质量为1.98 X 1019亿吨，则地球的质量是太阳质量的多少倍(用负指数幕表示)？综合、运用、诊断、填空题11 A .B .343 2110 .下列各数，属于用科学记数法表示的是( A . 20.7 X 10— 2B . 0.35 X 10—111 .近似数0.33万表示为()A . 3.3X 10—2B . 3.3000 X 10312 .下列各式中正确的有(1 C . — 343 —212 9;②2—2=— 4;③ a 0= 1;④(一 )C . 2004X 10—3C . 3.3 X 1033.14X 10—50.33X 1043) 2= 36.A . 2个 、解答13 .用科学记数法表示：(1) 0.00016 (2)— 0.0000312 (3) 1000.5 (4) 0.00003 万14 .计算：(1) 98- 98 (2) 10—3(3) (1)0 102116. (㊁)3______ (n __________________________ , - 1+( 3.14) 0+ 2「1= •117. (2)1( 2 1)0| 3| ------------------- .18•计算(a-3) 4(ab2) -2并把结果化成只含有正整数指数幕形式为______________ .19. “神威一号”计算机运算速度为每秒384000000000次，其运算速度用科学记数法表示,为 _____ 次/秒.20. _______________________________________ 近似数—1.25 X 10_3有效数字的个数有______________________________________________ 位.二、选择题21. C.3 1)0(0.125)200982009的结果是( )A. ,3B. .. 3 2C. 2 D . 022 .将(〔)1( 2)0,( 3)2这三个数按从小到大的顺序排列为()60〔12 〔102A . ( 2)0(6)1( 3)2B . (-) 1( 2)0( 3)220〔1 02〔1C . ( 3)2( 2)0(6)1D . ( 2)0( 3)2(6)1三、解答题23 .计算下列各式，并把结果化成只含有正整数指数幕的形式：(1) (a2b—3) —2(a-2b3) 2( 2) (x—5y—2z—3) 2(3) (5m—2n3) —3(—mn—2) —224 .用小数表示下列各数:(1) 8.5X 10—3(2) 2.25X 10—8(3) 9.03X 10—5测试8分式方程的解法学习要求了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程.课堂学习检测一、填空题1 2 71. 分式方程2若要化为整式方程，在方程两边同乘的最简公分母是1 x x 1 x 132. --------------- 方程____________ 1的解是6 13. 4. 5.1 x =2是否为方程— x 若分式方程虫匚 2x 7 —3的解？答: x2 —1的解是 7 2x x = 0，贝U a= 6 .下列关于 x 的方程中，不是分式方程的是（ 1A .- x 1B . xC . △ 3x 2D3 4 57 . 下列关于 x 的方程中，是分式方程的是（) x 3 x 5A . 4B . 3 5(x C . 1)21 Dx 1& 将分式方程 2y 5 14 3y化为整式方程时, 22y4 2y 6 A . (2y — 6) (4 — 2y ) C . 4 ( y — 2) ( y — 3) 一、选择题 )3xx 169. x 3的解是( 4 A . x =— 4 10 .方程- x A . 0 11.分式方程 x(x 2)的解是（A . 0 、解分式方程 7x 12 . 2 x 2 14 . 1-4 15 6方程两边应同乘（ 2 (y — 3) 2 (y — 3)(y —2)).x = 3 D . x = 1D •无解15 .综合、运用、诊断D .无解填空题 当x = __ 时，分式-与丄的值互为相反数.x 6 xF 列每小题中的两个方程的解是否相同?(1)匚2 与 x + 2= 3 ()x 2x 2(2) x 24 与 x + 2= =4 ( )x 2 x 2(3) x 2 1 3 1 与 x + 2 = 3()x 1x 1当m =时, 方程 2 13的解为 1.m x已知分式方程x 2 a 有增根,则 a 的值为 x 4 x4选择题若分式方程煮汽5的解为x 5,则a 等于（）A . 5B . 5C .5D . —566已知a 1 ^,b11 ,用a 表示c 的代数式为（bc1 B . a1c1 aD .a 1A . c一 C . cc1 b1 caa若关于 x 的方程m 1x0有增根，则m 的值是 ()x 1 x 1A . 3B . 2C . 1D . — 1将公式 1 11(1R R 1, R 2均不为零，且 R M R 2） 变形丿 成求 R 1的式子，正确的是R R| R 2( )A. R 1髒B . RRR 2 R 2 R小RRRR 2RR 2C . RiR 2D . Ri R R 2解分式方程x 24x2x4xx 2125 1x 21x 1x 2 4 x 2 x 216. 17.18.19. _ 、 20.21. 22.23.三、24. 26.‘ 2小x 1 x 2x X 2 (x 2)(x 3) x 327. 58x x 2162x 1 x 43x 1 4 x拓展、探究、思考28.若关于x 的分式方程 m J 2的解为正数，求 m 的取值范围.x 129. (1)如下表，方程1、方程2、方程3……是按照一定规律排列的一列方程.猜想方程 1(2)若方程2 」 1(a b)的解是x i = 6, X 2= 10,猜想a 、b 的值，该方程是不是 x x b(1)中所给出的一列方程中的一个？如果是，是第几个？(3) 请写出这列方程中的第 n 个方程和它的解.测试9列分式方程解应用题学习要求会列出分式方程解简单的应用问题.课堂学习检测、选择题1•某班学生军训打靶，有 m 人各中靶a 环，n 人各中靶b 环，那么所有中靶学生的平均环 数是( )am bn m n1 /a b 、 1C . — ( )D . — (am bn)2 m n22. 某农场挖一条480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖 20米，结果提前4天完成任务, 若设原计划每天挖x 米，那么下列方程正确的是( ) x 20A .480連 448020厂 480 480 , C . 4x 20 x、列方程解应用题 3.—辆汽车先以一定速度行驶 120千米，后因临时有任务，每小时加 5千米，又行驶135千米，结果行驶这两段路程所用时间相等，求汽车先后行驶的速度.4. 一个车间加工720个零件，预计每天做 48个，就能如期完成，现在要提前 5天完成，每 天应该做多少个？甲、乙两同学学习电脑打字，甲打一篇3000字的文章与乙打一篇 2400字的文章所用的时间相同，已知甲每分钟比乙多打12个字，问甲、乙两人每分钟各打字多少个？6.某煤矿现在平均每天比原计划多采 330吨煤，已知现在采 33000吨煤所需的时间和原计划采23100吨煤的时间相同.问现在平均每天采煤多少吨？综合、运用、诊断一、 填空题7. ____________________________________________________________________________ 仓库贮存水果a 吨，原计划每天供应市场 m 吨，若每天多供应2吨，则要少供应 _________________天.&某人上山，下山的路程都是 S ,上山速度V 1,下山速度V 2,则这个人上山和下山的平均 速度是 . 9. ____________________________________________________________________________ 若一个分数的分子、分母同时加1，得-；若分子、分母同时减2,则得1,这个分数是 _______________ .2 3二、 列方程解应用题 10.某市决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路，为了使工程能提前 3个月完成，需要将原定的工作效率提高 12%，问原计划完成这项工程用多少月？11. 某一工程招标时，接到甲、乙两工程队的投标书，每施工一天，需付甲工程队工程款 1.5万元，乙工程队工程款 1.1万元.目前有三种施工方案： 方案一：甲队单独完成此项工程刚好如期完成；方案二：乙队单独完成此项工程比规定日期多5天；480 x 45.方案三：若甲、乙两队合作4天，剩下的工程由乙队单独做也正好如期完成. 哪一种方案既能如期完工又最节省工程款？第十九章四边形测试1平行四边形的性质（一）学习要求1 •理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理；2•能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知 识解决四边形的问题.课堂学习检测一、填空题1. __________________ 两组对边分别 的四边形叫做平行四边形. 它用符号“□”表示，平行四边形ABCD记作 __________ 。
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此文档下载后即可编辑第十六章 分式 测试1 从分数到分式学习要求掌握分式的概念，能求出分式有意义，分式值为0、为1的条件．课堂学习检测一、填空题1．用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成______的形式，如果除式B 中______，该分式的分式． 2．把下列各式写成分式的形式： （1）5÷xy 为______. （2）（3x ＋2y ）÷（x －3y ）为______. 3．甲每小时做x 个零件，做90个零件所用的时间，可用式子表示成______小时．4．n 公顷麦田共收小麦m 吨，平均每公顷的产量可用式子表示成______吨．5．轮船在静水中每小时走a 千米，水流速度是b 千米／时，轮船在逆流中航行s 千米所需要的时间可用式子表示成______小时．6．当x ＝______时，分式13-x x没有意义． 7．当x ＝______时，分式112--x x 的值为0．8．分式yx ，当字母x 、y 满足______时，值为1；当字母x ，y 满足______时值为－1．二、选择题 9．使得分式1+a a有意义的a 的取值范围是（ ）A ．a ≠0B ．a ≠1C ．a ≠－1D ．a ＋1＞0 10．下列判断错误．．的是（ ）A ．当32=/x 时，分式231-+x x 有意义 B ．当a ≠b 时，分式22b a ab-有意义 C ．当21-=x 时，分式x x 412+值为0D ．当x ≠y 时，分式xy y x --22有意义11．使分式5+x x值为0的x 值是（ ）A ．0B ．5C ．－5D ．x ≠－512．当x ＜0时，xx ||的值为（ ）A ．1B ．－1C ．±1D ．不确定 13．x 为任何实数时，下列分式中一定有意义的是（ )A ．xx 12+ B ．112--x x C ．11+-x xD ．112+-x x 三、解答题14．下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？⋅----++++-π1;)1(;2;3;3;13;222x x x x y x y x y x x y x y x 15．x 取什么值时，2)3)(2(---x x x 的值为0？综合、运用、诊断一、填空题16．当x =______时，分式632-x x无意义． 17.使分式2)3(2+x x有意义的条件为______． 18.分式2)1(522+++x x 有意义的条件为______．19．当______时，分式44||--x x 的值为零．20．若分式x--76的值为正数，则x满足______．二、选择题21．若x 、y 互为倒数，则用x 表示y 的正确结果是（ ） A ．x ＝－y B ．yx 1= C ．x y 1= D ．xy 1±=22．若分式ba ba 235+-有意义，则a 、b 满足的关系是（ ） A ．3a ≠2b B ．b a 51=/ C ．a b 32-=/ D ．b a 32-=/ 23．式子222--+x x x 的值为0，那么x 的值是（ ）A ．2B ．－2C ．±2D ．不存在 24．若分式6922---a a a 的值为0，则a 的值为（ ）A ．3B ．－3C ．±3D ．a ≠－225．若分式1212+-b b的值是负数，则b 满足（ ）A ．b ＜0B ．b ≥1C ．b ＜1D ．b ＞1三、解答题 26．如果分式323||2-+-y y y 的值为0，求y 的值．27．当x 为何值时，分式121+x 的值为正数？28．当x 为何整数时，分式124+x 的值为正整数？拓展、探究、思考29．已知分式,by a y +-当y ＝－3时无意义，当y ＝2时分式的值为0，求当y ＝－7时分式的值．测试2 分式的基本性质学习要求掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式约分．课堂学习检测一、填空题1．,MB M A BA ⨯⨯=其中A 是整式，B 是整式，且B ≠0，M 是______．2．把分式x y 中的x 和y 都扩大3倍，则分式的值______．3．⋅-=--)(121x x x4．.y x xy x22353)(= 5．22)(1yx y x -=+．6．⋅-=--24)(21yy x二、选择题7．把分式bab a 392+-约分得（）A ．33++b aB ．33+-b aC ．ba 3-D ．ba 3+8．如果把分式yx y x ++2中的x 和y 都扩大10倍，那么分式的值（ ）A ．扩大10倍B ．缩小10倍C ．是原来的32D ．不变 9．下列各式中，正确的是（ ） A ．b a m b m a =++ B ．0=++b a b aC ．1111--=-+c b ac abD ．yx y x y x +=--122三、解答题 10．约分： （1）acab 1510-（2）yx yx 322.36.1-（3）112--m m（4）yx x xy y -+-2442211．不改变分式的值，使下列分式的分子、分母都不含负号． （1）;53a -（2）；y x 532-（3）;52ab -- （4）⋅---xy 1511综合、运用、诊断一、填空题12．化简分式：（1）=--3)(x y y x _____；（2）=+--22699x x x _____．13．填空：)()1(=++-nm n m =-----ba n m m n 212)2(;)(⋅-ba221 14．填入适当的代数式，使等式成立．（1）⋅+=--+ba b a b ab a )(22222（2）.a b ba b a-=-+)(11 二、选择题 15．把分式yx x-2中的x 、 y 都扩大m 倍（m ≠0），则分式的值（ ）A ．扩大m 倍B ．缩小m 倍C ．不变D ．不能确定16．下面四个等式：;22;22;22yx y x y x y x y x y x +-=+---=----=+-③②①⋅-+=--22y x y x ④其中正确的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 17．化简22222b ab a b a ++-的正确结果是（ ） A ．b a b a -+ B ．b a b a +- C ．ab21D ．ab21- 18．化简分式2222639ab b a b a -后得（ ）A ．222223ab b a b a - B ．263aba ab - C ．b a ab 23-D ．bb a ab2332- 三、解答题 19．约分：（1）322)(27)(12b a a b a --（2）62322--++x x x x（3）22164m mm --（4）2442-+-x x x20．不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数． （1）yx x --22 （2）aa b --2（3）xx x x +---2211（4）2213m m m ---拓展、探究、思考21．（1）阅读下面解题过程：已知,5212=+x x 求142+x x 的值． 解：),0(5212=/=+x x x,5211=+∴xx 即⋅=+251x x ⋅=-=-+=+=+∴1742)25(12)1(1111222242x x x x x x （2）请借鉴（1）中的方法解答下面的题目：已知,2132=+-x x x求1242++x x x 的值．测试3 分式的乘法、除法学习要求1．学会类比方法、总结出分式乘法、除法法则． 2．会进行分式的乘法、除法运算．课堂学习检测一、填空题1．=-⋅)29(283x y y x ______．2．=+-÷-x yx x xy x 33322______． 3．=+÷+)(1b a ba ______．4．=--++⋅+ab a b a .b ab a b ab 2222222______． 5．已知x ＝2008，y ＝2009，则4422))((y x y x y x -++的值为______．二、选择题 6．)(22m n nm a-⋅-的值为（ ）A ．nm a+2 B ．nm a+ C ．nm a+-D ．nm a--7．计算cdaxcd ab 4322-÷等于（）A ．xb 322B ．232x bC ．xb 322-D ．222283dc xb a -8．当x ＞1时，化简xx --1|1|得（）A ．1B ．－1C ．±1D ．0三、计算下列各题 9．xy x y 212852⋅10．nm mnm mn m n m --÷--24222211．11.11)1(122+-÷--x x x x12．2222294255)23(x a x b a b a a x --⋅++四、阅读下列解题过程，然后回答后面问题 13．计算：⋅⨯÷⨯÷⨯÷dd cc bb a 1112解：dd c c b b a 1112⨯÷⨯÷⨯÷＝a 2÷1÷1÷1① ＝a 2． ②请判断上述解题过程是否正确？若不正确，请指出在①、②中，错在何处，并给出正确的解题过程．综合、运用、诊断一、填空题 14．cc b a 1⨯÷_____．15．xy xy 3232÷-_____．16．一份稿件，甲单独打字需要a 天完成，乙单独打字需b天完成，两人共同打需_____天完成． 二、选择题 17．计算xx x x x x +-÷---2231)2)(3(的结果是（ ） A ．22--x x x B ．xx x 212-- C ．xx x --22D ．122--x xx 18．下列各式运算正确的是（ ）A ．m ÷n ·n ＝mB ．m nn m =÷1.C ．111=÷⋅÷mm m mD ．1123=÷÷m mm三、计算下列各题 19．44)16(.2-+÷-a a a20．2222)1()1(a a a a .a a a -+--21．ab bab a b ab a b a a 22222224.2+÷+-- 22．xx x x x x --+÷+--32.)3(446222拓展、探究、思考23．小明在做一道化简求值题：,.2)(2222xyx xy y xy x x xy -+-÷-他不小心把条件x 的值抄丢了，只抄了y ＝－5，你说他能算出这道题的正确结果吗？为什么？测试4 分式的乘法、除法、乘方学习要求掌握乘方的意义，能根据乘方的法则，先乘方，再乘除进行分式运算．课堂学习检测一、填空题1．分式乘方就是________________．2．=323)2(bc a ____________．3．=-522)23(z y x ____________．二、选择题4．分式32)32(b a 的计算结果是（）A ．3632b aB ．3596b aC ．3598b aD ．36278b a5．下列各式计算正确的是（ ） A ．yx y x =33 B ．326m m m = C ．b a b a b a +=++22D ．b a a b b a -=--23)()(6．22222n m m n mn ⋅÷-的结果是（ ）A ．2n m - B ．32n m - C ．4mn -D ．－n 7．计算⨯-32)2(b a 2)2(a b )2(ab -⨯的结果是（ ）A ．68b a-B ．638b a -C ．5216b aD ．5216b a -三、计算题8．32)32(cb a9．22)52(ay x --10．223)2(8y x y ÷11．232)4()2(ba ba -÷-四、解答题12．先化简，再求值：（1）,144421422xx x x x ++÷--其中⋅-=41x（2）,a b .b b a a b a b a a 222224)()(+÷--其中,21=a b ＝－1．综合、运用、诊断一、填空题13．=⋅-⋅-76252)1()()(aba b b a ______．14．=-÷-32223)3()3(ac b c ab ______． 二、选择题15．下列各式中正确的是（ ）A ．363223)23(y x y x =B ．22224)2(b a a ba a +=+ C ．22222)(y x y x y x y x +-=+-D ．333)()()(n m n m nm n m -+=-+16．na b 22)(-（n 为正整数）的值是（ ）A ．n na b 222+B ．nna b 24C ．nn a b 212+-D ．nna b 24-17．下列分式运算结果正确的是（ ）A ．nm m n n m =3454.B ．bcad dc b a =.C ．22224)2(b a a ba a -=-D ．33343)43(y x yx =三、计算下列各题 18．2222)2()()(ab ab ba -÷⋅-19．23212313.-+-n nn n b a a c b20．22321).()(b a ab aabb a -÷---四、化简求值21．若m 等于它的倒数，求32222)2.()22(444m m m m m m m --+÷-++的值．拓展、探究、思考22．已知.0)255(|13|2=-+-+b a b a 求2232332).6().()3(a b b a ab b a -÷--的值．测试5 分式的加减学习要求1．能利用分式的基本性质通分． 2．会进行同分母分式的加减法． 3．会进行异分母分式的加减法．课堂学习检测一、填空题1．分式2292,32acbc b a 的最简公分母是______． 2．分式3241,34,21x x x x x +--的最简公分母是______． 3．分式)2(,)2(++m b nm a m 的最简公分母是______． 4．分式)(,)(x y b yy x a x --的最简公分母是______． 5．同分母的分式相加减的法则是______．6．异分母的分式相加减，先______，变为______的分式，再加减． 二、选择题7．已知=++=/xx x x 31211,0（ ）A ．x21 B ．x61C ．x65 D ．x6118．xy y a y x a x +--+++3333等于（ ）A ．y x y x +-33 B ．x －y C ．x 2－xy ＋y 2 D ．x 2＋y 29．c a b c a b +-的计算结果是（）A ．abca cb 222+-B ．abcb a ac c b 222--C ．abcb a ac c b 222+-D ．abca cb +-10．313---a a 等于（)A ．aa a --+1622B ．1242-++-a a a C ．1442-++-a a aD ．aa -1 11．21111x x x x n n n +-+-+等于（ ） A ．11+n xB ．11-n xC ．21x D ．1三、解答题 12．通分： （1）abb a a b 41,3,22 （2）)2(2,)2(-+x b x a y（3）aa a a -+21,)1(2 （4）aba b a b a --+2222,1,1四、计算下列各题13．x x x x x -+--+22422214．xx x x x x x x +---+--+++35223634222 15．412234272--+--x x x 16．xyy xxy x y -+-22综合、运用、诊断一、填空题17．计算aa -+-329122的结果是____________． 18.=-+abb a 6543322____________． 二、选择题19．下列计算结果正确的是（ ） A ．)2)(2(42121-+=--+x x x x B ．))((211222222222x y y x x xy y x ---=---C ．y x xy y x x 231223622-=- D ．33329152+-=----x x x x20．下列各式中错误．．的是（ ） A ．ad ad c d c ad c ad c 2-=---=+-- B ．1522525=+++a aa C ．1-=---xy yy x xD ．11)1(1)1(22-=---x x x x 三、计算下列各题 21．ba aa b b ba b a ---+-+22 22．zx y zy z x y z x z y x y ------+++-223．941522333222-++-++a a a a24．43214121111x x x x x x +-++-+--25．先化简,1)121(22xx x x x x x ÷+---+再选择一个恰当的x 值代入并求值．拓展、探究、思考26.已知,10345252---=++-x x x x B x A 试求实数A 、B 的值．27．阅读并计算：例：计算：⋅+++++++)3)(2(1)2)(1(1)1(1x x x x x x原式31212111111+-+++-+++-=x x x x x x⋅+=+-=)3(3311x x x x仿照上例计算：⋅+++++++)6)(4(2)4)(2(2)2(2x x x x x x测试6 分式的混合运算学习要求1．掌握分式的四则运算法则、运算顺序、运算律．2．能正确进行分式的四则运算．课堂学习检测一、填空题1．化简=-2222639ab b a b a ______．2．化简2426aa ab -＝______．3．计算)1()1111(2-⨯+--m m m 的结果是______．4．)1(yx y y x +-÷的结果是______．二、选择题 5．2222y x y x y x y x -+÷+-的结果是（ ）A ．222)(y x y x ++ B ．222)(y x y x -+C ．222)(y x y x +-D ．222)(y x y x ++6．222)(ba b b b a -⨯-的结果是（ ） A ．b1B ．2b ab b a +-C ．ba b a +-D ．)(1b a b +7．ba b a ba b a ba b a -+⨯-+÷-+22)()(的结果是（ ）A ．ba b a +-B ．ba b a -+C ．2)(ba b a -+ D ．1三、计算题 8．xxx -+-111 9．291232m m -+-10．242-++x x11．121)11(22+-+-÷--a a a a a a12．)()(n m mn m n m mn m +-÷-+13．)131()11(22a a a a --÷++综合、运用、诊断一、填空题14．=-+-+-ba b a ba b a ______． 15．=++-+-32329122m m m ______． 二、选择题 16．（1－m ）÷（1－m 2）×（m ＋1）的结果是（ ） A ．2)1(1m + B ．2)1(1m - C ．－1 D ．117．下列各分式运算结果正确的是（ ）．24435232510.25bc b a c c b a =①abc b a a c b 32332=⋅②1131).3(1122+=--÷+x x x x ③1111.2=+÷--xyx x x xy ④ A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④ 18．ab b a ba 2223231⨯--等于（ ） A ．ab a -B ．ba b -C ．a b a 323-D ．b a b 232-19．实数a 、b 满足ab ＝1，设,11,1111bbaa Nb a M +++=+++=则M 、N 的大小关系为（ ） A ．M ＞N B ．M ＝NC ．M ＜ND ．不确定三、解答下列各题 20．yy y y y yy y 4)44122(22-÷+--+-+21．)1214()11(22-----+÷+x x x x x x四、化简求值 22．,)]3(232[xy x y x xy x yx x -÷--++-其中5x ＋3y ＝0．拓展、探究、思考23．甲、乙两名采购员去同一家饲料公司购买两次饲料，两次购买时饲料的价格各不相同．两位采购员的购货方式也各不相同，甲每次购买1000千克，乙每次只购买800元的饲料，设两次购买的饲料单价分别为m 元/千克和n 元／千克（m ，n 为正整数，且m ≠n ），那么甲、乙两名采购员两次购得饲料的平均价格分别是多少？谁的购买方法更合算？测试7 整数指数幂学习要求1．掌握零指数幂和负整数指数幂的意义． 2．掌握科学记数法．课堂学习检测一、填空题1．3－2＝______，=--3)51(______．2．（－0.02）0＝______，=0)20051(______． 3．（a 2）－3＝______（a ≠0），=-2)3(______，=--1)23(______． 4．用科学记数法表示：1cm ＝______m ，2.7mL ＝______L ． 5．一种细菌的半径为0.0004m ，用科学记数法表示为______m. 6．用小数表示下列各数：10－5＝______，2.5×10－3＝______． 7．（3a 2b －2）3＝______，（－a －2b ）－2＝______．8．纳米是表示微小距离的单位，1米＝109纳米，已知某种植物花粉的直径为35000纳米，用科学记数法表示成______m. 二、选择题9．计算3)71(--的结果是（ ）A ．3431-B ．211-C ．－343D ．－2110．下列各数，属于用科学记数法表示的是（ ）A ．20.7×10－2B ．0.35×10－1C ．2004×10－3D ．3.14×10－5 11．近似数0.33万表示为（ ） A ．3.3×10－2 B ．3.3000×103 C ．3.3×103 D ．0.33×104 12．下列各式中正确的有（ ）①;9)31(2=-②2－2＝－4；③a 0＝1；④（－1）－1＝1；⑤（－3）2＝36． A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．1个 三、解答题13．用科学记数法表示： （1）0.00016 （2）－0.0000312 （3）1000.5 （4）0.00003万14．计算：（1）98÷98 （2）10－3 （3）2010)51(-⨯15．地球的质量为6×1013亿吨，太阳的质量为1.98×1019亿吨，则地球的质量是太阳质量的多少倍（用负指数幂表示）？综合、运用、诊断一、填空题16．=-+-01)π()21(______，－1＋（3.14）0＋2－1＝______．17．=-+---|3|)12()21(01______．18．计算（a －3）2（ab 2）－2并把结果化成只含有正整数指数幂形式为______． 19．“神威一号”计算机运算速度为每秒384000000000次，其运算速度用科学记数法表示，为______次/秒． 20．近似数－1.25×10－3有效数字的个数有______位． 二、选择题21．2009200908)125.0()13(⨯+-的结果是（ ） A ．3 B ．23- C ．2 D ．022．将201)3(,)2(,)61(---这三个数按从小到大的顺序排列为（）A ．210)3()61()2(-<<--B ．201)3()2()61(-<-<-C ．102)61()2()3(-<-<-D ．120)61()3()2(-<-<-三、解答题23．计算下列各式，并把结果化成只含有正整数指数幂的形式： （1）（a 2b －3）－2（a －2b 3）2 （2）（x －5y －2z －3）2（3）（5m －2n 3）－3（－mn －2）－224．用小数表示下列各数： （1）8.5×10－3 （2）2.25×10－8 （3）9.03×10－5测试8 分式方程的解法学习要求了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．课堂学习检测一、填空题 1．分式方程1712112-=-++x x x 若要化为整式方程，在方程两边同乘的最简公分母是______． 2．方程111=+x 的解是______．3．方程625--=-x x x x 的解是______．4．x ＝2是否为方程32121---=-x x x 的解？答：______．5．若分式方程127723=-+-xax x 的解是x ＝0，则a ＝______．二、选择题6．下列关于x 的方程中，不是分式方程的是（ ） A ．11=+x xB ．4132=+x xC ．52433=+x xD ．6516-=x x 7．下列关于x 的方程中，是分式方程的是（ ）A ．55433+=--x xB ．a b b x b a a x +=-C ．11)1(2=--x x D ．nx m n n x =-8．将分式方程yy y y 2434216252--=+-+化为整式方程时，方程两边应同乘（ ）． A ．（2y －6）（4－2y ） B ．2（y －3） C ．4（y －2）（y －3） D ．2（y －3）（y－2）9．方程4321+-=+-x x x x 的解是（ ）A ．x ＝－4B ．21-=xC ．x ＝3D ．x ＝1 10．方程34231--=+-x xx 的解是（ ） A ．0 B ．2C ．3D ．无解11．分式方程)2(6223-+=-x x x x 的解是（ ）A ．0B ．2C ．0或2D ．无解 三、解分式方程 12．0227=-+x x13．3625+=-x x14．45411--=--x xx 15．1617222-=-++x xx xx综合、运用、诊断一、填空题16．当x ＝______时，分式x3与x-62的值互为相反数．17．下列每小题中的两个方程的解是否相同？ （1）2322-=-+x x x 与x ＋2＝3 （ ）（2）2422-=-+x x x 与x ＋2＝4 （ ）（3）113112-+=-++x x x 与x ＋2＝3 （ ）18．当m ＝______时，方程312=-xm 的解为1．19．已知分式方程 424-+=-x a x x 有增根，则a 的值为______．二、选择题20．若分式方程58)1()(2-=-+x a a x 的解为,51-=x 则a 等于（ ）A ．65B ．5C ．65-D ．－521．已知,11,11cb ba -=-=用a 表示c 的代数式为（ ）A ．bc -=11 B ．ca -=11 C ．aac -=1 D ．a a c 1-=22．若关于x 的方程0111=----x xx m 有增根，则m 的值是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．－123．将公式21111R R R+=（R ，R 1，R 2均不为零，且R ≠R 2）变形成求R 1的式子，正确的是（ ）A ．R R RR R -=221 B ．RR RR R +=221 C ．2211R RR RR R +=D ．221RR RR R -= 三、解分式方程 24．1211422+=+--x xx x x 25．2224412-++=--x x x x x26．32)3)(2(122-=-----x x x x x x x 27．xx x x x x ---+-=-+41341216852拓展、探究、思考28．若关于x 的分式方程211=--x m 的解为正数，求m 的取值范围． 29．（1）如下表，方程1、方程2、方程3……是按照一定规律排列的一列方程．猜想方程1的解，并将它们的解填在表中的空白处．)(1b a bx x>=--的解是x 12的值，该方程是不是（1）中所给出的一列方程中的一个？如果是，是第几个？（3）请写出这列方程中的第n 个方程和它的解．测试9 列分式方程解应用题学习要求会列出分式方程解简单的应用问题．课堂学习检测一、选择题1．某班学生军训打靶，有m 人各中靶a 环，n 人各中靶b 环，那么所有中靶学生的平均环数是（ ） A ．nm b a ++ B ．nm bn am ++C ．)(21nb ma +D ．)(21bn am +2．某农场挖一条480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x 米，那么下列方程正确的是（ ） A ．420480480=+-x xB ．204480480=+-x xC ．448020480=--xx D ．204804480=--xx 二、列方程解应用题3．一辆汽车先以一定速度行驶120千米，后因临时有任务，每小时加5千米，又行驶135千米，结果行驶这两段路程所用时间相等，求汽车先后行驶的速度．4．一个车间加工720个零件，预计每天做48个，就能如期完成，现在要提前5天完成，每天应该做多少个？5．甲、乙两同学学习电脑打字，甲打一篇3000字的文章与乙打一篇2400字的文章所用的时间相同，已知甲每分钟比乙多打12个字，问甲、乙两人每分钟各打字多少个？ 6．某煤矿现在平均每天比原计划多采330吨煤，已知现在采33000吨煤所需的时间和原计划采23100吨煤的时间相同．问现在平均每天采煤多少吨？综合、运用、诊断一、填空题7．仓库贮存水果a 吨，原计划每天供应市场m 吨，若每天多供应2吨，则要少供应______天．8．某人上山，下山的路程都是s，上山速度v1，下山速度v2，则这个人上山和下山的平均速度是______．9．若一个分数的分子、分母同时加1，得;1若分子、分母同2时减2，则得,1这个分数是______．3二、列方程解应用题10．某市决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路，为了使工程能提前3个月完成，需要将原定的工作效率提高12％，问原计划完成这项工程用多少月？11．某一工程招标时，接到甲、乙两工程队的投标书，每施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元，乙工程队工程款1.1万元．目前有三种施工方案：方案一：甲队单独完成此项工程刚好如期完成；方案二：乙队单独完成此项工程比规定日期多5天；方案三：若甲、乙两队合作4天，剩下的工程由乙队单独做也正好如期完成．哪一种方案既能如期完工又最节省工程款？第十九章四边形测试1 平行四边形的性质(一)学习要求1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理；2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．课堂学习检测一、填空题1．两组对边分别______的四边形叫做平行四边形．它用符号“□”表示，平行四边形ABCD记作__________。