2.三次函数的图像_性质及其应用_谈超
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／（
ｘ）
＝
：
单 调 递 减 例
。
若函数
ａ
３
—
ｃ
３ｘ
＋
ａ
有
３
个不 同 的 取 得极
③
广卜
１
当
＾
＞ Ｕ
ｆ
ａ
０
，
时
’
函
、
零点 数 在
，
则 实数
：
的 取值 范 围 是
２
。
＝
４６
２
—
１ ２
ａｃ
＞０
ｈ 中 ＃ ｆ ｒ 上 早调 速 减 在
—
解
’
由 ／
１
（
ｘ ） ＝ ３ ｘ
）
、
２
ｘ
丄 〇〇
、 ）
解 ／ Ｕ
：
）
＝
Ｗ ＋ 加＋
，
ｃ
，
／
〇
，
／
ｖ
：
）
ＭＧ
／⑴
）
处的切 线方程
２
１
Ｓ
丨
为 尸 ⑶
［
Ｉ
，
２
—
一
１ ）
工
２
匕
由 图
像知
“
＞
〇
，
易得
Fra Baidu bibliotek
／
（
工
＝＝
）
〇
在区 间［
１
］
和
２
］
—
姆有
ｚ
￣
－
条切 线 过 点
则存 在 使
“
６
＝
＿ －
（
３
／
—
３
，
得
工
＝
一
１
时
／Ｕ ）
一
３＾
’
－
３＾
－
，
ｊ
大值 值 因 为 函 数 有 三 个 不 同 的 零 点
工
＝
。
时 取得极 小
，
所 以 ［ ／Ｕ
）
］
极大
？
－
！
°°
，
ｂ
Ｖｂ
２
－
（
３ ＾
。
＜〇
＝
’
３ａ ｃ
＼
）
和
＾
／ （
ｂ
＋ Ｖｂ
３
２
－
３
ａ
ｃ
＾
，
＼
’
）
小 结
３
一
３
Ｗ ＋
２
ａ
＋
６
＝
０
有 三个 相 异实 根
。
记
３
（
丄
＼
—
２艺
３ａ
ｒ
＋ ａ＋６ 则
ｘｆ ’ ｘ
，
令丄
＝
“
＆
＿
（
〇〇
，
—
幻 所以
，
ａ
＜
＿
ｐ
＋妃
，
ｄ
＝
〇
，
所以
，
ｔ
＝
〇
是函数 的极大值点
（
，
ｔ
＝
ｉ ｆ
是 函 数 的
＝
■
＆
（ ｉ ）
恒 成立
。
⑴ 以 ＋ ６网 所 以 ｇ ⑴ 在 因 极 小 值 点 所 以 ［ ｇ 〇 ］ 极 大 七 ⑴ ］ 极小 ＜ 〇 解 得 Ｕ ＋ 为 ］ 上 单调 递 减 所 以 ６ ＞ ０ 且 ６ ａ＜ ６ ＜ ／ Ｕ ／Ｕ 得证 ＜０ 所以
，
＇
３
Ｗ ＋ ２ ６ｘ ＋ Ｃ
１
（
１
）
＝
２
—
２虹
＜０ 则 函 数 在
，
Ｒ
上有且仅
上有 且仅
￣
／
ｂ
￣
Ｖｂ
２
￣
３ ａ ｃ
＇
－
ｂ
＋ Ｖｂ
２
－
３ ａｃ
＼
Ｖ
３ ａ ３ ａ
一 —
－
）
；
；
卜 里 调
■
弟
有
一
个零 点
（
。
２
）
若
厶
＝
４６
２
—
１
２
虹
＞０
。
，
则 函 数在
，
２ ２
＾
—
１
时 ／ ＆ 在 定 义 Ｒ 上 单 协 半 Ａ ＜ 〇 选 Ａ ２ ａ ｃ ＾ ０ ６ Ｃ 故
）
。
０
２
三次 函数 图像 性质的 应 用
、
．
②当
｜
Ａ
＝
你
时
—
’
１
２ａ ｃ
＜０
／ （工）
在定义＾
Ｒ ｉｌ
２
１
应用
２
－
、
三
次 函 数 的 零点个 数 问题
［
／（ 了 ） ］
极小
＜〇
，
化 简得
＿
２
＜？ ＜ ２
。
。
：
三次 函数 的 零 点个 数
：
上 单调 递 增 定 理
？
｜
＼
１
函数 ／
＝
３
（
：
ｃ
）
＝
ａ ：ｃ
＋ ６ｘ ＋ ｃ ｒ ＋
２ ： 。
＜
ｉ
（
ａ
＃０
）
，
其
时
２
－
Ａ
Ａｂ
导 函 数为 ／ ⑴ 函 数 在 ｌ ２ ａｃ＞ ０ 若 厶 ４６
３
３
—
（
２００ ６
年高 考数学全
ａ
国
（
卷
ａ
，
ＩＩ
）
已 知 函
数
：
／
（
工）
＝
工
Ｘ。
设
＞
０
，
如果过点
一
办
）
可作曲线
。
ｙ
９
Ｄ
．
６
６
（
２
，
／ ／ 的 三 条 切 线 求 证 解 曲 线 广 ／Ｕ 在 点 ／ ＼ ／ ＋
＝
）
（
ｘ）
，
：
ａ
＜６＜／
，
（
ａ
：
，
ａ
４
。
Ｔ ６ ［ ｍ
，
Ｗ］
，
且
＇
彐 Ｘ。
６ ［
ｍ
）
，
７／ １
，
７
］
，
ｓ
．
ｔ ／
．
（
：
ｃ。
）
０
，
则 总 结 在 恒 成 立 问 题 中
＝
，
对于 参 数 范 围 时 可 以 先
＼
）
ａ
２ｔ
〇
如 果过点
（
ａ
，
《 可作 曲 线
ｙ
／（
ｘ
）
的 三条 切 线
，
中 学 数 学教 学 参 考
？
３ ｗ ｗｗ
．
ｚ
ｈ ｏ ｎｇｓ ｈ ｕｃ ａｎ ｃ ｏ ｍ
． ￣ 一
解 题 里辑 友 法
２０ １ ５年
第
１
０期
（
下旬
＞
则 方程 纪
ｇ⑴
＝
（
ｘ ） ］ 极 ＊ ？ ［
］
／Ｕ
［
）
］
极小
０
时 函 数有 两个零
，
例
＇
已知函
数
／
（
ｘ
＝
）
“ｘ
＋
６ｘ
２
＋ Ｃｘ ＋ ｄ 關
点 当 ［／ ⑷
；
极大
．
／
（
川 极小
＞
０
时
’
函 数有
一
个
°
Ａ ？
？
一
（
〇〇
，
Ｂ
＾ ＾ ，
．
．
６
６
（
〇
，
ｌ
／
／
０）
例
’“
Ｒ
Ｋ
＋
ｆａ ］
（ １
ｂ ＋ Ｖｂ ３〇 ｂ 有 个极 大 值 和 个 极 小 值 Ｈ 〇〇 和 ３ ３ａ ａ 当 ［ ／ ｉ ］ 极 ＊ ［ ／ Ｕ ］ 极 小
２
一
－ －
一
Ｃ
－
ｔ
，
、 １
丨
Ｋ
（
）
．
）
＜０ 时
＝
，
函 数有 三 个 零
〇〇
）
上单 调递 减
１
。
点
３
；
当 ［／
２
）
＞０
中 各参 数 对 函 数 图像 的 影 响
。
解 因为 ／
： ｆ
＝
３
ａｘ
２
＋ ２ｆ ｃｃ ＋ ｃ
＾
。
０
，
＜
３
ａ
＋ ２６ ＋ｃ ＜０
，
化简得
，
４６
＜
—
３ ｃ
，
又因 为
ｃ
＞０ 所 以
，
ａ
〉０
—
，
，
，
１
２
ａ
＋ ４６ ＋ｃ〉０
、
① 当
１
Ａ
４ ６
■
■
「
谈
超 广 东 省 珠海 市实 验 中 学
（
）
ｒ
１
二
次函 数的 图 像 性质
、
／
（
〇
？ｏ
，
上
３
！ ：
各
有
一
个
根
，
所
以
＜
／ ⑴ ＜〇
１
即
，
题
目
：
讨论 函 数
／（ 工 ）
＝
？：
＋６ ＾ ＋ 以＋ 以 ＾ 尹０
：
）
＞
／
（
２
－
－
＝
，
（
〇〇
，
，
—
一
—
＿
１
，
）
（
） ）
，
）
（
）
。
２
．
２
应 用 二 三 次 函 数 在 闭 区 间 上 的 最 值 问 题
，
（
３
）
当
ｘ
＝
０
时
＝
，
ａ
ｅ Ｒ
。
定理
？
２
：
函数 ／
（
ｘ
＝ ）
３
ａｘ
＋６
２
２ ：
ｒ
＋ ｃ ｒ＋
：
＜
ｉ
（
ａ
＃
＝
０
）
，
若 综 上 所 述
ｗ ｗｗ ｚｈ ｏ ｎｇ ｓｈ ｕｃ ａ ｎ ｃ ｏ ｍ
．
． 、
－
中
１
子
数 子教 子
？
下旬
＿
—
＾
Ｖ
—
— ＊一
＾
２ ０
５ 年第
１
０期
（
）
三次 函 数 的 Ｍ
納
＿ 及其 ＿
麵Ｗ Ｗ Ｗ 曜 麵 ＷＭ 警顧顴 ｉ 麵 臟 蘭＾
Ｉ
ｉ
ｘ）
＝
：
单 调 递 减 例
。
若函数
ａ
３
—
ｃ
３ｘ
＋
ａ
有
３
个不 同 的 取 得极
③
广卜
１
当
＾
＞ Ｕ
ｆ
ａ
０
，
时
’
函
、
零点 数 在
，
则 实数
：
的 取值 范 围 是
２
。
＝
４６
２
—
１ ２
ａｃ
＞０
ｈ 中 ＃ ｆ ｒ 上 早调 速 减 在
—
解
’
由 ／
１
（
ｘ ） ＝ ３ ｘ
）
、
２
ｘ
丄 〇〇
、 ）
解 ／ Ｕ
：
）
＝
Ｗ ＋ 加＋
，
ｃ
，
／
〇
，
／
ｖ
：
）
ＭＧ
／⑴
）
处的切 线方程
２
１
Ｓ
丨
为 尸 ⑶
［
Ｉ
，
２
—
一
１ ）
工
２
匕
由 图
像知
“
＞
〇
，
易得
Fra Baidu bibliotek
／
（
工
＝＝
）
〇
在区 间［
１
］
和
２
］
—
姆有
ｚ
￣
－
条切 线 过 点
则存 在 使
“
６
＝
＿ －
（
３
／
—
３
，
得
工
＝
一
１
时
／Ｕ ）
一
３＾
’
－
３＾
－
，
ｊ
大值 值 因 为 函 数 有 三 个 不 同 的 零 点
工
＝
。
时 取得极 小
，
所 以 ［ ／Ｕ
）
］
极大
？
－
！
°°
，
ｂ
Ｖｂ
２
－
（
３ ＾
。
＜〇
＝
’
３ａ ｃ
＼
）
和
＾
／ （
ｂ
＋ Ｖｂ
３
２
－
３
ａ
ｃ
＾
，
＼
’
）
小 结
３
一
３
Ｗ ＋
２
ａ
＋
６
＝
０
有 三个 相 异实 根
。
记
３
（
丄
＼
—
２艺
３ａ
ｒ
＋ ａ＋６ 则
ｘｆ ’ ｘ
，
令丄
＝
“
＆
＿
（
〇〇
，
—
幻 所以
，
ａ
＜
＿
ｐ
＋妃
，
ｄ
＝
〇
，
所以
，
ｔ
＝
〇
是函数 的极大值点
（
，
ｔ
＝
ｉ ｆ
是 函 数 的
＝
■
＆
（ ｉ ）
恒 成立
。
⑴ 以 ＋ ６网 所 以 ｇ ⑴ 在 因 极 小 值 点 所 以 ［ ｇ 〇 ］ 极 大 七 ⑴ ］ 极小 ＜ 〇 解 得 Ｕ ＋ 为 ］ 上 单调 递 减 所 以 ６ ＞ ０ 且 ６ ａ＜ ６ ＜ ／ Ｕ ／Ｕ 得证 ＜０ 所以
，
＇
３
Ｗ ＋ ２ ６ｘ ＋ Ｃ
１
（
１
）
＝
２
—
２虹
＜０ 则 函 数 在
，
Ｒ
上有且仅
上有 且仅
￣
／
ｂ
￣
Ｖｂ
２
￣
３ ａ ｃ
＇
－
ｂ
＋ Ｖｂ
２
－
３ ａｃ
＼
Ｖ
３ ａ ３ ａ
一 —
－
）
；
；
卜 里 调
■
弟
有
一
个零 点
（
。
２
）
若
厶
＝
４６
２
—
１
２
虹
＞０
。
，
则 函 数在
，
２ ２
＾
—
１
时 ／ ＆ 在 定 义 Ｒ 上 单 协 半 Ａ ＜ 〇 选 Ａ ２ ａ ｃ ＾ ０ ６ Ｃ 故
）
。
０
２
三次 函数 图像 性质的 应 用
、
．
②当
｜
Ａ
＝
你
时
—
’
１
２ａ ｃ
＜０
／ （工）
在定义＾
Ｒ ｉｌ
２
１
应用
２
－
、
三
次 函 数 的 零点个 数 问题
［
／（ 了 ） ］
极小
＜〇
，
化 简得
＿
２
＜？ ＜ ２
。
。
：
三次 函数 的 零 点个 数
：
上 单调 递 增 定 理
？
｜
＼
１
函数 ／
＝
３
（
：
ｃ
）
＝
ａ ：ｃ
＋ ６ｘ ＋ ｃ ｒ ＋
２ ： 。
＜
ｉ
（
ａ
＃０
）
，
其
时
２
－
Ａ
Ａｂ
导 函 数为 ／ ⑴ 函 数 在 ｌ ２ ａｃ＞ ０ 若 厶 ４６
３
３
—
（
２００ ６
年高 考数学全
ａ
国
（
卷
ａ
，
ＩＩ
）
已 知 函
数
：
／
（
工）
＝
工
Ｘ。
设
＞
０
，
如果过点
一
办
）
可作曲线
。
ｙ
９
Ｄ
．
６
６
（
２
，
／ ／ 的 三 条 切 线 求 证 解 曲 线 广 ／Ｕ 在 点 ／ ＼ ／ ＋
＝
）
（
ｘ）
，
：
ａ
＜６＜／
，
（
ａ
：
，
ａ
４
。
Ｔ ６ ［ ｍ
，
Ｗ］
，
且
＇
彐 Ｘ。
６ ［
ｍ
）
，
７／ １
，
７
］
，
ｓ
．
ｔ ／
．
（
：
ｃ。
）
０
，
则 总 结 在 恒 成 立 问 题 中
＝
，
对于 参 数 范 围 时 可 以 先
＼
）
ａ
２ｔ
〇
如 果过点
（
ａ
，
《 可作 曲 线
ｙ
／（
ｘ
）
的 三条 切 线
，
中 学 数 学教 学 参 考
？
３ ｗ ｗｗ
．
ｚ
ｈ ｏ ｎｇｓ ｈ ｕｃ ａｎ ｃ ｏ ｍ
． ￣ 一
解 题 里辑 友 法
２０ １ ５年
第
１
０期
（
下旬
＞
则 方程 纪
ｇ⑴
＝
（
ｘ ） ］ 极 ＊ ？ ［
］
／Ｕ
［
）
］
极小
０
时 函 数有 两个零
，
例
＇
已知函
数
／
（
ｘ
＝
）
“ｘ
＋
６ｘ
２
＋ Ｃｘ ＋ ｄ 關
点 当 ［／ ⑷
；
极大
．
／
（
川 极小
＞
０
时
’
函 数有
一
个
°
Ａ ？
？
一
（
〇〇
，
Ｂ
＾ ＾ ，
．
．
６
６
（
〇
，
ｌ
／
／
０）
例
’“
Ｒ
Ｋ
＋
ｆａ ］
（ １
ｂ ＋ Ｖｂ ３〇 ｂ 有 个极 大 值 和 个 极 小 值 Ｈ 〇〇 和 ３ ３ａ ａ 当 ［ ／ ｉ ］ 极 ＊ ［ ／ Ｕ ］ 极 小
２
一
－ －
一
Ｃ
－
ｔ
，
、 １
丨
Ｋ
（
）
．
）
＜０ 时
＝
，
函 数有 三 个 零
〇〇
）
上单 调递 减
１
。
点
３
；
当 ［／
２
）
＞０
中 各参 数 对 函 数 图像 的 影 响
。
解 因为 ／
： ｆ
＝
３
ａｘ
２
＋ ２ｆ ｃｃ ＋ ｃ
＾
。
０
，
＜
３
ａ
＋ ２６ ＋ｃ ＜０
，
化简得
，
４６
＜
—
３ ｃ
，
又因 为
ｃ
＞０ 所 以
，
ａ
〉０
—
，
，
，
１
２
ａ
＋ ４６ ＋ｃ〉０
、
① 当
１
Ａ
４ ６
■
■
「
谈
超 广 东 省 珠海 市实 验 中 学
（
）
ｒ
１
二
次函 数的 图 像 性质
、
／
（
〇
？ｏ
，
上
３
！ ：
各
有
一
个
根
，
所
以
＜
／ ⑴ ＜〇
１
即
，
题
目
：
讨论 函 数
／（ 工 ）
＝
？：
＋６ ＾ ＋ 以＋ 以 ＾ 尹０
：
）
＞
／
（
２
－
－
＝
，
（
〇〇
，
，
—
一
—
＿
１
，
）
（
） ）
，
）
（
）
。
２
．
２
应 用 二 三 次 函 数 在 闭 区 间 上 的 最 值 问 题
，
（
３
）
当
ｘ
＝
０
时
＝
，
ａ
ｅ Ｒ
。
定理
？
２
：
函数 ／
（
ｘ
＝ ）
３
ａｘ
＋６
２
２ ：
ｒ
＋ ｃ ｒ＋
：
＜
ｉ
（
ａ
＃
＝
０
）
，
若 综 上 所 述
ｗ ｗｗ ｚｈ ｏ ｎｇ ｓｈ ｕｃ ａ ｎ ｃ ｏ ｍ
．
． 、
－
中
１
子
数 子教 子
？
下旬
＿
—
＾
Ｖ
—
— ＊一
＾
２ ０
５ 年第
１
０期
（
）
三次 函 数 的 Ｍ
納
＿ 及其 ＿
麵Ｗ Ｗ Ｗ 曜 麵 ＷＭ 警顧顴 ｉ 麵 臟 蘭＾
Ｉ
ｉ