全国高考数学复习微专题：等比数列性质(含等差等比数列综合题)

等比数列性质
一、基础知识
1、定义：数列{}n a 从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数()0q q ≠，则称{}n a 为等比数列，这个常数q 称为数列的公比
注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为1q =的等比数列，而常数列0,0,0,L 只是等差数列
2、等比数列通项公式：1
1n n a a q -=⋅，也可以为：n m n m a a q -=⋅
3、等比中项：若,,a b c 成等比数列，则b 称为,a c 的等比中项 （1）若b 为,a c 的等比中项，则有
2a b
b a
c b c
=⇒= （2）若{}n a 为等比数列，则n N *
∀∈，1n a +均为2,n n a a +的等比中项 （3）若{}n a 为等比数列，则有m n p q m n p q a a a a +=+⇔= 4、等比数列前n 项和公式：设数列{}n a 的前n 项和为n S 当1q =时，则{}n a 为常数列，所以1n S na = 当1q ≠时，则()111n n a q S q
-=
-
可变形为：()1111111
n n n a q a a
S q q
q q -=
=
----，设11a k q =-，可得：n n S k q k =⋅-
5、由等比数列生成的新等比数列
（1）在等比数列{}n a 中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列 （2）已知等比数列{}{},n n a b ，则有 ① 数列{}n ka （k 为常数）为等比数列
② 数列{}n a λ
（λ为常数）为等比数列，特别的，当1λ=-时，即1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等比数列
③ 数列{}n n a b 为等比数列 ④ 数列{}
n a 为等比数列
6、相邻k 项和的比值与公比q 相关：
设1212,m m m k n n n k S a a a T a a a ++++++=+++=+++L L ，则有：
()()212212k
m n m
m m m k m k n n n k n
n a q q q S a a a a q T a a a a a q q q -++++++++++++====++++++L L L L 特别的：若121222,,k k k k k k k a a a S a a a S S +++++=+++=-L L
2122332,k k k k k a a a S S +++++=-L L ，则232,,,k k k k k S S S S S --L 成等比数列
7、等比数列的判定：（假设{}n a 不是常数列） （1）定义法（递推公式）：
()1
n n
a q n N a *+=∈ （2）通项公式：n
n a k q =⋅（指数类函数） （3）前n 项和公式：n
n S kq k =-
注：若()n
n S kq m m k =-≠，则{}n a 是从第二项开始成等比关系
（4）等比中项：对于n N *
∀∈，均有212n n n a a a ++=
8、非常数等比数列{}n a 的前n 项和n S 与1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
前n 项和n T 的关系 ()111n n a q S q
-=
-，因为1n a ⎧⎫⎨
⎬
⎩⎭
是首项为11a ，公比为1
q 的等比数列，所以有()1111111
111
111n
n n n
n n q a q q q T q a q q a q
q
-⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥-⎣⎦
=
==
---
⋅ ()()1
112111111
n n n n n n a q a q q S a q T q q ----=⋅=-- 例1：已知等比数列{}n a 的公比为正数，且2
23951,2a a a a ==，则10a =________
思路：因为2396a a a =，代入条件可得：22
652a a =，因为0q >
，所以65a =
，q =
所以8
10216a a q ==
例2：已知{}n a 为等比数列，且374,16a a =-=-，则5a =（ ） A. 64 B. 64- C. 8 D. 8- 思路一：由37,a a 可求出公比：4
7
3
4a q a =
=，可得22q =，所以253428a a q ==-⋅=- 思路二：可联想到等比中项性质，可得2
53764a a a ==，则58a =±，由等比数列特征可得
奇数项的符号相同，所以58a =- 答案：D
小炼有话说：思路二的解法尽管简单，但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。

例3：已知等比数列n a 的前n 项和为1
21n n S t -=⋅+，则实数t 的值为（ ）
A. 2-
B. 1-
C. 2
D. 0.5
思路：由等比数列的结论可知：非常数列的等比数列，其前n 项和为n
n S kq k =-的形式，
所以1
21212n n n t S t -=⋅+=
⋅+，即122
t
t =-⇒=- 答案：A
例4：设等比数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若105:1:2S S =，则155:S S =（ ） A.
34 B. 23 C. 12 D. 1
3
思路：由()111n n a q S q
-=
-可得：()()1051110511,11a q a q S S q
q
--=
=
--，可发现只有分子中q 的
指数幂不同，所以作商消去1a 后即可解出q ，进而可计算出155:S S 的值 解：()()1051110511,11a q a q S S q
q
--=
=
--Q
105
105
511112
S q q S q -∴==+=-，解得：512q =- 所以()()3
15151155
55119111132831114112
2a q S q q S q q a q ⎛⎫-- ⎪---⎝⎭=⋅====--⎛⎫--- ⎪
⎝⎭
例5：已知数列{}n a 为等比数列，若4610a a +=，则()713392a a a a a ++的值为（ ） A. 10 B. 20 C. 100 D. 200
思路：与条件4610a a +=联系，可将所求表达式向46,a a 靠拢，从而
()()2
2271339717339446646222a a a a a a a a a a a a a a a a a ++=++=++=+，即所求表达式
的值为100 答案：C
例6：已知等比数列{}n a 中31a =，则其前5项的和5S 的取值范围是（ ）
A. [)1,+∞
B. 5
,4
⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
C. [)5,+∞
D. ()[),05,-∞+∞U 思路：条件中仅有3a ，所以考虑其他项向3a 靠拢，所以有
2
22
33533322
111111a a S a a q a q q q q q q q q q q q ⎛⎫⎛⎫=++++=++++=+++- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，再求出其值域即可
解：22
33512345533322111a a S a a a a a S a a q a q q q q q q q
=++++==
++++=++++ 2
111q q q q ⎛⎫⎛⎫
=+++- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，设1t q q =+，所以(][),22,t ∈-∞-+∞U
2
2515
124
S t t t ⎛⎫∴=+-=-- ⎪⎝⎭ [)51,S ∴∈+∞
答案：A
例7：已知数列{}n a 是首项不为零的等比数列，且公比大于0，那么“1q >”是“数列{}n a 是递增数列”的（ ）
A. 充要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件
D. 既不充分也不必要条件
思路：在等比数列中，数列的增减受到1a 的符号，与q 的影响。

所以在考虑反例时可从这两点入手。

将条件转为命题：“若1q >，则数列{}n a 是递增数列”，如果10a <，则{}n a 是
递减数列，所以命题不成立；再看“若数列{}n a 是递增数列，则1q >”，同理，如果10a <，则要求()0,1q ∈，所以命题也不成立。

综上，“1q >”是“数列{}n a 是递增数列”的既不充分也不必要条件 答案：D
例8：在等比数列{}n a 中，若123423159
,88
a a a a a a +++==-，则12341111a a a a +++=
（ ） A.
53 B. 53- C. 35 D. 3
5
- 解：条件与结论分别是
{}
n a 的前4项和与倒数和，所以考虑设
41234412341111,S a a a a T a a a a =+++=
+++，则()()232
411123498
S a q a q a q a a T ==⋅==- 所以445
938
S T =
=-- 答案：B
例9：已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且3122a a a =+，则9101112
78910
a a a a a a a a +++=
+++（ ）
A.
1+
B. 1-
C. 3+
D. 3-思路：所求分式中的分子和分母为相邻4项和，则两式的比值与q 相关，所以需要求出q 。

由条件3122a a a =+，将等式中的项均用1,a q 即可求出q 。

从而解得表达式的值 解：1321,,22
a a a Q 成等差数列
3121
222
a a a ∴⋅=+ 将23121,a a q a a q ==代入等式可得：
221112210a q a a q q q =+⇒--=
212
q ±∴=
=±{}n a
为正项数列，所以1q =-
1q ∴=+
()(
)
(
23
2
92910111223
7891071131a q q q a a a a q a a a a a q q q ++++++∴===+=+++++++答案：C 例
10：在正项等比数列
{}
n a 中，5671
,32
a a a =
+=，则满足1212n n a a a a a a +++>⋅⋅⋅L L 的最大正整数n 的值为____________
思路：从已知条件入手可求得n a 通项公式：6
2n n a -=，从而所满足的不等式可变形为关于
n 的不等式：21152
212
n n
n -+->，由2 的指数幂特点可得：
()22212,,n m n m m n N n m *>⇔->∈>，所以只需21110
2
22
n n n -+>，从而解出n 的最大
值
解：设{}n a 的公比为q ，则有2
675533a a a q a q +=⇒+=
211
322
q q ∴+=解得：3q =-（舍）或2q = 5652n n n a a q --∴==
()()1122112121
32
n n
n a a a a -+++=
=
--L ()()
()115462
122
2
n n n n a a a --+-++-⋅⋅⋅==L L
所以所解不等式为：()()
2111152
2
1212212
32n n n n
n
n --+->⇔->
21110
222
111022
131002
n n n
n n n n n -+-+∴>⇔>⇔-+<
可解得：1302
n +<<
n N *∈Q n ∴的最大值为12
答案：12
三、历年好题精选（等差等比数列综合）
1、已知正项等比数列{}n a 满足54325a a a a +--=，则67a a +的最小值为（ ） A. 32 B.
10+ C. 20 D. 28 2、已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，若直线1y a x =与圆
()
2
224x y -+=的两个交点关于直线0x y d ++=对称，则5S =（ ）
A. 25
B. 25-
C. 15-
D. 15 3、（2016，内江四模）若d c b a ,,,成等比数列，则下列三个数：①d c c b b a +++,, ②
cd bc ab ,, ③d c c b b a ---,,，必成等比数列的个数为（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3 4、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足150S >，160S <，则11S a ，2
2S a ，…，1515
S a 中最大的项为（ ） A.
66S a B.77S a C.99S a D.88
S
a 5、（2016，新余一中模拟）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若
11a =，n S 为数列{}n a 前n 项和，则
216
3
n n S a ++的最小值为（ ）
A. 3
B. 4
C.
2- D. 9
2
6、（2015，北京）设{}n a 是等差数列，下列结论中正确的是（ ）
A. 若120a a +>，则230a a +>
B. 若130a a +<，则120a a +<
C. 若120a a <<
，则2a >
D. 若10a <，则()()21230a a a a -->
7、（2015，广东）在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a +=______ 8、（2014，北京）若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n =______时，
{}n a 的前n 项和最大
9、（2015，福建）若,a b 是函数()()2
0,0f x x px q p q =-+>>的两不同零点，且,,2
a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于（ ）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
10、已知{}n a 是等差数列，公差0d ≠，其前n 项和为n S ，若348,,a a a 成等比数列，则（ ） A. 140,0a d dS >> B. 140,0a d dS << C. 140,0a d dS >< D. 140,0a d dS <>
11、（2014，广东）若等比数列{}n a 各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则
12、（2014，安徽）数列{}n a 是等差数列，若1351,3,5a a a +++构成公比为q 的等比数列，则q =_______
13、（2014，新课标全国卷I ）已知数列{}n a 的前n 项和为1,1,0n n S a a =≠，
11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数
（1）证明：2n n a a λ+-=
（2）是否存在λ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由
14、（2016，河南中原第一次联考）已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3737S S +=，则31119a a +=（ ）
A. 47
B. 73
C. 37
D. 74 15、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足15160,0S S ><，则12151215
,,,S S S
a a a L 中最大的项为（ ） A.
77S a B. 66S a C. 99S a D. 88
S
a 16、（2014，湖北）已知等差数列{}n a 满足：12a =，且125,,a a a 成等比数列 （1）求数列{}n a 的通项公式
（2）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，是否存在正整数n ，使得60800?n S n >+若存在，求
n 的最小值；若不存在，说明理由
习题答案：
1、答案：C
解析：设等比数列的公比为q ，由已知可得1q >，则有
()()2543232515a a a a q a a +--=⇒-+=，所以
()
44
26732225151105102011q a a q a a q q q ⎡⎤
+=+==-++≥⋅=⎢⎥--⎣
⎦
，等号成立当且仅当(
)
2
21
11
q q q -=⇒=-2、答案：C
解析：由交点对称可知：① 交点所在直线与0x y d ++=垂直，所以11a =；② 直线
0x y d ++=为圆上弦的中垂线，所以该直线过圆心，由圆方程可得圆心坐标：()2,0，代
入可得：2d =-，所以()1132n a a n d n =+-=-，515S =- 3、答案：B
解析：本题从“等比数列中不含0项”入手，不妨设d c b a ,,,的公比为q ，可得①中若公比
1q =-，则无法构成等比数列，同理③中若1q =，则无法构成等比数列；对于②可知均能
构成公比为2
q 的等比数列 4、答案：D 解析：15881689901500
000
S a a S a a a >⇒>⇒>⎧⎨
<⇒+<⇒<⎩，可得在{}n a 中，10,0a d ><且8S 最大。

所以可
知1281280,0S S S a a a <<<<>>>>L L ，从而8
8
S a 最大 5、答案：A
解析：设公差为d ，因为1313,,a a a 成等比数列
()()2
23111111212a a a a d a a d ∴=⇒+=+
2144112d d d ∴++=+解得：2d =
()1121n a a n d n ∴=+-=- 2n S n =
22216216216
321322n n S n n a n n +++==
+-++，令1t n =+
21692243n n S t a t +∴
=+-≥=+
6、答案：C
解析：A 选项：反例为公差小于0，且12120,0,a a a a ><>的数列，例如：
1233,1,5a a a ==-=-，所以A 错误
B 选项：同A 中的例子即可判定B 错误
C 选项：由120a a <<可知0d >，且0n a >
，则2
2213a a a a >
⇔>，再将13,a a 统
一用2,a d 表示，即()()2
2
2
132222a a a d a d a d a =-+=-<，所以C 正确
D 选项：由等差数列可得：()()2
21230a a a a d --=-≤，所以D 错误
综上所述：C 选项正确 7、答案：10
解析：345675525a a a a a a ++++==，可得55a =，所以285210a a a +== 8、答案：8
解析：由7890a a a ++>可得：88300a a >⇒>，由7100a a +<可得890a a +<，从而
90a <，由此可知数列{}n a 前8项为正项，且数列单调递减，从第9项开始为负项，所以
前8项和最大 9、答案：D
解析：由韦达定理可知,a b p ab q +==，且由,0p q >可知,0a b >，因为,,2a b -可构成
等比数列，所以2-必为等比中项，()
2
24ab ∴=-=，即4
4
q b a =⎧⎪
⎨=⎪⎩
，所以4,,2a a -构成等差数列，同样由4,
0a a >判断出则等差中项只能是a 或4a ，所以有422a a =-或8
2a a
=-，解得41a b =⎧⎨
=⎩或14
a b =⎧⎨=⎩，则5p a b =+=，所以9p q +=
10、解析：348,,a a a Q 成等比数列
()()()2
2438111327a a a a d a d a d ∴=⇒+=++ 2222111169914a a d d a a d d ∴++=++
153
a d ∴=- 21503a d d ∴=-< 414320246233S a d d d d ⨯=+=-+=- 24203
dS d ∴=-< 综上所述：140,0a d dS <<
11、答案：50
解析：由5510119121011222a a a a e a a e +=⇒=可得51011a a e =，从而1011ln ln 5a a +=，因
为{}n a 为等比数列，所以{}ln n a 为等差数列，从而有： 10111220ln ln ln ln ln 20502
a a a a a ++++=
⋅=L 12、答案：1 解析：方法一：设{}n a 的公差为d ，由1351,3,5a a a +++成等比数列可得： ()()()223153315153156955a a a a a a a a a +=++⇔++=+++
()()()()211111126294545a d a d a a d a a d ⇔++++=+++++
2221111114461294645a a d d a d a a d a d ⇔+++++=++++ 248401d d d ⇔++=⇒=-
3111323111
a a q a a +-+∴===++ 方法二：由等比数列性质可知：
35133513a a q a a ++==++，由合比性质可得：()()()()5331532213122
a a d q a a d +-++===+-++ 13、解析：（1）11n n n a a S λ+=-
111n n n a a S λ--∴=-
()111n n n n n n n a a a a S S a λλ+--∴-=-=
0n a ≠Q
11n n a a λ+-∴-=，即2n n a a λ+-=
（2）由题设可得：1211a a S λ=- 11a =Q 21a λ∴=- 由（1）可得：311a a λλ=+=+ 若{}n a 为等差数列，则()()21322111a a a λλ=+⇒-=++ 解得：4λ=
下面验证4λ=是否能让{}n a 为等差数列
由（1）可得：{}21n a -是首项为1，公差为4的等差数列 ()2114143n a a n n -∴=+-=-
{}2n a 是首项为23a =，公差为4的等差数列 ()224141n a a n n ∴=+-=-
2212n n a a -∴-=且2122n n a a +-=
{}n a 为公差是2的等差数列
4λ∴=
14、答案：D
解析：3711133721102437S S a d a d a d +=+++=+= ()()3111111191921020482102474a a a d a d a d a d ∴+=+++=+=+=
15、答案：D
解析：()1581689150,80S a S a a =>=+<，所以88899
0000a a a a a >>⎧⎧⇒⎨⎨+<<⎩⎩，所以可得在n S 中，8S 最大，在n a 中，8a 是最小的正数。

所以88
S a 最大
16、解析：（1）设{}n a 的公差为d 125,,a a a Q 成等比数列
()()2
22215111142a a a a d a a d d a d ∴=⇒+=+⇒= 0d ∴=或124d a ==
当0d =时，可得2n a =
当4d =时，()1142n a a n d n =+-=- 2n a ∴=或42n a n =-
（2）当2n a =时，260800n S n n =<+，故不存在符合条件的n 当42n a n =-时，2122n n a a S n n +=
⋅= 令22260800304000n n n n >+⇒--= 解得40n >或10n <-（舍）
40n ∴>，即n 的最小值为41
综上所述：当2n a =时，不存在符合条件的n ；当42n a n =-时，n 的最小值为41。