第8章-自动控制原理

f ( x, x ) f ( x , x ) 或 x x 即 f ( x, x)是关于 x 的偶函数。 f ( x, x ) f ( x , x )

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若相平面图关于原点对称，则相轨迹曲线在 ( x, x) 和(- x, x)点上的斜率相等，符号相同，应有
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有些非线性系统，在初始状态的激励下，可以 产生固定振幅和固定频率的周期振荡，这种周 期振荡称为非线性系统的自激振荡或极限环。 如果非线性系统有一个稳定的极限环，则它的 振幅和频率不受扰动和初始状态的影响。
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4.频率响应: 在正弦输入信号作用下，非线性系统呈现出 一些在线性系统中见不到的特殊现象，诸如跳跃 谐振和多值响应、倍频振荡和分频振荡、频率捕 捉(跟踪)现象等。 图8.6为一机械系统，由重物、阻尼器、非线性弹 簧组成。其动态特性的微分方程为 M B x K x K x 3 0 x (8-1) ——重物的位移； 式中 M——质量； B——阻尼器的粘性摩擦系数； K x K x3——非线性弹簧力。
图8.8 机械系统的频率响应
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8.3相平面分析法
相平面法是庞卡莱(H.Poincare)提出来的一 种用图解法求解一阶、二阶微分方程的方法，它 实质上属于状态空间分析法在二维空间中的应用， 该方法适合于研究给定初始状态的二阶自由运动 系统和给定初始状态及非周期输入信号(如阶跃、 斜坡或脉冲信号等)的二阶系统 8.3.1 相平面的基本概念 8.3.2 相平面图的绘制方法 8.3.3 奇点和极限环 8.3.4 相平面分析举例
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因此，响应曲线实际上是不连续的，并且对于频率增 加和减小的两种情况,响应曲线上的点沿着不同的路线移 动。点2与点5之间曲线对应的振荡是不稳定的振荡，在实 验中是观测不到的。
x 2 6 x 5 3
1
5 1 4
2 3
6
4
0


0


(a)具有硬弹簧的机械系统
(b)具有软弹簧的机械系统
f (x, x) f (x, x) 0 x x 0
相轨迹的斜率不是一个确定的值，说明通过该点的相轨迹 曲线有一条以上，这样的点称为奇点，显然奇点只分布在 相平面的x轴上。
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（3）相轨迹通过x轴的斜率 在x轴上，所有点都满足 x 0 。除奇点外相轨迹在x轴上的 斜率为
f ( x, x) f ( x, x) x x
所以，除了奇点外，相轨迹和x轴垂直相交。
（4）相轨迹移动的方向 在相平面的上半平面，由于，则x随着参变量时间t的 加而增大，所以系统状态沿相轨迹由左向右运动；反之， 下半平面，由于，则x随着时间t的增加而减小，所以系统 态沿相轨迹由右向左运动。系统状态沿相轨迹的移动方向 相轨迹上的箭头表示。
-M

x
(b)

m
x

0 m -M (d)

x
图8.4 继电器型非线性特性
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8.2.2非线性系统的运动特点
由于描述非线性系统运动的数学模型为非线 性微分方程，叠加原理不再适用，因此非线性系 统的运动表现出以下特点：
1.稳定性分析复杂 2.系统的零输入响应形式 3.自激振荡(极限环) 4.频率响应
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1.相平面法: 一种图解分析方法，适用于具有严重非线性 特性的一阶、二阶系统，该方法通过在相平面绘 制相轨迹曲线，确定非线性微分方程在不同初始 条件下解的运动形式。 2.描述函数法: 一种等效线性化的图解分析方法，该方法对 于满足结构要求的非线性系统，通过谐波线性化， 将非线性特性近似为复变增益环节，然后推广应 用频率法，分析非线性系统的稳定性或自激振荡。
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图8.7描绘了大于零、等于零、小于零三种情况下频率和 振幅的关系。在对图8.6所示的系统进行强迫振荡实验 时，系统的微分方程为式中为外作用函数。
M B x K x K x 3 Pcost x 式中 Pcos t 为外作用函数
x
K
非线性弹簧 重物
K 0
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3.逆系统法: 运用内环非线性反馈控制，构造伪线性系统， 以此为基础，设计外环控制网络，该方法直接应 用数学工具研究非线性控制问题，是非线性系统 研究的一个发展方向。但是，这些方法主要是解 决非线性系统的“分析”问题，且以稳定性问题 为主展开的。非线性系统的“综合”方法的研究 成果远不如稳定性问题研究所取得的成果。
2n x x 0 x
2 n
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x2 x
B
C A
x1 x
0
（a）
(b)
图8.10 相平面图
图8.9 时间响应与相轨迹
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如果以相变量和 x1 为 x2 坐标构成平面，称为相平 面，则系统在某一时刻t1的状态就成为相平面上 的一个点( x1 (t ), x2 (t ))。在相平面上，由 ( x1 , x2 )或 ( x, x ) 以时间为参变量构成的曲线，称为相轨 迹。图8.9(b)对应图8.9(a)绘出了相应的相轨迹。 相轨迹上的箭头表示时间参量的增大方向。若以 一些初始状态作为起始点，在相平面上做出一簇 相轨迹，称为系统的相平面图，如图8.10所示。 图中用实线表示了二阶线性系统过阻尼时在三种 不同初始条件下的相轨迹，其余用虚线表示了在 其它初始条件下的相轨迹，它们共同构成一幅相 平面图，它清晰地表明系统在各种初始条件下的 运动过程。
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1.稳定性分析复杂: 在研究非线性系统的稳定性问题时，必须要 明确两点： a.指明给定系统的初始状态或输入信号 b.指明相对于哪一个平衡状态来分析系统的 稳定性。
2.系统的零输入响应形式: 线性系统的零输入响应形式与系统初始状态 的幅值无关 。某些非线性系统的零输入响应形式 与系统的初始状态有关。当初始状态不同时，同 一个非线性系统可能有不同的响应形式，如单调 收敛、振荡收敛或振荡发散等。
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例如：具有分段线性特性的非线性增益控制系统， 当初始状态(初始误差)。 0 e <E时，系统的零输入响应 形式为单调收敛，当初始状态 e0>E时，系统的零输 入响应形式为振荡收敛形式 ，如图8.5所示
e(t) t E
e0
0
t 某非线性系统的零输入响应
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图 8.5

3.自激振荡(极限环): 线性定常系统：例如典型二阶线性系统，如 果阻尼比=0，在初始状态的激励下，系统的零输 入响应为等幅周期振荡,其角频率 取决于系统的 参数，其振幅A与初始状态有关。但是，实际的线 性系统要维持振幅A和角频率 不变的等幅周期振 荡是不可能的。一是系统的参数会发生变化，即 使很微小的变化，也将导致 ≠0 ；二是假定系统 的参数不变， ≡ 0 ，然而，系统不可避免地会受 到扰动，将使响应的振幅A发生变化，因此，原来 的等幅周期振荡不复存在。
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8.3.2 相平面图的绘制方法
设描述二阶系统的微分方程为
(8-5) 是的线性函数或非线性函数。若令为相变量，并将式 (8-5)化为两个一阶微分方程 dx (8-6) x dt
(8-7) 用式(8-6)去除式(8-7)，于是得到一个以x为自变量， 为因变量，不显含时间t的一阶微分方程 dx f ( x, x) (8-8) dx x 式(8-8)给出了相轨迹通过点的斜率。根据此式，用解 析法或图解法即可绘出相平面图。
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参数M、B和K均是正的常数，而k′可为正，也 可为负。如果为正，弹簧就称为硬弹簧；如果为负， 则称为软弹簧。系统非线性的程度用K的值来表征。 非线性微分方程(8-1)称为杜芬(Duffing)方程，它常 常在非线性力学中进行讨论。如果该系统受到一个 非零初始条件的作用，则方程(8-1)的解代表一个阻 尼振荡，在实验中可观察到： 1、当振幅减小时，自由振荡的频率或减小， 或增加，这分别取决于 K 0或 K 0 ； 2、随着自由振荡的振幅减小，频率将保持不 变，这时系统又相当于一个线性系统。
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f ( x, x) 0 x
dx f (x, x) x dt
1.相平面图的特点 :相平面图的对称性

相平面图往往是关于原点或坐标轴对称的，故绘制时 可只画其中的一部分， 而另一部分可根据对称原理添补 上。相平面图的对称性可以从相轨迹的斜率来判断。 若相平面图关于轴对称，则相轨迹曲线在 x, x) 和(- x, x) ( 点上的斜率相等，符号相反。由式(8-8)，应有 f ( x, x) f (- x, x) 或 f ( x, x) f (- x, x) x x 即 f ( x, x) 是关于x的奇函数。 若相平面图关于x轴对称，则相轨迹曲线和的斜率相等， 符号相反，应有
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8.2.1典型非线性特性
y
1. 饱和特性 2. 死区特性 3.间隙特性
y
M 近似饱和特性 -b 0 -M b
实际饱和特性 x
图8.1 饱和非线性特性
y
K
- 0 K
-b

x
0
b
x
图8.2 死区非线性特性
图8.3 间隙非线性特性
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4. 继电器特性
y M y M

0 -M (a) y M - 0 -M (c) y M x 0
K 0
K 0
M
x
B 粘性阻尼器
0

w
图8.6 机械系统
图8.7 频率和振幅的关系曲线
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在进行实验时，使外作用函数的振幅P保持 常数，缓慢地改变其频率，并观察响应的振幅A， 可得到与图8.8(a)和8.8(b)类似的频率响应曲线。 假定，并且从图8.8(a)曲线上外作用频率 低的点 1开始。当 增加，A也增加，直到点2为止。若 频率继续增加，将引起从点2到点3的跳跃，并伴 有振幅和相位的改变，此现象称为跳跃谐振。当 频率 继续增加时，振幅A沿着曲线从点3到点4。 若换一个方向来进行实验，即从高频开始，这时 可观察到，当 减小时，振幅通过点3 逐渐增加， 直到点5为止。当 继续减小时，将引起从点5到 点6的另一个跳跃，也伴有振幅和相位的改变。在 这个跳跃之后，振幅A随着频率 的减小 一起减 小，并且沿着曲线从点6趋向点1。
f ( x, x) f (- x, x) x x
即有 f ( x, x) f ( x, x) 。
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1.相平面图的特点 :相平面图上的奇点和普通点
相平面上任一点( x, x) ，只要不同时满足 x 0 和 f(x, x) 0 ， 则由式(8-8)确定的斜率是唯一的，通过该点的相轨迹有且 仅有一条，这样的点称为普通点。在相平面上，同时满足 x 0 和 f(x, x) 0 的点，由于
来自百度文库普通高等教育“十一五”国家级规划教 材
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第 8 章 非线性控制系统
机械工业出版社
第 8 章 非线性控制系统
8.1概述 8.2非线性系统的特点 8.3相平面分析法 8.4描述函数分析法
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8.1 概述
非线性系统与线性系统有着很大的差别，诸 如非线性系统的响应取决于输入信号的幅值和形 式，不能应用叠加原理，目前还没有统一的且普 遍适用的处理方法。 由于非线性系统的复杂性和特殊性，受数学 工具限制，一般情况下难以求得非线性微分方程 的解析解，通常采用工程上适用的近似方法。 （1）相平面法 （2）描述函数法 （3）逆系统法
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8.3.1相平面的基本概念
考虑二阶线性系统 (8-2) 式中 与 n 是阻尼比和无阻尼自然振荡频率。 设系统仅由初始条件激励。这一系统的状态可以用两 个变量， 和 来描述。若令，则方程(8-2)可化为 x1 x, x2 x (8-3) 2 2 n x1 2n x2 x (8-4) x x2 只要给定初始条件 x1 (0)、(0) 或 x(0) 、(0)，由这两个 一阶联立微分方程便可唯一地确定系统的状态。如此 定义的变量和称为相变量(或状态变量)。图8.9(a)绘 出了初始条件为及时，和在不同阻尼下的时间响应曲 线。