高数习题课6
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习题课
一. 例题分析 二.目标测验题 三. 答案
五 . 求导数举例
练习题
1 求两条抛物线 x 5 y2 , x 1 y2所围平面 图形的面积。
2 以每秒 a 的流量往半径为 R 的半球形水池 内注水. (1) 求在池中水深 h (0 h R)时水 面上升的速度; (2) 若再将满池水全部抽出, 至少需作功多少?
3
4522.67g
4.43 107 (牛).
例2 已知
y
星形线
x y
a a
cos 3 sin 3
t t
(a 0)
a
o
ax
求 10 它所围成的面积;
20 它的弧长;
30 它绕轴旋转而成的旋转体 体积及表面积.
解 10 设面积为 A. 由对称性,有
a
A 4 ydx 0
4
0
a
sin3
4 y2 )dy
2[ y
4 y3 3
]
1
2 0
2 3.
本题若选x 作积分变量,计算就比较麻烦。
2 以每秒 a 的流量往半径为 R 的半球形水池
内注水. (1) 求在池中水深 h (0 h R)时水
面上升的速度; (2) 若再将满池水全部抽出,
至少需作功多少?
y
解 如图所示建立坐标系.
R
半圆的方程为
又 x2 2Ry y2 ,
即功元素dW (2Ry y2 )(R y)dy.
故将满池水全部提升到池沿高度所需功为
W
R
(2Ry
y2
)(R
y)dy
0
R (2R2 y 3Ry2 y3 )dy 0
R4. 4
3 一等腰梯形闸门,如图所示,梯形的上下底
分别为 50 米和 30 米,高为 20 米,如果闸门
3 一等腰梯形闸门,如图所示,梯形的上下底
分别为 50 米和 30 米,高为 20 米,如果闸门 4 B
顶部高出水面 4 米,求闸门一侧所受的水 的静压力.
ox
x dx 16
A x
练习题解答
1 求两条抛物线 的面积。
x 5 y2 , x 1 y2 所围平面图形
解 (1)先画出由 x 5 y2 , x 1 y2 所围成的平面图
段弦的长度为______.
5、由 y ex , y ex .x 1所围成的图形的面
积是______.
(二)、选择题
1.曲边梯形0 x f ( y),0 a y b ,绕 y
轴旋转的体积为()
A. b f 2( y)dy; a
b
B. a f ( y)dy;
b
b
C. a yf ( y)dy; D.2 a yf ( y)dy;
积为()。
A.2ln2 1;
B.2ln2 1;
C .2 ln 2;
D.2ln2 2;
(三)、求由曲线r a cos ,r a(1 cos )(a 0)所
0
0
又设水深 h 时已注水的时间为 t , 则有 V (h) at ,
即
h
(2Ry
y2 )dy
at
0
两边对 t 求导,得 (2Rh h2 ) dh a, dt
故所求速度为
dh dt
a (2Rh
h2
)
.
(2) 将满池的水全部抽出所需的最小功即将池内 水全部提升到池沿高度所需的功. 抽水时使水位从 y (0 y R)降到 y dy 所需 的功约为 x2dy(R y), ( 1 水的比重)
2.极坐标计算曲线 r 4cos 所围图形面积
时,积分区间是()。
A.[ , ]
33
B.[ , ]
22
C.0,2 ;
D.0, ;
3.平面曲线 y x cos tdt( x )的弧长
2
2
2
为()。
A. 2 1 cos xdx; 0
C . 2 1 cos xdx; 0
B. 2 1 cos xdx; 2
顶部高出水面 4 米,求闸门一侧所受的水
的静压力.
解 如图建立坐标系,
则梯形的腰 AB 的方程为 y 1 x 23. 2
4 B
ox
y
x dx 16
A x
此闸门一侧受到静水压力为
P 2 16 gx( 1 x 23)dx
0
2
g(
x3 3
23x2 )
16 0
g( 1 4096 23 256)
t 3a cos2 t( sin t)dt
2
12
2 a2[sin4 t sin6 t]dt
3 a2.
0
8
20 设弧长为 L. 由对称性,有
L 4 2 ( x)2 ( y)2dt 4 2 3a cos t sin tdt 6a.
0
0
30 设旋转体的表面积为S, 体积为V . 由对称性,有
积用定积分表示为_____.
2、当a ______时,函数 y ln x 在1,a 上的平
均值等于该区间上函数的平均变化速度,
3、曲线 4(1 cos )和直线 0 及 围
2 成的图形绕极轴旋转所成的旋转体的体积是
______.
4、
y
a
x
(e a
e
x a
)悬链线上相应于x
从到a
的一
2
形,如图6.1所示。
(2)解联立方程
x 5 y,
x
1
y2,
得两曲线交点
M
5, 4
1 2
,
N
5 4
,
1 2
.
(3)根据所围图形的特点,选y为积分变量,注意
到其关于X轴的对称性,可取积分区间为
0,
1 2
.
dA [(1 y2 ) 5 y2 ]dy,
故所围图形的面积
A
2
1 2 0
(1
a
S 2 2y 0
1 yx2dx
4
2 a sin3
t
3a cos t
sin
tdt
12 a2 .
0
5
V
2
a y2dx
0
2
0
a2
sin6
t
3a
cos2
t
(
sin
t
)dt
2
6a3
2 sin7 t(1 sin2 t)dt
32 a3 .
0
105
二、目标测试题
(一)、填空题
1.曲线r ae( )与x 轴所围图形的面
D. 2 1 cos xdx; 2
4. 拉 弹 簧 所 需 的 力 f 与 弹 簧 伸 长 量s 成 正 比 :
f ks,设弹簧由原长 9 增长 6,求所作的功用积
分
b
a
kBiblioteka Baiduds
表示的积分区间a
,
b
为()。
A.9,15;
B.0,6;
C. 6,0;
D. 3,3;
5.由曲线 y ln(2 x)与两坐标所围图形的面
h
x2 ( y R)2 R2 (0 y R). o
x
于是对半圆上任一点,有
x2 R2 ( y R)2 2Ry y2 (0 y R).
(1) 因已知半球可看作此半圆绕 y 轴旋转而成 的立体,故半球内高为h 的球缺的体积即水深 为 h时水池内水的体积为
V (h) h x2dy h (2Ry y2 )dy
一. 例题分析 二.目标测验题 三. 答案
五 . 求导数举例
练习题
1 求两条抛物线 x 5 y2 , x 1 y2所围平面 图形的面积。
2 以每秒 a 的流量往半径为 R 的半球形水池 内注水. (1) 求在池中水深 h (0 h R)时水 面上升的速度; (2) 若再将满池水全部抽出, 至少需作功多少?
3
4522.67g
4.43 107 (牛).
例2 已知
y
星形线
x y
a a
cos 3 sin 3
t t
(a 0)
a
o
ax
求 10 它所围成的面积;
20 它的弧长;
30 它绕轴旋转而成的旋转体 体积及表面积.
解 10 设面积为 A. 由对称性,有
a
A 4 ydx 0
4
0
a
sin3
4 y2 )dy
2[ y
4 y3 3
]
1
2 0
2 3.
本题若选x 作积分变量,计算就比较麻烦。
2 以每秒 a 的流量往半径为 R 的半球形水池
内注水. (1) 求在池中水深 h (0 h R)时水
面上升的速度; (2) 若再将满池水全部抽出,
至少需作功多少?
y
解 如图所示建立坐标系.
R
半圆的方程为
又 x2 2Ry y2 ,
即功元素dW (2Ry y2 )(R y)dy.
故将满池水全部提升到池沿高度所需功为
W
R
(2Ry
y2
)(R
y)dy
0
R (2R2 y 3Ry2 y3 )dy 0
R4. 4
3 一等腰梯形闸门,如图所示,梯形的上下底
分别为 50 米和 30 米,高为 20 米,如果闸门
3 一等腰梯形闸门,如图所示,梯形的上下底
分别为 50 米和 30 米,高为 20 米,如果闸门 4 B
顶部高出水面 4 米,求闸门一侧所受的水 的静压力.
ox
x dx 16
A x
练习题解答
1 求两条抛物线 的面积。
x 5 y2 , x 1 y2 所围平面图形
解 (1)先画出由 x 5 y2 , x 1 y2 所围成的平面图
段弦的长度为______.
5、由 y ex , y ex .x 1所围成的图形的面
积是______.
(二)、选择题
1.曲边梯形0 x f ( y),0 a y b ,绕 y
轴旋转的体积为()
A. b f 2( y)dy; a
b
B. a f ( y)dy;
b
b
C. a yf ( y)dy; D.2 a yf ( y)dy;
积为()。
A.2ln2 1;
B.2ln2 1;
C .2 ln 2;
D.2ln2 2;
(三)、求由曲线r a cos ,r a(1 cos )(a 0)所
0
0
又设水深 h 时已注水的时间为 t , 则有 V (h) at ,
即
h
(2Ry
y2 )dy
at
0
两边对 t 求导,得 (2Rh h2 ) dh a, dt
故所求速度为
dh dt
a (2Rh
h2
)
.
(2) 将满池的水全部抽出所需的最小功即将池内 水全部提升到池沿高度所需的功. 抽水时使水位从 y (0 y R)降到 y dy 所需 的功约为 x2dy(R y), ( 1 水的比重)
2.极坐标计算曲线 r 4cos 所围图形面积
时,积分区间是()。
A.[ , ]
33
B.[ , ]
22
C.0,2 ;
D.0, ;
3.平面曲线 y x cos tdt( x )的弧长
2
2
2
为()。
A. 2 1 cos xdx; 0
C . 2 1 cos xdx; 0
B. 2 1 cos xdx; 2
顶部高出水面 4 米,求闸门一侧所受的水
的静压力.
解 如图建立坐标系,
则梯形的腰 AB 的方程为 y 1 x 23. 2
4 B
ox
y
x dx 16
A x
此闸门一侧受到静水压力为
P 2 16 gx( 1 x 23)dx
0
2
g(
x3 3
23x2 )
16 0
g( 1 4096 23 256)
t 3a cos2 t( sin t)dt
2
12
2 a2[sin4 t sin6 t]dt
3 a2.
0
8
20 设弧长为 L. 由对称性,有
L 4 2 ( x)2 ( y)2dt 4 2 3a cos t sin tdt 6a.
0
0
30 设旋转体的表面积为S, 体积为V . 由对称性,有
积用定积分表示为_____.
2、当a ______时,函数 y ln x 在1,a 上的平
均值等于该区间上函数的平均变化速度,
3、曲线 4(1 cos )和直线 0 及 围
2 成的图形绕极轴旋转所成的旋转体的体积是
______.
4、
y
a
x
(e a
e
x a
)悬链线上相应于x
从到a
的一
2
形,如图6.1所示。
(2)解联立方程
x 5 y,
x
1
y2,
得两曲线交点
M
5, 4
1 2
,
N
5 4
,
1 2
.
(3)根据所围图形的特点,选y为积分变量,注意
到其关于X轴的对称性,可取积分区间为
0,
1 2
.
dA [(1 y2 ) 5 y2 ]dy,
故所围图形的面积
A
2
1 2 0
(1
a
S 2 2y 0
1 yx2dx
4
2 a sin3
t
3a cos t
sin
tdt
12 a2 .
0
5
V
2
a y2dx
0
2
0
a2
sin6
t
3a
cos2
t
(
sin
t
)dt
2
6a3
2 sin7 t(1 sin2 t)dt
32 a3 .
0
105
二、目标测试题
(一)、填空题
1.曲线r ae( )与x 轴所围图形的面
D. 2 1 cos xdx; 2
4. 拉 弹 簧 所 需 的 力 f 与 弹 簧 伸 长 量s 成 正 比 :
f ks,设弹簧由原长 9 增长 6,求所作的功用积
分
b
a
kBiblioteka Baiduds
表示的积分区间a
,
b
为()。
A.9,15;
B.0,6;
C. 6,0;
D. 3,3;
5.由曲线 y ln(2 x)与两坐标所围图形的面
h
x2 ( y R)2 R2 (0 y R). o
x
于是对半圆上任一点,有
x2 R2 ( y R)2 2Ry y2 (0 y R).
(1) 因已知半球可看作此半圆绕 y 轴旋转而成 的立体,故半球内高为h 的球缺的体积即水深 为 h时水池内水的体积为
V (h) h x2dy h (2Ry y2 )dy