(工业机器人)位姿描述与齐次变换

结论： • 多次变换结果不仅与变换顺序有关，而且与相对的坐标 系有关！ （1）必须正确确定变换顺序！ （ 2 ）必须正确确定每次变换所相对的坐标系的 性质！ • 若每次变换都是相对于前一个坐标系进行的，则变换结 果等于各个基本变换矩阵顺序相乘； •若每次变换都是相对于参考坐标系进行的，则变换结果 等于各个基本变换矩阵逆序相乘； 问题：上述结论只是根据2次变换得到的，适应于多次吗？
a a c b s

写成矩阵形式
b as bc

a c s a b s c b ？
分析：
• 该矩阵的出现是由于 B 相对于 A 旋转造成的，即是由 姿态引起的； 比较此矩阵与B 在 A中的姿态表达式，可知：
s a c b
s c 0 0 a 0 b 1 0
A B
写成三维形式，有：
a a a c b b s A p b 0 0 0 0
A 表达，简记为：
值。
数学表达式：
A
参考坐标系
poB
a O A OB b c
矢量表达形式
坐标值形式
描述对象
三、姿态描述
为了方便起见，先以平面坐标系为例进行讲解，然后推广 到三维情况！
பைடு நூலகம்YA
YA
如右图所示，先将 A 平移 到 A，然后绕 Z A 旋转 得 到 B
OB 在 A 中位置，记作
A
pOB
B在 A 中姿态，记作
R。
分成两块，不便于记忆！ 若写成如下齐次形式，有：
c s A p 0 1 0 s c 0 0 0 a a A 0 b BR b 1 0 0 0 0 1 1
十、相对变换、绝对变换
相对变换：若变换是相对于上一次变换得到的坐标系进 行的，则称为～。 相对变换结果： 顺序相乘！
绝对变换：若变换是相对于参考坐标系进行的，则称 为～。 绝对变换结果： 逆序相乘！ 若确定了变换性质，就没必要再标出所相对的坐标系了！ 十一、左乘、右乘 左乘：在某一变换矩阵左面乘以一个矩阵 绝对变换 右乘：在某一变换矩阵右面乘以一个矩阵 相对变换
九、多次变换 机器人一般由多个杆件构成，为了到达某一位姿往往需要 各个杆件都做出运动，因此存在多次变换问题； 第四节中的绝对变换结果是通过几何法求得的，不能总用 此法计算机器人位姿（？）。 如何计算多次变换结果？ 分析： 1. 几何法计算结果：
c s A BT 0 0 s c 0 0 0 0 1 0 a b 0 1
1、轴孔类装配
两个基本问题： （1）动作顺序及要求； （2）位置及姿态要求。 2、弧焊作业： 也需要解决上述两个基本问题！ 3、搬运作业（例如码垛） （结论同上） 4、其它操作作业（喷漆、上下料、点焊、…） 操作机器人工作任务描述两个基本问题！ 关键：位姿描述！ 四、位姿定义： 位置和姿态合称～。 （Position) (orientation) (pose)
pOB 1
B A B
由于其逆变换阵仍然为齐次 矩阵，因此可以假设：
pOA 1
A B
此外，有：
A B
R T 1 B T A 0
T
1
A 1 B R 0
A
1 pOB 1
∵A B A ∴有：
A B 1 T A T I B
YB

OB
XB X A
b
OA
a
XA
现在求 B 的两个坐标轴在 坐标系 A中的姿态。
YA
YA
坐标轴的姿态值可用其单 位矢量在参考坐标系中的 投影值表示！
A
YB

OB
XB X A
b
1cos cos c XB sin s 1 sin

r
a
主要特点： 图 2－1 机构特点： P-R-P 运动特点： 水平面内相对姿态不变 优缺点： 特别适合搬运，占地大，平衡性差，…
二、极坐标系
极坐标机器人（图2－2） 典型应用场合：空间运用 位姿描述参数： , , r 主要特点： 机构特点： R-R-P 运动特点： 极坐标式运动 优缺点： 占地小，工作空间大， 运动控制较复杂，…
r


图 2－2
坐标系选择原则： 视方便而定。 一般情况下，上述两种机器人采用专用坐标系更方便。
三、RPY (Roll, Pitch, Yaw)角
直角坐标系位姿描述法： 位置：坐标原点，3个参数； 姿态：3根坐标轴，3×3矩阵，9个参数。 姿态矩阵9个参数中只有3个是独立的！ 可否只用3个量完成姿态描述？如何求得？ RPY角（图2－3）： Roll: （绕本身纵轴 －Z轴）侧滚 Pitch: （前后-绕Y轴）俯仰 Yaw: 偏航（绕X轴） RPY变换过程： Y : P : R : 各运动均是相对于当前的参考坐标系进行的！
A
齐次变换矩阵
pOB B p A B p BT 1 1 1
七、齐次变换矩阵
1. 构成：分为4块。左上角是姿态矩阵，为一单位正交 矩阵；右上角为对象坐标系原点位置值；左下角为 三个0 0 0，简记为0；右下角为1。 2. 含义： （1）相对于 A 描述的 B 的位姿（从数学角度）； （2）把 A 变换到 B 的结果（从运动角度）。 位姿描述的关键是求得其齐次变换矩阵！ 八、基本变换矩阵（应牢记！！！） 1. 平移矩阵：
四、欧拉角 变换过程1（Z-Y-X)：
A
Z : BY : C X :
变换过程2 (Z-Y-Z)： A Z : BY : C Z : 欧拉变换结果（相对变换）：
第二种3参数定姿态 法！
Euler 1 Rot( z, ) Rot( y, ) Rot( x, ) Euler2 Rot( z, ) Rot( y, ) Rot( z, )
1 Trans( a, b, c) 1 1 0 a b c 1
参考坐标系未 标出，原因？
2. 绕X轴旋转 角（学生课堂推导！）
1 0 Rot( x, ) 0 0 0 c s s c 0 0 1
3. 绕Y轴旋转 角（课堂推导！）
2. 运动过程分析 从A 运动到 B ，可以分解成如下几个基本变换：
A A: A B:
平移变换：
Trans( Aa, Ab,0)
绕 Z A 旋转： Rot(Z A , )
3. 试按照运动顺序计算相关基本变换矩阵相乘结果
c s A A A Trans( a, b, 0) Rot( z A , ) 0 s c 0 0 0 a 0 b 1 0 1
0 C 0 1 Rot(Y , ) S 0 0 S 0 c 0 1
4. 绕Z轴旋转 角（课堂推导！）
C S Rot( Z , ) 0 S C 0 0 0 0 1 0 1
四 个 基 本 变 换， 要 牢 记！ （ 如 何 记 ？）
四、绝对描述 已知某点在 B 中的位置，试求其在 A 中的位置值。
由几何学可知，要求出 一点在绝对坐标系中的 位置，关键是求出其在
YA
YA
YB
b
b
OB
XB

a
A 中的位置，然后与 A坐标原点值相加即可
得到该点绝对位置。 由几何法，得：
a
b
X A
OA
a
XA
相 对 坐 标 值
侧滚 图 2－ 3
偏航
俯仰
RPY变换结果（绝对变换）：
RPY Rot( z, ) Rot( y, ) Rot( x, ) cc sc s css sc sss cc cs 0 csc ss ssc cs cc 0 1
§2.2 位姿描述与变换
一、位姿表达 1、表达方式：
位置＋姿态 空间方位（线、 三个坐标轴 面、体） 坐标原点 空间点 位姿可以用一个直角坐标系 2、特点： 位姿描述是相对的！ 二、位置描述
OB 点在 A 中的坐标 坐标系 B 在坐标系 A 中的位置：
OA X AYA Z A
A
1sin sin s YB cos c 1 cos
OA
a
XA
注意！ 由于笛卡儿坐标系各个坐标轴之间存在内部约束， 因此坐标系的姿态描述一般是冗余的。例如在平面坐标系 情况下，只有一个独立量
（1）矩阵第一列：X B 在 A中的姿态；
（2）矩阵第二列：YB 在 五、姿态矩阵 由坐标系三个坐标轴的姿态构成的矩阵，称为～。 六、齐次表达 根据几何学知识，上面第四小节中给定点的绝对位置为：
A中的姿态。
A
a a a c p b b b s
第二章 位姿描述与齐次变换
§2.1 操作机器人工作过程分析
一、操作机器人：具有和人类上肢相似的动作功能，用于操 作作业的机器人，称为～。 二、人类操作过程分析(先看人！）： 板擦黑板 →讲台：（眼）定位 （手）到位 (手）抓 取（手臂）运动（手臂）停止 （手）松开… 工作方法？手眼协调！（盲动呢？） 关键：位置（＋姿态），动作顺序，动作要求 三、机器人的典型工作分析（如何让机器人完成？）：
R
A B
A B 1
1

I
R
A B

A T B R
1
A
1 A T A pOB B R P OB
（利用单位正交矩阵性质） 则：
A T B R T T 0 B A A T A B R pOB 1
§2.3 非直角坐标系描述
前面讲的是如何用直角坐标系进行位姿描述及变换，其方法 适用于所有机器人。但对某些机器人，用其它非直角坐标系 描述可能更为方便。 一、圆柱坐标系 圆柱坐标机器人（图2－1） 典型应用场合：机床上下料 位姿描述参数： a, , r
4. 计算结果比较 两种方法结果相同！但后一种方法简单！ 问题 ：是否仅仅按照运动变换顺序将相关的基本变 换矩阵相乘，即可以得到齐次变换阵？
5. 验证计算（绘图即可）
(1) Trans( Aa, Ab, A 0) Rot( z A , ) : (2) Rot( z A , ) Trans( A a, Ab, A 0) : (3) Rot( z A , ) Trans( Aa, Ab, A 0) :
十二、逆变换
A 1 A 已知 BT ，求 BT ?
物理含义： 已知 A B: A BT ，问如把 B 再变回到 A ，其齐 次变换矩阵＝？ 用途：机器人运动控制！ 求法： （1）矢量法 （不讲，请同学自己做，作业） （2）解析法 设：
A B A B R T 0 A
A A 1 pOB B R 1 0
( 44)
A 1 I (33) 0 pOB 1 0 1
即： A R
0
B
利用矩阵块乘法，得：
A B A 1 RB R I (33)
A B
1 R A pOB ApOB 0
A B
R 1