复数的乘幂与方根

(15 8) (10 12)i 23 2
2
2
5 4
i 41 41
z 23 2 i 41 41
2
arg
z
arctan
41 23
41
＋ arctan 2 ＋，
23
故 Argz arg z 2k arctan 2 (2k 1)
23 (k 0,1,2, ).
2.复数的乘幂
定义
zn
1 zn
.
由定义：
z n
1 zn
1
r n (cos n i sin n )
r
n
cos n i sinn cos2 n sin2 n
r n[cos(n ) i sin(n )] r e n n .
3.复数的方根 （开方）——乘方的逆运算
问题 给定复数 z = re i ，求所有的满足ωn = z 的 复数ω。
即 (z 2i)2 9i,则 z 2i 9i (*)
9i 9,arg(9i) , 9i 9[cos( ) i sin( )]
2
2
2
故
9i
9
cos(
4
2k
2
)
i
sin(
4
2k
2
)
分别取 k 0,1 得，
32 9i (1 i)
2
z 2i 9i (*)
则 z1z2 = r1r2(cosθ1+ isinθ1)( cosθ2+ isinθ2)
则 z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)( cosθ2+isinθ2) = r1r2(cos(θ1+θ2)+ isin(θ1+θ2))
= r1r2e i(θ1+θ2) 因此 |z1z2| = r1r2=|z1| |z2| ，
分别取 k 0,1 得， 9i 3 2 (1 i) 2
代 入 （*） 式 得 方 程 的 根 为ຫໍສະໝຸດ Baidu：
z1
3
2 2
(2
3
2 2
)i
.
z2
32 2
(2
32 2
)i
当 k=0，1，…，n-1 时，可得n 个不同的 根，而 k 取其它整数时，这些根又会重复出现。
几何上， n z 的 n个值是以原点为中心，n r 为半 径的圆周上 n个等分点，即它们是内接于该圆周 的正 n边形的 n个顶点。
例1 求 4 1 i
1 y
1 i
解： 1 i 2 ，
arg(1 i) ， 2
定义 n个相同的复数z 的乘积，称为z 的n次幂，
记作 z n，即z n = zzz（共n个）。
设z = re iθ，由复数的乘法定理和数学归纳法 可证明
zn = rn(cosnθ+isinnθ) = rneinθ。
特别：当|z|=1时，即：zn = cosnθ+isinnθ，则有 (cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ 一棣模佛(De Moivre)公式。
1. 乘积与商
定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的幅角等于它们的幅角相加。
即 z1 z2 z1 z2 Arg(z1 z2 ) Argz1 Argz2 .
证明 设 z1=r1(cosθ1+ isinθ1)= r1e iθ1 z2=r2(cosθ2+ isinθ2)= r2e iθ2
及
Arg
z1 z2
Argz1
Argz2
.
证明 设 z1 r1e i1 , z2 r2e i2
由复数除法的定义 z=z2 /z1，即 z1z = z2
∵ |z||z1| = |z2| 及 Argz1+Argz = Arg z2 （z2≠0）
∵ |z||z1| = |z2| 及 Argz1+Argz = Arg z2 （z2≠0）
Arg(z1z2) = Argz1+Argz2
几何意义 将复数z1按逆时针方向旋转一个角度 Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。
y
(z)
z1z2
z2
2
2 1
o
x
定理1可推广到n 个复数的乘积。
定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个复数的商的幅角等于被除数与除 数的幅角之差。
即
z1 z1 z2 z2
当 z ≠0 时，有n个不同的ω值与 z 相对应，每一 个这样的ω值都称为 z 的 n次方根，
记 n z
设 e i ,由 n z, 有 ne in re i
n r, n 2k (k Z )
n
z
n
i 2k
re n
n
r (cos
2k
i sin
2k
)
n
n
(k 0,1,2, , n 1)
4
2
82
o
0 x
1 i 2(cos i sin )
3
4
4
2k
2k
故 k 4 1 i 8 2(cos 4 4
i sin 4 4
)
(k 0,1,2,3（) 见 图 ）
例 2 解方程 z2 4iz (4 9i) 0 .
解：配方 z2 4iz (2i)2 4 (4 9i) 0,
Argz = Argz2－Argz1 即：
z z2 r2 e i ( 2 1 ) z1 r1
z1 z1 z2 z2
及
Arg
z1 z2
Argz1
Argz2
.
例 设 z 3 2i，求 z 及 Argz . 5 4i
解： z 3 2i 13 , 5 4i 41
而 z (3 2i)(5 4i) (5 4i)(5 4i)