大学文科数学第六章定积分定义性质
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章 节 教 学 目 的 教 学 重 点 及 突 出 方 法 教 学 难 点 及 突 破 方 法
6.1 定积分的概念
课 时
2
1、使学生理解定积分的概念以及它的几何意义； 2、使学生掌握定积分的性质； 3、使学生体会定积分的应用价值。
1、定积分的概念； 2、定积分的性质。
问题引入、层层递进
定积分的概念。
定理 5 可以看成是定理 4 的直接推论.它的几何意义是,表示曲边梯形 AabB 的面积 介于 A1 abB 1 的面积之间. 定理 6 (定积分的绝对值不等式)若 f ( x) 在 [ a, b] 上可积,则 f ( x) 在 [ a, b] 上也可 积,且
使得
b
a
f ( x ) dx f ( x ) dx .
b
a
( f ( x) g ( x))dx f ( x)dx g ( x)dx .
a a
b
b
定理 3(对积分区间的可加性)有界函数 f ( x) 在 [a, c],[c, b] 上都可积的充要条件是
f ( x) 在 [a, b] 上可积,且
b
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx .
f ( i )xi 的和式
f ( )x
i 1 i
n
i
.
如果当 n ,同时最大子区间的长度 max{ xi } 0 时,和式
f ( )x
i 1 i
n
i
的极
限存在,并且其极限值与区间 [ a, b] 的分割法以及 i 的取法无关,则该 f ( i )xi 极限值 称为函数 f ( x) 在区间 [ a, b] 上的定积分,记作
本来是没有意义的.但为了使用上的方便,对它特作如下规定 规定 1 当 a b 时,令
规定 2 当 a b 且
a
a
f ( x)dx 0 .
a
b
f ( x)dx 存在时,令
b a
f ( x)dx f ( x)dx .
b
a
有了这个规定之后,可以证明公式对 a, b, c 的任何顺序都成立. 定理 4 (保号性)设 f ( x) 与 g ( x) 为定义在 [ a, b] 上的两个可积函数.若
f ( )x
i 1 i
n
i
的和式的极限问题.由此可抽象出定积分的概念.
定义 设 f ( x) 是定义在区间 [ a, b] 上的有界函数,用点
a x0 x1 x2 xi 1 xi xn b 将区间 [a, b] 任意分割成 n 个小子
区间 [ xi 1 , xi ] (i 1,2,, n) .在每个子区间 xi 上任取一点 i ,作 n 个乘积
a
b
定理 7 (积分中值定理)若函数 f ( x) 在 [ a, b] 上连续,则在 [ a, b] 至少存在一点 ,
b
a
f ( x)dx f ( )(b a) .
积分中值定理的几何意义是明显的:若 f ( x) 在 [ a, b] 上连续且非负,则 f ( x) 在
[a, b] 上的曲边梯形面积,等于与该区边梯形同底,以
x a, x b 以及 x 轴所围成的平面图形,称为 f ( x) 在 [a, b] 上的曲边梯形.试求此曲
边梯形的面积 S 在初等数学里,圆面积是用一系列边数无限增加的内接正多边形面积的极限来定义 的.现在仍用类似的思想方法来定义曲边梯形的面积. 在区间 [ a, b] 内任取 n 1 个分点
a c
c
b
若 f ( x) 0 ,则定理 3 的几何意义是明显的.它表示曲边梯形面积的可加性,即 曲边梯形 aABb 的面积等于曲边梯形 aACc 的面积与曲边梯形 cCBb 的面积之和. 根据定积分定义,记号
b
a
f ( x)dx 只有当 a b 时才有意义,当 a b 或 a b 时
量, [ a, b] 称为积分区间, a 称为积分下限, b 称为积分上限. 可见定积分是特殊和式的极限. 定积分存在称为可积,否则称为不可积. 由定积分的概念,原型 I 和 II 的问题可简洁地表述为 (1)连续函数 y f ( x) 0 在 [ a, b] 上构成的曲边梯形的面积为函数 y f ( x) 在
f ( )x
i 1 i
n
i
S.
求曲边梯形面积的这种思想方法概括起来说就是”分割,近似求和,取极限”. 原型 II 求变力所作的功 设质点 m 受力 F 的作用沿 x 轴由点 a 移动至点 b ,并设 F 平行于 x 轴.如果 F 是 常量,则它对质点所作的功为 W F (b a) 如果力 F 不是常量,而是质点所在位置 x 的连续函数
f ( x) g ( x) , x [a, b] ,则
b
a
f ( x)dx g ( x)dx .
a
b
定理 5 (有界性)设 m, M 分别是 f ( x) 在 [ a, b] 上的最小值和最大值.若 f ( x) 在 [ a, b] 上 可积,则 m(b a)
b
a
f ( x)dx M (b a) .
[a, b] 上的单调函数,或者是 [a, b] 上只有有限个间断点的有界函数,则 f ( x) 在 [a, b] 上
可积. 1.5 定积分的性质 定积分有如下一些基本性质: 定理 1 若 f ( x) 在 [ a, b] 上可积, k 为常数,则 kf ( x) 在 [ a, b] 上也可积,且
kf ( x)dx k
就是以曲线 y f ( x) ,直线 x a, x b 以及 x 轴为边的曲边梯形的面积 S ;但若
f ( x) 0 ,由定积分的意义可知,这时 S 为负值.对于一般函数 f ( x) 而言,定积分 S 的
值则是曲线在 x 轴上方部分的正面积与下方部分的负面积的代数和. 应注意:定积分是积分和的极限,它的值既与函数 f ( x) 有关,又与积分区间 [ a, b] 有关,但与积分变量的符号无关,即
[a, b] 上的定积分,即
S f ( x)dx .
a
b
(2)在连续变力 F ( x) 作用下,质点 m 沿 x 轴从点 a 位移到点 b 所做的功为 F ( x) 在
[a, b] 上的定积分,即
W F ( x)dx
a
b
上述(1)正好说明了定积分的几何意义.即当 y f ( x) 0 时,定积分的几何意义
f ( i )xi Si , i 1,2,, n.
于是曲边梯形的面积 S 就可以用这 n 个小矩形的面积之和来近似代替,即
f ( )x S
i 1 i i i 1
n
n
i
S.
当上述分割越来越细(即分点越来越多,同时各个小区间的长度越来越小)时,该公 式的近似程度越来越好,因此,当 n ,同时 max{ xi } 0 时,就有
学
后
记
F F ( x), a x b
那么 F 对质点 m 所作的功 W 应如何计算呢? 我们仍按求曲边梯形面积的思想方法来进行.在区间 [ a, b] 内任取 n 1 个分点
a x0 x1 xn1 xn b ,
把 [ a, b] 分成 n 个小区间 xi [ xi 1 , xi ],i 1,2,, n. 也用 xi 表示这些小区间的长度. 当各个小区间的长度 xi [ xi 1 , xi ], 都很小时,由于力 F ( x) 的连续性,它在每个小区 间 xi 上变化不大而可以近似看作常量,即在 xi 上任取一点 i ,把该点处的力 F ( i ) 作为 xi 上变力 F ( x) 的近似值,于是, F ( i )xi 就近似于质点 m 从点 xi 1 位移到 x i 时 力 F ( x) 所作的功 Wi ,从而
W Wi F ( i )xi
i 1 i 1
n
n
当分点越来越多,同时各个小区间的长度越来越小时,上式的近似程度将越来越 好.因此,当 n ,同时最大的小区间的长度 max{ xi } 0 时,就有
F ( )x
i 1 i
n
i
WBiblioteka Baidu.
1. 2 定积分的概念 从前面的叙述我们看到,不管是原型 I 中的求曲边梯形的面积问题,还是原型 II 中 求变力作功问题,实际背景完全不同,但通过”分割,近似求和,取极限”,都能化为 形如
b
a
f ( x)dx ,即
b
a
f ( x)dx lim f ( i )xi
n i 1
n
其中右端的 f ( i )xi 称为积分元素,
f ( )x
i 1 i
n
i
称为积分和(或和式),左端的符号
" " 称为积分号, f ( x) 称为被积函数, f ( x)dx 称为积分表达式, x 称为积分变
1 b f ( x)dx b a a 1 b f ( x)dx 可以理解为 f ( x) 在 [a, b] 上的平均值,它是有限 为高的矩形面积.因而 b a a f ( )
个数的算术平均值的拓广. 作业/课后反思
理论性强的内容，可数形结合地给学生以解释， 教 以使其信并记住即可。
思想统摄-数形结合-形式抽象化
相 关 内 容 素 材 引例------定积分----几何意义-----性质
§1 特殊和式的极限-----定积分的概念
1.1 抽象定积分概念的两个现实原型 我们先从分析和解决几个典型问题入手,来看定积分的概念是怎样从现实原型抽象 出来的. 原型 I 求曲边梯形的面积 设 f ( x) 为闭区间 [ a, b] 上的连续函数,且 f ( x) 0 .由曲线 y f ( x) ,直线
过
x xi (i 1,2,, n 1) 把原曲边梯形分成 n 个小曲边梯形,小曲边梯形的面积记作 Si (i 1,2,n) .在每个小区间 xi 上任取一点 i ,作以 f ( i ) 为高, [ xi 1 , xi ] 为底的
程
小矩形.当分割 [ a, b] 的分点较多,分割得较细时,由于 f ( x) 在 [ a, b] 上连续,因而在每 个小区间 xi 上 f ( x) 的值变化不大,这样就可以用这些小矩形的面积近似代替相应小 曲边梯形的面积,即
教
a x0 x1 xn1 xn b ,
把区间 [ a, b] 分成 n 个小闭子区间 xi xi xi 1 ,小区间的长度也用 xi 表示,即
学
xi xi xi 1, i 1,2,, n,
并用符号 max{ xi } 表示 n 个小闭子区间 xi 中的最大长度.然后用直线
a
n
b
b
a
f ( x)dx .
证:对任意分割,函数 F ( x) kf ( x) 在 [ a, b] 上的积分和为
F ( i )xi kf ( i )xi .
i 1 i 1
n
由于 f ( x) 在 [ a, b] 上可积,当 n 同时 0 时 ( max{ xi }) ,右端积分和 的极限存在,即公式成立. 定理 2 若 f ( x) , g ( x) 在 [ a, b] 上可积,则 f ( x) g ( x) 在 [ a, b] 上可积,且
b
a
f ( x)dx f (t )dt f (u)du .
a a
b
b
1.3 求定积分过程中的辩证思维 1.4 可积条件 在定积分理论中,需考虑两个基本问题:可积的函数满足什么条件?满足什么条件的 函数可积?下面的两个定理分别回答了这两个问题. 定理 1 (可积的必要条件)若函数 f ( x) 在 [ a, b] 上可积,则 f ( x) 在 [ a, b] 上有界. 这个定理指出,任何可积函数一定是有界的.与它等价的逆否命题是:无界函数一定 不可积.自然应该知道,有界函数不一定可积. 定理 2 (可积的充分条件)若 f ( x) 是闭区间 [ a, b] 上的连续函数,或者是闭区间
6.1 定积分的概念
课 时
2
1、使学生理解定积分的概念以及它的几何意义； 2、使学生掌握定积分的性质； 3、使学生体会定积分的应用价值。
1、定积分的概念； 2、定积分的性质。
问题引入、层层递进
定积分的概念。
定理 5 可以看成是定理 4 的直接推论.它的几何意义是,表示曲边梯形 AabB 的面积 介于 A1 abB 1 的面积之间. 定理 6 (定积分的绝对值不等式)若 f ( x) 在 [ a, b] 上可积,则 f ( x) 在 [ a, b] 上也可 积,且
使得
b
a
f ( x ) dx f ( x ) dx .
b
a
( f ( x) g ( x))dx f ( x)dx g ( x)dx .
a a
b
b
定理 3(对积分区间的可加性)有界函数 f ( x) 在 [a, c],[c, b] 上都可积的充要条件是
f ( x) 在 [a, b] 上可积,且
b
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx .
f ( i )xi 的和式
f ( )x
i 1 i
n
i
.
如果当 n ,同时最大子区间的长度 max{ xi } 0 时,和式
f ( )x
i 1 i
n
i
的极
限存在,并且其极限值与区间 [ a, b] 的分割法以及 i 的取法无关,则该 f ( i )xi 极限值 称为函数 f ( x) 在区间 [ a, b] 上的定积分,记作
本来是没有意义的.但为了使用上的方便,对它特作如下规定 规定 1 当 a b 时,令
规定 2 当 a b 且
a
a
f ( x)dx 0 .
a
b
f ( x)dx 存在时,令
b a
f ( x)dx f ( x)dx .
b
a
有了这个规定之后,可以证明公式对 a, b, c 的任何顺序都成立. 定理 4 (保号性)设 f ( x) 与 g ( x) 为定义在 [ a, b] 上的两个可积函数.若
f ( )x
i 1 i
n
i
的和式的极限问题.由此可抽象出定积分的概念.
定义 设 f ( x) 是定义在区间 [ a, b] 上的有界函数,用点
a x0 x1 x2 xi 1 xi xn b 将区间 [a, b] 任意分割成 n 个小子
区间 [ xi 1 , xi ] (i 1,2,, n) .在每个子区间 xi 上任取一点 i ,作 n 个乘积
a
b
定理 7 (积分中值定理)若函数 f ( x) 在 [ a, b] 上连续,则在 [ a, b] 至少存在一点 ,
b
a
f ( x)dx f ( )(b a) .
积分中值定理的几何意义是明显的:若 f ( x) 在 [ a, b] 上连续且非负,则 f ( x) 在
[a, b] 上的曲边梯形面积,等于与该区边梯形同底,以
x a, x b 以及 x 轴所围成的平面图形,称为 f ( x) 在 [a, b] 上的曲边梯形.试求此曲
边梯形的面积 S 在初等数学里,圆面积是用一系列边数无限增加的内接正多边形面积的极限来定义 的.现在仍用类似的思想方法来定义曲边梯形的面积. 在区间 [ a, b] 内任取 n 1 个分点
a c
c
b
若 f ( x) 0 ,则定理 3 的几何意义是明显的.它表示曲边梯形面积的可加性,即 曲边梯形 aABb 的面积等于曲边梯形 aACc 的面积与曲边梯形 cCBb 的面积之和. 根据定积分定义,记号
b
a
f ( x)dx 只有当 a b 时才有意义,当 a b 或 a b 时
量, [ a, b] 称为积分区间, a 称为积分下限, b 称为积分上限. 可见定积分是特殊和式的极限. 定积分存在称为可积,否则称为不可积. 由定积分的概念,原型 I 和 II 的问题可简洁地表述为 (1)连续函数 y f ( x) 0 在 [ a, b] 上构成的曲边梯形的面积为函数 y f ( x) 在
f ( )x
i 1 i
n
i
S.
求曲边梯形面积的这种思想方法概括起来说就是”分割,近似求和,取极限”. 原型 II 求变力所作的功 设质点 m 受力 F 的作用沿 x 轴由点 a 移动至点 b ,并设 F 平行于 x 轴.如果 F 是 常量,则它对质点所作的功为 W F (b a) 如果力 F 不是常量,而是质点所在位置 x 的连续函数
f ( x) g ( x) , x [a, b] ,则
b
a
f ( x)dx g ( x)dx .
a
b
定理 5 (有界性)设 m, M 分别是 f ( x) 在 [ a, b] 上的最小值和最大值.若 f ( x) 在 [ a, b] 上 可积,则 m(b a)
b
a
f ( x)dx M (b a) .
[a, b] 上的单调函数,或者是 [a, b] 上只有有限个间断点的有界函数,则 f ( x) 在 [a, b] 上
可积. 1.5 定积分的性质 定积分有如下一些基本性质: 定理 1 若 f ( x) 在 [ a, b] 上可积, k 为常数,则 kf ( x) 在 [ a, b] 上也可积,且
kf ( x)dx k
就是以曲线 y f ( x) ,直线 x a, x b 以及 x 轴为边的曲边梯形的面积 S ;但若
f ( x) 0 ,由定积分的意义可知,这时 S 为负值.对于一般函数 f ( x) 而言,定积分 S 的
值则是曲线在 x 轴上方部分的正面积与下方部分的负面积的代数和. 应注意:定积分是积分和的极限,它的值既与函数 f ( x) 有关,又与积分区间 [ a, b] 有关,但与积分变量的符号无关,即
[a, b] 上的定积分,即
S f ( x)dx .
a
b
(2)在连续变力 F ( x) 作用下,质点 m 沿 x 轴从点 a 位移到点 b 所做的功为 F ( x) 在
[a, b] 上的定积分,即
W F ( x)dx
a
b
上述(1)正好说明了定积分的几何意义.即当 y f ( x) 0 时,定积分的几何意义
f ( i )xi Si , i 1,2,, n.
于是曲边梯形的面积 S 就可以用这 n 个小矩形的面积之和来近似代替,即
f ( )x S
i 1 i i i 1
n
n
i
S.
当上述分割越来越细(即分点越来越多,同时各个小区间的长度越来越小)时,该公 式的近似程度越来越好,因此,当 n ,同时 max{ xi } 0 时,就有
学
后
记
F F ( x), a x b
那么 F 对质点 m 所作的功 W 应如何计算呢? 我们仍按求曲边梯形面积的思想方法来进行.在区间 [ a, b] 内任取 n 1 个分点
a x0 x1 xn1 xn b ,
把 [ a, b] 分成 n 个小区间 xi [ xi 1 , xi ],i 1,2,, n. 也用 xi 表示这些小区间的长度. 当各个小区间的长度 xi [ xi 1 , xi ], 都很小时,由于力 F ( x) 的连续性,它在每个小区 间 xi 上变化不大而可以近似看作常量,即在 xi 上任取一点 i ,把该点处的力 F ( i ) 作为 xi 上变力 F ( x) 的近似值,于是, F ( i )xi 就近似于质点 m 从点 xi 1 位移到 x i 时 力 F ( x) 所作的功 Wi ,从而
W Wi F ( i )xi
i 1 i 1
n
n
当分点越来越多,同时各个小区间的长度越来越小时,上式的近似程度将越来越 好.因此,当 n ,同时最大的小区间的长度 max{ xi } 0 时,就有
F ( )x
i 1 i
n
i
WBiblioteka Baidu.
1. 2 定积分的概念 从前面的叙述我们看到,不管是原型 I 中的求曲边梯形的面积问题,还是原型 II 中 求变力作功问题,实际背景完全不同,但通过”分割,近似求和,取极限”,都能化为 形如
b
a
f ( x)dx ,即
b
a
f ( x)dx lim f ( i )xi
n i 1
n
其中右端的 f ( i )xi 称为积分元素,
f ( )x
i 1 i
n
i
称为积分和(或和式),左端的符号
" " 称为积分号, f ( x) 称为被积函数, f ( x)dx 称为积分表达式, x 称为积分变
1 b f ( x)dx b a a 1 b f ( x)dx 可以理解为 f ( x) 在 [a, b] 上的平均值,它是有限 为高的矩形面积.因而 b a a f ( )
个数的算术平均值的拓广. 作业/课后反思
理论性强的内容，可数形结合地给学生以解释， 教 以使其信并记住即可。
思想统摄-数形结合-形式抽象化
相 关 内 容 素 材 引例------定积分----几何意义-----性质
§1 特殊和式的极限-----定积分的概念
1.1 抽象定积分概念的两个现实原型 我们先从分析和解决几个典型问题入手,来看定积分的概念是怎样从现实原型抽象 出来的. 原型 I 求曲边梯形的面积 设 f ( x) 为闭区间 [ a, b] 上的连续函数,且 f ( x) 0 .由曲线 y f ( x) ,直线
过
x xi (i 1,2,, n 1) 把原曲边梯形分成 n 个小曲边梯形,小曲边梯形的面积记作 Si (i 1,2,n) .在每个小区间 xi 上任取一点 i ,作以 f ( i ) 为高, [ xi 1 , xi ] 为底的
程
小矩形.当分割 [ a, b] 的分点较多,分割得较细时,由于 f ( x) 在 [ a, b] 上连续,因而在每 个小区间 xi 上 f ( x) 的值变化不大,这样就可以用这些小矩形的面积近似代替相应小 曲边梯形的面积,即
教
a x0 x1 xn1 xn b ,
把区间 [ a, b] 分成 n 个小闭子区间 xi xi xi 1 ,小区间的长度也用 xi 表示,即
学
xi xi xi 1, i 1,2,, n,
并用符号 max{ xi } 表示 n 个小闭子区间 xi 中的最大长度.然后用直线
a
n
b
b
a
f ( x)dx .
证:对任意分割,函数 F ( x) kf ( x) 在 [ a, b] 上的积分和为
F ( i )xi kf ( i )xi .
i 1 i 1
n
由于 f ( x) 在 [ a, b] 上可积,当 n 同时 0 时 ( max{ xi }) ,右端积分和 的极限存在,即公式成立. 定理 2 若 f ( x) , g ( x) 在 [ a, b] 上可积,则 f ( x) g ( x) 在 [ a, b] 上可积,且
b
a
f ( x)dx f (t )dt f (u)du .
a a
b
b
1.3 求定积分过程中的辩证思维 1.4 可积条件 在定积分理论中,需考虑两个基本问题:可积的函数满足什么条件?满足什么条件的 函数可积?下面的两个定理分别回答了这两个问题. 定理 1 (可积的必要条件)若函数 f ( x) 在 [ a, b] 上可积,则 f ( x) 在 [ a, b] 上有界. 这个定理指出,任何可积函数一定是有界的.与它等价的逆否命题是:无界函数一定 不可积.自然应该知道,有界函数不一定可积. 定理 2 (可积的充分条件)若 f ( x) 是闭区间 [ a, b] 上的连续函数,或者是闭区间