2018年江苏苏州市高三期中数学试题及答案
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（1）求直线 和圆 的直角坐标方程；
（2）若圆C任意一条直径的两个端点到直线l的距离之和为 ，求a的值．
D．(不等式选讲)
（本小题满分10分）
设 均为正数，且 ，求证： ．
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．(本小题满分10分)
解：（1）设切点坐标为 ，则切线方程为 ，
将 代入上式，得 ， ，
∴切线方程为 ；·······························································································2分
（2）当 时， ，
∴ ，············································································3分
∴数列 是以1为首项，3为公比的等比数列，通项公式为 ；·····················5分
（2）∵ ，∴ 是以3为首项，3为公差的等差数列，····················7分
∴ ，·····················································································9分
15．(本题满分14分)
已知函数 的图象与x轴相切，且图象上相邻两个最高点之间的距离为 ．
（1）求 的值；
（2）求 在 上的最大值和最小值．
16．(本题满分14分)
在 中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知 ，且 ．
（1）当 时，求 的值；
（2）若角A为锐角，求m的取值范围．
17．(本题满分15分)
（1）求甲拿到礼物的概率；
（2）设 表示甲参加游戏的轮数，求 的概率分布和数学期望 ．
23．(本小题满分10分)
（1）若不等式 对任意 恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设 ，试比较 与 的大小，并证明你的结论．
2017—2018学年第一学期高三期中调研试卷
数学参考答案
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
∴ ．·············································································································15分
18．(本题满分15分)
解：（1）当 时，过 作 于 （如上图），
则 ， ， ，
数学(附加)2017.11
注意事项：
1．本试卷共2页．满分40分，考试时间30分钟．
2．请在答题卡上的指定位置作答，在本试卷上作答无效．
3．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试证号填写在答题卡的规定位置．
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．(几何证明选讲)
（本小题满分10分）
如图，AB为圆O的直径，C在圆O上， 于F，点D为线段CF上任意一点，延长AD交圆O于E， ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的值．
B．(矩阵与变换)
（本小题满分10分）
已知矩阵 ， ，求 的值．
C．(极坐标与参数方程)
（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，直线 的参数方程为 ( 为参数)，以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程为 ．
∴ ，即 ，即 对 有解，··································10分
设 ，
∵ ，
∴当 时， ，当 时， ，
∴ ，
∴ ，···························································································14分
17．(本题满分15分)
解：（1）∵ ，∴ ，
∴ ，·························································································2分
又当 时，由 得 符合 ，∴ ，······························3分
由 ，得 ，
∴ ，
∴ ；·······························································4分
当 时，过 作 于 ，连结 （如下图），
则 ， ，
∴ ，
∴ ，······································································8分
已知数列 的前n项和是 ，且满足 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）在数列 中， ， ，若不等式 对 有解，求实数 的取值范围．
18．(本题满分1Βιβλιοθήκη Baidu分)
如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是等腰梯形，其中 为2米，梯形的高为1米， 为3米，上部 是个半圆，固定点E为CD的中点．MN是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆（横杆面积可忽略不计），且滑动过程中始终保持和CD平行．当MN位于CD下方和上方时，通风窗的形状均为矩形MNGH（阴影部分均不通风）．
（1）当 时， ，
解得 或 ；································································································6分
（2） ，····························8分
∵A为锐角，∴ ，∴ ，····················································11分
（1）设MN与AB之间的距离为 且 米，试将通风窗的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数 ；
（2）当MN与AB之间的距离为多少米时，通风窗的通风面积 取得最大值？
19．(本题满分16分)
已知函数 ．
（1）求过点 的 的切线方程；
（2）当 时，求函数 在 的最大值；
（3）证明：当 时，不等式 对任意 均成立（其中 为自然对数的底数, ）．
当 ，即 时， 有最小值为0．························································14分
16．(本题满分14分)
解：由题意得 ， ．···············································································2分
2017—2018学年第一学期高三期中调研数学试卷2017.11
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸相应的位置)
1．已知集合 ，则 ▲．
2．函数 的定义域为▲．
3．设命题 ；命题 ，那么p是q的▲条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）．
20．(本题满分16分)
已知数列 各项均为正数， , ，且 对任意 恒成立，记 的前n项和为 ．
（1）若 ，求 的值；
（2）证明：对任意正实数p， 成等比数列；
（3）是否存在正实数t，使得数列 为等比数列．若存在，求出此时 和 的表达式；若不存在，说明理由．
2017—2018学年第一学期高三期中调研试卷
∴ ，··················································································································4分
此时 ，
又∵ 的图象与x轴相切，∴ ，·······················································6分
在小明的婚礼上，为了活跃气氛，主持人邀请10位客人做一个游戏．第一轮游戏中，主持人将标有数字1,2,…,10的十张相同的卡片放入一个不透明箱子中，让客人依次去摸，摸到数字6,7,…,10的客人留下，其余的淘汰，第二轮放入1,2,…,5五张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字3,4,5的客人留下，第三轮放入1,2,3三张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字2,3的客人留下，同样第四轮淘汰一位，最后留下的客人获得小明准备的礼物．已知客人甲参加了该游戏．
11．已知数列 满足 ，则 ▲．
12．设 的内角 的对边分别是 ，D为 的中点，若 且 ，则 面积的最大值是▲．
13．已知函数 ，若对任意的实数 ，都存在唯一的实数 ，使 ，则实数 的最小值是▲．
14．已知函数 ，若直线 与 交于三个不同的点
（其中 ），则 的取值范围是▲．
二、解答题(本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
当 时， ，当 时， ，
∴ 在 递增，在 递减，·············································································5分
∴当 时， 的最大值为 ；
当 时， 的最大值为 ；········································································7分
综上： ；·································································9分
（2）当 时， 在 上递减，
∴ ；································································································11分
∴ ；··········································································································8分
（2）由（1）可得 ，
∵ ，∴ ，
∴当 ，即 时， 有最大值为 ；·················································11分
又由 可得 ，·························································································13分
∴ ．·····································································································14分
（3） 可化为 ，
设 ，要证 时 对任意 均成立，
只要证 ，下证此结论成立．
∵ ，∴当 时， ，·······················································8分
当 时， ，
当且仅当 ，即 时取“ ”，
∴ ，此时 ，∴ 的最大值为 ，············································14分
答：当MN与AB之间的距离为 米时，通风窗的通风面积 取得最大值．····················15分
19．(本题满分16分)
1． 2． 3．充分不必要4．15．
6．47． 8． 9． 10．
11． 12． 13． 14．
二、解答题(本大题共6个小题，共90分)
15．(本题满分14分)
解：（1）∵ 图象上相邻两个最高点之间的距离为 ，
∴ 的周期为 ，∴ ，······································································2分
4．已知幂函数 在 是增函数，则实数m的值是▲．
5．已知曲线 在 处的切线的斜率为2，则实数a的值是▲．
6．已知等比数列 中， ， ，则 ▲．
7．函数 图象的一条对称轴是 ，则 的值是▲．
8．已知奇函数 在 上单调递减，且 ，则不等式 的解集为▲．
9．已知 ，则 的值是▲．
10．若函数 的值域为 ，则实数a的取值范围是▲．
（2）若圆C任意一条直径的两个端点到直线l的距离之和为 ，求a的值．
D．(不等式选讲)
（本小题满分10分）
设 均为正数，且 ，求证： ．
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．(本小题满分10分)
解：（1）设切点坐标为 ，则切线方程为 ，
将 代入上式，得 ， ，
∴切线方程为 ；·······························································································2分
（2）当 时， ，
∴ ，············································································3分
∴数列 是以1为首项，3为公比的等比数列，通项公式为 ；·····················5分
（2）∵ ，∴ 是以3为首项，3为公差的等差数列，····················7分
∴ ，·····················································································9分
15．(本题满分14分)
已知函数 的图象与x轴相切，且图象上相邻两个最高点之间的距离为 ．
（1）求 的值；
（2）求 在 上的最大值和最小值．
16．(本题满分14分)
在 中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知 ，且 ．
（1）当 时，求 的值；
（2）若角A为锐角，求m的取值范围．
17．(本题满分15分)
（1）求甲拿到礼物的概率；
（2）设 表示甲参加游戏的轮数，求 的概率分布和数学期望 ．
23．(本小题满分10分)
（1）若不等式 对任意 恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设 ，试比较 与 的大小，并证明你的结论．
2017—2018学年第一学期高三期中调研试卷
数学参考答案
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
∴ ．·············································································································15分
18．(本题满分15分)
解：（1）当 时，过 作 于 （如上图），
则 ， ， ，
数学(附加)2017.11
注意事项：
1．本试卷共2页．满分40分，考试时间30分钟．
2．请在答题卡上的指定位置作答，在本试卷上作答无效．
3．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试证号填写在答题卡的规定位置．
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．(几何证明选讲)
（本小题满分10分）
如图，AB为圆O的直径，C在圆O上， 于F，点D为线段CF上任意一点，延长AD交圆O于E， ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的值．
B．(矩阵与变换)
（本小题满分10分）
已知矩阵 ， ，求 的值．
C．(极坐标与参数方程)
（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，直线 的参数方程为 ( 为参数)，以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程为 ．
∴ ，即 ，即 对 有解，··································10分
设 ，
∵ ，
∴当 时， ，当 时， ，
∴ ，
∴ ，···························································································14分
17．(本题满分15分)
解：（1）∵ ，∴ ，
∴ ，·························································································2分
又当 时，由 得 符合 ，∴ ，······························3分
由 ，得 ，
∴ ，
∴ ；·······························································4分
当 时，过 作 于 ，连结 （如下图），
则 ， ，
∴ ，
∴ ，······································································8分
已知数列 的前n项和是 ，且满足 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）在数列 中， ， ，若不等式 对 有解，求实数 的取值范围．
18．(本题满分1Βιβλιοθήκη Baidu分)
如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是等腰梯形，其中 为2米，梯形的高为1米， 为3米，上部 是个半圆，固定点E为CD的中点．MN是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆（横杆面积可忽略不计），且滑动过程中始终保持和CD平行．当MN位于CD下方和上方时，通风窗的形状均为矩形MNGH（阴影部分均不通风）．
（1）当 时， ，
解得 或 ；································································································6分
（2） ，····························8分
∵A为锐角，∴ ，∴ ，····················································11分
（1）设MN与AB之间的距离为 且 米，试将通风窗的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数 ；
（2）当MN与AB之间的距离为多少米时，通风窗的通风面积 取得最大值？
19．(本题满分16分)
已知函数 ．
（1）求过点 的 的切线方程；
（2）当 时，求函数 在 的最大值；
（3）证明：当 时，不等式 对任意 均成立（其中 为自然对数的底数, ）．
当 ，即 时， 有最小值为0．························································14分
16．(本题满分14分)
解：由题意得 ， ．···············································································2分
2017—2018学年第一学期高三期中调研数学试卷2017.11
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸相应的位置)
1．已知集合 ，则 ▲．
2．函数 的定义域为▲．
3．设命题 ；命题 ，那么p是q的▲条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）．
20．(本题满分16分)
已知数列 各项均为正数， , ，且 对任意 恒成立，记 的前n项和为 ．
（1）若 ，求 的值；
（2）证明：对任意正实数p， 成等比数列；
（3）是否存在正实数t，使得数列 为等比数列．若存在，求出此时 和 的表达式；若不存在，说明理由．
2017—2018学年第一学期高三期中调研试卷
∴ ，··················································································································4分
此时 ，
又∵ 的图象与x轴相切，∴ ，·······················································6分
在小明的婚礼上，为了活跃气氛，主持人邀请10位客人做一个游戏．第一轮游戏中，主持人将标有数字1,2,…,10的十张相同的卡片放入一个不透明箱子中，让客人依次去摸，摸到数字6,7,…,10的客人留下，其余的淘汰，第二轮放入1,2,…,5五张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字3,4,5的客人留下，第三轮放入1,2,3三张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字2,3的客人留下，同样第四轮淘汰一位，最后留下的客人获得小明准备的礼物．已知客人甲参加了该游戏．
11．已知数列 满足 ，则 ▲．
12．设 的内角 的对边分别是 ，D为 的中点，若 且 ，则 面积的最大值是▲．
13．已知函数 ，若对任意的实数 ，都存在唯一的实数 ，使 ，则实数 的最小值是▲．
14．已知函数 ，若直线 与 交于三个不同的点
（其中 ），则 的取值范围是▲．
二、解答题(本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
当 时， ，当 时， ，
∴ 在 递增，在 递减，·············································································5分
∴当 时， 的最大值为 ；
当 时， 的最大值为 ；········································································7分
综上： ；·································································9分
（2）当 时， 在 上递减，
∴ ；································································································11分
∴ ；··········································································································8分
（2）由（1）可得 ，
∵ ，∴ ，
∴当 ，即 时， 有最大值为 ；·················································11分
又由 可得 ，·························································································13分
∴ ．·····································································································14分
（3） 可化为 ，
设 ，要证 时 对任意 均成立，
只要证 ，下证此结论成立．
∵ ，∴当 时， ，·······················································8分
当 时， ，
当且仅当 ，即 时取“ ”，
∴ ，此时 ，∴ 的最大值为 ，············································14分
答：当MN与AB之间的距离为 米时，通风窗的通风面积 取得最大值．····················15分
19．(本题满分16分)
1． 2． 3．充分不必要4．15．
6．47． 8． 9． 10．
11． 12． 13． 14．
二、解答题(本大题共6个小题，共90分)
15．(本题满分14分)
解：（1）∵ 图象上相邻两个最高点之间的距离为 ，
∴ 的周期为 ，∴ ，······································································2分
4．已知幂函数 在 是增函数，则实数m的值是▲．
5．已知曲线 在 处的切线的斜率为2，则实数a的值是▲．
6．已知等比数列 中， ， ，则 ▲．
7．函数 图象的一条对称轴是 ，则 的值是▲．
8．已知奇函数 在 上单调递减，且 ，则不等式 的解集为▲．
9．已知 ，则 的值是▲．
10．若函数 的值域为 ，则实数a的取值范围是▲．