高数解题方法汇总 大一上期中

高数解题方法汇总

一、课本以及课堂上老师方法

1、如何判断一个数列的极限不存在？

（1）找一个趋于∞的子数列

（2）找两个收敛于不同极限的子数列

（3）注意一个结论：单调有界数列必有极限（可用来证明数列极限存在）

2、如何判断一个函数的在X0极限不存在？

（1）找一个敛于X0的数列X n，n→∞时，极限f(X n )不存在

（2）找两个趋于X0的不同数列X n和X n’，使n→∞时，极限f(X n )不等于极限f(X n’)

（3）直接写X→X0时函数f(X)极限的表达式，证明极限值为∞或者不存在

（4）左右极限不相等

3、判断可导性

（1）不连续，一定不可导

（2）直接用导数定义

（3）看左右导数是否存在且相等

4、判定区间I上的连续曲线f(X)的拐点

（1）求函数二阶导数

（2）求出使函数二阶导数在区间内等于0的全部是根，并求出在区间内二阶导数不存在的点

（3）检查所有点左右两侧附近二阶导数的符号是否相反，若相反则是拐点

5、求f(X)在某区间内的极值点和相应的极值

（1）求出一阶导数

（2）求出f(X)的全部驻点和不可导点

（3）检查所有点左右两侧附近一阶导数的符号是否相反，相反则为极值点，接着判断是极大值还是极小值

（4）求出个极值点的函数值，即可得函数f(X)的全部极值

6、求f(X)在某区间内的最大值和最小值

（1）按照上述方法求出所有极值的函数值

（2）求出区间端点对应的函数值，与所有函数值相比较，最大的即为最大值，最小的即为最小值

二、自己总结的方法

1、求极限的方法：

（1）看到x→∞，就想办法换元t=1/x（t→0）

（2）先化简，再求极限，化简的方法有：分子（分母）有理化

（3）大胆配凑！！！

a.出现sinX，可考虑配凑sinX/X（但一定要注意X的变化趋势是X→0）

b.若底数→1，指数→∞，考虑化成重要极限的形式（放心大胆化，化完了再单独求尾巴）

（但有的时候，底数和指数太不相同，若硬凑，则指数的求极限也很麻烦，此时化成e的n次方的形式即可）

c.出现（sinX+cosX）时，整体平方一下即可出现1了（1在很多重要极限以及无穷小替代中经常出现）

d. 很多等价替换的式子要求x→0，但如果刚好题目给的是x→C(常数)，那么换元t=x-C,即可出现t→0（4）洛必达定理

a. 0·∞-0型的，要通分化成0/0或者∞/∞

b.尽量找关于x的式子中共同的因式，把这个因式重新换元，化繁为简

c.巧用洛必达定理去除常数项

（5）用泰勒公式把关于x的七里八里的式子全部化成x的多项式

2、关于高阶函数

（1）什么时候用莱布尼茨公式比较好？

当要求高阶函数，而其中一个因式为多项式时（因为多项式到了高阶函数时，导数会变成0）（2）当原函数式子比较复杂却要求n阶导数时，可以考虑先求一阶导数=一个简单的式子，然后再求那个简单的式子的（n-1）阶导数

（3）遇到高阶三角函数时一定要先化简（化成1次），再求n阶导数

3、关于求导

（1）对于隐函数的求导一般思路：等式两边同时对x求导

（2）对数求导法常用对象：

幂指函数（最常用）、多项连乘或连除或开方（可以化成对数的加减，好算一些）

4、中值定理的应用

（1）要把式子中含相同中值的式子写在一起，出现了新的关于x的表达式就把这个新的表达式看成新的函数，用柯西中值定理

（2）一般都要用逆向思维，设辅助函数

（3）证明含1个中值的等式或根的存在，多用罗尔定理，可用原函数法找辅助函数

（4）若结论中涉及到含中值的两个不同的函数，可考虑用柯西中值定理

（5）若结论中含两个或两个以上的种植，必须多次运用中值定理

（6）若已知条件中含高阶导数，多考虑用泰勒公式，有时也考虑对导数用中值定理

（7）若结论为不等式，要注意适当放大或缩小的技巧

三、不同题型及处理办法

1、设f(X)是多项式，给了几个f(X)参与计算的极限的式子，求f(X)表达式

【方法】：（1）通过观察极限的值确定f(X)的最高次项

（2）确定完最高次项之后用待定系数法

2、涉及几何的问题或工程上的实际问题，要进行建模，构造函数

就算可能写不出表达式，也建立数学关系，因为有的时候可能只需要从概念上进行评判即可，不一定需要得到具体的值（看清题目要求的或者要证明的东西与哪个知识或定理类似）

3、一个好长的式子（有规律变化）极限值等于一个常数的证明题

【方法】：（1）夹逼定理（整体一起夹逼，巧用放缩）（只要是有规律的多项式，哪怕项数是有限个甚至比较少，都可以尝试夹逼定理）

（2）尝试化简式子本身，有时候可以加减相消或者裂项相消

4、求分式函数的间断点的类型

【方法】：（1）分式函数在其定义区间内一般都是连续的，所以间断点一般出现在使得分母为零的点上。要在没有约分的情况下，把所有使得分母为零的点求出来。

（2）判断是什么间断点一定要严格按照定义来

5、最大值和最小值函数

【方法】：νX）=1/2[f(x)+g(x)+⎮f(x)-g(x)⎮] ⇒νX）为f(x)和g(x)中的最大值

νX）=1/2[f(x)+g(x)-⎮f(x)-g(x)⎮] ⇒νX）为f(x)和g(x)中的最小值

6、证明式1=式2

【方法】（1）把所有式子移到等式同一边，构造新的函数，判断在给定区间上是否有零点