瞬时变化率--导数(1)

瞬时变化率--导数(1)

教学目标：⑴理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念

⑵会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度

教学过程：

一.复习引入

平均变化率：一般地，函数)(x f 在区间上[]21,x x 上的平均变化率为

平均变化率近似地刻画了曲线)(x f 在区间[]21,x x 上的变化趋势，那么如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？

二.新课讲解

1.曲线上一点处的切线斜率

设Q 为曲线C 上不同于P 的一点，这时，直线PQ 称为曲线的 ，当点Q 沿曲线C 向点P 运动，并无限靠近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线,l 这条直线l 称为曲线在点P 处的 ，即割线PQ 的斜率就会无限逼近曲线在点P 处的切线的斜率，所以我们可以用点P 处的切线的斜率来刻画曲线在点P 处的变化趋势

设曲线C 上一点)),(,(x f x P 过点P 的一条割线交曲线C 于另一点)),(,(x x f x x Q ∆+∆+则割线PQ 的斜率为()()()()()PQ f x x f x f x x f x k x x x

x +∆-+∆-==+∆-∆，当点Q 沿曲线C 向点P 运动，并无限靠近点P 时，割线PQ 逼近点P 的切线l ,从而割线的斜率逼近切线l 的斜率，即当x ∆无限趋近于0时，

()()f x x f x x

+∆-∆无限趋近点))(,(x f x P 处的切线的斜率。

2.瞬时速度与瞬时加速度

(1)平均速度：物理学中，运动物体的 与 的比称为平均速度。

(2)瞬时速度：设物体作直线运动所经过的路程为s =f (t )。以t 0为起始时刻，物体在时间内的平均速度为

t

t s t t s ∆-∆+)()(00，当△t 无限趋近于0 时，t t s t t s ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为0t t =时的 (3)瞬时加速度：当t ∆无限趋近于0 时，运动物体速度)(t v 的平均变化率

t

t v t t v ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为0t t =时的

注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率

三.应用举例：

例1.求函数2

x y =在]1,1[x ∆+上的平均变化率

例2.已知2)(x x f =，求曲线在2=x 处的切线的斜率

例3.当h 无限趋近于0时，h

h 223)3(-+无限趋于多少？h h 33-+无限趋于多少？

例4.一作直线运动的物体其位移s （m ）与时间t （s ）的关系是2

3s t t =-。

（1）求t=0到t=2时的平均速度； （2）求此物体在t=2秒时的瞬时速度；

作业： 班级 姓名 学号

1.如图，l 为经过曲线上点P 和Q 的割线。

（1）若P （1，2），Q （5，7），则l 的斜率为

（2）当Q 沿曲线向点P 靠近时，l 的斜率变大还是变小？

2.如图，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 为函数)(x f y =图象上的点，

在哪些点处，曲线的切线斜率为零？

在哪些点处，曲线的切线斜率为正？

在哪些点处，曲线的切线斜率为负？

在哪些点处，曲线的切线斜率最大？

在哪些点处，曲线的切线斜率为最小？

3.若2()21f x x =-图象上一点（1，1）及附近一点(1,1x y +∆+∆），则

y x ∆∆等于 4.如质点M 按规律23S t =+运动，则在一小段时间[2，2.1]中相应的平均速度等于

5.曲线x

y 1=在1=x 处切线的斜率为 6.当h 无限趋近于0时，h

h 322-+无限趋于 7.一质点的运动方程为102+=t S （位移单位：m ，时间单位：s ），试求质点在t=3 s 的瞬时速度。

x P O y Q l