线性系统分析

f ( x1 , y1 )


f ( x0 , y0 ) ( x0 x1 , y0 y1 )dx0 dy0
二维线性不变系统响应
g( x2 , y2 ) L f ( x0 , y0 ) ( x1 x0 , y1 y0 )dx0 dy0 = f ( x0 , y0 )L{ ( x1 x0 , y1 y0 )}dx0 dy0
g( x2 , y2 )
L{
f ( x1 , y1 ) }
f ( x1 , y1 )
输入
系 统
L{ }
g( x2 , y2 )
输出
线性系统
设一系统响应
g1( x2 , y2 ) L f1( x1 , y1 )
g2 ( x2 , y2 ) L f 2 ( x1 , y1 )
且a1和a2为常数，有
任一平面光波场都可以看 成无数空间位置不同、幅 值不同 的点光源组合
δ 函数筛选性物理意义

f ( x, y )

F( , )exp[ j2 ( x y )]d d
任一平面光波场可以看成 无数组传播方向不同、幅 值不同的平面波叠加而成
傅里叶反变换 的物理意义
脉冲响应和叠加积分
δ函数为基元函数，利用其筛选性，任 何输入数都可以表达成：

f ( x1 , y1 )


f ( x0 , y0 ) ( x1 x0 , y1 y0 )dx0 dy0
上式的物理意义：任一平面光波场
f ( x1 , y1 )
都可以看成无数空间位置不同（x0, y0）,幅值不同
f ( x0 , y0 )dx0 dy0 的点光源组成。
函数 f ( x1 , y1 ) 通过系统后的输出为
g( x2 , y2 ) L f ( x0 , y0 ) ( x1 x0 , y1 y0 )dx0 dy0 = f ( x0 , y0 )L{ ( x1 x0 , y1 y0 )}dx0 dy0
则系统为线性空不变系统
§1.3
傅里叶正变换：
F( , )

二维傅里叶变换

f ( x, y )exp[ j2 ( x y )]dxdy

傅里叶反变换

f ( x, y )

F( , )exp[ j2 ( x y )]d d
傅里叶反变换的物理意义
( x, y ) 0 x 0, y 0 ( x, y )dxdy 1
这里以一光束会聚点的照度来加以说明。一束光行光被透镜 L会聚并设通过透镜的光通量为一个单位。在透镜后放置一 与光轴垂直的光屏P，若将光屏P向透镜的后焦面靠近，则亮 斑的直径越来越小，照度E(x，y)越来越大。在光屏P与后焦 面重合的极限情况T，屏上的照度已无法用普通函数来描述
第一章
线性系统分析
§1.1

函数
函数是一种广义函数，用来描述一种极
限状态。函数通常可以用于描述点光源、 点电荷和点质量等。在傅里叶光学中，用 函数可以将一个复杂的物函数分解为某些 基元函数的线性组合，从而使许多复杂的 光学问题的推导和证明变得十分简洁。
δ定义
δ函数可以描述一些集中且的密度分布， 例如单位电量的点电荷的电荷密度，单位质 量的质点的质量密度，单位光通量的点光源 的面发光度等。
则该系统为线性系统
1. 对于线性系统，任何输入函数都可以分解成 某种“基元”函数的线性组合，相应的输出 函数可通过这些基元函数系统响应的线性组 合求得。 2. 基元函数是指不能再进行分解的基本函数单 元。 3. 基元函数通常有δ 函数和复指数函数。 4.光学中δ函数表示点光源，复指数函数表示平 面波
L a1 f1 ( x1 , y1 ) a2 f 2 ( x1 , y1 ) L a1 f1 ( x1 , y1 ) L a2 f 2 ( x1 , y1 ) =a1 L f1 ( x1 , y1 ) a2 L f 2 ( x1 , y1 ) =a1 g1 ( x2 , y2 ) a2 g 2 ( x2 , y2 )

= f ( x0 , y0 )h( x2 , y2 ; x0 , y0 )dx0 dy0

其中： 若
L{ （x1 x0 ,y1 y0） } = h( x2 , y2 ; x0 , y0 )
L{ （x1 x0 ,y1 y0） } = h( x2 x0 , y2 y0 )

comb函数与δ函数: 抽样和复制性质
φ(x) comp(x) φ(x).comp(x)
×
x
=
0 x
0
0
x
φ(x)
comp(x)
φ(x)*comp(x)
*
0 x 0
=
x 0 x
§1.2
二维线性系统分析
物理系统：某种装置，当施加一个激励时， 会呈现某种响应。 光学系统：输入与输出均为二维图像分布。 它通过光波作用将输入变成输 出的作用。 系统作用：用算符L{ }表示，
f ( x, y ) F( , )exp[ j2 ( x y )]d d
复指数函数 exp[ j2 ( x y )] 为基元函数， 表示一列传播方向一定的平面波，傅里叶反 变换的物理意义为： 光波场 f ( x, y ) 可以看成无数传播方向不 同的平面波 exp[ j2 ( x y )] 叠加而成， 确定方向的平面波的幅值不同为 F( , )d d

= f ( x0 , y0 )h( x2 x0 , y2 y0 )dx0 dy0

=f ( x2 , y2 )* h( x2 , y2 )
仅仅对于线性不变系统，其输出等于输入与脉冲响 应的卷积。
二维线性不变系统的传递函数
输入与输出光波场为

g( x, y ) f ( x, y )* h( x, y )


函数性质---筛选性质


( x, y) ( x, y)dxdy (0,0)

( x , y ) ( x
0 0
0
x, y0 y)dx0 dy0 ( x, y)
comb函数及其性质
comb函数是一个距离间 隔为1的函数列，其图 ( x n) 形如图所示。从形上看， comb( x) n 它很像一把梳子．因此 称为梳状函数。由于它 主要用于对连续函数进 行定点抽样，使之离散 化，因而又称为抽样函 数。
傅里叶变换的性质
1. 一般的二维傅里叶变换很复杂，如果在直 角坐标系中函数可以分离变量，则利用一维 傅里叶变换的性质。 2. 一般傅里叶变换性质 自学 略 特别强调：卷积定理：

g( x, y )* h( x, y )

g( x , y
0
0
)h( x x0 , y y0 )dx0 dy0
F{ g( x, y )* h( x, y )} G( , ) H( , )
§1.4
二维线性不变系统
L{ ( x1 x0 , y1 y0 )} h( x2 x0 , y2 y0 )
若系统脉冲响应满足上式，该系统被称为二 维线性不变系统。 若以光波场看成点光源的组合：


f ( , )h( x , y )d d
对上式两边取傅里叶变换，并利用卷积定理，有
G( , ) F( , ) H( , )
G( , ) H( , ) F( , )
系统传递函数为

f ( x1 , y1 )


f ( x0 , y0 ) ( x1 x0 , y1 y0 )dx0 dy0