2019年上海交通大学自主招生试题含答案解析

1.已知 解：因为
年上海交通大学自主招生试题解析
，且 ，则
，求
2.已知 比较 的大小 解：易知当
，若 时
则
3.已知方程
各个实根为
直线 同侧，求 的取值范围
解：因为
，则
，若点
பைடு நூலகம்
，试 均在
而函数 与
相交于
和
两点，则易知
或
4.已知复数 满足 解：设
，且 ，因为
，求负实数 的值 ，则
情形一：当
时，则
解得
情形二：当
解：因为
，则
最大值
解得
当且仅当 时，等号成立
14.在
中，满足
，求
解：
15.数列 是 的末两位数，求 解：易知数列 的周期为 ，而
所以
16. 为
的外心， 到三边 的距离分别为
，则（ ）
解：因为
则 所以
同理可得
，故选
17.定义平面上两点
的折线距离为
，若平面上一点 到
，
的折线距离之和最小，则 点坐标为
解：设点
，则折线距离之和
由绝对值的几何意义可知
此时
，则 点坐标为
18.已知
，
（）
解：由题意可知当抛物线与圆相切时
整理可得 而
，解得
故选
，则
的充要条件是
时，则
因为 ，所以此时 无解 综上所述： 5.若方程 解：因为
或
的三个根可以作为三角形的三边长，求 的范围
，则
，令
且 情形一：当
，解得 ，满足题意，则此时
情形二：当
，则只需满足
即
解得
，综上所述：
6.对于 解：因为
，若
又 则 所以
，求 ，所以
时，
的最小值
时，
所以
时，即
7.已知数列 满足：
解：因为
时， ，则
，则
又
，所以
而 此时 由三元均值不等式可知
当且仅当
时，等号成立
11.对定义域内任意的 ，若满足 数是凸函数的是（ ）
解：易知选
，则称
为凸函数，下列函
12.已知复数 所对应的点为 ，若
，且满足
，求
的面积 解：设
，因为
，则
情形一：当 而 情形二：当
，则 时，同理可得
综上所述：
的面积为
13.实数 满足
，求
，若
，此时
最小，最小值为
，求 的最小值
而
，则
所以 的最小值为
8.设
展开式中 奇次幂的项的和为
解：由题意可知
，求
则
9.已知 不全为 ，求
最大值
解：因为求
的最大值，不妨设
而
，则
所以 10.已知
解：设
最大值为 ，当且仅当
，
时，等号成立
的面积为 ， 在线段 上， 在线段 上， 在线段 上，且满足
，若
，求
的面积的最大值