大整数乘法问题

2.4大整数乘法问题算法设计思想：(1) 大整数的存储我们知道，在编译系统中，整型数据类型的最大存储空间为8字节，也就是最大能存储232的数据。

即使使用双精度浮点数据类型（double），也只能存储最大1.798×10308的数据。

如果需要计算10200数量级的整数的乘法，利用的现有的数据类型就无法实现了。

所以，为了实现大整数的乘法，需要自己定义一种数据类型，以及对应的基本运算。

在该算法中，为了调试和处理方便，我们采用静态整型数组来存放大整数，即用数组的每一个元素存放大整数一位上的数字。

然后，分别定义用数组存放的大整数的加法、减法和移位运算。

这样，我们就可以用定义的大整数进行后面分治乘法的运算。

(2) 分治思想将位数是2的次幂的n位的十进制大整数X和Y各分为2段，每段的长为n/2位。

则有，X=A×10n/2+B ，Y=C×10n/2+D。

这样，乘积问题变为这样的分治问题：XY=(A×10n/2+B)(C×10n/2+D)=AC×10n+(AD+CB)×10n/2+BD ①如果按①式计算XY，我们可得时间复杂度T(n)=O(n2)（详细论证在课本上）。

显然，用①式来计算X和Y的乘积并不比乘法竖式更有效。

为了改进算法的计算复杂性，我们把XY写成另一种形式：XY=AC×10n+[(A-B)(D-C)+AC+BD]×10n/2+BD ②用解递归方程的套用公式法可得②式的时间复杂度T(n)=O(n log3)=O(n1.59)，该结果有效地减小了算法的时间复杂度。

因此，根据②式，我们得到了大整数相乘的分治算法。

(3) 高位补0的位数处理方法我们提出的分治思想在理论上是可行的，但是在算法具体实现中，程序的递归过程要求每次进行分治计算，即带入②式的大整数X和Y有如下要求：1．X和Y的位数相同。

2．X和Y的位数是2的次幂。

按照这样的限制，我们只能计算n×n位（n=1,2,4,8,16...）的整数乘法。

显然，这样的算法有很大的局限性，它不能处理像132×12758这样更为普遍的问题。

因此，我们在算法里采用这样的处理方法：当大整数需要进行分治乘法时，在两个乘数的高位补0，使它们的位数达到相同的2的次幂；分治结束后，将得到的乘积的高位多余的0去除，进行加减等非分治算法运算；以此类推。

采用这种高位补0的位数处理方法，实现了任意位大整数的乘法。

除了上述三点之外，程序对鲁棒性做了增强，对非法输入和文件错误进行了检测。

程序设计代码：/*头文件大数乘法问题.h*/#ifndef KNAP_H#define KNAP_H#include <iostream>#include <fstream>#include <string>using namespace std;/*定义数制，范围2到10*/#define SCALE 10/*整数的最大位数*/const int Max = 1000;/*表示整数的结构体*/struct Integer{bool positive; //整数的正负short num[Max]; //整数的各位数字，下标从0开始int length; //整数的位数};/*两个整数的乘法类*/class Multiply{public:Multiply(char *in, char *out); //构造函数~Multiply(); //析构函数void OutputProduct(); //输出大整数的乘积protected:short CharToInt(char ch); //将数字字符转化成整型int AddDigit(Integer &X, Integer &Y); //将位数补充到相同2的次幂位void InitialInteger(Integer &integer, ifstream &in); //文件初始化大整数void OutputInteger(Integer integer); //输出大整数integervoid ClearZero(Integer &integer); //去除大整数高位多余的0bool PositiveXGreaterThanY(Integer X, Integer Y); //判断是否非负X大于非负Y bool EqualsToZero(Integer integer); //判断是否等于0Integer Zero(); //返回大整数0Integer GetAbsolute(Integer integer); //返回大整数integer的绝对值Integer GetNegative(Integer integer); //返回大整数integer的负值Integer GetLeft(Integer integer); //取大整数integer左一半Integer GetRight(Integer integer); //取大整数integer右一半Integer LeftShifting(Integer integer, int digit); //大整数向左移digit位，低位补0 Integer Plus(Integer X, Integer Y); //大整数加法Integer Subtract(Integer X, Integer Y); //大整数减法Integer SameSignPlus(Integer X, Integer Y); //同号大整数加法Integer SameSignSubtract(Integer X, Integer Y); //同号大整数减法Integer OneDigitMultiply(Integer X, Integer Y); //非负1位大整数乘法Integer FreeMultiply(Integer X, Integer Y); //任意大整数乘法Integer NDigitsMultiply(Integer X, Integer Y, int n); //2的n次幂乘法，高位补0 private:Integer integer_X, integer_Y; //数组存储的大整数ofstream fout; //输出结果文件};#endif/*函数实现文件大数乘法问题.cpp*/#include "大数乘法问题.h"Multiply::Multiply(char *in, char *out) : fout(out){try //非法输入检测{ifstream fin(in);if( !fin )throw "输入文件无法打开！\n";InitialInteger(integer_X, fin); //文件初始化大整数integer_Xfin.ignore(100, '\n'); //冲掉回车InitialInteger(integer_Y, fin); //文件初始化大整数integer_Yfin.close(); //关闭文件if( !fout )throw "输出文件无法打开！\n";}catch(char *string){cout << string;system("pause");exit(0);}}Multiply::~Multiply(){if(fout)fout.close();}void Multiply::OutputProduct(){Integer temp = FreeMultiply(integer_X, integer_Y);ClearZero(temp);OutputInteger(temp);}short Multiply::CharToInt(char ch){short temp;switch(ch){case '0' : temp = 0; break;case '1' : temp = 1; break;case '2' : temp = 2; break;case '3' : temp = 3; break;case '4' : temp = 4; break;case '5' : temp = 5; break;case '6' : temp = 6; break;case '7' : temp = 7; break;case '8' : temp = 8; break;case '9' : temp = 9; break;default : temp = -1; break;}if(temp == -1)throw "Error : 输入存在非数字字符！\n";if(temp >= SCALE)throw "Error : 输入不符合数制！\n";return temp;}int Multiply::AddDigit(Integer &X, Integer &Y){int digit = 0;if(X.length > Y.length)digit = X.length;elsedigit = Y.length; //取二者最大位数int i;for(i = 0; pow(2.0, i) < digit; i++);digit = (int)pow(2.0, i); //取满足二者的最小2的次幂for(i = digit-1; i >= X.length; i--)X.num[i] = 0;for(i = digit-1; i >= Y.length; i--)Y.num[i] = 0; //高位补0，使位数达到2的次幂X.length = Y.length = digit; //改变二者的位数return digit; //返回2的次幂}void Multiply::InitialInteger(Integer &integer, ifstream &in){if(in.peek() == '-'){in.get();integer.positive = false;}elseinteger.positive = true;int i;char temp[Max];for(i = 0; in.peek() != '\n' && !in.eof(); i++) //读到回车处或文件结束in >> temp[i];integer.length = i;for(i = 0; i < integer.length; i++)integer.num[i] = CharToInt(temp[integer.length - i - 1]);//将每一位字符转化为整型}void Multiply::OutputInteger(Integer integer){if(integer.length == 0) //结果为0fout << integer.num[0];else{if(integer.positive == false) //结果为负数fout << '-';for(int i = integer.length - 1; i > -1; i--)fout << integer.num[i];}}void Multiply::ClearZero(Integer &integer){for(int i = integer.length-1; integer.num[i] == 0 && i >= 0; i--)integer.length--;}bool Multiply::PositiveXGreaterThanY(Integer X, Integer Y){if(X.length > Y.length) //X位数大于Y return true;else if(X.length < Y.length) //X位数小于Y return false;elsefor(int i = X.length-1; i >= 0; i--) //从高位逐位比较if(X.num[i] > Y.num[i]) //某一位X大于Yreturn true;else if(X.num[i] < Y.num[i]) //某一位X小于Yreturn false;return true; //X=Y返回true}bool Multiply::EqualsToZero(Integer integer){for(int i = integer.length-1; i >= 0; i--)if(integer.num[i] != 0)return false;return true;}Integer Multiply::Zero(){Integer temp;temp.length = 0; //0的位数定义为0 temp.positive = true;temp.num[0] = 0; //0的第一位默认为0 return temp;}Integer Multiply::GetAbsolute(Integer integer){if(integer.positive == false)integer.positive = true;return integer;}Integer Multiply::GetNegative(Integer integer){if(integer.positive == true)integer.positive = false;elseinteger.positive = true;return integer;}Integer Multiply::GetLeft(Integer integer){Integer temp;temp.length = integer.length / 2; //位数为一半temp.positive = true; //默认是正数for(int i = 0; i < temp.length; i++) //取原整数左一半temp.num[i] = integer.num[i+temp.length];ClearZero(temp); //去除高位多余的0return temp;}Integer Multiply::GetRight(Integer integer){Integer temp;temp.length = integer.length / 2; //位数为一半temp.positive = true; //默认是正数for(int i = 0; i < temp.length; i++) //取原整数右一半temp.num[i] = integer.num[i];ClearZero(temp); //去除高位多余的0return temp;}Integer Multiply::LeftShifting(Integer integer, int digit){if(!EqualsToZero(integer)){for(int i = integer.length + digit - 1; i >= digit - 1; i--)integer.num[i] = integer.num[i-digit]; //原有位向高位移digit位for(int i = digit - 1; i >= 0; i--)integer.num[i] = 0; //低位补0integer.length = integer.length + digit; //位数加digit }return integer;}Integer Multiply::Plus(Integer X, Integer Y){if(X.positive == Y.positive) //同号return SameSignPlus(X, Y);else //异号if(X.positive) //X正Y负{Y = GetNegative(Y); //Y取负得正return SameSignSubtract(X, Y);}else //Y正X负{X = GetNegative(X); //X取负得正return SameSignSubtract(Y, X);}}Integer Multiply::Subtract(Integer X, Integer Y){if(X.positive == Y.positive) //同号return SameSignSubtract(X, Y);else{Y = GetNegative(Y); //Y取负得正return SameSignPlus(X, Y);}}Integer Multiply::SameSignPlus(Integer X, Integer Y){int i;int carry_flag = 0; //进位for(i = 0; i < X.length && i < Y.length; i++){if(X.num[i] + Y.num[i] + carry_flag > SCALE-1) //当为加法需要进位{X.num[i] = (X.num[i] + Y.num[i] + carry_flag) % SCALE;carry_flag = 1;}else{X.num[i] = X.num[i] + Y.num[i] + carry_flag;carry_flag = 0;}}if(i < X.length) //被加数位数大于加数{while(i < X.length){if(X.num[i] + carry_flag > SCALE-1) //需要进位{X.num[i++] = (X.num[i] + carry_flag) % SCALE;carry_flag = 1;}else{X.num[i++] = X.num[i] + carry_flag;carry_flag = 0;}}}else if(i < Y.length) //加数位数大于被加数{while(i < Y.length){if(Y.num[i] + carry_flag > SCALE-1) //需要进位{X.num[i++] = (Y.num[i] + carry_flag) % SCALE;carry_flag = 1;}else{X.num[i++] = Y.num[i] + carry_flag;carry_flag = 0;}}}if(carry_flag == 1) //最高位存在进位{X.num[i] = 1;X.length = i+1;}else{X.length = i;}return X;}Integer Multiply::SameSignSubtract(Integer X, Integer Y){if(PositiveXGreaterThanY(X, Y)) //如果绝对值X>=Y{int i;int carry_flag = 0; //借位bool first_0 = true; //高位第一次出现0int top_digit_0 = 0; //记录结果最高位+1的下标int top_digit = 0; //记录结果最高位下标for(i = 0; i < Y.length; i++){if(X.num[i] - carry_flag < Y.num[i]) //需要向高位借位{X.num[i] = (X.num[i] - carry_flag + SCALE - Y.num[i]);carry_flag = 1;}else{X.num[i] = X.num[i] - carry_flag - Y.num[i];carry_flag = 0;}if(X.num[i] == 0) //高位出现0{if(first_0) //且是第一次出现0{first_0 = false; //再出现0则不是第一次出现0top_digit_0 = i; //记录结果最高位+1的下标}}else{first_0 = true;top_digit = i;}}if(carry_flag == 1) //最高位存在借位{X.num[i] = X.num[i] - carry_flag;if(X.num[i] == 0 && first_0)top_digit_0 = i;}if(top_digit < X.length - 1) //如果被减数更高位还有数字top_digit = X.length;if(top_digit_0 && top_digit_0 > top_digit) //top_digit_0==0表示没有改变X.length = top_digit_0; //调整结果的位数return X;}else //如果X<Y{X = SameSignSubtract(Y, X); //先用Y-XX = GetNegative(X); //再去负值return X;}}Integer Multiply::OneDigitMultiply(Integer X, Integer Y){Integer temp;temp.positive = true;int product; //乘积product = X.num[0] * Y.num[0];int i;for(i = 0; product != 0; i++) //存储到数组中{temp.num[i] = product % SCALE;product /= SCALE;}temp.length = i;return temp;}Integer Multiply::FreeMultiply(Integer X, Integer Y){bool sign; //乘积符号if(X.positive == Y.positive) //同号sign = true; //乘积是正数else //同号sign = false; //乘积是负数X = GetAbsolute(X);Y = GetAbsolute(Y); //取两数绝对值if(EqualsToZero(X) || EqualsToZero(Y)) //如果有0，乘积为0 return Zero();Integer temp;if(X.length == 1 && Y.length == 1) //只剩1位乘法temp = OneDigitMultiply(X, Y); //返回1位乘积else{int n = AddDigit(X, Y); //X和Y位数补充到2的次幂位temp = NDigitsMultiply(X, Y, n); //分治法得到乘积}temp.positive = sign; //赋符号return temp; //返回递归结果}Integer Multiply::NDigitsMultiply(Integer X, Integer Y, int n){Integer A = GetLeft(X); //返回X的左一半Integer B = GetRight(X); //返回X的右一半Integer C = GetLeft(Y); //返回Y的左一半Integer D = GetRight(Y); //返回Y的右一半Integer AxC = FreeMultiply(A, C); //返回A*CInteger BxD = FreeMultiply(B, D); //返回B*DInteger A_B = Subtract(A, B); //返回A-BInteger D_C = Subtract(D, C); //返回D-CInteger A_BxD_C = FreeMultiply(A_B, D_C); //返回(A-B)*(D-C)Integer AxDtBxC = Plus(A_BxD_C, Plus(AxC, BxD)); //返回A*D+B*CInteger AxC_2n = LeftShifting(AxC, n); //返回A*C左移n位结果Integer AxDtBxC_2n2 = LeftShifting(AxDtBxC, n/2); //返回A*D+B*C左移n/2位结果return Plus(Plus(AxC_2n, AxDtBxC_2n2), BxD); //函数返回一次乘法结果}/*主函数文件test.cpp*/#include "大数乘法问题.h"int main(){char *in = "input.txt"; //输入文件char *out = "output.txt"; //输出文件Multiply multiply(in, out); //文件初始化SCALE进制大整数multiply.OutputProduct(); //计算并输出大整数的乘积return 0;}。